Zufallsvariable - Johannes Gutenberg
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Methoden der Psychologie Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Forschungsstatistik I Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Dr. Malte Persike } [email protected] WS 2008/2009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Methoden der Psychologie Multiplikations satz Unabhängigkeit Zufallsvariablen Stochastische Unabhängigkeit Wenn gilt: P(B) = P(B | A) Wechselseitigkeit Gegenereignisse werden die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig genannt, weil die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses B nicht vom Auftreten von A abhängt. Setzen wir die rechte Seite der Gleichung in das Multiplikationstheorem ein, erhalten wir: P(A ∩ B) = P(B | A) P(A) = P(A) P(B) Kurz: P(A ∩ B) = P(A) P(B) Multiplikationssatz für stoch. unabh. Ereignisse Methoden der Psychologie Multiplikations satz Unabhängigkeit Zufallsvariablen Stochastische Unabhängigkeit Wechselseitigkeit Wir haben beim Multiplikationstheorem gesehen, dass Wechselseitigkeit Gegenereignisse P(A ∩ B) = P(B | A) P(A) = P(A | B) P(B) Und beim Multiplikationssatz, dass für ein von A stochastisch unabhängiges Ereignis B [also P(B) = P(B | A)] gilt: P(A ∩ B) = P(A) P(B) Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste führt zu P(A | B) P(B) = P(A) P(B) also P(A | B) = P(A) Also: Ist B von A unabhängig, so ist es auch A von B. Methoden der Psychologie Multiplikations satz Wechselseitigkeit Gegenereignisse Unabhängigkeit Zufallsvariablen Stochastische Unabhängigkeit Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes Wenn die Ereignisse A1, A2, … Ak insgesamt unabhängig sind, so gilt P(A1∩A2∩… ∩Ak) = P(A1)·P(A2)·… ·P(Ak) Achtung: Die Disjunktheit von Ereignissen hat mit der stochastischen Unabhängigkeit nichts zu tun. A und B sind disjunkt (A ∩ B = {∅}). Wenn aber A eingetreten ist, verändert sich P(B) zu P(B) / P(S \ A), wird also größer, solange A ≠ {∅}. A B S Methoden der Psychologie Multiplikations satz Unabhängigkeit Zufallsvariablen Stochastische Unabhängigkeit Gegenereignisse Nach de Morgans Gesetzen gilt: Wechselseitigkeit Gegenereignisse A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B Damit lässt sich zeigen, dass P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) A B P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) Wenn also die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, so sind es auch ihre Gegenereignisse und alle Paarungen daraus. Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Zufallsexperimente Stichprobenraum, Messung und Realisation Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Beispiel: Anzahl korrekter Antworten im Mathekenntnistest Stichprobenraum Ω Alle Personen in diesem Raum Zufallsvariable Y(Ω) Mögl. Werte: 0, 1, 2, … Messung von Y(Ω) Test einer Person im Raum Realisationen: y1, y1, … Messwerte: 2, 0, 1, 1, 4, 3, … Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Zufallsvariablen Definitionen Diskrete Zufallsvariable Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden als Realisationen bezeichnet Grafische Darstellung Ist Y eine Funktion, die jeder möglichen Realisation aus dem Stichprobenraum Ω eine reelle Zahl zuordnet, so wird diese Variable als Zufallsvariable bezeichnet. Verteilungsformen Die Menge der möglichen Funktionswerte Y(Ω) ist damit der Wertebereich von Y Die Zuweisung von Zahlen zu den Realisationen von Y wird als Messung bezeichnet, die gemessenen Realisationen häufig als Messwerte Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Zufallsvariablen Notation Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben bezeichnet, häufig mit Y oder X. Realisationen von Zufallsvariablen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, z.B. y1, y2, …, yn Hinweis: Häufig werden sowohl die möglichen Realisationen als auch die tatsächlichen Realisationen aus n Messungen mit denselben Kleinbuchstaben bezeichnet. Beispiel beim Münzwurf: {y1 = 0; y2=1} aber auch: y1=0, y2=0, y3=1, … yn=1 Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Zufallsvariablen Notation für Wahrscheinlichkeiten Diskrete Zufallsvariable Auf der Zufallsvariable können nun Ereignisse definiert werden, z.B. a ≤ Y ≤ b oder Y = a. Grafische Darstellung Diesen Ereignissen können reelle Zahlen zugewiesen werden, die die Kolmogoroff Axiome erfüllen, z. B. P(a ≤ Y ≤ b) oder P(Y = a) Verteilungsformen In der Wahrscheinlichkeitstheorie besonders wichtig ist die Punktwahrscheinlichkeit, also dass die Zufallsvariable Y eine bestimmte Ausprägung annimmt: Y = y Die Wk für Y = y wird als P(Y = y) geschrieben Werte für diese Wk werden mit p bezeichnet Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeiten und Vererbung Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Der Wertebereich Y(Ω) einer Zufallsvariablen ist wieder ein Stichprobenraum Die Ergebnisse in diesem Raum haben dieselben Wahrscheinlichkeiten P(y) wie die Ergebnisse im ursprünglichen Stichprobenraum P(Y) („Vererbung“) und erfüllen auch die Kolmogoroff Axiome Die Zuordnungsvorschrift, die den Ergebnissen im Wertebereich die durch die Vererbung vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung (probability distribution) der Zufallsvariablen Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Definition Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Eine Zufallsvariable, die abzählbar viele Werte annehmen kann (in endlich oder unendlich vielen Ausprägungen), wird als diskrete Zufallsvariable bezeichnet Das Ereignis, dass die diskrete Zufallsvariable Y eine bestimmte (die i-te) Ausprägung annimmt, wird bezeichnet als Y = yi Die Wk für Y = yi wird als P(Y = yi) geschrieben Werte für diese Wk werden mit pi bezeichnet Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Übersicht Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen ? Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Die empirische beobachtete Häufigkeit des Auftretens einer Realisation Y = y in einem Zufallsexperiment wird als h(Y = y) geschrieben. h(Y = y) wird auch als absolute Häufigkeit bezeichnet. Die relative Häufigkeit f(Y=y) ist dann definiert als der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl n aller Versuche, also f(Y=y) = h(Y=y) / n Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Gesetz der großen Zahlen Law of large numbers Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Bei unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments strebt die mittlere relative Häufigkeit h(A) für Das Auftreten eines Ereignisses A gegen die Wahrscheinlichkeit P(A) P ( A ) := lim h( A) n→∞ Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Diskrete Zufallsvariablen Übersicht Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Verteilungsformen Zufallsvariablen Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilung Diskrete Zufallsvariable Die Verteilung der P(Y = yi) wird als diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Sie wird definiert als Grafische Darstellung ⎧ P(Y = yi ) = pi falls yi ∈ { y1 … yk } f ( y) = ⎨ 0 sonst ⎩ Verteilungsformen Wert von Y P(Y = yi) y1 y2 p(y1) p(y2) … yi p(yi) … yk p(yk) Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Verteilungsfunktion Diskrete Zufallsvariable Grafische Darstellung Die Verteilung der P(Y ≤ ym) wird als Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y oder kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Sie wird definiert als m F ( y ) = P (Y ≤ ym ) = ∑ pi i =1 Verteilungsformen Wert von Y P(Y ≤ yi) y1 Y2 p(y1) p(y1) + p(y2) … Ym … p(y1) + p(y2) + … + p(ym) Methoden der Psychologie Zufallsvariable Unabhängigkeit Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Theoretische und empirische Wk-Verteilung Diskrete Zufallsvariable Die empirische relative Häufigkeitsverteilung der f(y) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der P(y) sind konzeptuell strikt zu trennen Grafische Darstellung Die empirische Verteilungsfunktion und die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen sind ebenfalls konzeptuell strikt zu trennen Verteilungsformen Die theoretischen Verteilungen bedürfen keiner Daten, denn sie sind gegeben Die theoretischen Verteilungen bestimmen, was für die empirischen Verteilungen zu erwarten ist
