5.¨Ubung Diskrete Mathematik - Lehrstuhl II für Mathematik

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
http://www.math2.rwth-aachen.de
SS 2010
5. Übung Diskrete Mathematik
Aufgabe 1. [Satz von Hall] Es seien A1 , A2 , . . . , An Teilmengen von X. Es gibt ein System
paarweise verschiedener Repräsentanten für A1 , A2 , . . . , An genau dann, wenn
[ Ai ≥ |I|
i∈I
für alle I ⊆ {1, 2, . . . , n} gilt.
Aufgabe 2. Es seien A1 , A2 , . . . , An Teilmengen von X. Es gibt ein System paarweise verschiedener Repräsentanten für n − d der Mengen A1 , A2 , . . . , An genau dann, wenn
[ Ai ≥ |I| − d
i∈I
für alle I ⊆ {1, 2, . . . , n} gilt. (Man verwende Aufgabe 1.)
Aufgabe 3. Ein bipartiter Graph mit Bipartition (V1 , V2 ) ist ein Graph mit Knotenmenge
V1 ∪V2 , sodass V1 ∩V2 = ∅, und der Eigenschaft, dass jede Kante des Graphen einen Knoten aus
V1 mit einem Knoten aus V2 verbindet. Ein Matching ist eine Teilmenge M der Kantenmenge
eines Graphen, sodass jeder Knoten mit höchstens einem Element aus M inzidiert. Ein Graph
heisst r-regulär, wenn alle Knoten den Grad r haben (d.h. mit genau r Kanten inzidieren).
Zeigen Sie
(i) Die Kantenmenge eines r-regulären bipartiten Graphen lässt sich in r disjunkte Matchings zerlegen.
(ii) Die Kantenmenge eines bipartiten Graphen mit maximalem Knotengrad ∆ lässt sich in
∆ disjunkte Matchings zerlegen.
Aufgabe 4. Sei m ≤ n und A = (aij ) eine m×n-Matrix mit Einträgen aus {1, 2, . . . , n}, sodass
keine Zahl zweimal in einer Spalte oder Zeile von A vorkommt. A heißt lateinisches Rechteck.
Zeigen Sie, dass jedes lateinische m × n-Rechteck zu einem lateinischen n × n-Quadrat ergänzt
werden kann.
Aufgabe 5. Man betrachte einen Baum mit Knotenmenge {1, 2, . . . , n + 1} und n Kanten.
Orientieren Sie die Kanten des Baumes und beschriften Sie sie mit 1, 2, . . . , n, sodass die Kanten
paarweise verschiedene Beschriftungen erhalten. Zeigen Sie, dass ein eindeutig bestimmtes
System {A1 , A2 , . . . , An+1 } von Teilmengen von {1, 2, . . . , n} mit der folgenden Eigenschaft
existiert: Ist kℓ eine von k nach ℓ orientierte Kante, die mit i beschriftet ist, so gilt Aℓ = Ak ∪{i}.
Aufgabe 6. Es sei G ein Graph mit Knotenmenge V und Kantenmenge E, wobei |V | = n.
Zusätzlich habe E die folgende Eigenschaft: Ist Y ⊂ V mit |Y | = n − 2, dann existieren
e1 , e2 ∈ E mit e1 6= e2 und e1 ∩ Y = e2 ∩ Y . Zeigen Sie, dass |E| ≥ ⌈3(n − 1)/2⌉ und dass die
Ungleichung für n ≥ 3 nicht verbessert werden kann.
Aufgabe 7. [Satz von Dilworth] Es sei (P, <) eine partiell geordnete Menge. Eine Kette in
P ist eine Teilmenge K ⊂ P , sodass die Elemente in K paarweise vergleichbar sind, d.h. für
p 6= p′ in K gilt entweder p < p′ oder p′ < p. Eine Antikette in P ist eine Teilmenge L ⊂ P ,
sodass die Elemente in K paarweise nicht vergleichbar sind, d.h. für p 6= p′ in K gilt weder
p < p′ noch p′ < p. Eine Kettenzerlegung von P ist eine Partition von P in paarweise disjunkte
Ketten. Zeigen Sie, dass für jede endliche partiell geordnete Menge (P, <) gilt
max{|L| : L ⊂ P, L Antikette} = min{|K| : K Kettenzerlegung von P }.