Binomischer Lehrsatz - Unterricht Bettina Bieri

Binomischer Lehrsatz
Gymnasium Immensee
Vertiefungskurs Mathematik
Bettina Bieri
24. Juli 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Nötiges Vorwissen
1.1 Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 spezielle Fakuläten . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Rechenregeln für die Fakultät . . . . . .
1.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bimonialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten .
1.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Pascalsches Dreieck . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks .
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1
1
1
1
1
3
4
4
4
7
8
9
2 Binomischer Lehrsatz
10
2.0.6 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.0.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Kapitel 1
Nötiges Vorwissen
Um den allgemeinen Binomischen Lehrsatz verstehen zu können, braucht es
einiges an Vorwissen. Dieses werden wir in diesem Kapitel erarbeiten.
1.1
Fakultät
Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen wird als Fakultät bezeichnet.
1.1.1
Definition
Sei n eine natürliche Zahl. Dann wird das Produkt über alle Zahlen von 1
bis n geschrieben als n! und als Fakultät von n bezeichnet.
1.1.2
spezielle Fakuläten
Um Problemen bei praktischen Anwendungen vorzubeugen wird per Vereinbarung 0!:=1 gesetzt.
1.1.3
Rechenregeln für die Fakultät
Seien k,n ∈ N mit k ≤ n. Dann gilt:
1. n! = n · (n − 1)!
2.
n!
k!
3.
n!
(n−k)!
= (k + 1) · ... · n
= (n − k + 1) · ... · n
1
Beweis
Begründe die oberen Rechenregeln für Fakultäten:
2
1.1.4
Beispiele
Berechne folgende Ausdrücke möglichst einfach und ohne Taschenrechner:
a)
5!
5
b)
199!
200!
c)
400!
399!
·
9!
10!
d)
100!
2!
·
2!
98!
3
1.2
Bimonialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient wird sehr häufig in der Kombinatorik verwendet
- aber auch für den allgemeinen Binomischen Lehrsatz wird er gebraucht.
Um den Binomialkoeffizient zu verstehen, werden die oben eingeführten Fakultäten benötigt.
1.2.1
Definition
Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Dann ist der Binomialkoeffizient
n
k
als:
n
=
k
n!
k!(n−k)!
1.2.2
Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
1.
2.
n
0
n
1
=
=
n
n
= 1 ∀n ∈ N
n
n−1
= n ∀n ∈ N
n
3.
=
∀ n ∈ N0 und k ∈ {0, ..., n}
n−k
n+1
n
n
4.
=
+
k
k
k−1
n
k
(Regel von Pascal)
n
n+1
n+1
5.
= k ·
k−1
k
∀ n ∈ N0 , k ∈ {1, ..., n + 1}
4
definiert
Beweis
Beweise die oberen Eigenschaften mit Hilfe der Definition.
5
6
1.2.3
Beispiele
Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner:
6
a)
5
11
b)
9
5
c)
5
100
d)
1
6
e)
0
7
1.2.4
Pascalsches Dreieck
n+1
n
n
Die Regel von Pascal
=
+
liefert eine einfache
k
k
k−1
Möglichkeit,
Binomialkoeffizienten
rekursiv zu berechnen. Da die Startbedin0
n
n
gungen
=
=
= 1 bekannt sind, können auf diese Art
0
0
n
und Weise alle Binomialkoeffizienten berechnet werden.
Diese Rekursion lässt sich leicht im Pascalschen Dreieck darstellen:
0
0
1
1
0
1
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
usw.
Die obere Zahl des Binomialkoeffizienten entspricht der Nummer der Zeile,
in welcher der Koeffizient steht. Die untere Zahl gibt an, an welcher Stelle in
dieser Zeile der Ausdruck steht.
8
Wenn man die Binomialkoeffizienten in der oberen Darstellung ausrechnet,
erkennt man, wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist: Jeweils die Summe
zweier nebeneinanderstehenden Zahlen ergibt die Zahl, welche unter diesen
beiden Zahlen steht. Die drei obersten Zahlen sind die Startwerte, welche alle
Eins sind:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
usw.
1.2.5
Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks
Mit dem Pascalschen Dreieck lassen sich einige Spielereien betreiben. Im
Pascalschen Dreieck gilt:
1. Jeweils in der zweiten schrägen Linie neben den Einsen (links und
rechts) stehen die Natürlichen Zahlen.
2. Die Summe aller Zahlen in einer Zeile ergeben immer Zweierpotenzen.
3. Bei entsprechender Diagonalenbildung ergeben die Summen der Einträge auf der Diagonalen die Fibonacci-Folge.
Es gibt noch viele andere Besonderheiten im Pascalschen Dreieck. Diese sind
auf verschiedenen Internetseiten und Büchern erklärt.
9
Kapitel 2
Binomischer Lehrsatz
Mit Hilfe all der oben erklärten Angaben können wir nun den allgemeinen
Binomischen Lehrsatz verstehen.
2.0.6
Definition
Seien x, y reelle Zahlen und n ∈ N0 . Dann gilt der Binomische Lehrsatz:
P
P
n
n
n
n
(x + y)n = i=0
xi y n−i = i=0
xn−i y i .
i
i
Wird an der Stelle vom + ein - in die Klammer gesetzt, gilt folgende Formel:
Pn
Pn
n
n
n−i
i
n
i n−i
(x − y) = i=0 (−1)
x y
= i=0 (−1)
xn−i y i .
i
i
Setzt man bei den oberen beiden Formel n=2 resultieren daraus die erste
und die zweite Binomische Formel:
10
2.0.7
Beispiele
Multipliziere die folgenden Ausdrücke mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes
aus:
a) (3x + y)4
b) (a + b)5
c) (2z − k)3
d) (2 − r)6
11
12
Literaturverzeichnis
E. Cramer, J. Nes̆lehová, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgard, 1990
H. M. Enzensberger, Der Zahlenteufel, Deutscher Taschenbuch Verlag, München,
2003
13