Gleichungen - MindMeister

Gleichungen
Term
Terme sind mathematisch sinnvolle Ausdrücke, die aus Zahlen, Rechenzeichen und
Variablen bestehen können.
z.B. 2x+5; (b-156)2; z:32
Werden für die Variable Zahlen eingesetzt, kann jeweils der Wert des Terms
berechnet werden. Die Menge aller Zahlen, für die es einen Wert des Terms gibt, ist
die Definitionsmenge des Terms.
Hier gelten einige Rechenregeln:
-
Klammern zuerst berechnen
o (3+6)∙5
9
-
∙5
Potenzieren vor Punkrechnen:
o 2∙32
2∙9
-
Punkt vor Strich:
o 2+3∙5
2+ 15
Gleichung
Werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine
Gleichung.
z.B.
Term 1: 3x+5
Term 2: 7-2x
Gleichung: 3x+5=7-2x
Lösung, Lösungsmenge
Gleichungen werden über eine Grundmenge G auf Lösbarkeit untersucht. Zahlen
aus der Menge G, die beim Einsetzen die Gleichung erfüllen bzw. beim Einsetzen in
die Gleichung zu einer wahren Aussage führen heißen Lösungen der Gleichung.
z.B.
4x+5=9
G=ℕ
1 erfüllt die Gleichung, denn 4∙1+5=9 ist eine wahre Aussage
Also ist die Zahl 1 eine Lösung der Gleichung, x=1
Die
L={1}
Menge
aller Lösungen einer Gleichung ist deren
Lösungsmenge
L.
Gleichungsarten
Quadratische Gleichungen
Normalform:
Dividiert man die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung durch a, erhält
man die Normalform der quadratischen Gleichung.
x2+px+q=0
𝑝
𝑝
𝑥1/2 = − 2 ± √(2)2 − 𝑞
Lösungsformel:
Die Anzahl der Lösungen hängt ab von der Diskriminante D mit
𝐷=
𝑝2
−𝑞
4
Die Gleichung hat für
𝑝
D=0
genau eine Lösung (𝑥1 = 𝑥2 = − 2)
D>0
zwei Lösungen
D<0
keine Lösung
Allgemeine Form:
Jede quadratische Gleichung kann stets in folgender Form dargestellt werden:
ax2+bx+c=0 (a≠0)
Man nennt diese Form allgemeine Form einer quadratischen Gleichung.
Lösungsformel: 𝑥1/2 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Die Anzahl der Lösungen hängt ab von der Diskriminante D mit
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
Die Gleichung hat für
𝑏
D=0
genau eine Lösung 𝑥1 = 𝑥2 = − 2𝑎)
D>0
zwei Lösungen
D<0
keine Lösung
Bruchgleichungen
Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen
Bruchgleichungen.
z.B.
1
𝑥−1
2
+ 𝑥.1 = 1
| ∙ (x-1)(x+1)
x+1+2(x-1)=(x-1)(x+1)
x2-3x=0
x1 = 0; x2 = 3 erfüllen die Bruchgleichung
Lösung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner, Äquivalenzumformungen und
anschließende Prüfung der Ergebnisse.