Teil 1

QUANTENMECHANIK II
Wolfram Weise
Wintersemester 2009/2010
Teil I:
Quantenmechanik zeitabhängiger Prozesse
Teil II: Elemente der quantenmechanischen Streutheorie
Teil III: Quantenmechanik der Vielteilchensysteme
Teil IV: Relativistische Quantenmechanik
Literatur (zur Orientierung):
zu I - III:
L.D. Landau, E.M. Lifschitz
Theoretische Physik III (Quantenmechanik)
H.A. Bethe, R. Jackiw
Intermediate Quantum Mechanics
F. Schwabl
Quantenmechanik für Fortgeschrittene
zu IV:
weiterführend:
J.D. Bjorken, S.D. Drell
Relativistische Quantenmechanik
C. Itzykson, J.B. Zuber
Quantum Field Theory
Teil I:
Quantenmechanik
zeitabhängiger Prozesse
-1-
1.1 Rückblick und Vorbereitung: AXIOME der QUANTENMECHANIK
i) Der quantenmechanische Zustand eines Systems wird beschrieben durch einen
ZUSTANDSVEKTOR |ψ!.
|ψ! ist Element des HILBERT-Raumes H .
ii) Beobachtbare physikalische Größen (Observablen) werden dargestellt durch
(hermitesche) Operatoren  auf H .
Erwartungswerte (Mittelwerte von Meßgrößen): !A" = !ψ|Â|ψ"
iii) Die ZEITENTWICKLUNG eines Zustandes wird bestimmt durch die
zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
ih̄
∂
|ψ(t)! = Ĥ |ψ(t)!
∂t
mit dem HAMILTON-Operator Ĥ.
-2-
Bemerkungen:
1) Die Zustände |n! seien Eigenzustände von  mit Eigenwerten an : Â|n! = an |n! .
{|n!} bildet ein vollständiges Orthonormalsystem in H mit !m|n" = δmn .
Befindet sich ein System im Zustand |ψ!, so gilt die Entwicklung
!
cn = !n|ψ" ,
|ψ! =
cn |n!
mit
2
n
und |cn | gibt die Wahrscheinlichkeit an, den Zustand |ψ! im Eigenzustand |n! zu finden.
!
Insbesondere gilt
!A" = !ψ|Â|ψ" =
|c |2 a
n
n
n
2) Es seinen nun |φn ! Eigenzustände des Hamiltonoperators: Ĥ |φn ! = En |φn !.
Für einen beliebigen Zustand |ψ(t)! gilt:
!
|ψ(t)! =
cn (t) |φn ! .
n
∂
Mit ih̄ |ψ(t)! = Ĥ |ψ(t)! folgt cn (t) = !φn |ψ(t)" = e−iEn t/h̄ cn (0) .
∂t
3) Für einen STATIONÄREN Zustand mit Energie E ist |ψE (t)! = e−iEt/h̄ |ψE (t = 0)!.
Dann gilt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Ĥ |ψE ! = E |ψE ! mit |ψE ! ≡ |ψE (t = 0)! .
ˆ
4) Wellenfunktionen sind “Projektionen” von Zuständen in den Ortsraum. Es sei !
r der
Ortsoperator mit Eigenzuständen |!
r ! und !!r |!r ! " = δ 3 (!r − !r ! ) .
Wellenfunktion:
ψ("r , t) = !"r |ψ(t)" .
-3-
1.2
Zeitentwicklungsoperator ;
SCHRÖDINGER-Bild und HEISENBERG-Bild
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
ih̄
besitzt die formale Lösung
∂
|ψ(t)! = Ĥ |ψ(t)!
∂t
|ψ(t)! = Û(t) |ψ(t = 0)!
†
mit dem (unitären) ZEITENTWICKLUNGSOPERATOR (Û = Û−1 ) :
Û(t) = e−iĤt/h̄ = 1 −
∞
!
ν
(−i)
i
1
Ĥ t − 2 Ĥ2 t2 + ... =
h̄
ν!
2h̄
ν=0
"
Ĥ t
h̄
#ν
bisher (in QM I) wurde in der Schrödinger-Darstellung (im S-Bild) gearbeitet:
Zustände zeitabhängig
ˆ
ˆ , Drehimpuls L
!ˆ )
Operatoren (z.B. Ort !
r , Impuls !p
nicht explizit zeitabhängig
Eine äquivalente Darstellung der Quantenmechanik ist das Heisenberg-Bild (H-Bild):
Zustände |ψH ! ≡ |ψ(t = 0)! zeitunabhängig
†
Operatoren ÂH (t) = Û(t) Â Û(t) = eiĤt/h̄ Â e−iĤt/h̄ zeitabhängig
-4-
Erwartungswerte sind invariant unter einem Wechsel der Darstellung
(S-Bild
H-Bild):
!ψ(t)|Â|ψ(t)" = !ψH |eiĤt/h̄ Â e−iĤt/h̄ |ψH " = !ψH |ÂH (t)|ψH "
Bewegungsgleichung für Operatoren:
falls  (im S-Bild) nicht explizit von der Zeit abhängt:
"
$
i!
i#
d
ÂH (t) =
Ĥ , ÂH (t) =
Ĥ ÂH (t) − ÂH (t) Ĥ
dt
h̄
h̄
(bei expliziter Zeitabhängigkeit  = Â(t) : addiere
∂
Â(t) auf der rechten Seite
∂t
der Bewegungsgleichung.)
Erhaltungsgrößen:
... kommutieren mit dem Hamiltonoperator, unabhängig von ihrer Darstellung im
Schrödinger- oder Heisenberg-Bild:
" !
!
"
Ĥ , ÂH = Ĥ , Â = 0
-5-
2. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
2.1 Wechselwirkungsbild und Störungsentwicklung
Ausgangspunkt: Hamiltonoperator Ĥ = Ĥ0 + V̂(t)
Ĥ0 zeitunabhängig; Störung V̂(t) explizit zeitabhängig
i) V̂(t) sei “klein” im Vergleich zu Ĥ0
für t ≤ t0 :
ih̄
∂ (0)
|ψ (t)! = Ĥ0 |ψ (0) (t)!
∂t
nach “Einschalten” der Störung:
mit der Anfangsbedingung:
ii) V̂(t) = 0 für t ≤ t0
!
"
∂
ih̄ |ψ(t)! = Ĥ0 + V̂(t) |ψ(t)!
∂t
|ψ(t)! = |ψ (0) (t)!
für t ≤ t0
iĤ t/h̄
|ψ(t)!
WECHSELWIRKUNGSBILD: Def. |ψ(t)!I = e 0
!
"
#$
∂ iĤ0 t/h̄
∂
iĤ0 t/h̄
iĤ0 t/h̄
|ψ(t)! = −Ĥ0 e
+e
Ĥ0 + V̂(t) |ψ(t)!
ih̄ |ψ(t)!I = ih̄ e
∂t
∂t
= eiĤ0 t/h̄ V̂(t) |ψ(t)! = eiĤ0 t/h̄ V̂(t) e−iĤ0 t/h̄ |ψ(t)!I
-6-
Es folgt:
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
!
"
∂
ih̄ |ψ(t)! = Ĥ0 + V̂(t) |ψ(t)!
∂t
ist äquivalent zur Gleichung
ih̄
im Wechselwirkungsbild mit
V̂I (t) = eiĤ0 t/h̄ V̂(t) e−iĤ0 t/h̄
Äquivalente Integralgleichung:
i
|ψ(t)!I = |ψ(t0 )!I −
h̄
!
∂
|ψ(t)!I = V̂I (t) |ψ(t)!I
∂t
t
dt! V̂I (t! ) |ψ(t! )!I
t0
Iterative Lösung durch Reihenentwicklung:
i
|ψ(t)!I = |ψ(t0 )!I −
h̄
!
t
t0
(von Neumann - Reihe)
1
dt! V̂I (t! ) |ψ(t0 )!I − 2
h̄
!
t
t0
dt!
!
t!
t0
dt!! V̂I (t! ) V̂I (t!! ) |ψ(t0 )!I + ...
-7-
2.2 Übergänge 1. Ordnung im diskreten Spektrum
... unter der Wirkung der zeitabhängigen Störung V̂(t). Das System befinde sich anfangs
(zur Zeit 0 < t ≤ t0 ) in einem Eigenzustand von Ĥ0
|m(t)! = e−iĤ0 t/h̄ |m! = e−iEm t/h̄ |m!
( |m! ≡ |m(t = 0)!)
Zur Zeit t0 werde die Störung eingeschaltet.
Gesucht: Wahrscheinlichkeit Wmn (t) für den Übergang vom Anfangszustand |m!
in einen Eigenzustand |n(t)! von Ĥ0 zu einer Zeit t nach Einschalten der Störung:
Wmn (t) = |!n(t)|ψ(t)"|2
mit !n(t)|ψ(t)" = !n| eiĤ0 t/h̄ |ψ(t)" = !n|ψ(t)"I und der Anfangsbedingung
|ψ(t0 )!I = |ψ (0) (t0 )!I = eiĤ0 t0 /h̄ |m(t0 )! = eiĤ0 t0 /h̄ e−iĤ0 t0 /h̄ |m! = |m!
eingesetzt in die von Neumann - Reihe (1. Ordnung):
i
|ψ(t)!I = |m! −
h̄
i
!n(t)|ψ(t)" = !n|ψ(t)"I = !n|m"−
h̄
!
t
t0
!
t
dt! V̂I (t! ) |m!
t0
i
dt! !n|V̂I (t! )|m" = δmn −
h̄
!
t
t0
!
dt! ei(En −Em )t /h̄ !n|V̂(t! )|m"
-8-
Übergangswahrscheinlichkeit:
!"
!2
!
1 !! t ! −iωmn t!
!
Wmn (t) = 2 !
dt e
!n|V̂(t )|m"!!
h̄
t0
mit h̄ωmn = Em − En
für t0 → −∞ and t → +∞ :
Wmn =
lim
t→∞, t0 →−∞
Wmn (t)
!"
!2
!
1 !! +∞ # −iωmn t
#
dt e
!n|V̂(t
Wmn (t) = 2 !
(t))|m"!!
h̄
−∞
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist proportional zum Betragsquadrat der
Fouriertransformierten des Übergangsmatrixelements
-9-
2.3 Beispiel
Zeitlich konstante Störung, die bei t = t0 eingeschaltet wird.
V0
V̂(t) = V̂0 θ(t − t0 )
t
t0
Setze t0 = 0 . Mit ωmn = (Em − En )/h̄ gilt:
!"
!2
2
2
!
!
|m"|
|!n|
V̂
1 !! t ! i(E
0
i(Em
−E
)t/h̄
−E
)t
/h̄
n
dt ee n m
!n|V̂0 |m"!! =
Wmn (t) = 2 !
h̄
h̄22
0
|!n|V̂0 |m"|2
|!n|V̂0 |m"|2 2
(1 − cos ωmn t) =
=
2
ωmn
h̄2
h̄2
t
π sin2 ωmn
2
2
= 2t !
|!n|
V̂
|m"|
"
0
h̄ π ωmn t 2 t
2
!
!! −iω
!!22
t
t/h̄
!! e iωmnmn
!!
−
1
−
1
!!
!!
!!
!!
ωωmn
mn
t
sin ωmn
2
ωmn t
2
"2
- 10 -
sin2 ωt
Untersuche nun die Funktionenfolge δt (ω) =
πω 2 t
mit den Eigenschaften:
δt (ω) =
t
... ω = 0
π
und δt (ω) <
1
... ω != 0
πω 2 t
Dies definiert die Delta-Distribution
! +∞
lim δt (ω) = δ(ω) mit
dω δ(ω)F (ω) = F (0)
t→∞
δt (ω)
−∞
ω
−π/t
π/t
Es folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit im Grenzfall “langer” Beobachtungszeit t :
Wmn (t) =
t→∞
!
!2 2π t
!
!2
π
!
!
!
!
t
δ(ω
/2)
!n|
V̂
|m"
=
δ(E
−
E
)
!n|
V̂
|m"
!
!
!
!
mn
0
m
n
0
h̄
h̄2
(Dabei wurde verwendet: δ(ωmn /2) = δ
!
Em − En
2h̄
"
= 2h̄ δ(Em − En )
)
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit:
merke:
Bei zeitlich konstanter Störung und t → ∞ :
Übergang nur zwischen Zuständen gleicher Energie möglich.
- 11 -
2.4 Zeitlich periodische Störungen; Fermi’s Goldene Regel
Betrachte nun eine periodische Störung V̂(t) , die zur Zeit t = 0 eingeschaltet wird:
V̂(t) = V̂0 e−iωt θ(t)
Dann gelten die Relationen aus 2.2, jedoch mit
!"
!2
!
1 !! t ! i(En −Em −h̄ω)t! /h̄
dt e
!n|V̂0 |m"!!
Wmn (t) = 2 !
h̄
0
Für t → ∞ erhält man die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit
!
!2
2π
!
!
δ(En − Em − h̄ω) !"n|V̂0 |m#!
Γm→n =
h̄
Interpretation: der (stationäre) Zustand |m! geht durch Absorption eines
Energiequants h̄ω in den (ebenfalls stationären) Zustand |n! über.
Übergänge im kontinuierlichen Spektrum:
ρ(E)
Zustandsdichte (Zahl der Endzustände dN(E)
mit Energie E im Energieintervall [E, E+dE]):
ρ(E) =
dN (E)
dE
E
diskretes Spektrum
kontinuierliches Spektrum
- 12 -
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit, summiert über alle verfügbaren Endzustände:
"
"
!
Γ=
Γmn → dN (En ) Γmn = dEn ρ(En ) Γmn
n
2π
=
h̄
!
"
"2
"
"
dEn ρ(En ) δ(En − Em − h̄ω) ""n|V̂0 |m#"
!
!2
2π
!
!
ρ(Ef ) !!f |V̂0 |m"!
Γ=
h̄
Ef =Em +h̄ω
mit
V̂0 = V̂(t = 0)
(Fermi’s “Goldene Regel” )
Hinweis:
In der Herleitung wurde angenommen, daß im Falle eines entarteten Endzustands |f !
alle Übergangsmatrixelemente zur Energie Ef den gleichen Wert besitzen.
Ist dies nicht der Fall, so müssen diese Beiträge getrennt aufsummiert werden,
mit entsprechender Berücksichtigung der Besetzungszahlen in der Dichte der Endzustände.
- 13 -
2.5 Beispiel: Elektromagnetische Übergänge
Betrachte zwei Zustände |a! und |b! (z.B.: Grundzustand und angeregter Zustand eines Atoms,
eines Moleküls oder eines Atomkerns ... )
Übergang durch Absorption oder Emission eines Photons (Lichtquants) mit der Energie h̄ω
|b!
|b!
h̄ω
h̄ω
|a!
Wechselwirkungsoperator:
1
V̂ (t) =
c
|a!
!
! x) · A(!
! x, t)
d3 x J(!
Stromdichte
Vektorpotential:
! · A(!
! x, t) = 0
mit ∇
Vektorpotential des
elektromagn. Feldes
Φ = 0 in der Coulomb(transversalen) Eichung
"
!
!
!
i
k·!
x
−iωt
∗
−i
k·!
x
+iωt
! x, t) = N !ε e
A(!
+ !ε e
Absorption
Emission
Elektrische und magnetische Felder:
!
1 ∂A
!
E=−
c ∂t
! =∇
! ×A
!
B
ω = c |"k|
- 14 -
Energie des Strahlungsfeldes:
h̄ω =
1
8π
Normierung:
!
V
# 2 + |B|
# 2 = 1
d3 x |E|
8π
#
"
N =
!
2πh̄c2
ωV
Fermi’s Goldene Regel für den Übergang
Γa→b
!
V
%
.
1 #2 # # 2
d3 x 2 |A|
+ |k × B|
c
$
(Faktor 2 aus der Summe über Polarisationsfreiheitsgrade)
|a! → |b! durch Photoabsorption:
!
"
!
!
2
2π
!
! mit V̂ (t = 0) = 2πh̄c2 d3 x J(#
# x) · #ε ei!k·!x
=
ρ(Eb = Ea + h̄ω) !!b|V̂ (t = 0)|a"!
ωV
h̄
V
Beispiel für ein Teilchen mit
Ladung e und Masse m
am Ort !
x = !r :
ˆ
! x) = e δ 3 (!x − !r ) !p
J(!
mc
Γa→b
Stromdichte des
absorbierenden Systems
mit dem Impulsoperator
ˆ = −ih̄∇
!
!p
!2
!
4π 2 e2
!
!
!
ik·!
r
!b|e
$
ε
·
p
$̂
|a"
=
ρ(E
=
E
+
h̄ω)
!
!
b
a
ω m2 V
- 15 -
2.6 Elektrische Dipol-Übergänge
Es sei nun Ĥ0 der Hamiltonoperator des ungestörten Systems (z.B. eines Atoms):
Ĥ0 |a! = Ea |a!
Ĥ0 |b! = Eb |b!
In der Atomphysik gilt für Übergänge im diskreten Spektrum:
!
eik·!r = 1 + i!k · !r + . . . ! 1
Mit linear polarisiertem Photon (z.B. in z-Richtung)
!b|
kR << 1 für typische Atomradien R
(Dipolnäherung)
T
!ε = (0, 0, 1)
"
ˆ
. i!
!p
und
Ĥ0 , !r :
= !r =
m
h̄
p̂z
i
i
i
|a" = !b| [Ĥ0 , z] |a" = !b| Ĥ0 z−z Ĥ0 |a" = (Eb −Ea )!b| z |a" = iω!b| z |a"
m
h̄
h̄
h̄
Wahrscheinlichkeit pro Zeit für einen elektrischen Dipol-Übergang:
Dipol
Γel.
a→b
4π 2 e2
2
ω ρ(Eb = Ea + h̄ω) |!b| z |a"|
=
V
(Hinweis zu den gewählten Einheiten: c.g.s. System mit
h̄c = 1.973 · 103 eV Å
e2
1
; entspricht 4π ε0 = 1 . )
=
h̄c
137.036
1Å = 10−8 cm
- 16 -
2.7 Ergänzung: zur Wechselwirkung geladener Teilchen mit dem
elektromagnetischen Strahlungsfeld
Bei Emission oder Absorption von Lichtquanten in Übergängen zwischen atomaren Zuständen werden
Photonen “erzeugt” oder “vernichtet”. Zur Formulierung solcher Absorptions- oder Emissionsprozesse
ist der quantenfeldtheoretische Formalismus am besten geeignet.
Zur Erinnerung: Hamiltonoperator eines Elektrons im elektromagnetischen Feld:
"2
1 !ˆ e ˆ!
Ĥ =
p! − A(!x, t) + eΦ(!x, t)
2m
c
Zeitabhängiger Wechselwirkungsterm:
"
e !ˆ !
e2 ! 2
V̂ (t) = −
A (!x, t) + eΦ(!x, t)
p!, A(!x, t)
+
2mc
2mc2
+
"
#
$
mit dem Antikommutator !
ˆ!, A
ˆ! A
ˆ! = −ih̄ ∇
!
!+A
!p
! ·A
!+A
!·∇
!
p
=p
+
Für ein System von N punktförmigen Teilchen mit Masse m, Ladung e:
%
N "
$
!
e2 ! 2
e #ˆ !
A (!xi , t) + eΦ(!xi , t)
p!i , A(!xi , t)
+
V̂ (t) =
−
2
2mc
2mc
+
i=1
#
!
!"
|e|
3
3
ˆ! , δ (!x − !xi )
! x) = −
Dichte: n(!
x) =
δ (!x − !xi )
Stromdichte: J(!
p
i
2m
+
i
i
"
#
Dann gilt:
!
2
1
e
! x) · A(!
! x, t) +
! 2 (!x, t) − |e| n(!x) Φ(!x, t)
V̂ (t) = d3 x J(!
n(!
x
)
A
c
2mc2
- 17 -
Quantisierung des Strahlungsfeldes:
Erzeugungsoperator
Vakuumzustand (keine Photonen) |0!
Zustand mit einem Photon (Wellenvektor !
k , Polarisation λ ):
Vernichtungsoperator
|!k, λ! = a!† |0!
kλ
a!kλ |!k, λ! = |0!
Darstellung des Vektorpotentials als Fourier-Integral bzw. Fourier-Summe:
(Volumen V)
mit
Normierung so, daß die Energie gegeben ist durch