M8 Geometrie Konstruktionen 2. Teil 1 Repetition und Ergänzung Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal: Mittelsenktrechte Winkelhalbierende Mittelparallele a A B b S Gleichseitiges Dreieck Lot auf g durch P ∈ g Lot von P auf Gerade g P P A g g B 2 Linien und Punkte im Dreieck 2.1 Mittelsenkrechten Umkreis, k (Umkreismittelpunkt M, Umkreisradius r) C spitzwinklig C B B A A C B A rechtwinklig stumpfwinklig Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt ________________ des Dreiecks Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der M Umkreismittelpunkt auf der__________________ des Dreiecks r Der Zentriwinkel ist __________________ ________________ wie der Peripheriewinkel. M8 Geometrie 2 Umkreis 1 Winkelhalbierende und Inkreis, k (Inkreismittelpunkt O, Inkreisradius ρ) 2.2 C B A 2.3 Höhen und Höhenschnittpunkt H H C H rechtwinklig stumpfwinklig B A 2.4 Seitenhalbierenden oder Schwerelinien, Schwerpunkt S C A B 2.5 Mittelparallelen oder Mittellinien C B A M8 Geometrie 2 2 3 Übersicht Linien im Dreieck oder Schwerelinien ___________________ Die Mittellinien oder Mittelparallelen ___________________________ M8 Geometrie 2 3 4 "Satz des Thales": Alle Peripheriewinkel über einem Kreisdurchmesser sind rechte Winkel. Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales bewiesene Sätze benötigt: 1. Die beiden Winkel an der Grundseite (Basiswinkel) eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß. 2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°. Aus der Zeichnung ist zu erkennen, dass die Dreiecke MAC und MBD je gleichschenklig sind. Daher ist der Winkel γ aus den Winkeln α und β zusammengesetzt. Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°: α + β + γ = 180° Dividiert man diese Gleichung durch 2, so ergibt sich . Damit ist gezeigt, dass der Winkel γ bei C ein rechter Winkel ist. Thaleskreis Konstruktion B A Tangentenkonstruktion T2 M P T1 Konstruiere vom Punkt P aus die Tangenten an den Kreis! Markiere die Tangentenabschnitte → PT1 = PT2 mit Farbe und beschrifte die Tangentenberührpunkte mit T1 und T2 ! P M8 Geometrie 2 4 5 Winkel am Kreis Suche möglichst alle rechten Winkel. Markiere sie mit Punkten. Markiere auch noch die 75° Winkel. A B Linke Figur: Zeichne über und unter der Strecke AB verschiedene rechtwinklige Dreiecke. Wo liegen alle Punkte C? Rechte Figur: Zeichne von A aus verschiedene Geraden. markiere die Schnittpunkte mit C2, C3 usw. Zeichne bei C2, C3 etc. Senkrechten. Wo treffen sich diese Senkrechten? C1 A B C2 M A M8 Geometrie 2 5 6 Die Sprache in der Geometrie (Der Kurztext ist eine Möglichkeit etwas Zeit zu sparen, er muss nicht genau so geschrieben sein!) Kurztext Erläuterung a = AB A∈g k1 (A, r = 3 cm) ⊥ zu a durch P ⊥ zu a || zu b durch B α an g Winkel BAC MS zu AB wα sa Streifen hc g ∩ k1 (A, r) → A Diagonale AC Strecke a durch die Punkte A und B zeichnen Punkt A auf der Geraden g wählen Kreis (oder Bogen) um A mit Radius r zeichnen Eine Senkrechte zur Geraden a durch den Punkt P errichten Lot zur Geraden A fällen Eine Parallele zur Geraden b durch den Punkt B zeichnen Winkel α an der Geraden g abtragen. Winkel BAC abtragen. Die Mittelsenkrechte der Seite AB konstruieren Winkelhalbierende von α konstruieren Seitenhalbierende von a konstruieren Höhenstreifen hc Konstruieren Die Gerade g mit dem Kreis k1 geschnitten ergibt den Punkt A Diagonale AC zeichnen Führe folgende Anweisungen aus: 1. Strecke AB = 5 cm, A, B ∈ g 2. ⊥ zu AB durch A und B 3. k1 (A, 5 cm) ∩ k2 (B, 5 cm) → M 4. k3 (M, 5 cm) 5. Gerade AM ∩ k3 → D 6. Gerade BM ∩ k3 → E 7. || zu AB durch M ∩ k3 → C, F Welche Anweisung überflüssig? g M8 Geometrie 2 6 7 Aufgaben aus dem alten Mathebuch 7.1 Aufgaben Dreiecke mit Höhen 7.2 Lösungen Dreiecke mit Höhen, Kontrollgrössen M8 Geometrie 2 7 7.3 Konstruktionen Dreiecke, Umkreis und Inkreis M8 Geometrie 2 8 7.4 Lösungen Dreiecke, Umkreis und Inkreis M8 Geometrie 2 9 7.5 Konstruktionen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien 7.6 Lösungen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien M8 Geometrie 2 10