Übungsblatt zur Einheit "Abbildungen"

Institut für Stochastik,
Fernstudienzentrum
Vorkurs Mathematik für die Fachrichtung
Wirtschaftswissenschaften im Herbst 2014
Übungsaufgaben zum Thema Abbildungen
Aufgabe 1
Welche der vier folgenden Zuordnungsdiagramme definieren eine Abbildung?
(a)
(b)
(c)
(d)
Aufgabe 2
Es sei X = Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Die Abbildung f : X → Y, x 7→ y = f (x), sei durch das
folgende Zuordnungsdiagramm definiert.
1. Geben Sie die Menge Bild(f ) ⊂ Y an.
2. Es sei A = {1, 2, 3, 5} ⊂ X. Geben Sie die Menge f (A) ⊂ Y an.
3. Es sei B = {1, 2, 3, 7} ⊂ Y . Geben Sie die Menge f −1 (B) ⊂ X an.
4. Es sei C = {1, 2, 3, 4} ⊂ X. Geben Sie die Menge f −1 (f (C)) ⊂ X an.
5. Es sei D = {1, 2, 3, 8} ⊂ Y . Geben Sie die Menge f (f −1 (D)) ⊂ Y an.
Aufgabe 3
Vorgegeben seien vier Abbildungen f1 , f2 , f3 , f4 , definiert jeweils durch ein Zuordnungsdiagramm. Welche dieser Abbildungen ist injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv?
(a)
(b)
(c)
(d)
Aufgabe 4
Vorgegeben seien die beiden Abbildungen f : X → Y, x 7→ f (x), und g : Y → X, y 7→ g(y),
jeweils definiert durch die beiden folgenden Zuordnungsdiagramme.
1. Geben Sie das Zuordnungsdiagramm der Abbildung
g ◦ f : X → X, x 7→ (g ◦ f )(x) = g(f (x))
an.
2. Geben Sie das Zuordnungsdiagramm der Abbildung
f ◦ g : Y → Y, y 7→ (f ◦ g)(y) = f (g(y))
an.
3. Ist die Abbildung g ◦ f injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv?
4. Ist die Abbildung f ◦ g injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv?
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Aufgabe 5
Vorgegeben seien die Intervalle X = [0, 2] und Y = [0, 4]. Entscheiden Sie aufgrund der Schaubilder der Graphen, welche der folgenden sechs Abbildungen
fi : X → Y, x 7→ y = fi (x), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
injektiv, surjektiv und bijektiv sind.
(a) f1 (x) = x + 2,
(d) f4 (x) =
1
2
· x2 ,
(b) f2 (x) = 4 − 2 · x,
(c) f3 (x) = |x − 1|,
(e) f5 (x) = 4 · (x − 1)2 ,
(f) f6 (x) = |x2 − 1|.
Hinweis: Sie können den eingestellten Funktionenplotter verwenden.
Aufgabe 6
Vorgegeben seien die folgenden beiden Abbildungen
f1 : R2 → R2 , (x, y) 7→ f1 (x, y) = (x − y, x + y),
f2 : R2 → R2 , (x, y) 7→ f2 (x, y) = (2 · x + y, 4 · x + 2 · y).
Untersuchen Sie diese beiden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
Aufgabe 7
Die Anzahl der Einheiten eines Gutes, die Verbraucher in einer bestimmten Periode nachfragen
(d.h. bereit sind zu kaufen), hängt vom Preis dieses Gutes ab. Im Allgemeinen wird die Nachfrage zurückgehen, wenn der Preis steigt. Die Anzahl der Einheiten, die die Hersteller innerhalb
einer gewissen Zeitperiode bereit sind, dem Markt anzubieten, hängt auch vom Preis ab, den
sie erzielen können. Im Allgemeinen wird das Angebot steigen, wenn der Preis steigt. Typische
Nachfrage- und Angebotsfunktionen (als Funktionen des Preises P ) sehen wie im folgenden
Schaubild aus.
Der Punkt E, in dem die Nachfrage gleich dem Angebot ist, stellt das Gleichgewicht dar.
Der Preis P ∗ , bei dem dies eintritt, ist der Gleichgewichtspreis und die zugehörige Menge
Q∗ ist die Gleichgewichtsmenge. Der Gleichgewichtspreis ist also der Preis, bei dem die
Verbraucher die gleiche Menge dieses Gutes kaufen wollen, wie die Hersteller bei diesem Preis
verkaufen wollen.
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Beispiel
Betrachtet wird das lineare Nachfrage- und Angebotsmodell
D = 100 − P ,
S = 10 + 2 · P .
Hier ist die Nachfrage gleich dem Angebot, falls
100 − P = 10 + 2 · P
gilt, also für
3 · P = 90,
also lautet der Gleichgewichtspreis
P ∗ = 30
mit der zugehörigen Gleichgewichtsmenge
Q∗ = 70.
Aufgabe:
Betrachten Sie die folgenden allgemeinen linearen Nachfrage- und Angebotsmodelle:
D = a − b · P,
S = α + β · P.
Dabei sind a und b positive Parameter der Nachfragefunktion D, während α, β positive Parameter der Angebotsfunktion S sind. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis P ∗ und die zugehörige
Gleichgewichtsmenge Q∗ in diesem Modell.
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