Differentialrechnung in Geometrie und Physik
1)
14
Lotrechter Wurf: s(t) = 12,5 t – 5t²
Berechne die maximale Steighöhe!
( 7,81m)
Wann hat der Körper eine Höhe von 5 m ?
( nach 0,5 und nach 2 s)
Berechne die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit!
( 6,25 m/s)
Welche Geschwindigkeit hat er nach 1 s ?
( 2,5 m/s)
Zeige, dass die Aufprallgeschwindigkeit = Anfangsgeschwindigkeit ist!
2)
Freier Fall: s(t) = 5t²
Zeige, dass es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt!
3)
Berechne die Geschwindigkeit nach 2 Sekunden!
( 20m/s)
Berechne die Fallhöhe für eine Fallzeit von 5 s!
( 125 m)
Wie groß ist dann die Aufprallgeschwindigkeit!
(50m/s)
Ein Zug fährt in 10 Minuten von einem Bahnhof A zum Bahnhof B.
Er legt dabei eine Strecke s(t) = - 0,03 t³ + 0,45 t² zurück. ( t in min, s in km)
Berechne die Entfernung AB!
( 15 km)
Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit fährt der Zug?
( 90 km/h)
Wann erreicht er eine Geschwindigkeit v = 2,25 km/min und
wie weit ist er zu diesem Zeitpunkt vom Bahnhof A entfernt?
( nach 5 min; 7,5 km von A)
4)
Beweise über den Differentialquotienten die Ableitung von f(x) = 5x² - 3x +1
5)
Wo und unter welchem Winkel schneiden einander die beiden Kurven
a) f(x) = x5 und g(x) =
1
x
(Bem:
b) f(x) = x² + 8x + 6 und g(x) = 3x ?
6)
x  x 2 ;S1(0/0)  = 90°, S2(1/1)  = 52,13°)
(:S1(-3/-9)  = 8,13° S2(-2/-6)  = 4,4°)
Die Tangente an den Graphen: f(x) = x³ + x² -4 schließt mit der x-Achse einen Winkel a = 30° ein.
Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes!
7)
(P(-0,88/-3,91) Q( 0,22/-3,94))
Der Lichtpunkt auf einem Bildschirm bewegt sich längs einer Kurve, die durch f(x) = x³ - x gegeben
ist. In welche Richtung bewegt sich der Punkt an der Stelle 2 ? ( Vektor!)
Unter welchem Winkel ist die Tangente in 2 gegen die x-Achse geneigt?
8)
f(x) = 3(2x+1)³
An welchen Stellen xo hat die Tangente die Steigung k= 2 ?
9)
( (1/11) ;  = 84,8°)
KD: f(x) = -x³ + 6x² - 9x + 4
(xo= -2/3, - 1/3)
(N1(1/0)², N3(4/0), T(1/0), H(3/4), W(2/2) kw=3)
10) Der Graph der Funktion f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e geht durch die Punkte N(4/0) und P(2/2). Er
Hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Tangente.
1
8
( Bsp 11)
1
2
11) KD: f(x) =  x 4  x3
12) Eine Polynomfunktion 4.Grades f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e berührt die Gerade
g: X = (-1/1) + t(3/-1) in den Punkten P( -1/yP) und Q( 2/yQ) und schneidet die y-Achse in R(0/2).
( Lösung mit Ansätzen: P(-1/1), Q(2/0) , k = -1/3  f(-1)=1, f(2)=0, f(0)=2, f‘(-1) = -1/3, f‘(2) = -1/3 
als erstes ergibt sich e = 2, dann sind 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten zu lösen!!  f(x) =
1 4 2 3
x  x  2x  2 )
3
3
13) Der Graph der Funktion f(x)= ax³ + bx² + cx + d hat die Nullstellen 2 und 0 und den Wendepunkt
W(0/0) mit der Wendetangente tw: y = 0,5 x
Der Graph der Parabel g(x) = px² + qx + r hat dieselben Nullstellen wie f(x); in W(0/0) stehen die
beiden Kurven aufeinander NORMAL.
Bestimme die Gleichungen der beiden Funktionen und zeichne ihre Graphen in ein
Koordinatensystem!
( Wenn k1  k2  k2 = -1/ k1  f(x) =
x³ x
, g(x) = x² - 2x )

8
2
14) Der Graph der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d hat in P(0/0) die Steigung 3 und in T(6/0) einen
Tiefpunkt. Der Graph der Funktion g(x) = px² + qx +r hat seinen Scheitelpunkt ( = Scheitel der
Parabel, also Extrempunkt) an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in P(0/0) rechtwinkelig.
(Buch Nr. 423 f(x)= x³/12 – x² + 3x; N1(0/0), N2(6/0); H(2/8/3), T(6/0), W(4/4/3) kw=-1; g(x)=x²/18-x/3 N1(0/0), N2(6/0), T(3/-0,5))
15) Der Graph der Funktion f(x)= x³ + bx² + cx + d geht durch P(2/3) und hat in T(1/-1) einen Tiefpunkt.
In seinem Wendepunkt wird er vom Graphen g(x) = px² + qx + r BERÜHRT.
Der Scheitel von g liegt an der Stelle –1.
( Nr. 424 f(x) = x³ - 3x + 1; N1(-1,88/0),N2(0,35/0), N3(1,53/0) können nur durch ein Näherungsverfahren oder per Computer
( z.Bsp.Derive) berechnet werden!, H(-1/3), T(1/-1), W(0/1) kw=-3; g(x) = -1,5x² - 3x + 1; N1(-2,29/0), N2(0,29/0), H(-1/2,5)
16) Der Graph der Funktion f(x) = ax² + bx +3 verläuft durch die Extrempunkte des Graphen von
g(x) =
1 3 3
x  x  1.
8
2
Diskutiere beide Funktionen und fertige eine Zeichnung!
( Buch Nr. 425 f(x)= -x²/2 –x +3 N1(-3,65/0) N2(1,65/0) H(-1/3,5); g(x)  N1(-3,76/0), N2(0,69/0), N3(3,06/0) können nur
durch ein Näherungsverfahren oder per Computer ( z.Bsp.Derive) berechnet werden! H(-2/3), T(2/-1), W(0/1) kw=-3/2)
17) Die Flugbahn eines in 9m Höhe, also in P(0/9) waagrecht abgeschossenen Hartgummiballs wird
durch eine quadrat. Funktion beschrieben. Auf die durch x = 4m gegebene lotrechte Wand trifft er in
5 m Höhe auf und wird dort reflektiert ().
Wo und unter welchem Winkel schlägt er am Boden wieder auf?
( 2m / 0) unter 71,57°)
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Differentialrechnung in Geometrie und Physik 14 1) Lotrechter Wurf