pdf - photonik

Experimentalphysik II
PK2-6SP
Webpage
http://photonik.physik.hu-berlin.de/Lehre/SS08exp2/
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Übungstermine
1. Dr. J. Puls: Die, 15-17, Raum 1'12, NEW 14
2. Dr. H.J. Wünsche: Die, 15-17, Raum 1‚11 NEW 14
3. Dr. Sylke Blumstengel: Do, 15-17, Raum 1'12 NEW 14
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Literatur
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Feynman: Vorlesungen über Physik, Band II, Oldenbourg
H. Vogel: Gerthsen Physik, Springer
H.J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser
P.A. Tipler/R.A. Llewellyn: Moderne Physik, Oldenbourg
Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik II
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Maxwell-Gleichungen
(1873)
Boltzmann: Es war ein Gott der diese Zeichen schrieb …?
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1. Elektrostatik
Gegenstand: Zeitlich konstante Ladungen und elektrische Felder
Elektrisch ~ Elektron ~ Bernstein
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1.1 Das Coulomb’sche Gesetz
Erfahrungstatsachen:
• Körper haben neben ihrer Masse auch eine Ladung. Die Ladung kann
positiv, negativ oder null sein.
• Die Ladung ist “gequantelt”: Sie tritt in ganzzahligen Vielfachen der
Elementarladung (des Elektrons bzw. Protons)
e = 1,602 10-19 C (Coulomb)
auf.
• Zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2 wirkt eine Kraft entlang ihrer
Verbindungslinie, die mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt.
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z
Coulomb-Kraft
Q1
n12
y
r1
Q2
r2
x
Einheitsvektor
Internationales Maßsystem: ε0= 8,859 C2 J-1 m-1, Influenzkonstante
Maßeinheit von F12: 1 J m-1 = 1 N = 1 kg m s-2
• Beachte: F12 ist Kraft, die Q2 auf Q1 ausübt.
• actio=reactio: F21=-F12
• Gleichartige Ladungen stoßen sich ab, unterschiedliche ziehen sich an.
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1.2 Das elektrische Feld
Q1=Q sei eine Probeladung, die das von der Ladung Q2=Q’ erzeugte
Kraftfeld F(r) tested.
Das elektrische Feld, das auf Q im Punkt r wirkt, ist definiert durch
E ist also die Kraft pro Einheitsladung Q = 1 C
[E]=N C-1 = V m-1, 1 V = 1 Volt = 1 N m C-1 = 1 J C-1
Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, d.h. an jedem Ort r hat es
einen bestimmten Betrag und eine bestimmte Richtung. (Es ist auch
ohne die Probeladung vorhanden.)
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Das Überlagerungsprinzip
Die Felder mehrerer Ladungen addieren sich zu einem Gesamtfeld
Im kleinen Volumenelement dV am Ort rj sei die Ladung dQj vorhanden.
dV
dQj
rj
Mit der kontinuierlich verteilten Ladungsdichte
folgt
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Volumenintegral: Berechnung des von einer beliebigen Ladungsverteilung
generierten Feldes. Beachte: V muss alle Ladungen (alle r‘ mit ρ(r‘)≠0)
enthalten.
E(r)
3 Gleichungen für 3 Komponenten
E=(Ex,Ey,Ez) am am Ort r=(x,y,z)
analog Ey und Ez.
ρ(r‘)
r
r‘
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1.3 Der elektrische Fluss
konstantes (homogenes) elektrisches Feld
Fläche A senkrecht zum Feld
gekippte Fläche A
.
θ
Oberflächennormale
Verallgemeinerung:
• dA sei ein infinitesimal kleines Flächenelement, so dass hier E = const.
• gerichtetes Element: dA = n dA, n: Einheitsvektor ⎢⎢Flächennormale
• Fluss durch dA: dφ= E dA
• jede beliebige endliche Fläche A ist aus einzelnen dA aufgebaut ⇒
• Fluss durch A ist Summe aller dφ, also das Flächenintegral
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Es ist wichtig, ob A einen Rand hat oder geschlossen ist.
Beispiel: homogenes Feld
(immer auswärts gerichtet)
geschlossene Fläche:
anschaulich: φ misst die Differenz zwischen dem Feld, welches in
das von A umschlossene Volumen V(A) ein- und hinausdringt.
Später: φ ≠0 erfordert Quellen und Senken in V. (1. MW-Gleichung)
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Beispiel: Punktladung Q
Der Fluss durch jede Kugelfläche mit Q im Zentrum hat den Wert
E
Beweis:
• in jedem Punkt von A: E ⎢⎢ n =r/r
r
Q>0
• auf A mit Radius R: E ∼ 1/R2 = const.
• Flächeninhalt von A ~ R2
⇒ φ = const.
Rechnerisch:
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Verallgemeinerung für beliebige geschlossene Fläche in 4 Schritten
1. Radiales Volumenstück, das Q nicht enthält.
auf den radialen Flächen:
⇒
Fläche A
φgesamt = φStirnflächen
also
Fächennormalvektor
Punktladung Q
wegen 1/r2-Abhängigkeit von E ⇒
weil na=-nb
⇒
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2. Gekippte Stirnflächen
statt E muß nun Normalkomponente
En eingesetzt werden
Fläche A
b‘
a‘
weil der Inhalt der Flächen genauso
zunimmt, wie En abnimmt
Punktladung Q
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3. Mit solchen Volumenelementen kann, wenn die Stirnflächen nur
genügend klein gemacht werden, jedes beliebige Volumen konstruiert
werden.
Beispiel eines Zylinders
Fläche A
Folgerung: Der Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche,
welche die Ladung nicht enthält, verschwindet.
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4. Volumenelement, das die Ladung enthält
nun gilt
Q
weil na ⎜⎜Ea und nb ⎜⎜Eb
⇒ i.A. φ ≠ 0 durch bel. geschl. Fläche, die Q enthält
Wert des Integrals:
• Hilfskugel A’ mit Q im Zentrum
A
A’
~
A
~
A‘
~
• Hilfsschnitt: 2 Volumen mit Oberflächen A
~
und A‘, die beide Q nicht enthalten
~ auf Schnittfläche ⇒
• wegen nA~ = - nA‘
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Der Fluß durch eine beliebige geschlossene Fläche, welche eine
Punktladung enthält, ist immer
.
Wie die Felder so addieren sich nach dem Überlagerungsprinzip auch
die Flüsse verschiedener Punktladungen. Die Verallgemeinerung für
eine kontinuierliche Ladungsverteilung ist daher:
Für den elektrischen Fluß durch eine beliebige geschlossene Fläche A
gilt
wenn A Ladungen einschließt
wenn A keine Ladungen einschließt
Dabei ist Q nun die Gesamtladung
im von A eingeschlossenen Volumen V.
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Mit dem Flusssatz lassen sich Felder in einfachen Symmetrien schnell
berechnen.
Spezialfall: Kugelsymmetrische Verteilung
E muß auf Radiusstrahl zum Zentrum der Verteilung liegen
E=const. auf jeder Kugeloberfläche um das Zentrum
Q(r): Ladung innerhalb der Kugel mit dem Radius r
Beispiel: Homogen geladene Kugelschale mit Flächenladungsdichte σ
Q =4πa2 σ
a
Feld im Inneren verschwindet, während es außerhalb Kugel so aussieht,
als ob die gesamte Ladung im Zentrum konzentriert wäre.
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Gauß: Wenn das Feld innerhalb einer Hohlkugel verschwindet,muss
das Coloumbsche Abstandverhalten gelten.
• schreiben
mit unbekannter Funktion f
• beliebiger Punkt P im Inneren der Kugel
A1
r1
• die Flächen der Kegelschnitte mit der Kugeloberfläche verhalten sich wie
r2
P
A2
• die Ladung auf diesen Flächen ist
• die entgegengesetzt gerichteten Feldvektoren müssen dem Betrage
nach gleich sein
für alle r1 und r2 ⇒
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