2.9 Berechnungsgrundsätze - antriebstechnik.fh

2.9 Berechnungsgrundsätze
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Berechnungsgrundsätze
Jede rotierende elektrische Maschine besteht aus zwei konzentrisch zueinander angeordneten und gegeneinander verdrehbaren
Bauteilen (Bild 2.9-1a). Die Zuordnung der Bauteile 1 und 2 in Bild
2.9-1 in Ständer (Stator) und Läufer (Rotor) erfolgt ausschließlich in
Bezug auf die Umgebung und kann gegeneinander vertauscht werden.
Bild 2.9-1: Ausgangsanordnung für eine rotierende elektrische Maschine (a), Funktionsprinzip über zwei Spulen (c), über eine Spule
und magnetische Unsymmetrie (d)
Damit eine elektromechanische Energiewandlung stattfinden kann,
müssen entweder zwei Spulen (Bild 2.9-1c) und/oder eine Spule
und eine magnetische Unsymmetrie (Reluktanz, Permanentmagnete, Bild 2.9-1d) vorhanden sein.
Die Berechnung einer elektrischen Maschine erfolgt immer über
das magnetische Feld (Bild 2.9-2), welches sich aus der Geometrie,
den speisenden Strömen und den Arbeitspunkten der magnetischen Materialien bestimmen lässt.
Bild 2.9-2: Magnetisches Feld einer Maschine
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Einteilung der Felder
Die im Allgemeinen dreidimensional ausgebildeten Felder einer
elektrischen Maschine werden zur Vereinfachung der Berechnung
durch Bildung geeigneter "Schnitte" in zweidimensionale Felder
zerlegt (Bild 2.9-3). Die Schnitte erfolgen immer senkrecht zur
Stromrichtung.
Bild 2.9-3: Zerlegung des Feldes einer Maschine durch
Schnitte senkrecht zur Stromrichtung, a: Querschnitt, b:
Längsschnitt, Aufteilung in
Nutz- und Streufeld.
Weiterhin wird zwischen nutzbringenden, d.h. drehmomentbildenden Feldern (Nutzfeld, Hauptfeld, Luftspaltfeld) und Streufeldern
in der Maschine unterschieden, die zwar das Betriebsverhalten (induzierte Spannungen) beeinflussen, jedoch nicht unmittelbar auf
das Drehmoment wirken.
Die wichtigsten Streuflüsse sind
• Nut- und Zahnkopfstreuung
• Stirnkopfstreuung
• Schrägungsstreuung (Kapitel Asynchronmaschine)
• Doppelt verkettete Streuung (Kapitel Drehfeldwicklungen)
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Beschreibung des Luftspaltfeldes
Die klassische Beschreibung des Luftspaltfeldes geht davon aus,
dass die Feldlinien des magnetischen Flusses den Luftspalt ausschließlich senkrecht durchdringen. Das Feld kann eindimensional
über seine Radialkomponente beschrieben werden.
Im Bereich der Nuten ist das Feld jedoch zweidimensional, was
insbesondere dazu führt, dass der Fluss über eine Polteilung im
Vergleich zu einem glatten Luftspalt kleiner ist.
Bild 2.9-4: Fiktive Vergrößerung des Luftspaltes zur Berücksichtigung der Nutung in der eindimensionalen Feldberechnung
Die Reduzierung des Flusses bei genutetem Luftspalt wird in der
eindimensionalen Feldberechnung durch eine fiktive Vergrößerung
der geometrischen Luftspaltweite δ g berücksichtigt.
Das Verhältnis zwischen geometrischer Luftspaltweite δ g und ideeller Luftspaltweite δ wird als Carterfaktor kC bezeichnet:
δ = k cδ g
(2.9-1)
Unter der Annahme einer unendlich tiefen, parallelflankigen Nut ergibt sich über "Konforme Abbildung":
τn
kc =
(2.9-2)






4 s
s
s
τ n − δ g ⋅ 
arctan
 + ln cos arctan
 
π  2δ g
2
δ
2
δ
 g
 g 
Die Carterfaktoren der Läufer- und Ständernutung werden miteinander multipliziert:
δ = kc 1 ⋅ k c 2 ⋅ δ g .
(2.9-3)
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Im Längsschnitt (Bild 2.9-5) ist erkennbar, dass der Luftspaltfluss
seitlich aus der Maschine herausstreut. Zur Berücksichtigung dieses zusätzlichen Flusses schlägt man auf jeder Seite einmal die
Luftspaltlänge zu und erhält als ideelle Eisenlänge:
li = le + 2δ g
(2.9-4)
l'e
δg
Bild 2.9-5: Verteilung des
Luftspaltfeldes im Stirnbereich einer Maschine
Die Vergrößerung der Eisenlänge ist nur bei Motoren mit relativ
großem Luftspalt wichtig. Kühlschlitze können in ähnlicher Form berücksichtigt werden:
l'e
δg
li = Z (le′ + 2δ g )
(2.9-5)
Z: Zahl der Blechpakete
l'e
δg
le
le − le′
+
kc
+ (le′ + 2δ g )
li =
(2.9-6)
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Magnetischer Kreis
Der magnetische Spannungsabfall im Eisen der Maschine kann näherungsweise über den magnetischen Kreis berücksichtigt werden.
Bild 2.9-7:Magnetischer Kreis am Beispiel einer 4-poligen Asynchronmaschine
Im Leerlauf der Maschine schließt sich der magnetische Fluss Φ
auf dem zur Achse 0-5 (Bild 2.9-7) symmetrischen Weg über
0-1:
1-2:
2-3:
3-4:
4-5:
Läuferrücken (zugehörige magnetische Feldstärke H R 2 ),
Läuferzahn ( H Z 2 ),
Luftspalt ( H L ),
Ständerzähne ( H Z1),
Ständerrücken ( HR1 ).
Der zugehörige magnetische Spannungsabfall V berechnet sich
aus der Multiplikation der als abschnittsweise konstant angenommenen Feldstärke mit der Länge des Abschnitts. Die Summe aller
magnetischen Spannungsabfälle ergibt die magnetische Umlaufspannung, die nach früherem gleich der Durchflutung Θ (~NI ) ist:
VM = H R 2lR 2 + H Z 2hN 2 + H Lδ + H Z1hN1 + H R1lR1 = Θ
(2.9-7)
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Fasst man die magnetischen Spannungsabfälle im Eisen VFe zusammen, so lässt sich der gesamte Amperewindungsbedarf zur
Magnetisierung der Maschine durch den des Eisens und des
Luftspalts ausdrücken:
Θ = VL + VFe .
(2.9-8)
Um eine möglichst hohe Ausnutzung des Materials zu erreichen,
wird in real ausgeführten Maschinen die Flussdichten im Eisen B̂Fe
bis auf etwa 2T erhöht, d. h. deutlich gesättigt. Darüber hinaus
steigt wegen der nichtlinearen Kennlinie der Amperewindungsbedarf in unzulässiger Weise an (Kupferverluste, Leistungsfaktor!).
Unter der Annahme, dass Nutbreite in etwa gleich der Zahnbreite
ist, erreicht man bei Bˆ Z = 1.5 L2.1T im Zahn im Luftspalt etwa
Bˆ L = 0.7L1T , was einer mittleren Flussdichte von
2
BL,m = Bˆ L = 0.5 L0.6T .
(2.9-9)
π
Im Rücken (Joch) beschränkt man sich mit Rücksicht auf den langen Magnetisierungsweg auf BJ ≈ 1.2L1.6T .
Durch den magnetischen Spannungsabfall im Eisen verringert sich
der Fluss im Luftspalt um den Faktor
V + VFe
kS = L
.
(2.9-10)
VL
Wie schon bei der Einführung des Carterfaktors kann diese Verringerung des Flusses durch eine fiktive Vergrößerung des Luftspaltes
berücksichtigt werden.
Der Ersatzluftspalt unter Berücksichtigung der Nutenschlitze und
des magnetischen Spannungsabfalls im Eisen
δ = δ g kc1k c 2kS
(2.9-11)
ist bei gut ausgenutzten Maschinen in etwa 1.5 bis 3-fach größer
als der geometrische Luftspalt.
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Eine genaue Berechnung des Sättigungsfaktors ist nur mit Hilfe
numerischer Feldberechnungsprogramme zu erreichen. Sie können
z. B. auch
• die magnetische Entlastung der Zähne über die Nuten,
• die Erhöhung des Jochflusses durch die Nutstreuung und
• die magnetische Vergrößerung der Nutschlitze durch die extreme
Sättigung der Zahnecken im Schlitzbereich
• die Entlastung des Rotorrückens durch die Welle
etc. berücksichtigen.
Bild 2.9-8: Mit FE berechnetes Feldbild einer 4-poligen Asynchronmaschine und zugehörige Normalkomponente des Luftspaltfeldes
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Spannungsinduktion durch Luftspaltfelder
Die Spannungsgleichung einer Spule im magnetischen Feld lautet
gemäß Kapitel Physikalische Grundlagen
dΨ
(2.9-12)
u = Ri +
dt
mit der induzierten Spannung
dΨ
.
(2.9-13)
e=−
dt
Für eine in Nuten konzentrierte Spule ergibt sich die Verkettung mit
dem Luftspaltfluss zu
(2.9-14)
Ψ = NΦ Sp ,
mit Φ Sp als den die Spule durchdringenden Fluss (Bild 2.9-9).
Bild 2.9-9: Berechnung des magnetischen Flusses durch eine Spule
bei gegebener Flussdichteverteilung
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Der Fluss Φ Sp kann bei gegebener Feldverteilung im Luftspalt aus
dem Integral über die Normalkomponente der Flussdichte berechnet werden:
z
x2
Φ Sp = li B( x )dx =li
x1
z
xSp +
y
2
B( x )dx ,
xSp −
(2.9-15)
y
2
Integrationsgrenzen aus Bild 2.9-9.
Für die induzierte Spannung muss die zeitliche Änderung des mit
der Spule verketteten Flusses berechnet werden. Diese Änderung
des Spulenflusses kann von der zeitlichen Änderung der Flussdichte B(t ) oder von der Bewegung einer Spule in räumlich veränderlicher Flussdichte B( x ) oder von beidem herrühren B( x, t ).
Für die mathematische Beschreibung eines solchen Vorgangs ist
ein Koordinatensystem notwendig, das die Verschiebung eines
Läufers in Bezug auf einen Ständer erlaubt (Bild 2.9-10).
Bild 2.9-10: Einführung eines beweglichen Koordinatensystems x L
des Läufers in Bezug auf das Koordinatensystem x S des Ständers.
a: rotationssymmetrischer Ständer, b: Ständer mit ausgeprägten
Polen.
Für den Fall, dass sich der Läufer mit konstanter Geschwindigkeit
bewegt, ergibt sich zwischen den Koordinatensystemen der Zusammenhang
x S = x L + vt + ϑ 0
(2.9-16)
mit ϑ 0 als Verschiebung zum Zeitpunkt t = 0 .
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Durch Einführung der Polteilung τ p = 2π 2p ergibt sich für die Umfangsgeschwindigkeit v = 2πn = 2pτ p n und (2.9-16) geht über in
x S = x L + 2pτ p nt + ϑ 0 ,
(2.9-17)
alle Größen in rad., 2p : Polzahl und n : Drehzahl.
Das totale Differential von Gleichung (2.9-13) zur Berechnung der
aufgrund des Luftspaltfeldes induzierten Spannung eδ ,Sp kann bei
expliziter Abhängigkeit des Flusses vom Spulenort x Sp (t ) und der
Zeit t in zwei partielle Differentiale aufgespalten werden:
eδ ,Sp = − N
dΦ Sp ( X Sp (t ), t )
∂Φ Sp
∂Φ Sp dx Sp
.
= −N
−N
dt
∂t
∂xSp dt
v
;
(2.9-18)
Bild 2.9-11: Änderung des Spulenflusses bei Verschiebung der
Spule um ∂x Sp .
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Die Änderung des Flusses ∂Φ Sp bei Verschiebung der Spule um
∂X Sp ergibt sich nach Bild 2.9-11 zu
y
y
∂Φ Sp = li B( xSp + ) − B( x Sp − ) ∂x Sp
(2.9-19)
2
2
LM
N
OP
Q
Gleichung (2.9-18) geht damit über in
eδ ,Sp = − N
LM FG
NH
IJ FG
K H
∂Φ Sp
y
y
− B x Sp −
− li vN B xSp +
∂t
2
2
IJ OP .
KQ
(2.9-20)
Der erste Summand wird häufig als transformatorisch induzierte
Spannung, der zweite Summand als rotatorisch induzierte
Spannung bezeichnet.
Spannungsinduktion durch Streufelder
Zusätzlich zum Luftspalt werden insbesondere über das Stirnkopffeld und das Nutenquerfeld weitere Spannungen in eine Spule induziert (Bild 2.9-3):
eSp = eδ ,Sp + eσ = eδ ,Sp −
dΨ S dΨ N
−
.
dt
dt
(2.9-21)
Die Flussverkettungen des Stirnstreufeldes Ψ S und des Nutenstreufeldes Ψ N können über die jeweiligen Induktivitäten ausgedrückt werden:
Ψ S = LS i ,
Ψ N = LN i ,
(2.9-22)
LS : Stirnstreuinduktivität, LN : Nutstreuinduktivität.
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Stirnkopfstreuung:
Die genaue Berechnung des Streufeldes im Stirnraum einer Maschine ist wegen des 3-dimensionalen Feldproblems außerordentlich problematisch. Auch ist die genaue Position der einzelnen
Drähte bei Träufelwicklungen meist nicht bekannt.
Bild 2.9-12: Zweidimensionaler Feldausschnitt aus dem Stirnraum
einer ASM mit Käfigläufer
Man behilft sich auch heute noch mit stark vereinfachten Näherungsformeln, wobei versucht wird, den Einfluss der Geometrie
(magnetischer Leitwert λ ) von dem der Wicklung zu trennen.
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Die von R. Richter angegebene und noch heute sehr verbreitete
Formel für die Stirnstreuung eines Stranges einer dreisträngigen
Drehstromwicklung (Asynchronmaschine, Synchronmaschine) lautet:
2w 2
LS1 =
lS µ 0 λ S 1 .
(2.9-23)
p
w: Serienwindungszahl pro Strang, p: Polpaarzahl,lS : mittlere Länge des Stirnkopfes (eine Seite), λS1: Stirnstreuleitwert (≈ 0.35)
Die Stirnstreuung eines Ringsegments einer Käfigwicklung (Ringstreuung bei der Asynchronmaschine) wird näherungsweise nach
2πr
LR 2 = µ 0 λ S 2
(2.9-24)
Z2
berechnet, wobei r: mittlerer Radius des Kurzschlussringes, Z2:
Rotornutzahl und der Rotorstirnstreuleitwert λS2 ≈0.37 ist.
Nut- und Zahnkopfstreuung:
Bild 2.9-13: Aufteilung des Feldes einer Wicklung, die in Nuten
angeordnet ist.
Die Berechnung des Streufeldes einer Nut lässt sich auf ein zweidimensionales Feldproblem reduzieren. Damit können zu ihrer Berechnung vorteilhaft numerische Feldberechnungsprogramme eingesetzt werden.
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Die Nutstreuinduktivität eines Statorstranges berechnet sich analog
der Stirnstreuung aus der Multiplikation eines Wicklungs- und eines
Geometrianteils:
2w 2
le µ 0 ( λ N + λ Z ).
(2.9-25)
LN =
pq
q: Nuten pro Pol und Strang (Lochzahl), λ N : Nutstreuleitwert, λ Z :
Zahnkopfstreuleitwert.
Für die Käfigwicklung einer Asynchronmaschine:
LN2 = µ 0 le (λ N + λ Z ) .
(2.9-26)
Stehen numerische Programme nicht zur Verfügung, so lässt sich
der Nutstreuleitwert λN für gebräuchliche Nutformen aus den von
Nürnberg angegebenen Näherungsformeln berechnen.
Bild 2.9-14 Nutstreuleitwerte λ N nach Nürnberg für gebräuchliche
Nutformen, k1, k 2 : siehe Bild 2.9-15.
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Bild 2.9-15: Korrekturfaktoren k1 und k 2 für eine dreisträngige
Drehstromwicklung mit 60° Zonenbreite in Abhängigkeit von der
relativen Spulenweite
Bild 2.9-16: Leitwert der Zahnkopfstreuung nach Vogt
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Übung: Spannungsinduktion durch Luftspaltfelder
Gegeben ist eine typische Anordnung in einer elektrischen Maschine: Zwei konzentriert in Nuten liegende Spulen jeweils in Ständer
und Läufer, welche durch einen Luftspalt mit der Weite δ g getrennt
sind.
Die Spulenweite y entspricht im Ständer und Rotor der Polteilung τ p der
Maschine. Die positive
Richtung der Flussdichte
zeige vom Rotor zum Stator. In der Rotorspule fließt
ein sinusförmiger Strom
i = I 2 cosωt .
1. Geben Sie allgemein den Zusammenhang zwischen Stator- und
Rotorkoordinatensystem an.
Für die weitere Rechnung betrage die Polpaarzahl p = 1!
2. Stellen Sie die Durchflutungsverteilung im Luftspalt grafisch dar.
3. Entwickeln Sie die Durchflutungsverteilung in eine Fourierreihe.
4. Geben Sie die Grundwelle der Flussdichte im Luftspalt an.
5. Stellen Sie das Wechselfeld nach 4. als zwei gegenläufige
Drehfelder dar.
6. Berechnen Sie die in die Statorspule induzierte Spannung
a) allgemein
b) für den Spezialfall ω = 0
c) für den Spezialfall v = 0 .
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