Blatt 13 - Technische Universität München

Technische Universität München
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie
(Prof. Wachutka)
Wintersemester 2016/2017
Blatt 13
26. Aufgabe:
(06.02.2017 - 10.02.2017)
Elektromagnetische Wellen 1
Betrachtet werden zwei harmonische, ebene elektromagnetische Wellen im Vakuum, deren elektrische Feldkomponenten in einem rechtsorientierten kartesischen Koordinatensystem (~ex , ~ey ,
~ez ) lauten:
~ 1 (z, t) = E0 cos (k1 z − ω1 t − ϕ1 ) ~ex
E
~ 2 (z, t) = E0 cos (k2 z − ω2 t − ϕ2 ) ~ex
E
Dabei sind die Amplitude E0 > 0, die Kreiswellenzahlen k1 und k2 , die Kreisfrequenzen ω1 > 0
und ω2 > 0, sowie die Anfangsphasen ϕ1 und ϕ2 reelle Konstanten. Durch Überlagerung der
beiden Partialwellen erhält man ein resultierendes Wellenfeld mit elektrischer Feldkomponente
~ t) = E
~ 1 (z, t) + E
~ 2 (z, t).
E(z,
~ 1 (z, t)
a) Welche Beziehung muss zwischen k1 und ω1 bzw. zwischen k2 und ω2 gelten, damit E
~ 2 (z, t) die homogene Wellengleichung im Vakuum erfüllen? Wie heisst diese Beziebzw. E
hung?
Beachten Sie, dass k1 bzw. k2 auch negative reelle Werte annehmen darf!
~ t) gehörige magnetische Feld H(z,
~
b) Berechnen Sie das zu E(z,
t).
~ t) des zusammengesetzten Wellenfeldes.
c) Berechnen Sie den Poyntingvektor S(z,
d) Welche physikalische Bedeutung hat der Poyntingvektor?
Nun wird der spezielle Fall betrachtet, bei dem gilt
k1 = k2 = k > 0
ϕ1 = 0 und ϕ2 = π.
~ t). Wie nennt
e) Berechnen Sie explizit das von den beiden Wellen erzeugte Wellenfeld E(z,
man das hiermit beschriebene physikalische Phänomen?
Hinweis: cos(α − π) = − cos(α).
Nun betrachten wir als weiteren Spezialfall zwei gegenläufige phasengleiche Partialwellen. Es
gilt dann:
k1 = −k2
ϕ1 = ϕ2 = 0.
f) Berechnen Sie explizit das durch Überlagerung beider Partialwellen resultierende Wellen~ t). Wie bezeichnet man das so beschriebene physikalische Phänomen?
feld E(z,
Hinweis: cos(α − β) + cos(α + β) = 2 cos(α) cos(β).
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27. Aufgabe:
Elektromagnetische Wellen 2
Betrachtet wird eine elektromagnetische Welle, die sich im Innenraum eines Koaxialkabels mit
Innenradius Ri und Außenradius Ra ausbreitet. Der Innenraum besteht aus einem homogenen
Material mit Permittivität ε und Permeabilität µ. Die elektrische Feldkomponente dieser Welle
lautet in Zylinderkoordinaten (~er , ~eϕ , ~ez ):
~ ϕ, z, t) = A cos (kz − ωt) · ~er
E(r,
r
Dabei sind die Kreiswellenzahl k > 0, die Kreisfrequenz ω > 0 sowie der Parameter A > 0
positive reelle Konstanten. Damit die homogene Wellengleichung im Kabelmaterial erfüllt ist,
gilt die Dispersionsrelation ω = c · k, wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit bezeichnet.
a) Drücken Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c durch ε und µ aus.
b) In welche Richtung breitet sich die Welle aus? Wie lautet daher der Ausbreitungsvektor
~k?
~ ϕ, z, t) gehörende magnetische Flussdichte B(r,
~ ϕ, z, t).
c) Berechnen Sie die zu E(r,
d) Berechnen Sie die elektromagnetische Energiedichte welmag (r, ϕ, z, t) dieser Welle im Koaxialkabel.
~ ϕ, z, t) im Koaxialkabel.
e) Berechnen Sie Betrag und Richtung des Poynting-Vektors S(r,
f) Mit welcher Geschwindigkeit erfolgt der Leistungsfluss im Koaxialkabel für den Fall, dass:
(i) ε = ε0 und µ = µ0
(ii) ε = 2ε0 und µ = µ0
gilt (ε0 und µ0 bezeichnen die Werte im Vakuum)?
Hinweis: Drücken Sie den Betrag des Poynting-Vektors mit Hilfe der elektromagnetischen
Energiedichte aus.
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