Aussagen/Mengen/Abbildungen

1.3
Aussagen
In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein
“statement”, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides
geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder
falsch zu sein, gelten nicht als Aussagen.
Beispiel:
“Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher
als das der USA” ist eine offenbar falsche Aussage.
“Gute Nacht, Freunde” ist keine Aussage.
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Häufig hängen Aussagen auch von variablen Parametern x ab.
Beispiel
“Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x ist Primzahl” ist eine offenbar
falsche Aussage.
Eine richtige Aussage wäre: “Es gibt eine natürliche Zahl x, so
dass x eine Primzahl ist.”
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Interessant wird es, wenn man Aussagen A und B miteinander
verknüpft. Der Wahrheitswert der verknüpften Aussage hängt vom
Wahrheitswert von A und B ab.
Beispiel
Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik” ist wahr, wenn Franz mindestens eines der beiden
Fächer Wirtschaft oder Mathematik studiert, eventuell auch beide. Die Aussage ist Verknüpfung der beiden Aussagen “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften” sowie “Franz studiert Mathematik” durch ein oder.
Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften und Mathematik” ist wahr, nur wenn Franz sowohl Wirtschaftswissenschaften
als auch Mathematik studiert. Diese Aussage ist Verknüpfung der
beiden Aussagen “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften” sowie
“Franz studiert Mathematik” durch ein und.
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Einige Bemerkungen zu mathematischen Beweisen
In der Mathematik hat man es stets mit Aussagen zu tun, die
wahr oder falsch sind. Beispielsweise gilt für alle reellen Zahlen
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Woher weiß man das? Man kann doch
nicht alle reellen Zahlen einsetzen und schauen, ob diese Gleichung
immer richtig ist. Das ist auch nicht nötig, denn man kann einen
mathematischen Beweis für diese Aussage angeben. Ein Beweis für
eine Aussage A ist eine Folge logischer Schlüsse, beginnend mit einer
wahren Aussage B, an deren Ende A steht.
Das nächste Beispiel zeigt deutlich die Aufgabe eines mathematischen Beweises: Ein Beweis soll einen zweifelsfreien Grund angeben,
warum eine Aussage richtig ist.
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Beispiel 1.8 Wir wollen die folgende Behauptung beweisen: Wenn
in einem Schachbrett die diagonal gegenüberliegenden Eckfelder entfernt werden, kann das so entstehende Brett nicht mit Dominosteinen überdeckt werden, wobei jeder Dominostein genau zwei Felder
des Schachbrettes überdeckt.
Beweis: Jeder Dominostein überdeckt genau ein weißes und ein
schwarzes Feld. Aber das Schachbrett, bei dem die Eckfelder entfernt
wurden, hat nicht die gleiche Zahl weißer und schwarzer Felder!
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Manche Nicht-MathematikerInnen sind versucht, die Gültigkeit einer Aussageform A(x) zu beweisen, indem die Gültigkeit von A(x)
für einige wenige Werte von x nachgerechnet wird. Das ist natürlich
kein Beweis!
Beispiel 1.9 Angenommen, jemand behauptet n2 + n + 41 sei für
alle natürlichen Zahlen n eine Primzahl. Wir setzen ein und erhalten,
dass n2 + n + 41 eine Primzahl für alle Zahlen n zwischen 0 und
39 ist. Ist das ein Beweis? Nein! Außerdem ist die Aussage, dass
n2 + n + 41 für alle natürlichen Zahlen eine Primzahl ist, falsch:
Setzen Sie einfach n = 41 ein: (41)2 + 41 + 41 ist durch 41 teilbar!
Wir haben somit ein Gegenbeispiel gefunden und die Behauptung,
jede Zahl der Form n2 + n + 41 sei ein Primzahl, widerlegen.
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Etwas formaler. Wir hatten die Aufgabe zu entscheiden, ob eine
Aussage A(x) für alle x gilt. Um zu beweisen, dass die Aussage
stets gilt, benötigen wir einen Beweis. Wenn wir aber zeigen wollen,
dass die Aussage nicht immer gilt, genügt es, ein x so anzugeben,
dass A(x) falsch ist. Wir haben damit die Allgemeingültigkeit widerlegt.
Halten wir fest:
Die Gültigkeit einer Aussage A(x) kann man
nicht beweisen, indem man die Gültigkeit für
einige Werte von x überprüft. Man kann aber zeigen, dass die Aussage A(x) nicht allgemeingültig
ist, wenn man nur ein Gegenbeispiel angibt, also
ein xg , für das A(xg ) falsch ist.
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1.4
Mengen
Ein zentrales Konzept für die Mathematik ist der Begriff der Menge.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
wohlunterschiedener Objekte. Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob das Objekt zur
Menge gehört oder nicht. Die Objekte heißen Elemente der Menge
Ist a ein Element der Menge M , schreiben wir auch
a∈M
andernfalls
a∈
/M
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Die Elemente einer Menge sind immer alle verschieden.
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben.
Wir wollen die Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2
und 15 beschreiben:
1. Aufzählung
M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
2. teilweise Aufzählung
M = {2, 4, 6, . . . , 12, 14}. Hierbei muss man aufpassen, dass
es nicht zu Missverständnissen kommt.
3. Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften
M = {x : x ∈ Z und x ≥ 2 und x ≤ 15 und x gerade}.
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Die leere Menge ∅ ist die Menge, die kein Element enthält.
Beispiel:
{x : x ist ein Mensch, x wohnt in der Bundesrepublik Deutschland
und x ist im Jahre 1700 geboren} = ∅
Die Mächtigkeit (oder Ordnung) einer Menge M ist die Anzahl
der Elemente in der Menge. Schreibweise:
|M | = Anzahl der Elemente in M .
Die oben betrachtete Menge M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} hat also die
Mächtigkeit 7, |M | = 7.
Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir |M | = ∞ (∞
heißt unendlich).
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Beziehungen zwischen Mengen
Wir nennen A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A
auch ein Element von B ist. Dabei darf auch A = B gelten.
A ⊆ B: A Teilmenge von B
A ( B: A Teilmenge von B und A 6= B
Beachte, dass stets A ⊆ A gilt. Ferner gilt für alle Mengen ∅ ⊆ A.
Beispiel 1.10
• N⊆Z⊆Q⊆R
• Die Menge aller Einwohner Magdeburgs ist eine Teilmenge der
Menge aller Einwohner Deutschlands.
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Verknüpfung von Mengen
Wir können Mengen schneiden oder vereinigen:
A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B} Vereinigung
A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B} Schnitt
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Achtung: Es gilt nicht |A ∪ B| = |A| + |B|, sondern
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist.
Für disjunkte Mengen gilt |A ∪ B| = |A| + |B|
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Manchmal wollen wir mehr als nur eine Menge vereinigen oder
schneiden. Wir schreiben dann
n
[
Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
i=1
n
\
Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
i=1
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Die Differenz von Mengen ist wie folgt definiert:
A \ B = {x : x ∈ A und x ∈
/ B}
Ist A eine Teilmenge von Ω, so schreiben wir statt Ω \ A auch A
oder, genauer, AΩ = Ω \ A:
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Beispiel 1.11 Wir betrachten die folgenden vier Mengen:
A = {x : x ∈ R und 1 ≤ x ≤ 6}
B = {x : x ∈ N und x < 6}
C = {x : x ∈ N und x ≥ 2}
D = {x : x ∈ R und x < 6}
Dann gilt:
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A \ D = {6}
A ∩ C = {2, 3, 4, 5, 6}
C \ A = {x : x ∈ N und x > 6}
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B ∩ C = {2, 3, 4, 5}
B∪C = N
A ∩ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
AR = {x : x ∈ R und (x < 1 oder x > 6)}
B N = {6, 7, 8, . . .}.
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Die wichtigsten Rechenregeln für die Verknüpfung von Mengen:
Idempotenzgesetze
A∪A = A
A∩A = A
Kommutativgesetze
A∪B = B∪A
A∩B = B∩A
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Assoziativgesetze
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Distributivgesetze
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Inklusionsgesetze
A ⊆ A∪B
A∩B ⊆ A
Man macht sich diese Regeln am besten anhand einiger Mengendiagramme (Venn-Diagramm) klar.
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Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen
von A. Bezeichnung: P(A). Ist A endlich, so gilt
|P(A)| = 2|A|.
Beispiel: Sei A = {a, b}.
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Seien a1, . . . an irgendwelche Elemente. Wir nennen
(a1, a2, . . . , an)
ein n-Tupel. Die Elemente müssen nicht unbedingt verschieden
sein. Die Menge aller n-Tupel (a1, . . . , an) mit ai ∈ Ai heißt das
kartesische Produkt von A1, . . . , An. Bezeichnung:
A1 × A2 × · · · × An
Beispiel 1.12 Sei A = {1, 2} und B = {a, b}. Dann gilt:
Dieses Beispiel zeigt, dass im allgemeinen A × B 6= B × A.
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1.5
Relationen und Abbildungen
Die Definition einer Relation ist ganz einfach:
Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y
ist eine Teilmenge R ⊆ X × Y . Gilt X = Y , so
heißt R eine Relation auf X. Man schreibt x R y
falls (x, y) ∈ R.
Beispiel 1.13
• X: Menge der MathematikerInnen.
Y : Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen.
Eine Relation zwischen X und Y wird z.B. durch ”Mathematiker x war Tutor von Wirtschaftswissenschaftler y” erklärt.
• Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller Männer. Als
Relation zwischen X und Y wählen wir ”verheiratet”.
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• A = {1, 2}, B = {2, 3}. Dann ist
A × B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
Wir erhalten z.B. folgende Relationen:
R1 = {(a, b) ∈ A × B : a = b} = {(2, 2)}
R2 = {(a, b) ∈ A × B : a < b}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
R3 = {(a, b) ∈ A × B : a ≤ b}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 2)} = A × B
R4 = {(a, b) ∈ A × B : a + b = 2} = ∅
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Man kann Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu
malen wir die Menge A und die Menge B auf und verbinden zwei
Elemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen:
Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere
Pfeile beginnen können. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein
oder mehrere Pfeile ankommen.
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Solche Pfeildiagramme sind natürlich unhandlich, wenn die Mengen
X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, können wir
versuchen, die Menge der Punkte (x, y) ∈ R in einem Koordinatensystem zu skizzieren.
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Abbildungen
In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun.
Eine Abbildung f aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y , so dass es zu jedem x ∈ X
höchstens ein y ∈ Y gibt, so dass x und y in Relation zueinander stehen. Bezeichnung: f : X → Y . Das
Element y wird mit f (x) bezeichnet.
Die Menge X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die
Menge Y bezeichnet die abhängigen Variablen, denn wenn wir x
kennen, kennen wir auch f (x).
In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass in jedem Element
x ∈ X höchstens ein Pfeil beginnt.
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Beachte, dass nicht jedem x ∈ X ein y ∈ Y zugeordnet werden
muss. Wir benutzen hier manchmal folgende Sprechweise: Wenn jedem x ∈ X höchstens ein y zugeordnet wird, so sprechen wir von
einer Abbildung aus X nach Y . Wird jedem x ∈ X genau ein
f (x) zugeordnet, so wollen wir von einer Abbildung von X nach Y
sprechen:
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Das hat Vorteile, wenn man komplizierte Formel hat wie etwa
x
f (x) = 5
,
3
x + 3x − x − 4
aufgefasst als Abbildung aus R nach R, weil man von vornherein
gar nicht weiß, für welche x der Nenner 0 wird, wo die Abbildung
also gar nicht definiert ist.
Die Menge der x ∈ X, für die f (x) erklärt ist, nennen wir den Definitionsbereich von f und bezeichnen mit D(f ).
Der Definitionsbereich D(f ) muss nicht ganz X sein, wie die obigen
Beispiele zeigen. Beachten Sie bitte, dass der Definitionsbereich alle
x ∈ X enthält, für die es ein f (x) gibt, er ist also in einem gewissen
Sinne maximal.
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Beispiel 1.14 Wir definieren f : R → R durch f (x) = x21−1 .
Dieser Ausdruck ist natürlich nur erklärt, wenn x2 − 1 6= 0. Also ist
f eine Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R\{±1}.
Beispiel 1.15 Wir betrachten f : R → R definiert durch f (x) =
lg x (dekadischer Logarithmus). Weil der Logarithmus nur für positive Zahlen erklärt ist, ist der Definitionsbereich also R+:
1
0.5
5
x
10
–0.5
–1
–1.5
–2
68
15
20
Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken über die Frage, ob
eine Abbildungen von oder aus einer Menge X erklärt ist. Wichtig
ist nur, dass bei der Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift, wie z.B. lg x oder x21−1 zu beachten ist, dass diese Vorschrift
für einige Werte von x möglicherweise nicht definiert ist. Oft liegt
das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere Möglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie
nicht definiert sind, z.B. tan(π/2) ist nicht definiert.
Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht
man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind.
Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa
nur R, sondern auch R × R, R × R × R usw. Denken Sie daran:
Ökonomische Daten hängen fast nie nur von einer Variablen ab.
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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
Eine Abbildung f : X → Y heißt:
injektiv wenn aus f (x1) = f (x2) stets x1 = x2 folgt;
surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y (mindestens) ein x ∈ X gibt
mit f (x) = y;
bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem
x ∈ X ein y gibt mit f (x) = y (f also insbesondere eine Abbildung
von X nach Y ist).
Für die Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das folgendes:
injektiv: in jedem y ∈ Y endet höchstens ein Pfeil
surjektiv: in jedem y ∈ Y endet mindestens ein Pfeil
bijektiv: in jedem y ∈ Y endet genau ein Pfeil
und in jedem x ∈ X beginnt genau ein Pfeil.
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Graphisch:
Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f −1 : Y → X durch
folgende Vorschrift: f −1(y) = x, wobei x ∈ X durch die Eigenschaft
f (x) = y bestimmt ist. Beachte, dass x wegen der Injektivität eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach,
dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung f −1 : Y → X heißt
die zu f inverse Abbildung.
Beachte, dass auch f −1 injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann
wenn f injektiv und surjektiv ist und zusätzlich f −1 auch surjektiv ist.
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Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau
ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das
heißt insbesondere, dass X und Y gleich viele Elemente haben.
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Verknüpfung von Abbildungen
Seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen. Wir definieren
die Abbildung g ◦f : X → Z wie folgt: (g ◦f )(x) = g f (x) . (Also:
Wir wenden erst f auf x an, dann auf den Wert f (x) die Abbildung
g.)
Wichtig ist es, sich zu merken, dass g ◦ f bedeutet, erst f und dann
g anzuwenden.
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