Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2007/2008 SERIE 7 7.1 7.2 7.3
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Korrespondenzzirkel MATHEMATIK SERIE 7 2007/2008 Termin: 03.06.2008 Rücksendung an: Jörg Sonnenberger, Am Krug 3, 18211 Börgerende 7.1 Ich hatte am nächsten Morgen eine wichtige Konferenz und musste dafür noch einen Bericht schreiben, als meine Tochter in mein Arbeitszimmer kam. Sie schien sich zu langweilen, spielte mit meinen Schreibtischutensilien herum und redete über irgendwelche belanglosen Dinge. Ich fragte sie deshalb, was sie am Vormittag in der Schule durchgenommen hätten. “Wir haben über Fakultäten von Zahlen gesprochen”, antwortete sie. “Was ist denn das?”, wollte ich wissen. “Die Fakultät einer ganzen Zahl ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis einschließlich zu der Zahl selbst. Beispielsweise hat die Fakultät von 4 den Wert 24, denn 1 · 2 · 3 · 4 ist 24”, belehrte mich meine Tochter. Ich wollte sie mit einer längeren Rechnung für einige Zeit beschäftigen und sagte darum: “Ich mache dir einen Vorschlag. Wenn du alle Fakultäten von 1 bis 100 zusammenzählst, erhältst du eine ziemlich große Zahl. Wenn du mir die letzte Ziffer dieser Zahl richtig nennst, bekommst du fünf Mark von mir.” Ich hoffte, nun in Ruhe arbeiten zu können, aber das war ein Irrtum. Schon nach zwei Minuten nannte sie mir eine Ziffer und behauptete, dies sei die richtige Endziffer. Natürlich glaubte ich ihr nicht und nahm an, dass sie sich einfach eine Ziffer ausgedacht hatte, in dem Glauben, dass ich sie nicht überprüfen würde. Aber so leicht sollte sie es nicht haben. Ich legte meinen Bericht beiseite und holte meinen Taschenrechner hervor. Jedoch merkte ich schnell, dass ich damit nicht weit kam. Schon die Fakultät von 12 hatte so viele Stellen, dass der Taschenrechner sie nicht mehr alle anzeigen konnte. Also machte ich mich an das mühevolle Geschäft, alle Fakultäten bis hin zur Fakultät von 100 schriftlich zu berechnen und anschließend die hundert Zahlen zusammenzuzählen. Ich war damit über zwei Stunden beschäftigt und musste schließlich feststellen, dass meine Tochter die richtige Endziffer des Ergebnisses genannt hatte. Ich weiß bis heute noch nicht, ob meine Tochter zufällig die richtige Zahl erraten oder ob sie irgendeinen Trick bei ihrer Berechnung angewandt hatte und möchte darum die gleiche Aufgabe stellen: Wie lautet die Endziffer der Summe aller Fakultäten von der Fakultät von 1 bis zu der Fakultät von 100? 7.2 Bei einem Fußballturnier spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft genau einmal. Man zeige, dass es zu jedem Zeitpunkt zwei Mannschaften gibt, die die gleiche Anzahl von Spielen absolviert haben. 7.3 Im Dreieck ABC sei a = BC, b = AC, c = AB, α = < ) CAB. Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen: r α a2 (a) sin ≤ , 2 4bc (b) sin 7.4 α β γ 1 · sin · sin ≤ . 2 2 2 8 Seien A, B, C und D vier Punkte im Raum. Für alle Punkte X im Raum gelte 2 2 2 2 AX + CX = BX + DX . Man zeige, dass A, B, C und D Eckpunkte eines Rechtecks sind. 7.5 Sei p eine Primzahl der Form p = 4m + 3, wobei m eine natürliche Zahl ist. Man zeige: Es gibt keine ganze Zahl x, so dass x2 + 1 durch p teilbar ist.
