Darstellende Geometrie (DG)

Darstellende Geometrie (DG)
Schule: HTBLuVA St. Pölten
Abteilung: Elektronik
Lehrperson: Dipl.-Ing. Wolfgang Lenz
Jahrgang: 2002 / 03
Klasse: 1AT
1 Anmerkung
Prof. Lenz ist bereits pensioniert.
Im Unterricht wurde folgendes Lehrbuch verwendet: Frischherz, Piegler, Technisches
Zeichnen Fachzeichnen 1. Teil, 2002, Verlag Jugend & Volk, Wien ISBN: 3-7002-1174-0
Die Zeichnungen sind durch den Scanvorgang, das Einfügen in den Texteditor sowie
Konvertierungsvorgänge nicht mehr in Originalgröße.
2 Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
Anmerkung......................................................................................................................... 2
Inhaltsverzeichnis............................................................................................................... 2
Linienarten ......................................................................................................................... 4
Die wichtigsten Bezeichnungen, gebräuchliche Symbole ................................................. 4
Einleitung ........................................................................................................................... 5
Hauptrisse........................................................................................................................... 6
Maßstäbliche Risse............................................................................................................. 7
Normalriss und Schrägriss ................................................................................................. 8
8.1
Die Bildebene............................................................................................................. 8
8.2
Der Normalriss ........................................................................................................... 8
8.3
Der Schrägriss ............................................................................................................ 8
9
Der Kavalierriss (auch Frontalriss genannt)....................................................................... 8
9.1
Angabe eines Kavalierrisses (Frontalriss).................................................................. 9
9.2
Näherungsweise Kavalierrissdarstellung von Kreisen die nicht parallel zur
Bildebene liegen................................................................................................................... 10
9.3
Konstruktion und Anwendung des Verkürzungswinkels α (nur für Tiefenstrecken
(x-Richtung))........................................................................................................................ 11
10
Grund- und Aufriss....................................................................................................... 12
10.1 Abbildung eines Raumpunktes P ............................................................................. 12
11
Zweckmäßige Angabe eines Raumpunktes P .............................................................. 14
12
Seitenrisse..................................................................................................................... 15
12.1 Der 13-Seitenriss ...................................................................................................... 15
12.2 Der 23-Seitenriss ...................................................................................................... 21
13
Punkt, Gerade ............................................................................................................... 23
13.1 Der Punkt.................................................................................................................. 23
13.2 Die Gerade................................................................................................................ 23
13.2.1
Die projizierenden Geraden ............................................................................. 23
13.2.2
Die Profilgeraden ............................................................................................. 24
13.2.3
Spezielle Lagen von Geraden........................................................................... 24
13.3 Satz vom Winkel, Satz vom rechten Winkel............................................................ 30
13.4 Spurpunkte einer Geraden........................................................................................ 30
13.5 Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Bildebene............................................. 31
14
Die Ebene ..................................................................................................................... 32
14.1 Angabestücke einer Ebene ....................................................................................... 32
14.2 Hauptgeraden in einer Ebene ................................................................................... 35
14.3 Paralleldrehen einer Ebene....................................................................................... 35
14.4 Konstruktionsaufgaben............................................................................................. 37
14.5 Projizierendmachen einer Ebene.............................................................................. 40
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14.6 Normalgerade zu einer Ebene .................................................................................. 41
14.7 Normalgerade γ zu einer Geraden g......................................................................... 47
15
Die Ellipse .................................................................................................................... 48
15.1 Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse ................................................................... 49
16
Weitere Beispiele ......................................................................................................... 49
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3 Linienarten
Breite Volllinie
Strichlierte Linie
Schmale Linie
0,6mm
0,3mm
0,15mm
weich (F, HB)
hart oder weich
hart (4H, 3H)
Strich 4-6mm
Abstand 1mm
langer Strich 8-15mm
kurzer Strich 1mm
Abstand 1mm
Alle Striche gleich lang!
Nie mit einem Abstand beginnen!
4 Die wichtigsten Bezeichnungen, gebräuchliche Symbole
Um rasch miteinander kommunizieren zu können, sind einige gebräuchliche Symbole
sinnvoll.
Punkte......................................... (Großbuchstaben, röm. Ziffern, arab. Ziffern)
Geraden, Strecken, Kurven ....................................................(Kleinbuchstaben)
Ebenen und andere Flächen..................... (griech. Buchstaben (z.B.: π, ε, ν,…))
Winkel ....................................(griech. Kleinbuchstaben (z.B.: α, β, δ, φ, ψ,…))
Länge der Strecke A B ................................................................................. AB
∩
Länge des Bogens A B ................................................................................. AB
Parallelzeichen ..................................................................................................//
Normalzeichen ................................................................................................ ⊥
.
Rechtwinkelzeichen ...................................................................................
Winkelzeichen................................................................................................. ∠
Ist Element von................................................................................................. ∈
Ist nicht Element von........................................................................................ ∉
Durch................................................................................................................ ∋
Nicht durch.......................................................................................................
Und .................................................................................................................. ∧
Oder................................................................................................................. ∨
Durchschnitt, geschnitten mit.......................................................................... ∩
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Beispiele:
1) Gerade g durch die Punkte A, B
g ∋ A ∧ g ∋ B ( g ∋ A, B)
2) Gerade g parallel zu g und g durch P
g // g ∧ g ∋ P
3) Gerade n normal auf g und n durch P
n ⊥ g∧n ∋ P
4) Ebene ε durch die Punkte A, B, C
ε ∋ A ∧ ε ∋ B ∧ ε ∋ C (ε ∋ A, B, C )
5 Einleitung
Die DARSTELLENDE GEOMETRIE ist die Lehre von den gesetzmäßigen
Abbildungen räumlicher Objekte auf eine Ebene (Zeichenebene).
Betrachten wir irgendein Raumobjekt, so sehen wir sein Bild ähnlich einer Fotografie. Die
Sehstrahlen sammeln sich im Auge und liefern das uns allen wohlbekannte Bild unserer
dreidimensionalen Umwelt.
Umgekehrt könnte man ein Raumobjekt aus einem Punkt (Projektionszentrum) projizieren
und erhielte auf diese Art und Weise auf einer Leinwand (Zeichenebene) sein ebenes Bild.
Dieses Bild bezeichnet man als „RISS“.
Liegt das Projektionszentrum in messbarer Entfernung von
dem abzubildenden Objekt, so spricht man von einem
„ZENTRALRISS“
(= ebenes Bild des Objektes bei Zentralprojektionen)
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Liegt das Projektionszentrum jedoch unendlich weit vom Objekt entfernt, so spricht man von
einem „PARALLELRISS“.
(=ebenes Bild des Objekts bei Parallelprojektion)
Die Projektionsstrahlen sind parallel und kommen aus dem unendlich fernen
Projektionszentrum.
Da das (unendlich ferne) Projektionszentrum zeichnerisch nicht erfasst werden kann, ist es bei
Parallelprojektionen üblich, die s.g. „BLICKRICHTUNG“ (= Projektionsstrahlrichtung)
anzugeben.
(Blickrichtung = Richtung, in der das unendlich ferne Projektionszentrum zu suchen ist)
6 Hauptrisse
Den meisten Objekten lassen sich in zwangloser Weise die Begriffe „BREITE“, „TIEFE“,
„HÖHE“ zuordnen, analog dazu kennen wir in der Darstellenden Geometrie drei
Hauptblickrichtungen – dazugehörend drei Hauptrisse.
Grundriss ............. (Projektionszentrum unendlich weit oben)
Aufriss ................. (Projektionszentrum unendlich weit vorne)
Kreuzriss.............. (Projektionszentrum unendlich weit links)
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Oberhalb des Grundrisses wird der Aufriss angeordnet Æ Grund- und Aufriss einer Ecke
(eines Punktes) liegen auf einer senkrechten Hilfsgeraden – einem „12-Ordner“.
Rechte neben dem Aufriss wird der Kreuzriss angeordnet Æ Auf- und Kreuzriss einer Ecke
(eines Punktes) liegen auf einer waagrechten Hilfsgeraden – einem „23-Ordner“.
7 Maßstäbliche Risse
Die meisten Gegenstände können nicht in ihrer natürlichen Größe abgebildet werden, da ihre
Bilder entweder zu groß (Haus) oder zu klein (Uhrteile) werden würden.
Man zeichnet daher die meisten Gegenstände in einem bestimmten Maßstab.
z.B.: M 1:10 bedeutet: ein Zentimeter in der Zeichnung entspricht 10 Zentimeter
Wirklichkeit (Verkleinerung)
oder M 2:1 bedeutet: zwei Zentimeter in der Zeichnung entsprechen 1 Zentimeter
Wirklichkeit (Vergrößerung)
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8 Normalriss und Schrägriss
8.1 Die Bildebene
Beim Parallelriss werden Punkte des Gegenstandes durch parallele Projektionsstrahlen auf die
sog. „Bildebene“ (= Ebene in der das ebene Bild des Körpers entsteht) projiziert.
Beim Parallelriss sind alle Projektionsstrahlen parallel, also zur Bildebene gleich geneigt.
8.2 Der Normalriss
Ein Parallelriss heißt „Normalriss“, wenn die Blickrichtung (Projektionsstahlrichtung) zur
Bildebene normal steht.
8.3 Der Schrägriss
Ein Parallelriss heißt „Schrägriss“, wenn die Blickrichtung (Projektionsstrahlrichtung) zur
Bildebene nicht normal steht.
9 Der Kavalierriss (auch Frontalriss genannt)
= spezifischer Schrägriss, bei dem
senkrechte Körperseitenflächen
parallel zu einer senkrechten
(frontalen) Bildebene (sie liegt wie
eine Aufrissebene) angenommen
werden.
1, 2, 3, 4…Vorderseite
5, 6, 7, 8…Rückseite
bn = xs
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Für beliebige Parallelrisse (Schräg- und Normalrisse) gilt der wichtige Satz:
LIEGT EINE EBENE FIGUR PARALLEL ZU EINER BILDEBENE; SO BILDET SICH
DIESE EBENE UNVERZERRT AB.
Also: Alle Längen bzw. alle Winkel die parallel zu einer Bildebene liegen, erscheinen
unverzerrt.
Alle tiefen Strecken (z.B.: 5-1, 6-2, 7-3, 8-4) bilden sich in Richtung bn = xs ab.
9.1 Angabe eines Kavalierrisses (Frontalriss)
1) Körper durch Grund- und Aufriss oder Auf- und Kreuzriss oder Grund-, Auf- und
Kreuzriss
2) Normalprojektion bn (bn = xs) der Blickrichtung b auf die Bildebene π (bn = Aufriss
von b)
Möglichkeiten:
0° < φ° < 90°
90° < φ° < 180°
180° < φ° < 270°
270° < φ° < 360°
Ansicht von links oben
Ansicht von rechts oben
Ansicht von rechts unten
Ansicht von links unten
3) Verzerrung Vx der Strecken in Tiefenrichtung (also in x-Richtung)
z.B.:
Vx
=
2
Bildstrecke
:
3
Urstrecke
speziell: Vx = 1:1…Keine Verzerrungen der Strecken in Tiefenrichtung:
„Isometrischer Kavalierriss“
Bemerkung: Aus rein optischen Gründen verzichtet man auf eine Verlängerung der
Strecken in Tiefenrichtung.
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9.2 Näherungsweise Kavalierrissdarstellung von Kreisen die nicht
parallel zur Bildebene liegen
Die Parallelprojektion eines Kreises ist im Allgemeinen eine Elypse.
Prinzip: Man umschreibt dem Kreis ein „Hauptrichtungsquadrat“. Dieses geht vermöge einer
Kavalierrissprojektion über in ein „Hauptrichtungsparallelogramm“, in das die Bildebene
passen muss.
Bemerkung: Hauptrichtungen sind die x-, y- und z-Richtungen.
Geg.: Körper durch Auf und Kreuzriss, bn = 30°
Ges.: Isometrischer Kavalierriss (Vx = 1:1)
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Zur Verkürzung von Strecken in Tiefenrichtung (x-Richtung): Verkürzungswinkel α.
Bemerkung: Strecken in y- und z-Richtung sind bei jedem Kavalierriss unversehrt.
9.3 Konstruktion und Anwendung des Verkürzungswinkels α (nur
für Tiefenstrecken (x-Richtung))
z.B.: Vx = 2:3
(Bildstrecke : Urstrecke)
e…beliebige Einheit
Die verkürzte Bildstrecke wird mit dem Zirkel berührend an den zweiten Winkelschenkel
abgegriffen (und sofort in den Kavalierriss übertragen).
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10 Grund- und Aufriss
Definiton: Zwei Normalrisse, deren Blickrichtungen zueinander normal sind, heißen
„zugeordnete Normalrisse“.
Grund- und Aufriss sind zugeordnete Normalrisse mit den Blickrichtungen:
1) Blickrichtung von oben Æ 1. Rissebene π1 (Grundrissebene) waagrecht
2) Blickrichtung von vorne Æ 2. Rissebene π2 (Aufrissebene) senkrecht (frontal)
Grund- und Aufrissebene schneiden sich längs einer Geraden 12 (12…“Rissachse“).
10.1 Abbildung eines Raumpunktes P
Sehstrahl 1 von oben durch P Æ P′ in π1 ( P′ = 1 ∩ π 1 )
Sehstrahl 2 von vorne durch P Æ P′′ in π2 ( P′′ = 2 ∩ π 2 )
Die Sehstrahlen 1 und 2 bilden eine Ebene σ, die zu π1 und π2 normal steht.
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Die Darstellende Geometrie hat die Aufgabe, Gegenstände des Raumes in einer Zeichenebene
darzustellen und konstruktiv zu beherrschen.
Man vereinigt daher Grund- und Aufriss in einer Zeichenebene und zwar so:
Wir denken uns π2 in unsere Zeichenebene gelegt und die Grundrissebene π1 um die
Rissachse 12 um 90° in die Zeichenebene geklappt.
Zeichenebene geklappt: π1 Æ (π1)
Der Punkt P′ beschreibt beim Drehen um 12 einen Viertelkreisbogen
p P′ → ( P′) s′ → ( s′)
Wir erkennen weiters: ( s′) und s s′′ fallen nach der Drehung in die Verbindungsgerade
[( P′), P′′] ⊥ 12 zusammen.
Eine solche Gerade [( P′), P′′] ⊥ 12 nennt man „12-Ordner“.
Von nun an wollen wir uns die Drehung π1 in die Zeichenebene bereits ausgeführt denken
und schreiben daher statt ( P′) nur noch P′ .
Entsprechende Punkte ( P′, P′′) liegen stets auf einem 12Ordner senkrecht zur Rissachse 12.
Von dieser „Ordnerbedingung“ gibt es keine Ausnahmen!
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11 Zweckmäßige Angabe eines Raumpunktes P
Durch 3 Zahlen (Koordinaten):
z.B.: P(3 / 2 / 4)
Der Punkt P liegt
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P(xp / yp / zp)
2e rechts von 0,
y-Koordinate
3e vor π2,
x-Koordinate
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4e über π1
z-Koordinate
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Beispiele:
P(3/-7/2),
U(3/5/-5),
Q(4/-5/0),
V(-2/7/-3)
R(0/-3/5),
S(0/-1/0),
T(-2/2/4),
Der Punkt P liegt 7e links von 0, 3e vor π2, 2e über π1.
Der Punkt Q liegt 5e links von 0, 4e vor π2, 0e über π1.
Der Punkt R liegt 3e links von 0, 0e vor π2, 5e über π1.
Der Punkt S liegt 1e links von 0, 0e vor π2, 0e über π1 – also auf 12.
Der Punkt T liegt 2e rechts von 0, 2e hinter π2, 4e über π1.
Der Punkt U liegt 5e rechts von 0, 3e vor π2, 5e unter π1.
Der Punkt V liegt 7e rechts von 0, 2e hinter π2, 3e unter π1.
12 Seitenrisse
12.1 Der 13-Seitenriss
Einführung einer neuen Bildebene π3 normal auf π1 – Sehstrahlrichtung 3 normal zur
Bildebene.
(Der 13-Seitenriss ist also auch ein Normalriss.)
Wozu:
1) Das 3. Bild eines Körpers wird anschaulicher.
2) Das 3. Bild eines Körpers wird einfacher – Konstruktionen sich einfach durchführbar.
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Wie beim Grund- und Aufrissverfahren wird nun π3 um die Rissachse 13 um 90° in die
Zeichenebene geklappt. P′′′ beschreibt dabei einen Viertelkreisbogen um die neue Rissachse
13 und gelangt nach ( P′′′) .
P′′′ und ( P′′′) liegen auf einem 13-Ordner senkrecht zur Rissachse 13.
Statt ( P′′′) schreiben wir wiederum nur P′′′ .
Wichtige Erkenntnis:
P′′′ hat von 13 den gleichen Abstand wie P′′ von 12!
Geg.: P′, P′′,12,13
Ges.: P′′′
Geg.: A′, A′′, B′, B′′,12,13
Ges.: A′′′, B′′′
Achtung: Die Abstände müssen dabei orientiert abgetragen werden!
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Geg.: Recheckiges Prisma mit schrägem Schnitt
Ges.: 13-Seitenriss bei geg. Rissachse 13
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Geg.: Regelmäßige fünfseitige Pyramide mit schrägem Schnitt
Ges.: 13-Seitenriss bei geg. Rissachse 13
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A(0/6/3),
F(2/-4/3),
B(-2/4/2),
G(4/-6/3),
Der Punkt
A liegt 6e rechts von 0, in π2, 3e über π1
B liegt 4e rechts von 0, 2e hinter π2, 2e über π1
C liegt 2e rechts von 0, 3e hinter π2, 4e unter π1
D liegt auf 0, 3e vor π2, auf 12
E liegt 2e links von 0, 2e vor π2, auf 12
F liegt 4e links von 0, 2e vor π2, 3e über π1
G liegt 6e links von 0, 4e vor π2, 3e über π1
H liegt 8e links von 0, in π2, auf 12
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C(-3/2/-4),
H(0/-8/6)
D(3/0/-3),
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E(2/-2/0),
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Geg.: Körperkombination
Ges.: 13-Seitenriss
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12.2 Der 23-Seitenriss
Einführung einer neuen Bildebene π3, normal auf π2.
Sehstrahlrichtung 3 normal zu π3.
(Der 23-Seitenriss ist also auch ein Normalriss!)
π3 wird um die Rissachse 23 um 90° in die Zeichenebene geklappt.
P′′′ beschreibt dabei einen Viertelkreisbogen um die neue Rissachse 23 und gelangt nach
( P′′′) .
P′′ und P′′′ liegen auf einem 23-Ordner, senkrecht zur Rissachse 23.
Wichtige Erkenntnis:
P′′′ hat von 23 den gleichen Abstand wir P′ von 12.
Geg.: P′, P′′,12,23
Ges.: P′′′
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Geg.: A′, A′′, B′, B′′,12,23
Ges.: A′′′, B′′′
Achtung: Die Abstände müssen dabei wiederum abgetragen werden!
Geg.: Körperkombination, 12, 13
Ges.: 23-Seitenriss
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13 Punkt, Gerade
13.1 Der Punkt
Wir alle wissen, was man unter einem Punkt versteht, aber trotzdem lässt er sich nicht
sinnvoll definieren.
Ein Punkt ist dimensionslos.
Hilfsvorstellung: Körperecke, Kreismittelpunkt, Schnittpunkt zweier Geraden, usw.
13.2 Die Gerade
Eindimensional, vorstellbar als kürzeste Verbindung zweier Punkte jedoch unendlich lang.
Angabe einer Geraden: Durch zwei Punkte: g[A,B]
Grund und Aufriss einer Geraden, allgemeine Lage
13.2.1
Die projizierenden Geraden
Definition: Unter einer projizierenden Geraden versteht man eine Gerade, die normal auf eine
Bildebene steht.
Eine erstprojizierende Gerade steht normal auf π1, ihr Grundriss ist ein Punkt, ihr Aufriss
steht senkrecht auf die Rissachse 12.
Aus g ⊥ π 1 folgt:
g // π 2 g ist also automatisch eine 2. Hauptgerade (g = h2)
z.B.: AB = A′′B′′
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Eine zweitprojizierende Gerade steht normal auf π2, ihr Aufriss ist ein Punkt, ihr Grundriss
steht senkrecht auf die Rissachse 12.
Aus g ⊥ π 2 folgt:
g // π 1 g ist also automatisch eine 1. Hauptgerade (g = h1)
z.B.: AB = A′B′
13.2.2
Die Profilgeraden
Definition: Geraden für die Grund- und Aufriss in Ordnerrichtung fallen, heißen
Profilgeraden.
Achtung: Eine Profilgerade muss stets durch 2 Punkte
gegeben sein!
Bemerkung: Wahre Längen von Strecken sind jetzt nicht
direkt ersichtlich.
13.2.3
Spezielle Lagen von Geraden
13.2.3.1
Die Hauptgeraden
Definition: Unter einer Hauptgeraden versteht man eine Gerade, die parallel zu einer
Bildebene liegt.
Eine 1. Hauptgerade (h1) liegt parallel zu π1, ihr Aufriss ( h1′′ )
ist parallel zur Rissachse 12. (Der Grundriss hat beliebige
Lage.)
Wir wissen bereits:
Aus h1 // π1 folgt:
Strecken auf h1 können im Grundriss unverzerrt gemessen
werden. z.B.: AB = A′B′
Umkehrung:
Liegt der Aufriss einer Geraden parallel zur Rissachse 12, so
handelt es sich automatisch um eine 1. Hauptgerade (g = h1)
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Eine 2. Hauptgerade (h2) liegt parallel zu π2, ihr
Grundriss ( h2′ ) ist parallel zur Rissachse 12 (Der
Aufriss hat beliebige Lage.)
Wir wissen bereits:
Aus h2 // π2 folgt:
Strecken auf h2 können im Aufriss unverzerrt
gemessen werden. z.B.: AB = A′′B′′
Umkehrung:
Liegt der Grundriss einer Geraden parallel zur
Rissachse, so handelt es sich automatisch um eine
2. Hauptgerade. (g = h2)
Vervollständigungsaufgabe für Profilgerade
Geg.: Profilgerade g[A,B], C’ mit Ceg
Ges.: C’’
Zur 1. Methode: Direkte Teilverhältnisübertragung mit dem Strahlensatz.
Zur 2. Methode: 2-fache Parallelprojektion zur Teilverhältnisübertragung
Die Hilfsstrahlen sind beliebig, die Entsprechenden jedoch zueinander parallel.
Achtung: g~ muss konstruiert werden!
HÜ:
Geg.: Profilgerade g[A,B], C’’ mit Ceg
Ges.: C’
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13.2.3.2
Länge einer Strecke („Wahre Länge einer Strecke“)(w.L.)
Wir wissen bereits:
Für alle Parallelprojektionen (Schräg- und Normalrisse) gilt:
Liegt eine ebene Figur parallel zu einer Bildebene (oder in einer Bildebene), so erscheint sie
in der jeweiligen Projektion unverzerrt. (Eine Strecke ist sicher die einfachste ebene Figur.)
Bestimmung der wahren Länge einer Strecke (w.L.):
1. Methode: Seitenriss
Man legt durch die Strecke s eine 13- oder 23Seitenrissebene ( s′ = 13 oder s′′ = 23 ).
Die Strecke s liegt dann in der jeweiligen
Seitenrissebene und erscheint im
entsprechenden 3. Riss unverzerrt (also in
wahrer Länge)
Bemerkung: Die Seitenrissmethode erfordert
viel Platz.
2. Methode: Differenzendreieck
Aus der ersten Methode entwickelt sich die 2.
Methode, indem hier bloß die Differenz der
Abstände abgetragen wird. (selbes Ergebnis,
jedoch weniger Platzbedarf)
Bemerkung: Die Methode des
Differenzendreiecks wird in der DG gerne
angewandt.
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13.2.3.3
Abtragen einer Strecke auf einer Geraden
Diese Methode ist die Umkehrung der Ermittlung der wahren Länge.
Problem: Von A ∈ g sollen nach rechts 7cm abgetragen werden.
Prinzip: Sieht man auf einer
Geraden irgendeine Strecke in
wahrer Länge (auf g 0′ ), so sind
dort alle Strecken in wahrer
Länge ersichtlich (also auch
unserer 7cm).
Praxis:
1. Wahl eines beliebigen
Hilfspunktes auf g um
„irgendeine“ Strecke zu
erhalten.
2. Wahre Länge von A1
(auf g 0′ )
3. Dort 7cm abtragen und
Ergebnis zurückbringen.
Bemerkung: Hilfspunkte (zum Beispiel 1) können auf einer Geraden außer auf Profilgeraden
stets problemlos gewählt werden.
Sonderfall: Das Abtragen einer Strecke auf einer Profilgeraden
Problem: Auf der Profilgeraden g[A,B] sollen von A in
Richtung B 5cm abgetragen werden.
Anleitung: Hier bietet die 1. Methode
(Seitenrissmethode) zur Bestimmung der wahren Länge
gewisse Vorteile (keine Vervollständigungsaufgabe für
Profilgerade notwendig).
HÜ: Schmierpapier!
Wahre Größe des Dreiecks [A,B,C]
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13.2.3.4
Lage von Geraden zueinander
Zwei Gerade können:
1. zueinander parallel sein (Fig. 1)
2. sich schneiden (Fig. 2)
3. sich kreuzen („Windschief liegen“) (Fig. 3)
Die Bilder paralleler Geraden sind zueinander wiederum parallel („parallelentreu der
Parallelprojektion“).
zu 1) d.h. a // b ↔ a′ // b′ und a′′ // b′′ +
zu 2) Schneidende Geraden haben einen Schnittpunkt. Dieser genügt der Ordnerbedingung.
zu 3) Kreuzende Geraden haben keinen Schnittpunkt. Sichtbarkeitsbestimmung mittels
„Deckpunkten“ (scheinbare Schnittpunkte) ( 1′ = 2′ bzw. 3′′ = 4′′ )
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Geg.: Halbstrahlen a, b, c durch s
Ges.: Dreiseitige Pyramide (s. Skizze) mit SA = 8cm, SB = 10cm, SC = 9cm
12
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13.3 Satz vom Winkel, Satz vom rechten Winkel
Ein Winkel erscheint genau dann in wahrer Größe, wenn beide Schenkel zu ein und derselben
Bildebene parallel liegen. (Nach dem Satz: Liegt eine Ebene Figur parallel zu einer
Bildebene, so erscheint sie in der Parallelprojektion auf diese Bildebene unverzerrt.)
Ein rechter Winkel erscheint genau dann in wahrer Größe, wenn mindestens ein Schenkel
parallel zu einer Bildebene liegt. (Also auf einer Hauptgeraden)
13.4 Spurpunkte einer Geraden
Unter einem Spurpunkt einer Geraden versteht man den
Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Bildebene.
(durch π1, π2,…)
Man bezeichnet:
G1…“1. Spurpunkt“ von g (G1 = g ∩ π 1 )
G2…“2. Spurpunkt“ von g (G2 = g ∩ π 2 )
Geg.: Gerade G
Ges.: 1. und 2. Spurpunkt (G1 und G2)
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Geg.: g
Ges.: G1, G2
Man beachte:
G1 hat keinen z-Abstand (z = 0)
G2 hat keinen x-Abstand (x = 0)
13.5 Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Bildebene
Der 1. Neigungswinkel α1 einer Geraden g gegen π1 ist definitionsgemäß gleich dem Winkel
zwischen den Geraden g und ihrem Grundriss g’, wobei der Scheitel der 1. Spurpunkt G1 von
g ist.
Analog: 2. Neigungswinkel α2
Also: α1 = ∠gπ 1 def. ∠gg ′ = ∠g ′g ′′ …Scheitel G1
α 2 = ∠gπ 2 def. ∠gg ′′ = ∠g ′′ g ′′ …Scheitel G2
Geg.: Gerade g
Ges.: 1. und 2. Neigungswinkel (α1 und α2)
1…bel. Hilfspunkt auf g
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Geg.: g
Ges.: α1, α2
14 Die Ebene
14.1 Angabestücke einer Ebene
1) Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen: ε[A,B,C]
Geg.: X ′ mit X ∈ ε
Ges.: X ′′
Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X,
die „ganz“ in der Ebene liegt
Bemerkung: Dieses Verfahren wird
„angittern eines Punktes“ in einer Ebene
genannt
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2) Durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt: ε[g,P]
Geg.: X ′′ mit X ∈ ε
Ges.: X ′
Lösung: Hilfsgerade p durch X und P
2a) Bei „ungünstiger“ Lage des Punktes X: Ebenenangabe ε[g,P]
in eine Dreiecksangabe ε[1, 2 beliebig auf g, P] verwandeln.
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3) Durch zwei parallele Geraden: ε[a//b]
Geg.: X ′ mit X ∈ ε
Ges.: X ′′
Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X jedoch p nicht parallel a,b
4) Durch zwei sich schneidende Geraden: ε[ a ∩ b = s ]
Geg.: X ′′ mit X ∈ ε
Ges.: X ′
Lösung: Beliebige Hilfsgerade p durch X, jedoch p nicht durch s
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14.2 Hauptgeraden in einer Ebene
Wir erkennen: Die Hauptgeraden in einer Ebene der gleichen Art sind zueinander parallel
d.h.: Alle h1 sind zueinander parallel
Alle h2 sind zueinander parallel
für {h1},{h2} in ε
Geg.: ε[A,B,C]
Ges.: h1 durch C, h2 durch A
Lässt sich das Problem nicht direkt lösen, so sind Hilfshauptgerade zu verwenden
h1′′ → h1′′ → h1′ → h1′ // h1′
14.3 Paralleldrehen einer Ebene
Die Ebene wird auf eine 1. Hauptgerade (h1) parallel zu π1 oder eine 2. Hauptgerade (h2)
parallel zu π2 gedreht.
Dabei beschreiben alle Punkte, die nicht auf der Hauptgerade liegen, Kreisbögen, deren
Trägerebenen normal auf die jeweilige Hauptgerade liegen.
Alle Punkte auf der Hauptgeraden bleiben fest, sie heißen „Fixpunkte“.
Beachte: Als Drehachse eignet sich ausschließlich eine Hauptgerade!!!
wozu:
1) Alle Figuren dieser Ebene erscheinen in der parallel gedrehten Lage unverzerrt.
2) Konstruktionen können in der parallel gedrehten Lagen unverzerrt durchgeführt
werden.
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Bsp.: Wahre Größe des Winkels α
Bsp.: Wahre Größe des Winkels α
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14.4 Konstruktionsaufgaben
Vorgang:
1)
2)
3)
4)
Skizze des gelösten Problems, Angabestücke eintragen und unterstreichen
Konstruktion anhand der Skizze überlegen
Ebene paralleldrehen und Konstruktion dort unverzerrt ausführen
Ergebnis zurückdrehen
Bsp.: Von einem gleichseitigen Dreieck kennt man die Trägergerade g einer Seite, sowie die
gegenüber liegende Ecke A.
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Bsp.: Wahre Größe des Dreiecks [A(6/16/4), B(8/10/8), C(2/3/2]
Das Zurückdrehen von Punkten die nicht direkt auf einer Geraden liegen
Voraussetzungen:
1) Hauptgerade h
2) Mindestens ein bereit bekanntes Punktepaar (z.B.: A+A0)
Geg.: Hauptgerade h, A+A0, X0, Y0
Ges.: X, Y
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Bsp.:
Geg.: M(5/8/5), p[I(4/2/0), II(0/15/6)]
Ges.: Regelm. Fünfeck (siehe Skizze)
HÜ: regelm. Sechseck
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14.5 Projizierendmachen einer Ebene
Um eine Ebene projizierend zu machen, benötigt man einen Seitenriss.
13 ⊥ h1′ oder 23 ⊥ h2′′
Geg.: ε[A,B,C]
Ges.: ε projizierend
Geg.: ε[g,P]
Ges.: ε projizierend
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14.6 Normalgerade zu einer Ebene
Eine Gerade, welche normal auf eine Ebene steht, heißt „Normalgerade zur Ebene“. Durch
jeden Punkt des Raumes gibt es genau eine Gerade, welche auf eine gewisse Ebene normal
steht.
Achtung: Die Normalgerade n z einer Ebene liegt nicht in der Ebene und kann daher dort
nicht angegittert werden!
Zeichnen der Normalgeraden n
Nach dem Satz vom rechten Winkel gilt: n′ ⊥ h1′ und n′′ ⊥ h2′′ .
Geg.: ε[g,P]
Ges.: n ⊥ ε ∧ n ∋ P
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Man richte über dem Dreieck [A(2/6/1), B(4/4/3), C(1/11/5)] ein gerades dreiseitiges Prisma
mit der Höhe h = 7cm.
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Man errichte über dem Dreieck [A(5/3/3), B(4/13/0), C(1/8/6)] eine dreiseitige Pyramide so,
dass die Spitze S 9cm über dem Höhenschnittpunkt H des Dreiecks liegt.
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1. Fall: kein Winkel größer als 90°
2. Fall: ein Winkel größer als 90°
S…Schwerpunkt
I…Inkreismittelpunkt
H…Höhenschnittpunkt
U…Umkreismittelpunkt
sc…Schwerlinie
Schwerpunkt nicht parallel drehen – immer im Dreieck
Seite halbieren – mit Ecke verbinden – Schnittpunkt = S
Inkreismittelpunkt auch im Dreieck – parallel drehen!
Winkelsymetralen zeichnen – Schnittpunkt I
Höhenschnittpunkt
Beim 2. Fall außerhalb
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Man errichte über dem Dreieck [A(4/6/2), B(6/15/4), C(2/11/7)] eine dreiseitige Pyramide so,
dass die Spitze S 10cm über den Inkreismittelpunkt des Dreiecks liege.
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14.7 Normalgerade γ zu einer Geraden g
Eine Ebene, welche normal zu einer Geraden steht, heißt Normalebene zu der Geraden.
Durch jeden Punkt des Raumes gibt es genau eine Ebene, die auf eine gewisse Gerade normal
steht.
Aufspannen der Ebene γ:
Die Normalebene γ wird aufgespannt durch 2 Hauptgeraden, wobei:
γ[h1,h2]
h1′ ⊥ g ′
h2′′ ⊥ g ′′
Geg.: g, P ∉ g
Ges.: γ ⊥ g ∧ γ ∋ P
Geg.: g, P ∈ g
Ges.: γ ⊥ g ∧ γ ∋ P
Anwendung: Symmetrieebene σ (= γ im Streckenmittelpunkt) der Strecke AB
Beachte: Die Symmetrieebene σ ist die Menge aller Punkte, die von den Punkten A,B den
gleichen Abstand haben.
Geg.: Strecke AB
Ges.: Symmetrieebene
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15 Die Ellipse
Definition: Die Ellipse ist definiert als Menge aller Punkte in einer Ebene, die von 2 festen
Punkte F1, F2 (Brennpunkte) konstante Abstandssumme 2a haben.
Konstruktion nach Definition:
Man bezeichnet:
A,B…Hauptscheitel der Ellipse
C,D…Nebenscheitel der Ellipse
M…Mittelpunkt der Ellipse
F1,F2…Brennpunkt der Ellipse
P…allg. Ellipsenpunkt
a...halbe Hauptachse der Ellipse
b...halbe Nebenachse der Ellipse
e…lineare Exzentrität der Ellipse
x,y…Brennstrahlen
e = a2 + b2
x + y = 2a = konstant
Variation von x liefert weitere Ellipsenpunkte
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15.1 Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse
Mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise ist das Zeichnen einer Ellipse besonders bequem.
Gärtnerkonstruktion einer Ellipse:
16 Weitere Beispiele
Geg.: Profilgerade g[A,B], C ′ mit C ∈ g
Ges.: C ′′
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DG-Hausübung
Geg.: Isometrischer Kavalierriss eines Körpers
Ges.: Grund- Auf- und Kreuzriss in der genormten Anordnung mit unsichtbaren Kanten,
jedoch ohne Abmessungen einzutragen
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Geg.: Isometrischer Kavalierriss eines Körpers
Ges.: Grund- Auf- und Kreuzriss in der genormten Anordnung mit unsichtbaren Kanten,
jedoch ohne Abmessungen einzutragen
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Geg.: Körper durch Auf- und Kreuzriss
Ges.: Kavalierriss
Gr. A bn (= xs) = 150°, Vx = 2:3
Gr. B bn (= xs) = 30°, Vx = 3:4
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