Massenträgheitsmoment
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Massenträgheitsmoment Die kinetische Energie eines bewegten Massenpunkts beträgt E = mv²/2 Bei einer kreisförmigen Bewegung kennt man statt der Bahngeschwindigkeit meistens die Kreisfrequenz und den Bahnradius. Daher schreibt man für die kinetische Energie auch: E= mv²/2 = m(r.)²/2 = mr²*²/2 = J* ²/2 Aus Überlegungen, die erst bei der Berechnung von voluminösen rotierenden Körpern verständlich werden, rechnet man die Winkelgeschwindigkeit, die für alle Punkte des Festkörpers gleich ist, heraus. Den Radius² schlägt man der Masse zu und bezeichnet das Produkt mr²= J als Massenträgheitsmoment einer punktförmigen Masse m im Abstand r vom Drehpunkt. Das Massenträgheitsmoment J spielt bei der Drehbewegung die Rolle der Masse m bei der linearen Bewegung. Massenträgheitsmoment eines Stabes um eine Achse am Ende Ein Stab der Länge L besteht aus lauter hintereinander gereihten Massen dm =*dV . Das Stabvolumen V ist dabei gleich Querschnittsfläche A mal Länge L und ist die Massendichte = Volumen / Masse) ( V= A*L, = M/L ) Bezüglich einer Drehachse am Ende des Stabe besitzt dein solches Massenelement ein Massenträgheitsmoment von Ji = mix i². Für das gesamte Trägheitsmoment sind sind alle einzelnen Momente Ji=mi*x i² aufzusummieren. dm = *dV= *A*dx Das differentielle Massenelement ist ...Massendichte, A ... Querschnitt, dx... Länge des Volumenelements J= und somit wird aus M 2 x dm 0 L und wegen *A*L=M 2 1 3 J = A x d x J = A L 3 0 mit dem Endergebnis J= das Integral 1 3 M L 2 Um das Massenträgheitsmoment des Stabes um seine Schwerpunktsachse zu bekommen, kann man den Satz von Steiner anwenden. Dieser besagt, dass das Massenträgheitsmoment Js um eine Drehachse durch den Schwerpunkt um m*s² vergrößert wird, wenn sich die Drehachse um den Abstand s parallel verschiebt: 2 J = Js m s Ich benutze diesen Satz um von der außermittigen Achse auf die Schwerpunktsachse zurückzurechnen: 2 Js = J m s Verschiebung der Achse um s = L/2 2 1 L 1 2 2 Js = M L M Js = M L 3 12 2 _____________________________________________________________________________ Massenträgheitsmoment einer stehenden Scheibe Möchte man ein flächenhaftes Gebilde um eine Achse rotieren lassen, die in der Fläche verläuft, so muss man die Funktion der Kontur kennen. Eine Scheibe, die um eine Achse in ihrer Ebene rotiert, hat beispielsweise einen Kreis als Kontur: 2 2 R =x z 2 2 V = d R dm = dV d ... Dicke der (dünnen) Scheibe, R... Radius der Scheibe, L z = 2*x ..Länge eines Elements bei der Höhe z Für einen Stab mit dem Drehpunkt in der Mitte wurde das Integral schon berechnet: J= 1 2 2 L dm = ( 2x) d V 12 12 2 setzt man für das Volumenselement d J= 12 2 dV = d Lz dz = d 2 R z dz R 2 R z R z 2 2 2 2 2 2 2 2 R z dz R d J= 12 R 8 3 dz J = R 1 4 4 d R setzt man wieder für *d*R² = *V = M, die Masse der Scheibe ein, so erhält man J= 1 4 2 d R R 2 J= 1 4 M R 2 Massenträgheitsmoment einer Scheibe um eine Drehachse senkrecht zur Scheibe: Das Massenträgheitsmoment einer punktförmigen Masse mi im Normalabstand ri von einer Drehachse ist J i = r i² mi Das Massenträgheitsmoment eines starren, festen Körpers ist dann die Summe der einzelnen Massenträgheitsmomente um diese Achse. n J= 2 ri mi i1 Eine Scheibe wird in kleine Teilmassen aufgeteilt und zwar hat ein solches Volumenselement die Abmessungen (r) in radialer Richtung, b = r* in lateraler Richtungund h in der Höhe. n J = 2 ri V i1 n J = 2 ri h ri r i1 = M V Massendichte Alu : 2700 kg/m³, Stahl : 7900 kg/m³ n J = i1 J = Als Integral angeschrieben M = V r 2 h r r i i H 0 2 0 J = H 2 R differentiell kleiner Massenteil m = V 3 r dr d dh 0 R 4 4 Da das Volumen der Scheibe V= R² *H beträgt, schreibt man J = V R 2 2 1 = 2 M R 2 Die Höhe ist in der endgültigen Formel verschwunden, d.h. sie gilt auch für einen beliebig langen Zylinder. Die Höhe H steckt nämlich in der Masse M. Man kann natürlich auch eine andere Unterteilung der Kreisscheibe treffen: Alle Massen in einem Ring haben das Trägheitsmoment J = m*r² . Wenn man diese Ringe aufsummiert von r= 0 bis r=R, so erhält man in Integralschreibweise: J= R 2 r dm 0 Masse eines differenziell schmalen Kreisrings : dm = *dV = *2r *H*dr J = R 2 r 2r H d r 0 J = 2 H R 4 4 = 1 2 M R 2 wie oben. ___________________________________________________________________________________ Welches Drehmoment M wird benötigt, um einen hantelförmigen Körper in 1Sekunde vom Stillstand auf 50 rad/s gleichförmig zu beschleunigen? Stahlstange : 2 L 500mm Gewicht: A 20mm 7600 3 m m2 0.250kg Beschleunigung: kg 1 1 a 0s e 50s t 1s Drehmoment = Massenträgheitsmoment x Winkel-Beschleunigung Stange : 2 Massen : Drehmoment: m1 L A m1 J1 L 12 2 L J2 2 m2 2 M J1 J2 e a 3 J1 1.583 10 2 t 2 m kg 2 J2 0.031 m kg M 1.642 N m ___________________________________________________________________________________ Eine Kugel mit dem Durchmesser 5cm und der Masse m=0,5 kg rollt unter 45 Grad eine schiefe Ebene hinab. Wie groß ist ihre Geschwindigkeit nach 1m Rollweg? 2 g 9.81m s Energie : 4 h 1m sin r 0.025m 2 m v 2 J 2 2 2 m r v = r = v 2 10 7 2 5 = m g h 2 2 m r = 2 m g h 5 7 g h 2 g h v 3.148 m s ___________________________________________________________________________________
