Lösungen zum 8. ¨Ubungsblatt Vorkurs Mathematik

Hochschule Ruhr West
Institut Naturwissenschaften
Tobias Baust, Akiko Kato
Sommersemester 2016
Lösungen zum 8. Übungsblatt Vorkurs Mathematik
1. Aufgabe
(a)
0◦ = 0 ;
10◦ =
2
120◦ = π
3
(b)
1
π = 20◦
9
3
π = 108◦
5
;
1
π
18
3
135◦ = π
4
1
π = 36◦
5
;
;
1
30◦ = π
6
;
π = 180◦
;
1
60◦ = π
3
;
5
150◦ = π
6
1
π = 45◦
4
;
7
315◦ = π
4
2
π = 72◦
5
;
5
π = 225◦
4
;
;
;
1
90◦ = π
2
;
;
4
π = 240◦
3
;
360◦ = 2π
5
π = 75◦
12
;
√
2cm ≈ 1, 41cm
(ii) b = 5cm
(iii) a = 8cm
(b) Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse stets die längste Seite,
es muss also nur geprüft werden, ob die längste Seite im Quadrat gerade
der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten entspricht.
(i) Das Dreieck ist rechtwinklig, da x2 + y 2 = z 2 .
(ii) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
(iii) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
(iv) Das Dreieck ist rechtwinklig, da x2 + z 2 = y 2 .
1
;
3
π = 270◦
2
2. Aufgabe
(a) (i) c =
;
3. Aufgabe
(a)
(i) 10
(iv) 5
√
(v) 8 ≈ 2, 83
(ii) 7
(vi) 13
(iii) 3
(b) (−2, 0). Löse dazu (x + 4)2 + 52 = (x − 3)2 + 4.
4. Aufgabe
(a)
(i) x2 + y 2 = 9
(iii) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4
(ii) (x − 2)2 + y 2 = 1
(b)
(c)
(i) M = (0, 0), r = 4
√
(ii) M = (4, 3), r = 2
√
(iii) M = (1, −1), r = 3
(iv) M = (0, −3), r = 3
(v) M = (−1, 2), r = 4
Umfang
Flächeninhalt
Aufgabe
(a)(i), (b)(iv) 6π ≈ 18, 85
9π ≈ 28, 27
(a)(ii)
2π ≈ 6, 28
π ≈ 3, 14
(a)(iii)
4π ≈ 12, 57
4π ≈ 12, 57
(b)(i), (b)(v)
8π
16π ≈ 50, 27
√ ≈ 25, 13
(b)(ii)
2√ 2π ≈ 8, 89
2π ≈ 6, 28
(b)(iii)
2 3π ≈ 10, 88
3π ≈ 9, 42
5. Aufgabe
Winkel im Gradmaß
Winkel im Bogenmaß
Sinuswert
Kosinuswert
Tangenswert
0◦
0
0
1
0
30◦
1
π
6
45◦
1
π
4√
1
1
2
2
2√
√
1
1
3
2
2√
2
1
3
1
3
2
60◦ 90◦
1
π 12 π
3√
1
3 1
2
1
0
√2
3 −
6. Aufgabe
a
b
b
b
sin α = , cos α = , sin β = , tan β =
c
c
c
a
(a)
(b) Beim Finden der fehlenden Größen helfen auch der Satz des Pythagoras und
die Winkelsumme im Dreieck. Hilfreich kann auch die Tabelle aus Aufgabe
5 sein.
√
(i) b = 5 3cm ≈ 8, 66cm, α = 30◦ , β = 60◦
(ii) c = 5cm, α ≈ 53, 13◦ , β ≈ 36, 87◦
(iii) b ≈ 2, 18cm, c ≈ 6, 39cm, α = 70◦
√
(iv) a = 7 3cm ≈ 12, 12cm, c = 14cm, β = 30◦
√
(v) a = b = 5 2cm ≈ 7, 07cm, α = 45◦
7. Aufgabe
Unter Verwendung der Skizze von Aufgabe 6 gilt:
b
a
sin α = , cos α = .
c
c
Somit ist
2
2
(sin α) + (cos α) =
a 2
c
2
a2 + b 2
c2
a2 b 2
b
=
= 1,
+
= 2 + 2 =
c
c
c
c2
c2
wobei am Ende der Satz des Pythagoras verwendet wurde (a2 + b2 = c2 ).
3