3 Transformatoren - Christiani Akademie

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3 Transformatoren
3.1 Magnetfeldgleichungen
3.1.1 Das Durchflutungsgesetz
Ein Stromfluss ist immer mit einem Magnetfeld verbunden und umgekehrt:
K
H
I
Abb. 3.1.1-1 Verknüpfung von elektrischem Strom und Magnetfeld
G G
Θ = Š Hdr = nI
mit
Θ
H
r
n
I
(3.1.1-1)
= Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung)
= Magnetische Feldstärke
= Radius
= Anzahl der Leiterschleifen
= elektrischer Strom
für die einfache geometrische Anordnung gilt:
Θ = H 2π ⋅ r = nI
H=
nI
2π ⋅ r
(3.1.1-2 bis 3)
Das Magnetfeld von Permanentmagneten hat seine Ursache in den Spins der Elektronen,
ist also mit atomar kleinen Kreisströmen verbunden.
3.1.2 Die magnetische Flussdichte B
G
G
G
B = µ H = µ0 µ r H
mit
µ = Magnetische Permeabilität
µ0 = Magnetische Permeabilität im Vakuum
µ0 = 1,256 10–6 Vs/Am
(3.1.2-1)
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3.1.3 Der magnetische Fluss φ
G G
φ = ∫ BdA
(3.1.3-1)
für konstante Flussdichte B durch eine senkrecht dazu stehende Fläche A (Flächenvektor
parallel zur Richtung von B) gilt:
φ = BA
G
B
G
A
(3.1.3-2)
Abb. 3.1.3-1
3.1.4 Der magnetische Widerstand Rm
Für homogene Flussdichten kann man auch einen magnetischen Widerstand definieren
Rm =
l
(3.1.4-1)
µA
3.1.5 Das „Ohmsche Gesetz“ für Magnetkreise
Für magnetische Kreise mit konstanter Flussdichte gilt:
Θ = φ ⋅ Rm
(3.1.5-1)
3.1.6 Fremdinduktion
Befindet sich eine Leiterschleife in einem sich ändernden Magnetfeld, so wird in der
Leiterschleife eine elektrische Spannung induziert, die induzierte Spannung ist proportional zur zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses eines externen (fremden) Magnetfeldes.
JG
B
uind(t)
Abb. 3.1.6-1 Externe Flussdichte und daraus resultierende induzierte Spannung in einer Spule
3.1 Magnetfeldgleichungen
uind (t ) =
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dφ
dt
(3.1.6-1)
G G
φ = ∫ BdA
(3.1.6-2)
B = µH
(3.1.6-3)
mit
φ
= Magnetischer Fluss
B = Magnetische Flussdichte
µ = Magnetische Permeabilität
Es wird auch eine Spannung in der Leiterschleife induziert, wenn diese im konstanten
Magnetfeld mit konst. Winkelgeschwindigkeit rotiert. Die Leiterschleife sieht dabei eine
zeitlich cosinusförmige (sinusförmige) Änderung des magnetischen Flusses. Bildet man
dφ / dt, folgt eine sinusförmige (cosinusförmige) induzierte Spannung.
3.1.7 Selbstinduktion
Ändert sich in einer Leiterschleife der Strom, so induziert diese Änderung ebenfalls eine
Spannung:
uind (t ) = L
di (t )
dt
(3.1.7-1)
Die induzierte Spannung ist proportional zur Induktivität L der Leiterschleife und zur
Geschwindigkeit der Stromänderung.
Den Vorgang der Selbstinduktion kann man sich durch ein Analogon mit einem Wasserstrom in einer Rohrleitung erklären:
Überdruck
p ∼ dIW/dt
Unterdruck
p ∼ -dIW/dt
IW
Abb. 3.1.7-1 Selbstinduzierter Überdruck in einer Wasserleitung,
in der der Wasserstrom gesperrt wird
Bremst man den Wasserstrom durch Einfügen eines Schiebers aus, so entsteht auf der
einen Seite des Schiebers ein Überdruck und auf der anderen Seite ein Unterdruck, weil
das Wasser wegen seiner Trägheit weiterfließen möchte.
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Überdruck
Unterdruck
Abb. 3.1.7-2 Wasserkreislauf mit Pumpe und Schieber
Beim elektrischen Strom bremst man durch Öffnen eines Schalters Ladungsträger aus.
Dadurch entsteht ein Ladungsträgerstau auf der einen Seite des Schalters, was eine
Überspannung verursacht (induziert) und auf der anderen Seite des Schalters eine Unterspannung induziert.
Überspannung
Kontakt
geschlossen
Kontakt
geöffnet
Unterspannung
i
Überspannung
1
Unterspannung
=
U0
uind
Leitungsinduktivität
Abb. 3.1.7-3 Entstehung der Selbstinduktionsspannung im elektrischen Stromkreis
Das Vermögen, den Stromfluss aufrecht zu erhalten, wird durch die Leitungsinduktivität
dargestellt.
3.1 Magnetfeldgleichungen
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Beispiel:
Der Strom beträgt vor Öffnen des Schalters 10 A und der Strom geht linear innerhalb
einer Millisekunde beim Schalten auf Null. Die Leitungsinduktivität beträgt 10 mH.
Die induzierte Spannung errechnet sich dann
uind (t ) = L
di (t )
−10 A
= 10mH
= −100V
dt
1ms
Das lässt sich auch grafisch darstellen:
i(t)
I0
U0
1ms
t
uind
Abb. 3.1.7-4 Selbstinduktionsspannung durch Stromänderung in einer Spule
Wird zum Beispiel ein Strom im Bordnetz abgeschaltet, treten am Verbraucher hohe
Spannungsspitzen auf!
Misst man die Spannung (Abb. 3.1.7-4) vor dem Schalter (zwischen Punkt 1 und Masse)
kehrt die Induktionsspannung ihr Vorzeichen um:
uind
I0
u(t)
i(t)
U0
1ms
t
Abb. 3.1.7-5 Induktionsspannung im Bordnetz
Das nachfolgende Scopebild zeigt die Messung von Strom (1div = 100 A) und Spannung (1div = 100 V) bei der Trennung eines Kurzschlussstroms durch einen pyrotechnischen Schalter am Pluspol einer Autobatterie.
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Nach Gleichung 3.1.7-1 kann man aus der Messung der Stromänderung ∆I, der Schaltzeit ∆t und der induzierten Spannungsspitze Uind die Induktivität eines Schaltkreises ermitteln.
Schaltvorgang mit ∆I ≅ –450 A
exponentieller
Stromanstieg
280 V Spannungspeak
Abb. 3.1.7-6 Oszilloskopie eines Schaltvorgangs im KFZ-Bordnetz
Aus dem Scopebild ergibt sich ein näherungsweise linearer Stromabfall von ∆I = –450 A
in einer Zeit ∆t = 20 µs mit einem resultierenden Spannungspeak von 280 V. Daraus
berechnet sich die Bordnetzinduktivität zu:
L=
U ind 280V ⋅ 20µ s
=
= 12, 44 µH
∆I
−450 A
∆t
3.2 Gekoppelte Spulen
Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, welche über ein magnetisches Wechselfeld
miteinander gekoppelt sind.
i2
i1
w1
w2
u2
u1
w1 = Windungszahl der Primärseite
w2 = Windungszahl der Sekundärseite
φ
Abb. 3.2-1 Zwei über das Magnetfeld gekoppelte Spulen bilden einen Transformator
3.2 Gekoppelte Spulen
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Eine Seite des Transformators wird von einem Wechselstrom gespeist, dieser Strom verursacht ein magnetisches Wechselfeld, welches wiederum die andere Spule durchdringt
und dort eine Wechselspannung induziert. Wird ein Verbraucher angeschlossen, fließt
ein entsprechender Strom.
3.2.1 Idealer Übertrager
Ist die magnetische Kopplung perfekt und treten keinerlei Verluste auf, so spricht man
vom idealen Übertrager.
Beim idealen Übertrager werden Spannungen und Ströme gemäß
u1 w1
=
=ü
u2 w2
(3.2.1-1)
i1 w2 1
=
=
i2 w1 ü
(3.2.1-2)
transformiert.
3.2.2 Transformator mit Streufluss
Bei einem realen Transformator wird ein Teil des Magnetfeldes gestreut. Man unterscheidet zwischen Streufluss und Hauptfluss.
Der Hauptfluss durchdringt beide Spulen gleichermaßen, der Streufluss durchdringt nur
eine Spule.
i1
Streufluss
der Primärspule
u1
i2
u2
Streufluss
der Sekundärspule
Hauptfluss
Abb. 3.2.2-1 Streufluss und Hauptfluss in einem Transformator
Das Verhältnis von Streufluss zu Hauptfluss definiert die Streuziffer σ
σ=
Streufluss
Hauptfluss
(3.2.2-1)