Blatt 5

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Dr. Jürgen Koslowski
Theoretische Informatik 2
Aufgabenblatt 5, 2015-06-04
Übungsaufgabe 1
[15 punkte] Eine Clique in einem ungerichteten Graphen hV, Ei ist eine Teilmenge C ⊆ V
mit der Eigenschaft, daß {u, v} ∈ E gilt für alle u, v ∈ C mit u 6= v . (Also induziert C
einen vollständigen Untergraphen, d.h., je zwei verschiedene Knoten sind durch eine Kante
verbunden.)
Zeigen Sie, daß sich die drei folgenden Entscheidungsprobleme wechselseitig aufeinander F P ¿reduzieren lassen:
• Clique: Für die Eingabe hG, ki bestehend aus einem ungerichteten Graphen G = hV, Ei
und einer Zahl k ∈ IN ist zu entscheiden, ob in G eine Clique mit mindestens k Elementen existiert.
• Unabhängige Menge (UM): Für die Eingabe hG0 , k 0 i bestehend aus einem ungerichteten Graphen G0 = hV 0 , E 0 i und einer Zahl k 0 ∈ IN ist zu entscheiden, ob eine Knotenmenge I ⊆ V 0 mit mindestens k 0 Elementen existiert, innerhalb derer keine Kanten
verlaufen.
• Knotenüberdeckung (KÜ): Für die Eingabe hG00 , k 00 i bestehend aus einem ungerichteten Graphen G00 = hV 00 , E 00 i und einer Zahl k 00 ∈ IN ist zu entscheiden, ob eine Knotenmenge U ⊆ V 00 mit höchstens k 00 Elementen existiert, so daß jede Kante mindestens
einen Endpunkt in U hat.
Lösungsvorschlag:
Clique ≤ UM: Die Schlüsselbeobachtung ist, daß in einem k ¿- gefärbten Graphen G alle gleichgefärbten Knoten untereinander nicht verbunden sind, beim Übergang zum Komplementärgraphen Gc (mit denselben Knoten aber dem Komplement der Kanten) also eine Clique
bilden. Wir vermuten also, daß hG, ki 7−→ hGc , ki die gesuchte Reduktion ist.
Der Nachweis der Korrektheit ist nahezu trivial:
Falls G eine Clique der Größe k besitzt, so ist dieselbe Knotenmenge in Gc eine unabhängige
Menge und umgekehrt.
Es bleibt zu zeigen, daß diese Reduktion zu FP gehört. Repräsentieren wir Graphen mittels
Adjazenzmatrizen, so ist solch eine Matrix einmal zu durchlaufen und alle Einträge außerhalb
der Diagonalen sind durch ihr Komplement zu ersetzen, was n(n − 1) Schritte erfordert.
UM ≤ KÜ: Ist I ⊆ V eine unabhängige Knotenmenge in einem Graphen G = hV, Ei , so hat
das Komplement V \ I folgende Eigenschaft: jede Kante in E hat einen Endpunkt in V \ I .
Damit ist V \ I eine Knotenüberdeckung aus |V | − |I| Knoten. Die Umkehrung ist ebenso
trivial: für jede Knotenüberdeckung U ⊆ V ist die Knotenmenge V \ U unabhängig. Die
gesuchte Reduktion ist also gegeben durch hhV, Ei, ki 7−→ hhV, Ei, |V | − ki .
Das Zählen der Knoten und die Subtraktion |V | − k können natürlich in polynomialer Zeit
geleistet werden.
KÜ ≤ Clique: Die Reduktion hG = hV, Ei, ki 7−→ hGc , |V | − ki leistet das Gewünschte: Das
Komplement V \I einer Knotenüberdeckung I mit k Knoten in G ist eine Clique mit |V |−k
Knoten in Gc und umgekehrt. Die Transformation G 7→ Gc und die Berechnung von |V | − k
sind wie oben in polynomialer Zeit zu bewerkstelligen.
Aufgabe 2 [10 PUNKTE]
Bei einer k -Färbung eines ungerichteten Graphen G = hV, Ei handelt es sich um eine Abbildung V f k = {0, . . . , k − 1} mit der Eigenschaft, dass {u, v} ∈ E schon f (u) 6= f (v)
impliziert, oder noch eleganter, um einen Graphenhomomorphismus G
Kk , wobei Kk der
vollständige Graph mit Knotenmenge k und allen Kanten zwischen verschiedenen Knoten ist.
Weiterhin verstehen wir unter einer Partition einer Menge V eine Teilmenge
U ⊆ P (V ) , die
S
aus nichtleeren, paarweise disjunkten Teilmengen von V besteht und
U = V erfüllt.
Zu einer fest vorgegebenen Zahl k ∈ IN fragt das Entscheidungsproblem k -Cliquen Partition für einen ungerichteten Graphen hV, Ei , ob die Knotenmenge V eine Partition in höchstens
k Cliquen zuläßt (im Gegensatz zu Aufgabe 26 geht es hier um die Anzahl der Cliquen, nicht
um deren Größe).
[10 punkte] Bestimmen Sie eine F P -Reduktion von k -Cliquen Partition auf k -Färbbarkeit und weisen Sie ihre Korrektheit nach.
Aufgabe 3 [12+12 PUNKTE]
Genau wie für die Sprachfamilien der regulären, kontextfreien, entscheidbaren und semi-entscheidbaren Sprachen können wir für Komplexitätsklassen von Entscheidungsproblemen die
Frage nach dem Abschluß unter bestimmten natürlichen Operationen stellen.
Untersuchen Sie P und N P auf Abschluß
(a) [6 punkte] unter binärer Vereinigung bzw. Durchschschnitt;
(b)∗ [6+12 punkte] unter dem Kleene Stern [Hinweis: N P ist leicht, P schwieriger]
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort!
Abgabe bis Donnerstag, 2015-06-11, 09:00 im Kasten neben IZ 343