1.) Gruppen- und Körperaxiome

1.) Gruppen- und Körperaxiome
Aufbauend auf: "Verknüpfungen", "Assoziativgesetz und Kommutativgesetz"
Aufgaben: 6
> restart;
Definition von Gruppen
Wir wollen jetzt die präzisen Regeln aufstellen, die sich als grundlegend erwiesen haben, um
bestimmte Rechnungen auszuführen, die in vielen sehr unterschiedlichen Situationen auftreten.
Es ist ein Kennzeichen der Algebra, diese Regeln möglichst allgemein zu halten, sodass
einerseits viele verschiedene Anwendungen möglich sind, aber andererseits doch noch eine
Theorie bereitgestellt werden kann, die auch in den konkreten Anwendungen nicht ganz trivial
ist. Wir fangen mit einer Verknüpfung an.
MATH: Eine Gruppe
ist eine nicht leere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung
auf G, sodass folgende drei Axiome gelten:
1) ist assoziativ:
2) Es existiert ein eindeutiges Element
für alle
mit
.
:
3) Zu jedem Element
gibt es ein eindeutiges Element
mit
.
Zusatz:
Gilt das Kommutativgesetz für , so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.
Bezeichnungen:
1 heißt neutrales Element oder Einselement,
das zu inverse Element.
Schreibt man die Verknüpfung als
statt , so bezeichnet man das neutrale Element mit 0 und
nennt es Nullelement, das zu inverse Element mit
und nennt es das negative Element von
. In der Regel bezeichnet man die Verknüpfung nur bei abelschen Gruppen mit .
Wir wollen uns in Bescheidenheit üben und einsehen, dass wir auch mit schwächeren
Forderungen auskommen.
ÜBUNG [01]:
Sei eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung
Axiome gelten:
1) ist assoziativ:
auf G, sodass folgende drei
2') Es existiert Element
für alle
mit
.
:
3') Zu jedem Element
Zeige, dass
gibt es ein Element
mit
.
eine Gruppe ist. Gehe dabei wie folgt vor:
1. Zeige: Für alle
gilt: Ist ein zu linksinverses Element von , so ist auch ein zu
rechtsinverses Element von .
2. Zeige: Sei ein linksneutrales Element von . Dann ist auch rechtsneutral.
3. Zeige: Das links(- und damit auch rechts-)neutrale Element ist eindeutig.
4. Zeige: Zu jedem Element
existiert ein eindeutiges links(- und damit auch rechts-)
inverses Element.
Hinweis: Bei 1. kann es hilfreich sein, dass ein zu linksinverses Element eines Elements
nach 2') selbst wieder ein zu linksinverses Element besitzt.
DENKANSTOSS: Ersetzt man das Axiom 3') durch das folgende Axiom 3'') so muss die
resultierende Struktur keine Gruppe mehr sein:
3'') Zu jedem Element
gibt es ein Element
mit
.
Man kann sich dazu leicht ein Gegenbeispiel mit einer zweielementigen Menge konstruieren,
indem man eine geeignete Multiplikationstabelle hinschreibt.
Wir wollen Gruppen nun ein wenig besser verstehen.
ÜBUNG [02]:
Sei
eine Gruppe und
.
1) Zeige: Die Rechtsmultiplikation
mit ist bijektiv. Hinweis: Gib die
inverse Abbildung an.
2) Zeige: Die Linksmultiplikation
mit ist bijektiv.
3) Gib ein Beispiel für eine nicht-abelsche Gruppe an, also finde
und ein
an, so
dass
.
Beispiele von Gruppen
BEISPIEL 1: Die ganzen Zahlen mit der Addition
> 0+a;
a+0;
a
a
> a+(-a);
0
bilden eine abelsche Gruppe:
(1.2.1)
(1.2.2)
BEISPIEL 2: Die rationalen Zahlen mit der Addition
bilden eine abelsche Gruppe. Bei
dieser Gruppe ist der Gleichheitsbegriff für die Elemente etwas problematisch:
> 6/4;
3
(1.2.3)
2
> (a*b)/(a*c);
(1.2.4)
Wir kommen später auf das Problem zurück, dass man sehr viele verschiedene Namen für
dieselbe rationale Zahl hat. Aber wenn man den Bruch durchkürzt und auf einem positiven
Nenner besteht, hat man eine Normalform. Jedoch ist das Addieren von Normalfomen nicht ganz
> 3/4+2/9;
35
36
(1.2.5)
BEISPIEL 3: Die ganzen Zahlen mit der Multiplikation bilden keine Gruppe, haben aber die
Eins als Einselement. Selbst wenn wir die Null aus der Menge entfernen, haben wir keine
Gruppe, denn z. B. zu 3 haben wir kein inverses Element. Wenn wir hingegen die rationalen
Zahlen ungleich Null mit der Multiplikation betrachten
, so bekommen wir sehr
wohl eine Gruppe:
> (2/3)^(-1);
3^(-1);
3
2
1
(1.2.6)
3
BEISPIEL 4: Die Menge aller bijektiven Abbildungen
bildet eine Gruppe mit der
Komposition als Multiplikation, für eine beliebige feste Menge . Man nennt diese Gruppe die
symmetrische Gruppe auf
ÜBUNG [03]:
1) Verifiziere von Hand die Gruppenaxiome für die symmetrische Gruppe auf , wobei
beliebige Menge ist.
2) Sind die symmetrischen Gruppe kommutativ?
3) Verifiziere mit Maple die Gruppenaxiome für
.
4) Ist
kommutativ?
5) Gib die größte Teilmenge
an, sodass
eine Gruppe mit
eine
Einselement ist und verifiziere mit Maple die Behauptung.
6) Ist diese Gruppe kommutativ?
Hinweis: (3)-(6) sind endliche Probleme. Benutze map. Rechne oft genug mod 10.
Der Gruppenbegriff ist für sich von einem erheblichen Interesse, denn er beschreibt Symmetrien.
Er wird euch daher später noch oft begegnen. Im Moment wollen wir ihn nur benutzen, um den
Begriff des Körpers zu definieren, bei dem zwei Verknüpfungen vorliegen.
Definition von Ringen und Körpern
MATH: Ein Ring
mit Einselement ist eine nicht leere Menge zusammen mit zwei
Verknüpfungen und , so dass gilt:
1)
ist eine kommutative Gruppe, deren neutrales Element mit bezeichnet wird.
2)
ist assoziativ mit einem neutralen Element .
3) Für den Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation gilt das Distributivgesetz:
(Die rechte Seite ist gemäß der Vereinbarung Punkt- vor Strichrechnung zu lesen.)
Wenn wir von einem Ring sprechen, meinen wir in der Regel einen Ring mit Einselement.
Ein Ring heißt kommutativer Ring falls
kommutativ ist.
DENKANSTOSS: Zeige allgemein für Ringe, dass
> 0*1;
0
gilt.
(1.3.1)
MATH: Ein kommutativer Ring
mit 1 heißt Körper, wenn zusätzlich gilt:
4)
und
5)
ist eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 1.
DENKANSTOSS: Sei
ein Ring mit
, dann ist
.
BEISPIEL: Jedem sollten schon einige Beispiele bekannt sein: Die ganzen Zahlen bilden ein
kommutativen Ring, , und sind Körper. Mehr Beispiele folgen in den nächsten Wochen.
MATH: Sei eine beliebige Menge und ein Ring. Die Menge
aller Abbildungen von
nach bildet einen Ring bezüglich der punktweisen Addition und Multiplikation: Seien
, dann sind die Abbildungen
und
definiert durch
Null- und Einselemente:
MAPLE kennt diese Verknüpfungen:
> (f+g)(a);
(1.3.2)
> (f*g)(a);
(1.3.3)
MAPLE kennt auch das Null- und as Einselement:
> 0(a),(f+0)(a),(0+f)(a);
(1.3.4)
> 1(a),(f*1)(a),(1*f)(a);
(1.3.5)
Assoziativität von
und , Kommutativität von , sowie das Distributivgesetz folgen aus den
entsprechenden Eigenschaften von . Ist kommutativ, dann ist auch
kommutativ.
ÜBUNG [04]:
1) Begrüde genauer: Warum ist
ein Ring, falls ein Ring ist?
2) Sei ein Körper und eine beliebige Menge mit
. Warum ist
kein Körper?
(Hinweis: Mache dir die Aussage zunächst an einem Beispiel einer endlichen Menge mit
klar.)
Beispiele von Ringen und Körpern
BEISPIEL:
Ring:
> 5*40 mod 100;
ist kein Körper, sondern nur ein kommutativer
0
(1.4.1)
DENKANSTOSS: Warum reicht dies bereits als Beweis aus, dass
BEISPIEL:
ist ein Körper, den wir kurz mit
DENKANSTOSS: Verifiziere die Körperaxiome für
kein Körper ist?
bezeichnen.
.
ÜBUNG [05]:
1) Verifiziere das Distributivgesetz für
.
2) Warum ist
kein Körper?
3) Die folgende Verknüpfungstabellen kann man eindeutig ergänzen, so dass ein Körper
entsteht. Berechne diese Ergänzung und begründe dabei die Wahl aller
Einträge.
(Hinweis: Du musst nicht mehr zeigen, dass das Ergebnis ein Körper ist.)
Angeordnete Körper
Wir haben bereits definiert, was ein Körper
ist. Wir wollen in diesem Abschnitt über
spezielle Relationen, die auf gewissen Körpern definiert sind, sprechen: Anordnungen.
MATH: Eine Relation
auf dem Körper
heißt Anordnung, falls gilt:
1) für
gilt genau eine der Beziehungen:
, (die Elemente
heißen positiv.)
2) (Transitivität:) für
mit
und
folgt
;
3) (Verträglichkeit mit Addition:) für
mit
folgt
;
4) (Verträglichkeit mit Multiplikation mit positiven Zahlen:) für
mit
folgt
.
Falls
eine Anordnung auf
ist, heißt
oder einfach
mit
und
ein angeordneter Körper.
MATH: Aus den Axiomen 1) bis 4) folgen weitere Eigenschaften, die man allerdings ohne
MAPLE beweisen muss:
5)
Beweis: Anderenfalls wäre nämlich
, wegen 3) also
, wegen 4) somit
, also wegen 2)
im Widerspruch zu
.
6) für
mit
und
(negativ) gilt
DENKANSTOSS: Zeige dies zuerst für
. Warum folgt es dann allgemein?
ÜBUNG [06]:
Zeige: Auf
existiert keine Anordnung.
freiwillig: Auf jedem Körper mit
existiert keine Anordnung.
freiwillig: Auf jedem Körper mit
existiert keine Anordnung.
>
MAPLE kann bei der axiomatischen Theorie angeordneter Körper im Bereich der
Untersuchungen kaum helfen, allenfalls beim Konstruieren von Gegenbeispielen.
MATH: Wichtige Begriffsbildungen für angeordnete Körper sind beschränkte Mengen: Eine
Teilmenge von heißt nach oben beschränkt, falls ein
existiert mit
oder
(kurz
) für alle
. In diesem Fall heißt obere Schranke. Manchmal existiert bei nach
oben beschränkten Mengen eine kleinste obere Schranke. Diese heißt dann Supremum von .
Liegt zudem noch das Supremum in , so heißt es Maximum von . Ein angeordneter Körper, in
dem jede nach oben beschränkte, nicht leere Menge ein Supremem hat, heißt vollständig.
Begriffe wie "nach unten beschränkt'', Infimum und Minimum sind entsprechend definiert.
DENKANSTOSS: Wenn ein Supremum existiert, ist es eindeutig bestimmt.
2.) Der Körper der reellen Zahlen
> restart;
Aufbauend auf: "Gruppen- und Körperaxiome"
Aufgaben: 4
Die reellen Zahlen bilden den Ausgangspunkt der Analysis und sind somit von grundlegender
Bedeutung.
BEZEICHNUNG: = Körper der reellen Zahlen.
Das Vollständigkeitsaxiom
MATH: Man definiert den Körper der reellen Zahlen als einen angeordneten Körper, für den
zusätzlich das folgende Vollständigkeitsaxiom gilt:
Vollständigkeitsaxiom: Jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge von
Supremum.
besitzt ein
Unser Standpunkt ist: Wir konstuieren in diesem Stadium nicht, sondern nehmen an, dass
existiert und (in einem hier nicht zu präzisierenden Sinne) eindeutig festgelegt ist.
Die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen liegen in , aber es gibt
auch reelle Zahlen, die nicht rational sind.
Für den Körper
der rationalen Zahlen ist das Vollständigkeitsaxiom nicht erfüllt.
MATH: Aus dem Vollständigkeitsaxiom kann man leicht das folgende
Intervallschachtelungsprinzip herleiten:
Ausgehend von zwei reellen Zahlen x und y mit
halbiert man das abgeschlossene Intervall
und geht zu genau einem der Intervalle
oder
über. Dieser Halbierungsschritt wird iteriert, so dass man zu einer Folge von Intervallen
kommt, die ineinander geschachtelt sind, d.h. jedes frühere umfasst jedes spätere. Der
Durchschnitt all dieser (unendlich vielen) Intervalle besteht aus genau einer reellen Zahl .
Beweis: Nach Konstruktion der Intervalle gilt
Schranken der Menge
.
Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert
M ist, gilt
für alle
für alle
. Damit sind alle
obere
, und da die kleinste obere Schranke von
. Andererseits gilt natürlich auch
,
und damit ist
für alle , d.h. s liegt im Durchschnitt all dieser Intervalle:
.
Damit gibt es mindestens eine reelle Zahl, die in all diesen Intervallen liegt.
Es fehlt noch zu zeigen, dass höchstens eine reelle Zahl im Schnitt all dieser Intervalle liegt. Dies
machen wir in der folgenden Aufgabe.
ÜBUNG [01]:
Zeige (ohne Maple), dass es höchstens eine reelle Zahl gibt, die in allen derartigen
Intervallen liegt.
Hinweis: Folgende Aussagen darfst du benutzen:
1.)
.
2.) Ist
mit
für alle
. (Archimedisches Axiom.)
Intervallschachtelung
Zwei Zusätze zum Intervallschachtelungsprinzip sind von Interesse:
1.) Oftmals kennt man schon Eigenschaften der Zahl . Dann benutzt man diese, um in jedem
Schritt zu entscheiden, ob man die erste (linke) oder die zweite (rechte) Intervallhälfte für das
neue Intervall nimmt.
2.) Nach n Schritten kennt man bereits mit der Genauigkeit
.
Hier ist eine Prozedur, die ausgehend von einem Intervall
mit
eine wie oben beschriebene Intervallfolge erzeugt mit
und
für alle .
Das Verfahren bricht ab, wenn die Intervalllänge kleiner als
wird.
> IntervSchaW2 := proc(a::And(rational,positive), b::And
(rational,positive), n::posint)
local fA, fB, r, s, t;
if not (a^2<2 and 2<b^2) then
error "Wrong arguments"
end if;
r:=a;
s:=b;
fA:=r;
fB:=s;
while (s-r >= 1/n) do
t:=(r+s)/2;
if t^2>2 then
fB:=fB, t;
fA:=fA, [fA][-1];
s:=t;
else
fA:=fA, t;
fB:=fB, [fB][-1];
r:=t;
end if;
end do;
return zip((a,b)->[a,b], [fA], [fB]);
end proc:
MAPLE: Auf das letzte Element einer Liste (oder Sequenz) L greift man mit L [ - 1 ] zu. Der
Befehl z i p fügt 2 Listen zu einer Liste zusammen. Für Details kann man wie immer die Hilfe
konsultieren.
Schauen wir uns das Programm im Einsatz an:
> IntervSchaW2(1,2,200);
(2.2.1)
Wir wissen, dass es genau ein
zwischen
und
gibt, das in allen Intervallen liegt. Diese Zahl muss
liegen. Wir kennen diese Zahl schon mit einem Fehler, der kleiner ist
als
> evalf(363/256-181/128);
0.003906250000
also ist z. B.
> evalf((363/256+181/128)/2);
1.416015625
eine halbwegs gute Näherung.
(2.2.2)
(2.2.3)
MATH: Nachdem wir eingesehen haben, dass existiert und eindeutig bestimmt ist, ist es leicht
zu sehen, dass
Argument:
gilt, d.h. ist die eindeutige (positive) Quadratwurzel aus 2. Hier das
c
Aus der ersten und der dritten Ungleichung folgt im Falle
=
und im Falle
:
=
Wir haben also in beiden Fällen
=
Wegen
:
,
.
und
und damit ebenfalls wie oben
MATH: Es gibt aber kein
c folgt wie in Übung 1
, d.h.
mit
.
. Damit gibt es reelle Zahlen, die nicht rational sind.
DENKANSTOSS: Wieso führt die eindeutige Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen dazu, dass
keine rationale Zahl mit
existiert? (Hinweis: Mache die 2-Bilanz für Zähler und Nenner!)
ÜBUNG [02]:
1) Verstehe und kommentiere das Programm "IntervSchaW2".
2) Modifiziere das Programm so, dass man keine Quadratwurzeln von 2, sondern -te Wurzeln
einer beliebigen (positiven) rationalen Zahl approximiert werden für eine natürlich Zahl
.
3) Gib unter Benutzung der Idee der Intervallschachtelung die Anzahl der Durchläufe der
w h i l e-Schleife abhängig von den Parametern , und an.
Hinweis: Wie groß ist der maximale Fehler im ersten Schritt und wie verändert er sich pro
Schleifendurchlauf?
Zur allgemeinen Orientierung noch eine Bemerkung:
MATH: Man kann zeigen, dass es wirklich einen angeordneten Körper gibt, der das
Vollständigkeitsaxiom erfüllt.
Man kann weiter zeigen, dass jeder weitere angeordnete Körper, der das Vollständigkeitsaxiom
erfüllt, mit dem von uns konstruierten identifiziert werden kann unter Benutzung einer bijektiven
Abbildung, die das Rechnen und die Anordnung überträgt.
Weiterhin hätten wir diesen Körper durch Vervollständigung von konstruieren können, was
aber momentan nicht Thema sein soll.
Wir wollen festhalten: Es gibt einen (im Wesentlichen) eindeutigen angeordneten
vollständigen Körper, den Körper der reelen Zahlen .
Symbolisches Rechnen
Wir haben die Schwierigkeiten des numerischen Rechnens gesehen und wollen jetzt die
Möglichkeiten des symbolischen Rechnens an einem Beispiel andeuten.
MATH:
, die Quadratwurzel aus , kommt in gewissen Ausdrücken vor, die ansonsten nur
rationale Zahlen enthalten. Die Ausdrücke sollen (beispielsweise) quadriert werden.
MAPLE kommt nicht auf die Idee,
numerisch zu approximieren, sondern arbeitet nur mit
den definierenden Eigenschaften. Es benutzt die Körperaxiome der reellen Zahlen, schreibt 2
falls
auftaucht, und erweitert Brüche, so dass kein
animiert wird:
> a:=(3+sqrt(2))/(2-sqrt(2));
mehr im Nenner steht, falls es dazu
(2.3.1)
Ziel: Bestimme !
> a:=rationalize(a);
a:=expand(a);
(2.3.2)
> a^20;
(2.3.3)
> b:=expand(a^20);
(2.3.4)
Bis hier ist die Rechnung symbolisch, also fehlerfrei!
> evalf(b);
evalf(a)^20;
%%-%;
(2.3.5)
ÜBUNG [03]:
Bestimme eine genauere Approximation von
Verfahren verwendest.
> c:=1+sqrt(2)/100000;
als die folgende, indem du obiges
(2.3.6)
>
evalf(c)^10000;
1.151907196
Achtung: Es kann beim Bearbeiten dieser Aufgabe zu langen Ausgaben kommen sinnvollerweise sollte man die langen Terme nicht ausgeben.
Freiwilliger Zusatz: Berechne c
mit Hilfe von Square&Multiply.
(2.3.6)
MATH und MAPLE: Selbstverständlich trauen wir dem symbolischen Ergebnis etwas mehr als
dem numerischen, weil bei letzterem alles mit Gleitkommazahlen gerechnet wurde und bei dem
symbolischen nur der letzte Schritt. Es empfielt sich immer soweit wie möglich symbolisch zu
rechnen, um genauere Werte zu erhalten - soweit es die benötigte Rechenzeit zulässt.
MATH: Wurzeln sind besonders einfache Beispiele für das symbolische Rechnen. Die Zahl
erfüllt beispielsweise keine Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten. Trotzdem empfiehlt
es sich oftmals, auch da erst im letzten Schritt numerisch zu rechnen.
> Pi, evalf(Pi);
(2.3.7)
Das Archimedische Axiom
Bislang haben wir gesehen:
ist ein angeordneter vollständiger Körper. hat eine
weitere wichtige Eigenschaft, die wir schon gesehen haben, ohne sie besonders hervorgehoben
zu haben.
MATH: (Archimedes 287-212 v. Chr.): ist nicht nach oben beschränkt in :
Für jedes
gibt es ein
mit
.
Folgerung: Für
.
Folgerung: Es gibt keine unendlich kleine positive reelle Zahl:
.
Folgerung: Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es immer eine rationale Zahl:
Für
.
All dies ist jetzt sehr leicht einzusehen. Wenn die zweite Folgerung in einem angeordneten
Körper gilt, sagt man auch, das Archimedische Axiom ist erfüllt. Die dritte Folgerung
umschreibt man meistens so: Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen. Hier ist
ein Programm, welches die dritte Folgerung umsetzt:
> Zwi:=proc(a::algebraic,b::algebraic)
local x, n, r;
if is(a < b) then
return Zwi(b,a);
fi;
x := a-b;
n := ceil(1/x);
r := (floor(n*a))/n;
return r;
end proc:
> Zwi(Pi,sqrt(10));
22
7
> evalf(Pi), evalf(22/7), evalf(sqrt(10));
(2.4.1)
(2.4.2)
MAPLE: Es ist anzunehmen, dass Maple bei der Abfrage auf
bereits eine Umrechnung auf
Gleitkommazahlen vornimmt, so dass das letzte Programm lediglich einen didaktischen Wert
hat.
DENKANSTOSS: Veranschauliche das Programm auf der Zahlengeraden.
ÜBUNG [04]:
1) Zeige: Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es immer unendlich viele rationale
Zahlen.
2) Zeige: Jede unendliche Teilmenge von ist unbeschränkt.