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Institut für Allgemeine Wirtschaftsforschung
Abteilung Sozialpolitik: Prof. Dr. G. Schulze
Jahreskurs Mikroökonomie
Teil 1 – WS03/04
Vorlesungsfolien 04.12.2003
Nicholson, Walter, Microeconomic Theory
Kapitel 7
VII/1
Kapitel 7: Marktnachfrage und Elastizität
Marktnachfrage
In einer Wirtschaft mit zwei Individuen lassen sich für den
Zwei-Güter-Fall die individuellen Nachfragefunktionen
wie folgt darstellen:
X 1 = d 1X ( PX , PY , I1 )
X 2 = d X2 ( PX , PY , I 2 )
àBeide Individuen sind Preisnehmer und für sie gelten
dieselben Preise PX und PY
àDie Individuen können aber über unterschiedliche
Einkommen verfügen
VII/2
Die Gesamtnachfrage des Marktes ergibt sich als die Summe
der Einzelnachfragen (in Abhängigkeit von den Preisen
und Einkommen):
Marktnachfrage nach Gut X = X 1 + X 2 = d 1X ( PX , PY , I1 )
+ d X2 ( PX , PY , I 2 )
= DX ( PX , PY , I1 , I 2 )
PY , I1 und I 2 sind Lageparame ter der Kurve
während Veränderungen von PX
Bewegungen auf der Kurve darstellen.
VII/3
Grafik 7.1: Graphische
Herleitung der Marktnachfrage
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.173
VII/4
Bsp 7.1: Veränderungen der Marktnachfrage
X 1 = 10 − 2 PX + 0,1I1 + 0,5PY
X 2 = 17 − PX + 0,05I 2 + 0,5PY
Daraus ergibt sich folgende Marktnachfrage:
DX ( PX , PY , I1 , I 2 ) = X 1 + X 2
= 27 − 3PX + 0,1I1 + 0,05I 2 + PY
VII/5
Um die Funktion zeichnen zu können, muss man den Einkommen
und dem Preis von Gut Y Werte zuweisen:
I1 = 40; I 2 = 20; PY = 4
⇒ X = 36 − 3PX
Eine Preissteigerung von Y auf 6, verschiebt die Kurve nach außen:
X = 38 − 3PX
Nimmt man 10 von I1weg und gibt 2 davon an I 2 weiter, so
verschiebt sich die Kurve nach innen:
X = 35,5 − 3PX
VII/6
Def: Marktnachfrage (S.175)
Das Modell lässt sich auf beliebig viele Güter und Individuen erweitern,
X ij = dij ( P1...Pn , I j )
so dass sich am Ende die Marktnachfrage wie folgt ergibt:
m
X i = ∑ X ij = Di ( P1 ,..., Pn , I1 ,..., I m )
j =1
Die Marktnachfrage ist eine fallende Funktion des Preises
für Gut X, auch im Viel-Güter-Fall wird sie durch
Variation des Preises gezeichnet, unter der Annahme, dass sich
alle anderen Einflussgrößen nicht ändern.
VII/7
Fazit:
•Die Marktnachfrage hängt nicht allein vom Preis des Gutes X
ab, sondern von den Preisen für alle Güter
•Veränderungen der Preise der anderen Güter j ≠ i ,
der Einkommen und der Präferenzen verschieben
die Nachfragekurve für das Gut i.
VII/8
Elastizitäten
àInteresse an den Auswirkungen einer Veränderung
einer unabhängigen Variablen A auf die abhängigen Variablen B
àAllerdings werden unterschiedliche Variablen nicht immer
in der gleichen Einheit gemessen
B = f (A....)
ε B, A
Relative Änderung von B
=
Relative Änderung von A
àElastizitäten bezeichnen die prozentuale Änderung von B
in Abhängigkeit einer prozentualen Änderung von A.
VII/9
Bogenelastizität: ε B , A
∆B
∆B A
B
=
=
⋅
∆A ∆A B
A
Punktelastizität: ε B , A
∂B
∂B A
B
=
=
⋅
∂A ∂A B
A
VII/10
Ein wichtiges Beispiel ist die
Preiselastizität der Nachfrage
ε Q,P
∂Q P
=
⋅
∂P Q
Gibt an, um wie viel Prozent sich die Nachfrage ändert, infolge
einer prozentualen Preisänderung.
Die Preiselastizität der Nachfrage ist für normale Güter negativ
und für Giffen-Güter positiv.
VII/11
Elastizität graphisch:
Wenn eine Kurve elastisch ist, bedeutet das, dass der Preis stark
auf die Menge wirkt. Ist sie hingegen unelastisch, dann übt der
Preis keinen großen Einfluss auf die Menge aus.
Wert der
Elastizität
ε Q ,P < −1
Terminologie
Elastisch
ε Q , P = −1
ε Q , P > −1
Unelastisch
VII/12
ε Q , P < −1 Bedeutet, dass die Mengen überproportional
auf eine relative Preisänderung reagieren
ε Q, P = − 1
Bedeutet, dass die Mengen proportional
auf eine relative Preisänderung reagieren
ε Q, P > −1 Bedeutet, dass die Mengen unterproportional
auf eine relative Preisänderung reagieren
VII/13
Preiselastizität und Umsatz
Wie ändern sich der Umsatz, wenn sich der Preis eines Gutes ändert?
∂[PQ ( P) ]
∂Q
= Q+ P⋅
∂P
∂P
∂[PQ ∂P]
∂Q P
= 1+
⋅ = 1 + ε Q, P
Q
∂P Q
Wie reagiert der Umsatz auf Preissteigerungen?
Nachfrage
Preissteigerung Preissenkung
Elastisch
Fällt
Steigt
ε Q , P = −1
Keine Änderung
Keine Änderung
Unelastisch
Steigt
Fällt
VII/14
Einkommenselastizität der Nachfrage
Wie reagiert die Nachfrage auf Einkommensänderungen?
ε Q,I
∂Q ∂I ∂Q I
=
: =
⋅
Q I
∂I Q
à Positiv für normale Güter und negativ für inferiore Güter
Für Luxusgüter gilt:
ε Q,I > 1
VII/15
Kreuzpreiselastizität der Nachfrage
Wie reagiert die Nachfrage nach einem Gut X auf eine
Preisänderung des anderen Gutes Y?
ε QX , PY
∂QX PY
=
⋅
∂PY QX
à Positiv für Brutto-Substitute
à Negativ für Brutto-Komplemente
VII/16
Beziehungen zwischen Elastizitäten:
1. Einkommenselastizitäten:
Leitet man die Budgetgerade
PX X + PY Y = I
nach I ab, so ergibt sich:
∂X
∂Y
PX ⋅
+ PY ⋅
=1
∂I
∂I
und erweitert man beide Terme wie folgt:
PX X ∂X I PY Y ∂Y I
⋅
⋅ +
⋅
⋅ =1
I
∂I X
I ∂I Y
VII/17
PX X I bezeichnet den Anteil des Einkommens, der für Gut X
aufgewendet wird; entsprechend PY Y I den Anteil für Gut Y
Bezeichnet man diese Anteile mit z.B. s X bzw. sY , so lässt sich
die Gleichung unter Anwendung der Elastizitäten wie folgt
vereinfachen
s X ε X , I + sY ε Y , I = 1
mit s X =
PX X
I
àDie Summe der gewogenen Einkommenselastizitäten ist 1.
VII/18
2. Slutzky Gleichung in Elastizitätsschreibweise
∂X
∂X
=
∂PX ∂PX
U = constant
∂X
−X
∂I
wird mit PX X erweitert :
∂X PX
∂X PX
⋅
=
⋅
∂PX X ∂PX X
U = constant
∂X 1
− PX ⋅ X ⋅
⋅
∂I X
und der letzte Term wird um I erweitert :
∂X PX
∂X PX
⋅
=
⋅
∂PX X ∂PX X
U = constant
PX ⋅ X ∂X I
−
⋅
⋅
I
∂I X
VII/19
Wir definieren die Substitutionselastizität wie folgt:
ε X ,PX
S
∂X PX
=
⋅
∂PX X
U = constant
Sie zeigt, wie sich die kompensierte Nachfrage nach X durch eine
kompensierte Preisänderung verändert. Dann lässt sich die
Slutzky-Gleichung schreiben als:
⇒ ε X , PX = ε
S
X , PX
− s X ε X ,I
VII/20
Euler Theorem
Wenn eine Funktion f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) homogen vom Grade m ist,
so gilt:
∂f
∂f
∂f
X1 +
X 2 + ... +
= m ⋅ f ( X 1 ,..., X n )
∂X 1
∂X 2
∂X n
Homogenität vom Grade m bedeutet:
f (tX 1 , tX 2 ,..., tX n ) = t m f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
VII/21
Differenzieren nach t:
∂ (tX n )
∂f
∂ (tX 1 )
∂f
...
⋅
+ +
⋅
= m ⋅ t m−1 f ( X 1 ,..., X n )
∂ (tX 1 )
∂t
∂ (tX n )
∂t
∂f
∂f
⋅ X 1 + ... +
⋅ X n = m ⋅ t m−1 f ( X 1 ,..., X n )
∂ (tX 1 )
∂ (tX n )
Dies gilt für alle t; für t=1 ergibt sich das Euler-Theorem
VII/22
Homogenität
Wie gezeigt sind alle Nachfragefunktionen
in Preisen und Einkommen homogen vom Grade Null.
Aus dem Euler-Theorem folgt dann, dass:
∂X
∂X
∂X
⋅ PX +
PY +
I =0
∂PX
∂PY
∂I
1
Erweitert mit :
X
∂X PX ∂X PY ∂X I
⋅
+
⋅ +
⋅ =0
∂PX X ∂PY X ∂I X
ε X , PX + ε X , PY + ε X , I = 0
Die Summe aller Nachfrageelastizitäten nach einem Gut
ergibt sich zu Null.
VII/23
Bsp 7.2: Cobb Douglas Elastizitäten
Gegeben:
U (X ,Y ) = X αY β
X =
αI
PX
βI
Y=
PY
So dass sich die Elastizitäten wie folgt ergeben:
ε X , PX
∂X PX
αI PX
αI
1
=
⋅
=− 2 ⋅
= −−
⋅
= −1
∂PX X
PX αI PX
PX X
VII/24
Entsprechend gilt:
ε X ,I = 1
ε X ,PY = 0
ε Y , PY = −1
εY ,I = 1
ε Y , PX = 0
PX X
⇒ sX =
=α
I
PY Y
⇒ sY =
=β
I
VII/25
Werden konstante Anteile des Einkommens für die beiden Güter
ausgegeben, so gilt:
ε X ,PX + ε X , PY + ε X , I = −1 + 0 + 1 = 0
Bzw. durch Einsetzen in die Slutsky Gleichung erhalten wir:
ε X , PX = ε XS , PX − s X ε X , I
− 1 = ε XS ,PX − α (1)
ε XS , PX = −(1 − α ) = − β
α+ β = 1
Das heißt, die Preiselastizität der Nachfrage der kompensierten Nachfragekurve der CD Funktion entspricht dem Ausgabenanteil des
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jeweils anderen Gutes.
ε XS , PX = −(1 − α ) = − β
Dieser Spezialfall lässt sich verallgemeinern zu:
ε XS , PX = −(1 − s X )σ
Sigma beschreibt die Substitutionselastizität, welche im Falle
von CD Funktionen 1 ist und diesen Spezialfall hervorruft.
VII/27
Lineare Nachfragekurven
Q = a + bP + cI + dP'
∂Q ∂P = b ≤ 0 (Giffen Güter ausgeschlo ssen)
∂Q ∂I = c ≥ 0 (normale Güter)
∂Q ∂P ' = d ≤≥ 0 (je nachdem, ob P‘ der Preis eines
Brutto-Substitutes oder – Komplements ist)
Für I und P‘ konstant gilt dann:
Q = a'+bP
a' = a + c I + d P '
VII/28
Lineare Nachfrage und Elastizitäten
Entlang einer linearen Nachfragekurve gilt, dass eine Preiserhöhung
um 1, denselben marginalen Effekt auf die Menge hat,unabhängig von
der Höhe des Preises.
Das heißt: Steigt der Preis von 1 auf 2, wirkt sich das gleich
aus wie eine Steigerung von 20 auf 21. Während im ersten Fall der
Preis verdoppelt wurde, steigt er im zweiten nur um 5 %. Daher
ändert sich der Wert der Elastizität:
ε Q, P
∂Q P
P
=
⋅ = b⋅
∂P Q
Q
VII/29
Bsp 7.3: Preiselastizität einer linearen
Nachfragekurve
In Bsp.7.1 war unsere lineare Marktnachfrage beschrieben durch
die Funktion (Q anstelle X):
Q = 36 − 3P
Unter Verwendung der Definition der Preiselastizität erhalten wir:
ε Q,P
P
∂Q P
 P 
=
⋅ = −3  = −3

∂P Q
 36 − 3P 
Q
Die Elastizität ist also abhängig vom Preis. Ist der Preis größer als 6,
so ist sie elastisch, ist er kleiner als 6 unelastisch.
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Lineare Nachfrage
Q = a + bP + cI + dP '
∂Q
=b ; b<0
∂P
vereinfacht
Q = a'+bP
mit a' = a + c I + d P'
a'
Q
=
Auf halber Entfernung (i.e.
2 ) , d.h. halbe Sättigungsmenge
ist bei einer linearen Nachfrage die Elastizität = -1.
a'
Q=
2
P=?
a'
= a '+ b ⋅ P
2
a'
P=−
2b
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VII/32
εQ ,P
für Q =
∂Q P
=
⋅
∂P Q
a'
2
ε Q, P
 a'  1
= b⋅−  ⋅
= −1
 2b  a' 2
VII/33
Grafik 7.2:
Elastizität entlang der
linearen Nachfragekurve
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.185
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Konstante Elastizitäten
Annahme:
Für gewisse Nachfragefunktionen ist die
Elastizität konstant.
Q = aPb I c P'd
Es gilt ferner:
≤
a > 0; b ≤ 0; c ≥ 0; d 0
≥
I = I;P = P
Q = a' P
b
wobei a' = aI c P 'd
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⇒ ln Q = ln a '+b ln P
ε Q, P
∂Q P ba' P b −1 ⋅ P
=
⋅ =
=b
b
∂P Q
a' P
àDie Preiselastizität der Nachfrage ist also konstant bzw.
gleich b. Das heißt sie lässt sich direkt aus der Gleichung der
Kurve ablesen und muss nicht berechnet werden.
VII/36
Bsp 7.4: Elastizitäten, Exponenten und Logrithmen
Exponentielle Nachfragefunktionen haben nicht nur konstante
Preiselastizitäten der Nachfrage sondern auch konstante
Einkommens- und Kreuzpreiselastizitäten.
ε Q, I = c
ε Q, P ' = d
Das heißt, die Elastizitäten lassen sich direkt aus der Nachfragefunktion ablesen:
Q = 100 P −1,5 I 0, 5 P'
ε Q , P = −1,5; ε Q , I = 0,5; ε Q ,P ' = 1
VII/37
Mittels Logarithmieren lässt sich die Gleichung linearisieren:
ln(Q ) = ln(a ) + b ln(P ) + c ln (I ) + d ln(P')
ln(Q ) = 4,61 − 1,5 ln(P ) + 0,5 ln(I ) + ln (P ')
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