Klausur Spieltheorie

Klausur Spieltheorie (SoSe 2004)
-1-
Prof. Dirk Bergemann
Klausur Spieltheorie
Die Klausur dauert 120 Minuten. Es gibt 4 Aufgaben, die alle bearbeitet werden
sollen. Die Punkte, die jeder Aufgabe zugeordnet sind, beschreiben das Gewicht der
Aufgabe für die Gesamtnote und können gleichzeitig als Indikation für Ihr Zeitbudget
verwandt werden. Die Gesamtzahl der Punkte beträgt ebenfalls 120.
Aufgabe 1
(Statische Spiele mit vollständiger Information)
(25 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Spiel mit freiwilligen Beiträgen zu einem öffentlichen
Gut. Es gibt I Agenten, von denen jeder Nutzen aus seinem privaten Vermögen und
Nutzen aus einem öffentlichen Gut G zieht. Agent i ∈ {1, . . . , I} kann also entscheiden
P
welchen Betrag gi er von seinem Guthaben w > 0 zum öffentlichen Gut G = Ij=1 gj
beitragen möchte (wobei 0 ≤ gi ≤ w). Der Nutzen von Agent i ergibt sich zu:
!
I
X
ui (g1 , ..., gI ) = ln (w − gi ) + ln
gj .
j=1
und jeder Spieler muß sich unabhängig entscheiden, wie viel er zu dem öffentlichen
Gut beitragen möchte.
a) Definieren Sie die Situation als ein Spiel und definieren Sie ein reines NashGleichgewicht.
b) Berechnen Sie das eindeutige symmetrische Nash Gleichgewicht (in reinen Strategien).
c) Berechnen Sie die
Psozial optimale Allokation für die Wohlfahrtsfunktion
W (g1 , . . . , gI ) = Ii=1 ui (g1 , . . . , gI ).
d) Brechnen Sie die Differenz zwischen den sozial optimalen Beiträgen und den
Beiträgen im Nash-Gleichgewicht für eine gegebene Anzahl I von Agenten.
Klausur Spieltheorie (SoSe 2004)
Aufgabe 2
-2-
(Wiederholte Spiele)
Prof. Dirk Bergemann
(40 Punkte)
Zwei Pharmakonzerne kennen als einzige die Rezeptur eines neuen Medikamentes
“Ressaw Run”, das besonders arm an Nebenwirkungen ist. Die Herstellung des Medikamentes verursache keine Kosten und die Nachfrage Q nach dem Medikament
beträgt
Q = K − P,
wobei P der (niedrigere) Preis sei und K > 0 eine fixe Konstante. Die Firmen stehen
im Preiswettbewerb, d.h. die gesamte Nachfrage geht an die Firma mit dem niedrigeren Preis. Bei identischen Preisen verteilt sich die Nachfrage zu gleichen Teilen auf
die beiden Firmen.
a) Berechnen Sie den Monopolpreis und den Monopolgewinn im statischen Fall.
b) Welche Preise setzten die Firmen im Nash Gleichgewicht bei Preiswettbewerb
im statischen Fall?
c) Betrachten Sie das unendlich oft wiederholte Spiel mit einem Diskontfaktor
von 0 < δ < 1. Geben Sie vollständige teilspielperfekte (Grimm-Trigger)Gleichgewichtsstrategien an, unter denen die zwei Firmen Kollusion aufrechterhalten, d.h. im Gleichgewicht teilen sich die Firmen den Monopolgewinn. Was
ist der niedrigste Diskontfaktor δ bei dem sich perfekte Kollusion als teilspielperfektes Gleichgewicht stützen läßt?
Nehmen Sie nun an, dass die Nachfrage mit der Konjunktur schwankt. Während
eines Booms (KB = 4) ist die Nachfrage
QB = 4 − P,
und während einer Rezession (KR = 2) beträgt die Nachfrage
QR = 2 − P.
In jeder Periode gibt es mit gleicher Wahrscheinlich einen Boom oder eine Rezession und die Firmen erfahren dies, bevor sie ihre Preise setzen. (Mit anderen Worten
kommt es in jeder Periode mit 50% Wahrscheinlichkeit zu einer Rezession oder mit
50% zu einem Boom. Die Wahrscheinlichkeiten sind unabhängig über die Perioden
verteilt. Wenn z.B. heute eine Boomperiode ist, gibt es morgen mit gleicher Wahrscheinlickeit einen Boom oder eine Rezession.)
d) Geben Sie Grimm-Trigger-Strategien an, die in dieser zufällig fluktuierenden
Ökonomie beiden Firmen Kollusionsprofite (halbe Monopolgewinne) entlang
des Gleichgewichtspfades sichern.
e) Was ist der niedrigste Wert für δ bei dem eine Trigger-Preisstrategie den jeweiligen Monopolpreis sowohl in Rezessionen, als auch in Boomperioden als ein
teilspielperfektes Gleichgewicht stützen kann?
f) Wie sollten die Firmen die Trigger-Preisstrategien anpassen um möglichst profitable Kollusion zu stützen, wenn δ knapp unter den in der letzten Teilaufgabe
berechneten Wert fällt? Sollten die Strategien unterschiedlich für Boomzeiten
und für Rezessionen angepasst werden? (Sie sollten zunächst mit einer verbalen
Diskussion beginnen und dann Ihre Intuition mit einer Rechnung untermauern.)
Klausur Spieltheorie (SoSe 2004)
-3-
Aufgabe 3
(Statische Spiele mit unvollständiger Information)
Prof. Dirk Bergemann
(20 Punkte)
Betrachten Sie die folgende strategische Situation. Zwei verfeindete Armeen sind bereit eine Insel anzugreifen. Der jeweilige General von jeder Armee hat die Wahl zwischen “angreifen”oder “nicht angreifen”. Zusätzlich ist jede Armee entweder “stark”oder
“wankelmütig”mit gleicher Wahrscheinlichkeit (die Ziehungen für beide Armeen sind
unabhängig), und jeder General kennt nur den Typ seiner eigenen Armee. Die Auszahlungen ergeben sich folgendermaßen: Die Insel hat einen Wert von M = 10 für
denjenigen, der sie einnimmt. Eine Armee kann die Insel einnehmen, wenn entweder
der Gegner nicht angreift, oder wenn die eigene Armee stark ist und der Gegner wankelmütig. Falls zwei Armeen gleicher Stärke die Insel angreifen, kann keiner die Insel
einnehmen. Eine Armee hat “Kosten”, wenn es zum Kampf kommt, die s = 6 für
eine starke Armee betragen und w = 8 für eine wankelmütige. Falls der Gegner nicht
angreift, entstehen keine Kosten.
Modellieren Sie diese Situation als ein Bayesianische Spiel und identifizieren Sie
alle Bayesianischen Nash Gleichgewichte in reinen Strategien.
Klausur Spieltheorie (SoSe 2004)
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Aufgabe 4
(Statische Spiele mit vollständiger Information)
Prof. Dirk Bergemann
(35 Punkte)
Betrachten Sie eine linienförmige Stadt der Länge 1. Entlang dieses Einheitsintervalls wohnen Konsumenten gleichverteilt mit einer Dichte von 1. Zwei Unternehemen
sind an den Endpunkten dieses Intervalls positioniert, also bei 0 bzw. bei 1. Jedes
Unternehemen i produziert eine Menge eines Gutes von Wert v > 0 zu konstanten
Grenzkosten c = 0. Die Präferenzen der Konsumenten werden durch die Nutzenfunktion Ui = v − di − pi beschrieben, falls ein Konsument mit Abstand di zur Firma i
eine Einheit (von Wert v) zum Preis von pi konsumiert. Der Konsumer kauft maximal eine Einheit des Gutes und, falls er nichts kauft, sei sein Nutzen 0. Die Firmen
setzten jeweils unabhängig voneinander ihre Preise, stehen also im Preiswettbewerb
(evtl. hilft es Ihnen, sich die Situation zu skizzieren).
a) Definieren Sie für dieses Modell, was ein (symmetrisches) Nash Gleichgewicht
in reinen Strategien ist.
b) Betrachten Sie zunächst die Situation, in der der Wert v des Gutes für die
Konsumenten so groß ist, dass Sie das Gut auf jeden Fall bei einer der beiden
Firmen kaufen. (Sie können also zunächst vereinfachend annehmen, dass die
Preise nur beinflussen, bei welcher Firma die Konsumenten einkaufen.)
i) Welchen Preis P setzen beide Firmen im symmetrischen Nash Gleichgewicht in reinen Strategien?
ii) Welchen Wert v muß das Gut mindestens für die Konsumenten haben, damit bei diesen Preistrategien auch tatsächlich alle Kunden das Gut kaufen
(d.h. ihr Nettonutzen v − di − p ≥ 0 ist)?
c) Betrachten Sie nun die entgegengesetzte Situation, in der der Wert v des Gutes
für die Konsumenten so niedrig ist, dass einige Konsumenten sicher nicht kaufen.
i) Welche Preise setzten beide Firmen im symmetrischen Nash Gleichgewicht
in reinen Strategien?
ii) Welchen Wert v darf das Gut maximal für die Konsumenten haben, damit tatsächlich einige Konsumenten bereit sind, bei diesen Preisstrategien
nicht zu kaufen?
d) Welche Preise setzten die Firmen im symmetrischen Nash Gleichgewicht in
reinen Strategien, wenn der Wert v des Gutes zwischen diesen Schranken liegt,
wenn also v < v < v ?