Theoretische Informatik II für IF 04 und LAG 04

Theoretische Informatik II für IF 04 und LAG 04
Übungsblatt 11
zur Vorlesung von Prof. Dr. J. Dassow
im Sommersemester 2006
Magdeburg, 13. Juni 2006
1. Geben Sie reguläre Ausdrücke für folgende Sprachen an.
a) Die Menge aller Wörter über {a, b}, die auf aab enden.
b) Die Menge aller Wörter über {a, b}, in denen jedes Paar benachbarter a’s vor allen Paaren
benachbarter b’s auftritt.
c) Die Menge aller Wörter über {a, b} mit höchstens einem Paar aufeinanderfolgender a’s und
höchstens einem Paar aufeinanderfolgender b’s.
d) Die Menge aller Wörter über {a, b}, die nicht das Teilwort bab enthalten.
2. Was muss man zeigen, um zu beweisen, dass ein Problem NP-vollständig ist. Welche Optionen gibt
es zum Nachweis der Teilbehauptungen?
3. Seien A und B echte, nichtleere Teilmengen von X ∗ . Zeigen Sie: Falls A und B in P liegen, so gilt
A α B.
4. Seien A und B Sprachen bzw. Probleme, die NP-vollständig sind. Zeigen Sie, dass dann A α B gilt.
5. In einem ungerichteten Graphen G = (V, E) heißt eine Knotenmenge V 0 ⊆ V vollständig oder
Clique, wenn zwischen je zwei verschiedenen Knoten aus V 0 eine Kante existiert.
In einem ungerichteten Graphen G = (V, E) heißt eine Knotenmenge V 0 ⊆ V unabhängig, wenn
keine Kante zwischen zwei Knoten aus V 0 existiert.
In einem ungerichteten Graphen G = (V, E) bildet eine Knotenmenge V 0 ⊆ V eine Knotenüberdeckung, wenn jede Kante in E mindestens einen Knoten aus V 0 enthält.
Wir definieren die Mengen Clique, Independent Set (IS ) und Vertex Cover (VC ) durch
Clique := {(G, k) | G ist ein ungerichteter Graph mit einer
Clique mit k Knoten, k ∈ N},
IS := {(G, k) | G ist ein ungerichteter Graph mit einer
unabhängigen Knotenmenge mit k Knoten, k ∈ N},
VC := {(G, k) | G ist ein ungerichteter Graph mit einer
Knotenüberdeckung mit k Knoten, k ∈ N}.
a) Beweisen Sie, dass Clique polynomial auf IS reduzierbar ist.
b) Beweisen Sie, dass IS polynomial auf VC reduzierbar ist.
6. Gegeben sind folgende Probleme:
Sum of Subset (SOS ):
Gegeben:
Frage:
m ∈ N, m > 0, ai ∈ N für 1 ≤ i ≤ m, b ∈ N.
P
Existiert eine Teilmenge I ⊆ {1, . . . , m} mit i∈I ai = b?
Set Partition (SP ):
Gegeben:
Frage:
m ∈ N, m > 0, ai ∈ N für 1 ≤ i ≤ m.
P
P
Existiert eine Teilmenge I ⊆ {1, . . . , m} mit i∈I ai = i6∈I ai ?
a) Beweisen Sie, dass SP polynomial auf SOS reduzierbar ist.
b) Beweisen Sie, dass SOS polynomial auf SP reduzierbar ist.