2.2 Quadratwurzeln - Bildungsverlag Lemberger
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2 142 H2, H4 2.2 Quadratwurzeln I1 Rechne im Kopf und erkläre, wie du vorgegangen bist! ___ ___ a) 7 • √ 81 __ ___ c) 2 • √ 9 b) 5 • √ 36 ____ e) 10 • √ 144 d) 6 • √ 49 ____ g) 17 • √ 100 ____ f) 8 • √ 121 ____ h) 5 • √ 169 Teilweises Wurzelziehen ist dann möglich, wenn sich eine Zahl so zerlegen lässt, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist. _____ __ ___ ___ ___ √ 9 • 13 = √ 9 • √ 13 = 3 • √ 13 = 3 √ 13 z. B. Zwischen dem Faktor außerhalb der Wurzel und der Wurzel kannst du das Multiplikationszeichen weglassen. _____ ___ __ __ __ __ = √ 25 • √ x2 • √ y = 5 • x • √ y = 5x √ y √ 25x2y 143 H1, H2 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen! _____ _____ a) √ 16 • 3 b) √ 2 • 25 144 H1, H2 _____ _____ c) √ 49 • 5 _____ _______ e) √ 2 • 64 d) √ 36 • 7 _____ _____ ______ _______ g) √ 9 • 29 f) √ 11 • 121 h) √ 64 • 7 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen! (x, y > 0) ___ ___ ____ b) √ 2x2 ___ 145 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen! (x, y > 0) H1, H2 a) √ 4 • 25 • 10 c) √ 16 • 25 • 2 e) √ 3 • 5 • 49 ________ _______ b) √ 9 • 2 • 81 ________ _______ d) √ 25 • 4 • 3 _______ _______ h) _____ ____ _______ i) √ 6xy2 _______ ______ ___ k) √ 2y2 ___ l) √ 7x ____ k) √ 36 • 13 l) √ 15 • 225 i) √ 81y _____ j) √ 121x g) √ 9 • 25 • x f) √ 6 • 4 • 26 ______ j) √ 4 • 97 g) √ 64 • x2 ___ h) √ 9y e) √ 4x2 ____ f) √ 25x c) √ 16y ___ d) √ 3x2 a) √ 4x i) √ 169 • 2 ____ k) √ 5x2y _____ √ 1 • x2 • y2 j) √ 36xy2 l) _____ √ 25xy2 Rationalmachen des Nenners: Ein Bruch mit einer Wurzel im Nenner kann so erweitert werden, dass die Wurzel im Nenner wegfällt. Dann steht eine rationale Zahl im Nenner. __ • √ 3 2 ____ __ =__ √ 3 • √ 3 z. B. 146 H1 147 H2, H3 __ __ 2 • √ 3 ________ = _____ 2 • 3 √ 3 __ __ √ 3 • √ 3 Erweitere den Bruch so, dass der Nenner rational wird! a) ___ 3__ c) ___ 3__ e) ___ 6__ g) ____ 8___ i) ___ 75__ k) ___ 2__ b) ___ 4__ √ 5 d) ___ 5__ √ 2 f) ___ 7__ √ 6 h) ___ 10__ √ 2 j) ___ 25__ √ 5 l) ___ 5__ √ 5 √ 2 √ 7 √ 11 Berechne und vergleiche die beiden Ergebnisse! _____ __ ___ a) √ 9 + 16 und √ 9 + √ 16 _____ __ √ 3 _____ ___ √ 2 √ 5 __ b) √ 36 – 9 und √ 36 – √ 9 __ ____ __ __ √ a + b ≠ √ a + √ b √ a – b ≠ √ a – √ b a, b > 0 Es können nur gleiche Wurzeln durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden. __ __ __ __ __ __ 8 √ 3 + 6 √ 3 = (8 + 6) √ 3 = 14 √ 3 z. B. __ __ 8 √ 3 – 6 √ 3 = (8 – 6) √ 3 = 2 √ 3 148 H1 Fasse gleiche Wurzeln zusammen! (a, x, y > 0) __ __ __ __ __ __ a)3 √ 7 + 10 √ 7 __ c)5 √ 3 + 2 √ 3 + 3 √ 3 __ __ __ __ __ a>0 __ x √ a – y √ a = (x – y) √ a __ a>0 __ __ d)8 √ 5 – 4 √ 5 g)2 √ a + 3 √ a e)10 √ y – 3 √ y h) √ 5 + √ 3 __ b)2 √ x + 9 √ x 34 __ x √ a + y √ a = (x + y) √ a __ __ __ __ f)15 √ 2 – 2 √ 2 – 8 √ 2 Genial! Mathematik 4 __ __ __ __ i) √ 5 – √ 5 2.2 Quadratwurzeln Untersuche, ob die linke und die rechte Seite übereinstimmen! _____ ___ __ _____ a) √ 25 + 4 = √ 25 + √ 4 __ __ __ __ b) √ 25 – 4 = √ 25 – √ 4 Vereinfache so weit wie möglich! ___ __ __ (x, y > 0) __ __ __ ___ __ __ ___ __ ___ ___ 25 5 5 5 1 __ a) √ 50 ____ ____ c) √ 245 b) √ 8 ______ √ √ a) ______ 2 + __√ 3 __√ 3 b) ______ √ 5 __+ 3 √ 2 ____ ____ __ __ __ ___ __ ____ ____ __ H2 __ __ __ ____ √ __ _____ ___ _____ ___ ____ 151 H1 l) √ 80 ___ k) √ 1 250 j) √ 60 2 d) ______ √ 20x ___ √ 20x 152 60x2 f) ______ √ ____ √ 80y2 24x e) ______ √ ____ √ 26y2 H1 153 __ e) ________ √ 2 +__ √ 3 √ 5 __ __ f) _______ √ 3 –__ √ 2 √ 2 c) ______ 1 – __√ 5 √ 2 __ d) ______ 1 + __√ 3 √ 2 i) √ 1 000 h) √ 448 __ g) √ 243 c) ___ 16x 5y2 2 Mache den Nenner rational! __ (x, y___ > 0) 3x b) ____ 121y 9x a) ____ 32y 2 __ f) √ 261 Ziehe____ teilweise die Wurzel! ____ e) √ 128 d) √ 252 150 __ √ 75 = √ 3 • 5 • 5 = √ 3 • √ (5)2 = √ 3 • 5 = 5 √ 3 75 3 Ziehe teilweise die Wurzel! H3 f)2 √ 2 + 3 √ 3 + √ 2 – √ 3 – 2 √ 3 Teilweises Wurzelziehen mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung: √ 75 √ ___ 149 ___ ___ √ 25 d) __ 25 = ____ __ 4 √ 4 __ e)12 √ 3 – 3 √ 4 + 4 √ 3 – 4 √ 3 __ ___ d)15 √ 6 + 6 √ 15 – 4 √ 15 + 6 √ 6 c)7 √ y – 7 √ y + 5 √ x – 5 √ x _____ c) √ 25 • 4 = √ 25 • √ 4 a)3 √ x + 2 √ y – 2 √ x + 3 √ y __ __ __ __ b)5 √ y – 4 √ y + 3 √ y – 2 √ x __ z. B. __ __ __ __ 36xy c) _____ ___ √ 6xy 2 ____ d) 9x__ √ 3x √ x xy b) _____ ___ √ 3xy 2x e) ____ __ √ x2 3x2 f) _____ ___ √ 3x 4 Wende die Rechenregeln für Wurzeln an und vereinfache! ___ __ a) √ 8y3 : √ 4y ___ c) √ 144x3 : ___ d) b) √ 9x5 : √ 3x3 + 4 4 _____ 4 √ 12xy2 ___ 8 __ __ a) √ 4 + √ 9 = √ x ____ yz j) ____ __ l) ____ 8x__ H1 √ 10z 2 2 √ yz √ 2x 155 ___ ___ ___ 4x z. B. √ 4x3 : √ 16x = _____ √___ = 3 √ 16x ____ ___ x2 4x3 ___ = __ 4 = __ 2x 16x √ H1, H2 √ a)Überprüfe diese Behauptung! b)Berechne, wie viele Quadrate du addieren müsstest, dass die Gleichung stimmt! Ersetze x so, dass eine wahre Aussage entsteht! __ 5 k) _____ ___ √ x Manuel behauptet: „Addiere ich die Flächeninhal- 156 te zweier Quadrate, die eine Seitenlänge von 4 cm H3, H4 haben, so erhalte ich die Fläche eines Quadrats mit 8 cm Seitenlänge!“ 8 i) ___ x __ 2 (x, y > 0) _____ √ 27x3y : √ 3xy ? = 4 _____ 154 0,2x2 g) _____ ___ √ 2x3 h) ___ x__ √ x 2 H1 √ √ = ___________ (1 + __ 2 ) •__ 3 = ________ √ 3 3+ √ 6 __ √ 3 √ 3 • √ 3 1 + √ 2 ______ Mache den Nenner rational und kürze dann! (x, y, z > 0) a) ___ 1__ 2 I1 ___ __ b) √ 169 – √ 25 = √ x __ __ ___ c) √ 4 + √ x = √ 16 Genial! Mathematik 4 ___ __ __ d) √ 18 – √ x = 2 • √ 2 157 I2, H2, H3 35 2 2.3 Irrationale Zahlen I1 158 __ __ Denis behauptet:__„Wenn die Quadratwurzel von √ 1 = 1 und √ 4 = 2 ist, dann muss die √ 3 zwischen 1 und 2 liegen!“ H2, H3, H4 __ a) Berechne √ 3 mit deinem Taschenrechner! Trage das Ergebnis in das Display im Buch ein! b) Tippe die Zahl, die du im Display notiert hast, in deinen Taschenrechner ein und quadriere sie! Welche Zahl erhältst du? c) Woran könnte das liegen? __ __ Irrationale Zahlen sind Zahlen wie √ 3 , √ 5 . Sie sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Irrationale Zahlen können mit Hilfe von Dezimalzahlen immer nur näherungsweise angegeben werden. Sie können nicht als Bruch geschrieben werden. Die Menge der rationalen Zahlen (Q) und die Menge der irrationalen Zahlen (I) werden zur Menge der reellen Zahlen (R) vereinigt. 159 H2, H3 Berechne folgende Wurzeln und ordne sie dann in die Tabelle ein! __ __ __ __ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ √ 2 , √ 3 , √ 4 , √ 8 , √ 9 , √ 10 , √ 12 , √ 16 , √ 19 , √ 25 , √ 27 , √ 35 , √ 36 __ √ 4 , __ irrationale Zahlen √ 2 , rationale Zahlen 160 H3, H4 __ √ 3 ist eine irrationale Zahl. Anhand der Intervallschachtelung kannst du erkennen, zwischen welchen __ rationalen Zahlen √ 3 liegt. 0 1 1,6 1,7 1,72 161 H2, H3 3 1,8 1,74 __ __ __ 1,9 1, . < √ 3 < 1, . weil: ___2 < 3 <___2 ___ < 3 < ___ 1,75 1, . . < √ 3 < 1, . . weil: ___2 < 3 < ___2 ___ < 3 < ___ Durch das Quadrieren von 1,1; 1,2; … 1,8; 1,9 erkennst du, zwischen welchen rationalen Zahlen mit __ einer Dezimalstelle √ 3 liegt. a) Gib mit Hilfe der Abbildung an, zwischen welchen rationalen Zahlen mit __ einer Dezimalstelle √ 3 liegt! b)Gib mit Hilfe der Abbildung an, zwischen welchen rationalen Zahlen mit __ zwei Dezimalstellen √ 3 liegt! c) Lies aus der Abbildung ab, zwischen welchen rationalen Zahlen mit 3 Stel __ len nach dem Komma √ 3 liegt! Gib an, zwischen welchen natürlichen Zahlen die angegebene Zahl liegt. Rechne im Kopf und überprüfe mit dem Taschenrechner! a) 36 1,73 2 1 < √ 3 < 2 weil: 12 < 3 < 22 1<3<4 __ < √ 8 < b) ___ < √ 32 < c) Genial! Mathematik 4 ___ < √ 55 < d) ___ < √ 90 < 2.3 Irrationale Zahlen I1 Gib an, welche Zahl x zwischen den angegebenen Schranken liegt! Nenne immer zwei Möglichkeiten! Begründe, warum es immer mindestens zwei Lösungen geben muss! __ a) 2 < √ x < 5 __ c) 4 < √ x < 5 __ d) 8 < √ x < 9 Kreuze wahre Aussagen an! 2,5 -5 99 –0,5 H3, H4 Jede reelle Zahl ist auch eine natürliche Zahl. __ √ 2 __ √ 8 ___ √ 50 __ √ 3 -_ 34 –1 0 _ 13 -900 1 163 Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. R 162 H3, H4 __ b) 3 < √ x < 4 2 Eine ganze Zahl kann auch eine irrationale Zahl sein. Eine ganze Zahl muss eine rationale Zahl sein. Eine reelle Zahl kann auch irrational sein. Eine reelle Zahl muss rational sein. Alle ganzen Zahlen sind reelle Zahlen. Q N Z Es gibt irrationale Zahlen, die keine reellen Zahlen sind. I Es gibt irrationale Zahlen, deren 10-Faches eine rationale Zahl ergibt. a) Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen 1,3 und 1,9 liegen! 164 b) Gib drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel wieder eine natürliche Zahl ist! H1, H3 c) Gib drei rationale Zahlen an, deren Wurzel eine irrationale Zahl ist! d) Gib drei Zahlen an, deren Wurzel rational und größer 1 ist! e) Gib drei ganze Zahlen an, deren Wurzel du nicht ziehen kannst! Setze ∈ (ist Element von) oder ∉ (ist nicht Element von) so, dass eine wahre Aussage entsteht! __ __ a) √ 4 b) √ 4 __ __ Q c) √ 3 N d) √ 3 __ __ I e) √ 9 R f) √ 9 ___ __ g) 25 36 ___ __ h) 25 36 √ √ Z I 165 N H3 Q Was kannst du bei der Größe des Flächeninhalts des roten Quadrats entdecken? 166 Vergleiche mit dem kleineren Quadrat! 1 H3, H4 s 1 Überprüfe mit Hilfe der Beispiele, ob die Behauptung „Das Produkt zweier unterschiedlicher irrationaler 167 Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl“ gilt! H4 __ __ a) √ 2 • √ 5 __ __ b) √ 3 • √ 8 __ __ c) √ 2 • √ 3 Berechne jeweils die Länge der Seite x! a) 1 __ __ d) √ 5 • √ 8 168 b) 1 x x I3, H3, H1, H2 1 1 1 1 x 1 1 Genial! Mathematik 4 37 2 2.4 Kubikwurzeln I1 Astrid bastelt Würfel aus Papier. 169 Berechne die Volumina ihrer Würfel! H2 a 2 cm V=a 170 a a H1, H2 3 cm 4 cm 5 cm 3 Berechne die dritte Potenz der Zahlen! H2 171 8 cm 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 Denise behauptet: „Ich habe einen Würfel mit 216 cm3 Volumen gebastelt!“ Welche Seitenlänge hat ihr Würfel? Wenn du die dritte Potenz einer Zahl berechnest, so kubierst du diese Zahl. a • a • a = a3 sprich: „a hoch 3“ 3 8 23 = 8(__ 23 )3 = __ 233 = __ 27 Taschenrechner: z. B. 43 ^ 3 = 4 Die Umkehroperation heißt Kubikwurzelziehen. 3 __ √ x 3 __ sprich: „Kubikwurzel aus x“ oder „3. Wurzel aus x“ ___ 3 √ __ 3 8 8 √ 8 = 2 __ 27 = ____ 3 √___ = __ 2 √ 27 3 Taschenrechner: _ 3 ___ z. B. √ 64 √ ^ 64 = x 3 2nd Du kannst auch aus negativen Zahlen die Kubikwurzel ziehen. 172 3 ___ √ –8 = –2 z. B. (–2)3 = –8 Berechne die Kubikwurzeln! H2 a 3 1 __ –1 8 –8 27 –27 64 –64 125 –125 216 –216 1 000 –1 000 √ a 173 H2 Berechne mit dem Taschenrechner, runde auf 2 Dezimalstellen, falls nötig! ____ __ ___ √ a) __ 18 3 3 ______ b) √ –6 859 174 3 ___ 3 (√ 64 ) = 64 H2 38 3 _____ d) √ 3 375 3 _____ 3 ___ e) √ 4 913 √_____ 8 h) √ –_____ 1 000 27 g) ___ 125 3 3 f) √ 11 3 _______ 3 ______ i) √ –15,625 j) √ –0,125 Überprüfe, ob die Rechnungen stimmen! Was fällt dir auf? H3, H4 175 √ 3 1 c) __ 64 3 __ 3 a)(√ 8 ) 3 = 8 ___ b)(√ 27 ) 3 = 27 3 ____ c)(√ 125 ) 3 = 125 Berechne die Kantenlänge eines Würfels, wenn du das Volumen kennst! Verwende den Taschenrechner! a) V = 3 375 dm3 b) V = 1 331 cm3 c) V = 15,625 mm3 Genial! Mathematik 4 d) V = 1 953,125 m3 2.4 Kubikwurzeln I1 Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Kubikwurzel? 3 ____ 3 ___ a) _____ < √ 100 < _____ 3 ____ 3 ___ c) _____ < √ 450 < _____ b) _____ < √ –7 < _____ 176 3 ____ 3 ___ __ √ __ 6 3 √ 1 < 6 < 2 f) _____ < √ 15 < _____ weil: 13 < 6 < 23 1<6<8 Ergänze die Tabelle und formuliere mit eigenen Worten, welche Gesetzmäßigkeit dir auffällt! a 400 40 4 0,4 0,04 177 0,004 a3 Ergänze die Tabelle und formuliere mit eigenen Worten, welche Gesetzmäßigkeit dir auffällt! a 8 000 000 __ 3 8 000 8 0,008 H2, H3, H4 0,000008 Berechne ohne Taschenrechner! __ 3 3 179 __ 3 b) 5 • (√ 2 ) 3 ___ 3 c) 10 • (√ 27 ) 3 ____ d) 9 • (√ 125 ) 3 3 H2 __ 5 • (√ 8 ) 3 = 5 • 8 = 40 Berechne im Kopf! Kontrolliere mit dem Taschenrechner! √ 3 __ b)(__ 34 • √ 4 ) 3 3 c)(__ 12 • 180 __ d)(__ 23 • __ 34 ) 3 __ e)(__ 5x • 3√ –x ) 3 __ f)(__ 3x • 3√ x ) 3 __ a)(__ 56 • √ 4 ) 3 3 __ __ 14 ) 3 √ 3 Ergänze die Tabelle! a b c 2 3 4 1 4 –2 2 10 0,1 –1 5 0,2 H2, H3, H4 178 √ a a) 3 • (√ 5 ) 3 H3 3 e) _____ < √ 200 < _____ d) _____ < √ –80 < _____ 2 3 __ a • (√ b ) 3 __ H2 __ 8 5 (__ 23 • √ 4 ) 3 = (__ 23 )3 • (√ 4 ) 3 = __ 27 • 4 = 1 __ 27 3 3 __ b • (√ c ) 3 3 3 __ 3 c • (√ a ) 3 __ a3 • b3 • (√ c ) 3 181 H3, H2 Die Masse eines Würfels beträgt 10 kg. 182 Berechne die Kantenlänge des Würfels! a) Goldwürfel (ρ = 19 300 kg/m3) I3, H1, H2 b) Glaswürfel (ρ = 2 400 kg/m3) c) Fichtenholzwürfel (ρ = 500 kg/m3) d) Korkwürfel (ρ = 300 kg/m3) e) Erkläre, warum der Holzwürfel schwimmt und der Metallwürfel sinkt! __ Forsche im Internet nach, welcher in Wien lebende Rechenmeister das Zeichen √ als Erster in einem Buch vewendete! Genial! Mathematik 4 39 Kompetenz Lernen®: Unendlich viele Zahlen I1 R Q Z B1 K2, K3, H1, H2, H3 N In welcher Zahlenmenge liegen die Ergebnisse der folgenden Rechnungen? Formuliere eine Vermutung und versuche diese, bevor du rechnest, zu begründen! Schreibe die Ergebnisse in das passende Feld im Diagramm oben! __ 14 = a) __12 – √ 4 + 2 • __ 5 2 +1= b) _______ __ 2 – 3 • 3 __ ___ c) 35 • __27 – √ 3 • √ 12 = d) (–1) + (–3) • __13 = √ ______ 23 • (–1) = e) 5 + __ 1 __ = f) 2 • __________ 2 2 – (4 • √ 3 ) 3 ___ 7 ___ 12 ) = g)√ 14 • (– __ h)√ 23 – 27 = __ i) [(–4) • (–2) + (–8)] • √ 2 = ___ j) (–1) • √ –2 = 40 I Genial! Mathematik 4
