5.1. e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr

5.1 e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr
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5.1. e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr
Ziel
Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen über die Lorentzkraft bewegter
Elektronen in einem homogenen Magnetfeld.
Hinweise zur Vorbereitung
Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind
die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur.
• Was ist die spezifische Elementarladung?
• Welche Kräfte wirken auf Elektronen in elektrischen und magnetischen Feldern?
• Wie ist ein Fadenstrahlrohr aufgebaut? Wozu dienen die einzelnen Komponenten?
• Auf welche Weise wird in diesem Versuch ein homogenes Magnetfeld erzeugt?
• Was ist die Zyklotronfrequenz?
• Was besagt das biot-savartsche Gesetz?
• Was versteht man unter parallaxenfreiem Ablesen? Wieso sollte das Ablesen parallaxenfrei erfolgen?
Zubehör
• Fadenstrahlrohr mit Wasserstoff-Füllung (1.33 Pa) und indirekt geheizter OxidKathode
• Netzgerät für Kathoden-Heizstrom (UH = 6.3 V, IH ≈ 1 A), Kathodenspannung
(|UKathode | ≤ 300 V zur Beschleunigung der Elektronen),
• berührungsgeschütze Kabel für die Kathodenspannung,
• Helmholtzspulenpaar:
130 Windungen je Spule,
Spulenradius rS = 150 mm,
Spulenabstand a = 150 mm,
maximaler Spulenstrom Imax = 2 A
• Netzgerät für regelbaren Strom durch die Helmholtzspulen
• Vorrichtung zum parallaxenfreien1 Ablesen mit Spiegel und Skalenbeleuchtung
1
Als Parallaxe (grch. παραλλασσω = vertauschen) bezeichnet man die scheinbare Änderung der
Position eines beobachteten Objektes durch eine Verschiebung der Position des Beobachters [Wik].
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
• Voltmeter
• Amperemeter
• Verdunkelungstuch
Grundlagen
Versuchsprinzip
Aus einer geheizten Kathode werden Elektronen emittiert und durch eine angelegte elektrische Spannung beschleunigt. Diese Elektronen werden in einem homogenen Magnetfeld,
dessen Feldlinien senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegen, auf Kreisbahnen abgelenkt. Der Radius der Bahnen hängt von der Geschwindigkeit der Elektronen, der
magnetischen Flussdichte und der spezifischen Elementarladung e/m ab.2 Um die Bahn
der Elektronen sichtbar zu machen, nutzt man Wasserstoffgas unter niedrigem Druck. Die
Elektronen regen den Wasserstoff durch Stöße zum Leuchten an.
Elektronen im elektrischen Feld
Beim Durchlaufen
In einem elektrischen Feld erfahren Elektronen die Kraft FE = e · E.
einer Potentialdifferenz U ändert sich ihre kinetische Energie dadurch um Ekin = U · e.
Geht man davon aus, dass die Geschwindigkeit der Elektronen beim Verlassen der Kathode
vernachlässigbar ist, so gilt
U ·e =
1
· m · v2
2
.
(5.1.1)
Hinweis: Relativistische Effekte werden hier vernachlässigt.
Elektronen im homogenen magnetischen Feld
Ruhende Elektronen erfahren in einem homogenen Magnetfeld keine Beschleunigung. Auf
bewegte Elektronen wirkt hingegen die Lorentzkraft
FL = q · v × B
(5.1.2)
mit
q = Ladung, im Fall eines Elektrons also q = −e = −Elementarladung,
v = Geschwindigkeit des Elektrons,
= magnetische Flussdichte am Ort des Elektrons.
B
2
Eine begriffliche Feinheit: Die spezifische Elektronenladung ist nicht e/m sondern −e/m, weil konventionsgemäß die Elementarladung e = +1.602176462(63) · 10−19 C mit positivem Vorzeichen notiert
wird.[COD98, MT99, MT00]
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5.1 e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr
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Abbildung 5.1.1.: Versuchsaufbau zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung e/m
mit dem Fadenstrahlrohr [Ley19].
Bewegt sich also ein Elektron mit einer Geschwindigkeit vom Betrag v senkrecht zu den
Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B, so hat die Lorentzkraft den
Betrag e · v · B. Sie wirkt stets senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons als Zentripetalkraft. Der Betrag der Geschwindigkeit wird dadurch nicht verändert, es erfolgt nur eine
Änderung der Bewegungsrichtung, so dass sich eine Kreisbahn mit festem Radius ergibt.3
3
Bei genauer Betrachtung muss diese Aussage etwas modifiziert werden. Es handelt sich nämlich eigentlich um einen relativistischen Effekt – einen der wenigen, bei denen Ergebnisse der Relativitätstheorie
im Alltag unmittelbar sichtbar sind.[DKV06]
Coulomb-Kraft und Lorentz-Kraft sind beide Teil einer verallgemeinerten elektromagnetischen
Kraft, die je nach Geschwindigkeit der beteiligten Ladungen etwas unterschiedliche Auswirkungen
hat. So beobachtet man bei langsam“ bewegten Ladungen praktisch nur eine Richtungsänderung
”
im Magnetfeld, während schnell“ bewegte Ladungen bei der Richtungsänderung auch merklich elek”
tromagnetische Wellen abstrahlen. Letzteres wird zur Erzeugung der sog. Synchrotronstrahlung in
Teilchenbeschleunigern ausgenutzt. Dabei werden die geladenen Teilchen (meist Elektronen) durch
räumlich wechselnde Magnetfelder in sog. Wigglern (engl. to wiggle = wackeln) bzw. Undulatoren (engl. to undulate = sich schlängeln, wellenförmig bewegen) auf eine periodisch (typischerweise
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Abbildung 5.1.2.: Schaltbild zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung e/m mit
dem Fadenstrahlrohr [Ley19].
Durch Gleichsetzen4 der Lorentzkraft mit der Zentripetalkraft erhält man die Beziehung
e·v·B = m·
v2
r
.
(5.1.3)
Das biot-savartsche Gesetz
Den Beitrag eines Stroms durch ein Leiterelement zu einem Magnetfeld an einer beliebigen Stelle im Raum ( Aufpunkt“) kann man mit Hilfe des biot-savartschen Gesetzes
”
berechnen (siehe auch Abbildung 5.1.3). Es gilt:5
= 1 I dl × r
(5.1.5)
dH
4π r3
sinusförmig) gekrümmte Bahn gezwungen.
Nachdem es an dieser Stelle oft zu Missverständnissen kommt, hier eine Erläuterung:
Es ist hilfreich, die Formulierung etwas genauer anzuschauen. Die Aussage Lorentzkraft wirkt
”
als Zentripetalkraft“ bedeutet eben nicht, dass die beiden Kräfte sich aufheben“. Sie addieren sich
”
auch nicht etwa, obwohl sie in die gleiche Richtung zeigen. Es handelt sich schlichtweg um ein und
dieselbe Kraft, die Namensgebung soll jeweils nur andeuten, was man gerade beschreibt. Spricht man
von der Zentripetalkraft, so beschreibt man den mechanischen Vorgang der Kreisbewegung. Will man
hingegen erklären, woher die Zentripetalkraft kommt, so nennt man sie Lorentzkraft, um auf den
Zusammenhang mit der magnetischen Flussdichte und der bewegten Ladung hinzuweisen.
Noch verwirrender wird es, wenn der Begriff Zentrifugalkraft“ verwendet wird. Diese ist eine sog.
”
Trägheitskraft“, die in der Beschreibung nötig wird, wenn man sich quasi mit dem Elektron mit”
bewegt, also nicht als außenstehender Beobachter vom ruhenden Labor aus beschreibt. Es ist nicht
hilfreich, die Begriffe Zentripetalkraft“ und Zentrifugalkraft“ gleichzeitig für einen Vorgang zu ver”
”
wenden, da sie zu unterschiedlichen Betrachtungsweisen gehören. Bei einem Karussell würde man z. B.
entweder sagen das Karussell übt eine Zentripetalkraft auf die Fahrgäste aus und bewegt sie dadurch
”
im Kreis herum“ oder wenn ich mit dem Karussell im Kreis herum fahre, spüre ich eine Zentrifugal”
kraft, die mich im Sitz nach außen drückt“. Ein Mischen der beiden Aussagen führt bestenfalls zur
Verwirrung und sollte daher vermieden werden.
5
Zur Definition des Kreuzproduktes zweier Vektoren siehe Gleichung (E.1.4) auf Seite 776.
4
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5.1 e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr
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mit
dl = Leiterelement,
I = Strom durch das Leiterelement,
r = Vektor vom Leiterelement zum sog. Aufpunkt“.
”
Im Vakuum (und in sehr guter Näherung auch in Luft) erhält man daraus die magnetische
Flussdichte über
= μ0 · H
B
(5.1.6)
mit
μ0 = magnetische Feldkonstante
= Permeabilität des Vakuums
Vs
.
= 4π · 10−7
Am
Die Werte von μ0 und der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum sind im SI, dem internationalen Einheitensystem, exakt festgelegt, unterliegen also per Definition keinem Messfehler.
Helmholtz-Spulen
Zwei im Verhältnis zu ihrem Radius rS kurze Spulen, die parallel zueinander auf der gleichen Achse im Abstand ihres Radius aufgestellt sind, bezeichnet man als HelmholtzSpulen. In der Mittelebene zwischen den Spulen entsteht ein sehr homogenes Magnetfeld
parallel zur Spulenachse. Diese besondere Eigenschaft wird im Aufgabenteil näher behandelt.
Man kann den Betrag der magnetischen Feldstärke auch ohne das Kreuzprodukt angeben. Für ihn
gilt:
dH =
1 I · dl
sin ϕ
4π r2
(5.1.4)
mit
dl = dl = Länge des Leiterelementes,
I = Strom durch das Leiterelement,
r = |r| = Abstand vom Leiterelement zum sog. Aufpunkt“,
”
ϕ = Winkel zwischen dl und r .
Die Verwendung dieser Schreibweise ist allerdings nicht besonders praktisch, wenn man durch Integration die Beiträge vieler infinitesimal kleiner Leiterstücke zusammenfassen will. Dabei müssen dann die
unterschiedlichen Richtungen der Feldstärkebeiträge doch berücksichtigt werden, und die Rechnung
wird eher umständlicher.
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Abbildung 5.1.3.: Zum biot-savartschen Gesetz. Der Strom I durch das infinitesimal
kleine Leiterstück dl ruft am Punkt P eine magnetische Feldstärke dH
hervor, wobei r der Vektor vom Leiterstück nach P ist. Die Darstellung
ist dreidimensional zu verstehen, die drei Vektoren stehen senkrecht
aufeinander.
Fadenstrahlen
Die im Versuch verwendete Glaskugel“ ist mit Wasserstoff unter einem Druck von 1.33 Pa
”
gefüllt. Durch inelastische Stöße regen die Elektronen den Wasserstoff zu Lichtemission
im sichtbaren Spektralbereich an. Gleichzeitig entsteht in der unmittelbaren Umgebung
der Elektronenbahn eine Raumladung, die zur Bündelung des Elektronenstrahls beiträgt.
Man bezeichnet dies als den Fadenstrahl-Effekt“. Ohne diesen Effekt würde der Elektro”
nenstrahl schon viel früher nach Verlassen des Elektrodensystems diffus verlaufen.
Versuchsdurchführung
1. Bauen Sie die Schaltung entsprechend Abbildung 5.1.2 auf. Die beiden Ablenkplatten werden in diesem Versuch nicht benutzt und können auf Anodenpotential gelegt
werden. Es stört allerdings auch nicht sehr, wenn sie unbeschaltet bleiben.
Hinweise:
• Verwenden Sie für alle Anschlüsse, die Hochspannung führen (Kathode, Messgerät) ausschließlich berührungsgeschützte Kabel.
• Die Beschleunigungsspannung ist direkt an der Anode zu messen, nicht am
Netzgerät. Sonst führt der Spannungsabfall am Vorwiderstand (ca. 2200 Ω)
zu einem Fehler (z. B. entsprechen 100 V am Netzgerät nur ca. 97.5 V an der
Anode). Das alte Schaltbild aus dem Datenblatt der Firma Leybold ist in
diesem Punkt falsch!
2. Die Kathode braucht eine kurze Vorheizzeit (bei 6.3 V und 1 A), bis die Elektronenemission in ausreichender Stärke erfolgt, um einen gut sichtbaren Strahl zu erzeugen.
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5.1 e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr
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Für den Fall, dass die Raumhelligkeit zu hoch sein sollte, liegt ein Verdunkelungstuch beim Versuchsaufbau bereit.
3. Wählen Sie eine Kombination von Beschleunigungsspannung UAnode und Helmholtzspulenstrom ISpule , bei der die Kreisbahn gut zu erkennen ist.
Messen Sie mindestens fünfmal hintereinander unabhängig den Durchmesser der
Elektronenbahn. Hinweise:
• Den Schieber an der Ablesevorrichtung zwischendurch immer wieder verstellen
und dann neu positionieren.
• Zum Ablesen der Skala ist eine Beleuchtung eingebaut, die durch einen Taster
kurzzeitig eingeschaltet werden kann, ohne allzu viel Licht zu machen. Auf
diese Weise wird die Dunkeladaption der Augen möglichst wenig gestört.
4. Wiederholen Sie Punkt 3 für insgesamt mindestens zehn Wertepaare.
5. Untersuchen Sie bei abgeschalteten Helmholtzspulen die Wirkung eines starken
Permanentmagneten auf die Elektronenbahn. Demonstrieren Sie den Effekt der Reflexion von Elektronenstrahlen an einem Magnetpol.6
Auswertung
1. Berechnen Sie unter Einbeziehung aller Messwerte den Wert für die spezifische Ladung −e/m eines Elektrons.
Fragen und Aufgaben
1. In der Atom- und Molekülphysik werden Energien üblicherweise in der Einheit
1 Elektronvolt = 1 eV gemessen.7
Drücken Sie die Energie 1 eV in der SI-Einheit 1 J = 1 Ws aus.
2. Leiten Sie den Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung a eines mit konstanter Bahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r umlaufendenm
6
Dieser Effekt tritt im größeren Maßstab an den Magnetpolen der Erde auf. Von der Sonne kommende hochenergetische geladene Teilchen (der sog. Sonnenwind“) werden vom Magnetfeld der Erde
”
eingefangen und fliegen in sehr schneller Folge zwischen den beiden Magnetpolen hin und her. Bei
genügender Intensität erzeugen Sie dabei in den oberen Schichten der Atmosphäre das sog. Polarlicht.
Diese Leuchterscheinung tritt deshalb nie allein am Nord- oder Südpol auf, sondern immer nahezu
gleichzeitig an beiden Polen.
7
Eigentlich wäre die Schreibweise 1 eV – also mit dem kursiven e“ – schöner, da die Elementarladung als
”
physikalische Konstante auch mit diesem Zeichen abgekürzt wird. Die Einheit 1 Elektronvolt (engl.
1 electron volt, im deutschen Sprachraum manchmal auch 1 Elektronenvolt) ist ja nichts anderes als das
Produkt aus der Elementarladung e = 1.602176462(63) · 10−19 C und der Einheit 1 V. Meist wird der
Begriff jedoch wie eine eigenständige Einheit behandelt, die zwar nicht zum SI gehört, aber doch zusammen mit diesem verwendet werden kann. Daher ist die Schreibweise 1 eV gebräuchlicher. In diesem
Text bedeutet e“ normalerweise die eulersche Zahl e = 2.7182818284590452353602874713526 . . ..
”
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Teilchens der Masse m her:
a = v 2 /r
.
(5.1.7)
3. Berechnen Sie aus Gleichung (5.1.3) die sog. Zyklotronfrequenz, d. h. die Kreisfrequenz ω, mit der ein Elektron auf einer Kreisbahn umläuft. Zeigen Sie, dass ω vom
Radius des Umlaufkreises unabhängig ist, solange keine relativistische Massenänderung zu berücksichtigen ist.8
4. Leiten Sie aus den Gleichungen (5.1.1) und (5.1.3) die folgende Beziehung für die
spezifische Elementarladung her:
e/m =
2·U
B 2 · r2
.
(5.1.8)
5. Erklären Sie, warum die magnetischen Feldlinien genau in der Mittelebene zwischen
den Helmholtzspulen parallel zur Spulenachse verlaufen.
6. Leiten Sie aus Gleichung (5.1.5) die folgenden Ausdrücke für den Betrag B der
magnetischen Flussdichte im Mittelpunkt der Helmholtzspulen-Anordnung mit
dem Spulenradius rS her (siehe auch Literaturhinweise):
2μ0 · rS2 · n · I
3/2
2 rS2 + (rS /2)2
8μ0 · n · I
= 3/2
5 · rS
B=
(5.1.9)
(5.1.10)
7. Im Praktikum kann e/m auch noch im Versuch Zeeman-Effekt“ bestimmt werden.
”
Nennen Sie weitere Methoden zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung
(siehe z. B. [Kle61]).
8. Bei Kenntnis der spezifischen Elektronenladung −e/m und der Elementarladung e
kann die Masse m des Elektrons berechnet werden.
Nennen Sie Messverfahren zur Bestimmung der Elektronenmasse, die nicht auf eine
e/m-Messung zurückgreifen.
9. Beschreiben Sie ausgehend vom Inhalt dieses Versuchs zur e/m-Bestimmung, wie
man
a) ein einfaches Spektrometer für Betastrahlen,
b) ein einfaches Massenspektrometer
bauen könnte.
8
In einem Synchrotron wird die Energie typischerweise so hoch sein, dass die relativistische Korrektur
nicht mehr vernachlässigt werden kann.
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5.1 e/m-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr
461
Ergänzende Informationen
Relativistische Elektronen
Der in Gleichung (5.1.1) angegebene Ausdruck für die kinetische Energie der Elektronen
setzt voraus, dass die Elektronen nicht mit so hohen Spannungen beschleunigt werden,
dass relativistische Korrekturen notwendig sind. In größeren Teilchenbeschleunigern (Betatron, Synchrotron, . . . ) muss hingegen für die Energie der Elektronen der relativistische
Ausdruck verwendet werden:
Ekin = m · c2 − m0 · c2
(5.1.11)
mit
m0 = Ruhemasse des Elektrons,
c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,
m0
m= = bewegte Masse des Elektrons.
1 − v 2 /c2
Literaturhinweise
Standardlehrbücher, z. B. [Rai99, Mes04, TM04].
Speziell zum biot-savartschen Gesetz z. B. [TM04] oder auch [Gre86] (Achtung: cgsSystem).
Verfahren zur e/m-Bestimmung: [Kle61].
Biot-savartsches Gesetz und Helmholtz-Spulen: [Dem06].
Literaturverzeichnis
[COD98] CODATA (Committee on Data for Science and Technology),
NIST (National Institute of Standards and Technology): http: //
www. codata. org/ , http: // physics. nist. gov/ cuu/ Constants/ , 1998.
Datenbank für Fundamentalkonstanten usw.
[Dem06] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 – Elektrizität und Optik.
Springer-Verlag, Berlin, 4. Auflage, 2006.
[DKV06] Dobrinski, Paul, Gunter Krakau und Anselm Vogel: Physik für Ingenieure. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden, 11. Auflage, 2006.
[Gre86]
Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik, Band 3 der Reihe Theoretische
Physik. Verlag Harri Deutsch, Thun · Frankfurt am Main, 4. Auflage, 1986.
[Kle61]
Klemperer, Otto: Electron physics: the physics of the free electron. Butterworths, London, 1961. Repr. Nachdr. d. Ausg. 1959.
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
[Ley19]
Leybold-Heraeus GmbH & Co. KG: Fadenstrahlröhre. Technischer Bericht
555 57/58/59, Leybold, 19??
[MT99]
Mohr, Peter J. and Barry N. Taylor: CODATA recommended values of
the fundamental physical constants: 1998. Journal of Physical and Chemical
Reference Data, 28(6):1713–1852, 1999. CODATA 1998 recommended values.
[MT00]
Mohr, Peter J. and Barry N. Taylor: CODATA recommended values
of the fundamental physical constants: 1998. Reviews of Modern Physics,
72(2):351–495, 2000. CODATA 1998 recommended values.
[Rai99]
Raith, Wilhelm: Bergmann-Schaefer – Lehrbuch der Experimentalphysik,
Band II: Elektromagnetismus. Walter de Gruyter, Berlin, 8. Auflage, 1999.
[TM04]
Tipler, Paul A. und Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Elsevier GmbH, München, 2. Auflage, 2004. (2. Auflage der deutschen
Übersetzung 2004 basierend auf 5. Auflage der amerikanischen Originalausgabe
2003).
[Wik]
Wikipedia: http: // de. wikipedia. org/ wiki/ Hauptseite .
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