PDF, 194,9 KB

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 14.
Drehung in drei Dimensionen, Drehimpulssatz, kinetische Energie und Arbeit bei einer
Rotation um eine feste Achse. Literatur: Hauger, Schnell und Gross. Technische Mechanik III, 3.1, 3.2
Bezugspunkt bezeichnen wir mit r ′′ .
I. Reine Rotation eines starren Körpers
Bei einer Rotation um den
⇒ r = r ''+ a
δϕ δ r
P Winkel δϕ um die Achse
r′′
r δϕ
v = V + ω × (r ''+ a ) =
verschiebt sich der Punkt
θ
r
= V + ω × a + ω × r '' =
O'
senkrecht zur Ebene
0
a
(Achse - Radiusvektor)
O
= V '+ ω '× r '',
um den Betrag
V ' = V + ω × a,
δ r = r sin θ ⋅ δϕ .
ω ' = ω ⇒ Die Winkelgeschwindigkeit hängt
Wenn wir einen Vektor δϕ so definieren, dass
nicht vom Bezugssystem ab!
er entlang der Achse gerichtet ist und den BetIII. Eigenschaften des Vektorproduktes
rag δϕ hat, so gilt: δ r = δϕ × r .
(a)
a
×
b
=
−
b
×a
δr
(b)
a × (b + c ) = a × b + a × c
Für die Geschwindigkeit v =
ergibt sich
δt
(α a ) × b = α (a × b)
(c)
v =ω×r
(d)
a
⋅
(
b
×
c
)
=
(
a
× b ) ⋅ c = (c × a ) ⋅ b
wobei ω = δϕ / δ t die Winkelgeschwindigkeit
(e)
a × (b × c ) = b (a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b )
der Rotation des starren Körpers ist.
a×a = 0
(f)
II. Allgemeine Bewegung
(d)
a ⋅ (a × b ) = 0
Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung
eines starren Körpers führen wir zwei KoordiVektorprodukt in Komponenten
natensysteme ein: Ein "raumfestes" System
( i , j , k - sind Einheitsvektoren):
k
(x,y,z) und ein mit dem starren Körper fest
a = ax i + a y j + az k ,
verbundenes System ( x1 , x2 , x3 ) .
j
Bezeichnunb = bx i + by j + bz k
i
gen: O ist ein
A
=
a
×
b
=
a
b
(
i
×
i
)
+
a
b
(
i
×
j
)
+
a
b
(
i
×k)
x
2
beliebiger
x x
x y
x z
P
Referenz+ a y bx ( j × i ) + a y by ( j × j ) + a y bz ( j × k ) +
r'
punkt
im
R
Körper, P ist
+ az bx (k × i ) + az by (k × j ) + az bz (k × k ) ⇒
ein beliebiger
A
=
(
a
b
−
a
b
)
k
+
(
a
b
−
a
b
)
j
+
(
a
b
−
a
b
)
i
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
Punkt des
Ax = a y bz − az by
Körpers, r ist
z
x
der Radiusvektor des Punktes P im bewegliAy = az bx − ax bz
chen (in den Körper "eingefrorenen") System.
y
Az = ax by − a y bx
r ′ ist der Radiusvektor desselben Punktes im
raumfesten System, R ist der Radiusvektor des
IV. Beschleunigung bei einer Rotation um
Bezugspunktes O im raumfesten System.
eine feste Achse
Bei einer zusammengesetzten Bewegung
Indem wir die Gleichung v = ω × r nach der
(Translation des Punktes O und Rotation um
Zeit ableiten, erhalten wir
diesen Punkt): dr ' = dR + dϕ × r .
vɺ = ωɺ × r + ω × rɺ = ωɺ × r + ω × (ω × r ) .
Mit Bezeichnungen:
Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit:
dr ′ dR dϕ vɺ = ω × (ω × r ) = ω (ω ⋅ r ) − r (ω ⋅ ω ) =
= v,
=V,
=ω
dt
dt
dt
= ω (ω ⋅ r ) − r ω 2
erhält man: v = V + ω × r
Es ist leicht zu sehen, dass dieser Vektor in der
Wählen wir jetzt den Nullpunkt des mit dem
gleichen Ebene liegt wie ω und r und immer
Körper verbundenen Koordinatensystems im
senkrecht zur Achse gerichtet ist:
Punkt O ' im Abstand a von O. Den Radius(Skalarprodukt ω ⋅ vɺ = ω ⋅ (ω (ω ⋅ r ) − r ω 2 ) =
vektor des Punktes P relativ zum neuen
1
= ω 2 (ω ⋅ r ) − ω 2 (ω ⋅ r ) ist Null).
Dem Betrag nach ist dieser Vektor
gleich vɺ = ρω 2 .
Der Beschleunigungsvektor bei einer Rotation
mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist
immer senkrecht zur Achse gerichtet und ist
gleich ρω 2 , wobei ρ der kürzeste Abstand vom
gegebenen Punkt zur Achse ist.
V. Gleichzeitige Rotation um zwei Achsen
dr ′(1) = dϕ1 × r ,
dr ′(2) = dϕ 2 × r ′
dr ′ = dϕ1 × r + dϕ2 × r ′ = dϕ1 × (r ′ − a ) + dϕ2 × r ′ =
− dϕ1 × a + ( dϕ2 + dϕ1 ) × r ′
dϕ = dϕ 2 + dϕ1 .
Dasselbe gilt für die Winkelgeschwindigkeiten:
ω = ω1 + ω2 .
Beispiel 1. Eine Scheibe dreht sich mit einer
Winkelgeschwindigkeit
ω1 um eine vertikale
Achse, die sich ihrerseits mit einer Winkel
geschwindigkeit ω2 um eine vertikale Achse
dreht. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe.
Lösung:
ω = ω1 + ω2 . In diesem Fall ω = ω1 + ω2 .
Beispiel 2: Eine Scheibe dreht sich mit einer
Winkelgeschwindig
keit ω1 um eine
Achse, die sich ihrerseits mit einer
Winkelgeschwindigkeit ω2 um eine horizontale
Achse dreht. Zu bestimmen ist die momentane
Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in der gezeigten Lage.
ω
Lösung:
ω1
ω2
VI. Dynamik der Rotation um eine feste
Achse
Betrachten wir die Rotation
eines starren Körpers um
eine feste Achse.
ρi
Wir teilen den Körper in
kleine Elemente mi .
ri
Für die Projektion des
Drehimpulses auf die Rotationsachse gilt Lɺ = M ext , (1).
Der
Drehimpuls ist gleich
L = ∑ ri × mi vi = ∑ mi ri × (ω × ri ) =
∑ mi ω ( ri ⋅ ri ) − ri ( ri ⋅ ω )
Seine Projektion auf die Rotationsachse
L = Le = ∑ mi (ω ⋅ e ) ( ri ⋅ ri ) − ( ri ⋅ e ) ( ri ⋅ ω )  =
= ∑ mi ω ri 2 − ω ri 2 cos 2 θ  = ω ∑ mi ρi2 = Θω
Die Größe
Θ = ∑ mi ρi2
nennt man Massenträgheitsmoment bezüglich
der Rotationsachse.
Der Drehimpulssatz (1) nimmt somit die folgende Form an
Θωɺ = M ext , oder Θϕɺɺ = M ext , (Drallsatz)
wobei M ext , Kraftmoment aller äußeren Kräfte
bezüglich der Rotationsachse ist.
VII. Kinetische Energie bei einer Rotation
um eine feste Achse
m (ρ ω)
m v2
1
K =∑ i i =∑ i i
= ∑ mi ρi2 ω 2
2
2
2
2
Θω
K=
2
VIII. Arbeit bei einer Rotation um eine feste
Achse.
An einem Punkt P eines starδϕ δ r ren Körpers mit dem RadiusF
vektor
r
greift
eine
Kraft
θ r
F an. Bei einer Rotation um
die gezeigte Achse um den
Winkel dϕ verschiebt sich
0
der Angriffspunkt der Kraft
um den Vektor dr = dϕ × r .
Die von der Kraft F geleistete Arbeit ist
dA = F ⋅ dr = F ⋅ ( dϕ × r ) = dϕ ⋅ r × F
zyklische Umstellung
oder dA = dϕ ⋅ M .
2
(
(
)
)
2