Grundwissen Mathematik 5. Klasse

Realschule Großostheim
Grundwissen Mathematik 5
1. Natürliche Zahlen

ℕ = {1; 2; 3; 4; 5; ...}
𝔾 = {2; 4; 6; 8; 10; ...}
𝕌 = {1; 3; 5; 7; 9; ...}
ℙ = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; ...}
Menge der natürliche Zahlen:
Menge der geraden Zahlen:
Menge der ungeraden Zahlen:
Menge der Primzahlen:
(Primzahlen = natürliche Zahlen, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind)

Zehnersystem = Dezimalsystem:
Billionen
Milliarden
HB
ZB
B
HMd ZMd Md

Runden:
Runde
HM
Millionen
ZM
M
Tausender
HT
ZT
T
Hunderter Zehner
Der Begriff „Primzahl“ leitet
sich vom lateinischen Begriff
„Primus“ („der Erste“) ab.
Primzahlen sind die Grundoder Basiszahlen (die
„ersten“ Zahlen) unseres
Zahlensystems, denn
jede andere natürliche
Zahl lässt sich als Produkt
von Primzahlen darstellen
(Primfaktorzerlegung).
68 6 82 (Einwohnerzahl von Aschaffenburg) auf Tausender.
„ungefähr gleich“
T
68 682
 69 000
Diese Stelle gibt an, ob auf- oder abgerundet wird:
a) abrunden
bei
0, 1, 2, 3, 4
b) aufrunden
bei
5, 6, 7, 8, 9
Einer
Auf diese Stelle soll gerundet werden.

Teiler und Vielfache:
Teilermenge von 32:
„Division geht ohne Rest auf“:
ist Teiler von
T32 = { 1;
2;
man schreibt: 4 | 32
4
ist Vielfaches von
16;
32 }
Partner
1  32 = 32
 Teilbarkeitsregeln:
teilbar
Endstellenregeln:
durch
Zahl ist gerade
2
letzte zwei Ziffern der Zahl sind durch 4 teilbar oder 00
4
letzte drei Ziffern der Zahl sind durch 8 teilbar oder 000
8

8;
Partner
4  8 = 32
Partner
2  16 = 32
32
5
10
25
100
4;
teilbar
durch
3
6
9
Quersummenregeln:
Quersumme der Zahl ist durch 3 teilbar
Zahl ist gerade und ihre Quersumme durch 3 teilbar
Quersumme der Zahl ist durch 9 teilbar
letzte Ziffer der Zahl ist 0 oder 5
letzte Ziffer der Zahl ist 0
letzte beiden Ziffern der Zahl sind 00, 25, 50, 75
letzte beiden Ziffern der Zahl sind 00
ggT und kgV:
ggT
= größter gemeinsamer Teiler
Zu jeder Zahl kann man ihre Teilermenge angeben:
T20 = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
T30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
gemeinsame Teiler von 20 und 30:
1; 2; 5; 10
größter gemeinsamer Teiler:
ggT(20; 30) = 10
ggT(20; 30) = 10
20 = 2  2  5
30 = 2  3  5
ggT(20; 30) = 2  5 = 10
kgV
= kleinstes gemeinsames Vielfache
Zu jeder Zahl kann man ihre Vielfachenmenge angeben:
V20 = {20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160; 180; ...}
V30 = {30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; ...}
gemeinsame Vielfache von 20 und 30: 60; 120; 180; ...
kleinstes gemeinsames Vielfache:
kgV(20; 30) = 60
ERMITTLUNG durch PRIMFAKTORZERLEGUNG
(zerlege die Zahlen zuerst in ihre Primfaktoren)
AUSWAHL:
kgV(20; 30) = 60
AUSWAHL:
 gemeinsame Primfaktoren! 20 = 2  2  5
 alle Primfaktoren!
30 = 2  3  5
 zusätzliche Primfaktoren!
kgV(20; 30) = 2  2  5  3 = 60
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2. Grundrechenarten
RECHENARTEN
Termname
15
3
15 + 3
Summe
1. Summand
2. Summand
+
15 – 3
Differenz
Minuend
Subtrahend
–
15  3
Produkt
1. Faktor
2. Faktor

15 : 3
Quotient
Dividend
Divisor
:
Beachte:
3
15 =
15  15  15

2
2
3²
4²
5²

Rechenzeichen/
Rechenart
addieren
Term
Potenz
Divisor niemals 0!
Basis
Exponent
(Grundzahl)
(Hochzahl)
Ergebnis
18
Summenwert
dazuzählen
vermehren
subtrahieren
12
Differenzwert
wegnehmen
vermindern
multiplizieren
45
Produktwert
vervielfachen
malnehmen
5
Quotientenwert
Man darf nicht durch 0 teilen!!!
dividieren
teilen
3375
Potenzwert
potenzieren
(Anzahl der Faktoren)
Quadratzahlen (= Potenzen mit dem Exponenten 2):
= 4
6² = 36
10² = 100
14²
= 9
7² = 49
11² = 121
15²
= 16
8² = 64
12² = 144
16²
= 25
9² = 81
13² = 169
17²
=
=
=
=
196
225
256
289
18²
19²
20²
25²
=
=
=
=
324
361
400
625
=
Rechenregeln (beim Rechnen ist folgende Reihenfolge zu beachten):
2
2
2
2
19 – { 13 + [ 17 – ( 14 + 4  13)] – 6  18}
Potenzen zuerst
!
361 – {169 + [289 – (196 + 4  13)] – 6  18}
runde Klammern zuerst: Punkt vor Strich
=
361 – {169 + [289 – (196 + 52 )] – 6  18}
runde Klammern zuerst
=
361 – {169 + [289 –
eckige Klammern danach
=
361 – {169 +
41
] – 6  18}
!
– 6  18}
=
361 – {169 +
41
– 108 }
=
361 –
=
248
geschweifte Klammern zuletzt: Punkt vor Strich
geschweifte Klammern zuletzt
102
259
RECHENGESETZE (vorteilhaftes Rechnen):
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
(Vertauschungsgesetz)
In Summen dürfen die Summanden und
in Produkten die Faktoren vertauscht
werden, ohne dass sich am Ergebnis
etwas ändert.
=
=
=
184 + 397 + 16
184 + 16 + 397
200 + 397
597
=
=
=
4  487  25
4  25  487
100  487
48 700
(Verbindungsgesetz)
In Summen und in Produkten darf an
beliebiger Stelle mit der Rechnung
begonnen werden, ohne dass sich am
Ergebnis etwas ändert.
123 + 77 + 91 + 109
=
=
200
+ 200
400
59  4  25
=
59  100
=
5 900
(Verteilungsgesetz)
Es gibt zwei Möglichkeiten das Distributivgesetz anzuwenden:
 ausklammern
 ausmultiplizieren
Ausklammern des
gemeinsamen Faktors (hier: 23):
=
=
=
Ausmultiplizieren:
Achtung:
Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten nicht für die =
=
Subtraktion und die Division!
=
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23  13 – 23  3
23  (13 – 3)
23  10
230
7  (6 + 12)
7  6 + 7  12
42 + 84
126
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3. Gleichungen und Ungleichungen
Einige wichtige Begriffe:
 Variable (z.B. x; y; a; ; ) heißen die Platzhalter für Zahlen.
 Sinnvolle Rechenausdrücke werden als Terme bezeichnet.
 Gleichungen nennt man Aussagen, die ein Gleichheitszeichen „=“ enthalten:
3  x + 5 = 45 – 52
Linksterm




Rechtsterm
Ungleichungen nennt man Aussagen, die ein Ungleichheitszeichen „<; >; ≦; ≧“ enthalten.
Grundmenge ist die Menge von Zahlen, die für die Variable eingesetzt werden dürfen.
Alle richtigen Einsetzungen ergeben die Lösungsmenge der Gleichung oder Ungleichung:
 bei unseren Gleichungen hat die Lösungsmenge entweder ein Element oder sie ist leer (𝕃 = ).
 bei Ungleichungen enthält die Lösungsmenge meist mehrere Elemente oder sie ist leer.
Man löst solche Aufgaben durch Probieren oder mithilfe der Umkehraufgabe:
LÖSUNSGVERFAHREN:
Probieren
Schritt 1: (bei beiden Verfahren)
Vereinfachen:
Schritt 2:
Setze Zahlen solange aus der Grundmenge ein, bis die Lösung der Gleichung gefunden ist (Probieren):
3  1 + 5 = 20
3  3 + 5 = 20
3  5 + 5 = 20
f.
f.
w.
Umkehraufgabe
3  x + 5 = 45 – 52
3  x + 5 = 45 – 25
3  x + 5 =
20
𝔾 = {1; 3; 5; 7;...}
Schritt 2 a:
Berechne die Variable mit der Umkehraufgabe!
(Vorsicht: Zwei Ausnahmen!!!) ( roter Kasten unten)
3  x + 5 = 20
3  x
= 20 – 5
3  x
= 15
x
= 15 : 3
x
=
5
Umkehraufgabe
Umkehraufgabe
Schritt 2 b:
Mache die Probe durch Einsetzen des Ergebnisses (hier: 5)
in die Ausgangsgleichung:
3  5 + 5 = 20
w.
Schritt 3: (bei beiden Verfahren)
Gib die Lösungsmenge an:
𝕃 = {5}
verschiedene Fälle (Umkehraufgabe) mit Ausnahmen
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Variable zuerst
+ 13 = 54
𝔾=ℕ
= 54 – 13
= 41
𝕃 = {41}
– 103 = 268
𝔾=ℕ
= 268 + 103
=
371
𝕃 = {371}
 12 = 72
𝔾=ℕ
= 72 : 12
=
6
𝕃 = {6}
: 8 = 11
𝔾=ℕ
= 11  8
= 88
𝕃 = {88}
Zahl zuerst
24 + x = 89
𝔾=ℕ
x = 89 – 24
x = 65
𝕃 = {65}
213 – x = 74
𝔾=ℕ
x = 213 – 74
x = 139
𝕃 = {139}
13  x = 52
𝔾=ℕ
x = 52 : 13
x= 4
𝕃 = {4}
42 : x = 14
𝔾=ℕ
x = 42 : 14
x= 3
𝕃 = {3}
Beachte bei Ungleichungen:
 Beim Vertauschen von Links- und Rechtsterm muss das Ungleichheitszeichen „gedreht“ werden.
 Auch bei den zwei „Ausnahmen“ ist an der entsprechenden Stelle das Ungleichheitszeichen zu „drehen“.
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4. Größen

Geld:
Umrechnungszahl 100
Euro (EUR o. €)
Cent (ct)
1 EUR = 100 ct

Zeit:
Jahr (a)
Tag (d)
Stunde (h)
verschiedene Umrechnungszahlen
Minute (min)
Sekunde (s)
1 a = 365 d
1 d = 24 h
1 h = 60 min
1 min = 60 s

Masse (Gewicht):
Umrechnungszahl 1000
Tonne (t)
Kilogramm (kg)
Gramm (g)
Milligramm (mg)
1 t = 1000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg

Länge:
km
Kilometer
1 km
hm
dam
Hektometer Dekameter
= 10 hm
1 hm
= 10 dam
1 dam
m
Meter
= 1000 m
=
10 m
1m
dm
Dezimeter
= 10 dm
1 dm
Umrechnungszahl 10
cm
mm
Zentimeter
Millimeter
= 100 cm
= 10 cm
1 cm
= 1000 mm
= 100 mm
= 10 mm
 Maßstabsrechnen:
Streckenlängen der Wirklichkeit werden in Zeichnungen (Bauplänen, Landkarten etc.) verkleinert abgebildet. Um einen Eindruck der tatsächlichen Verhältnisse zu bekommen, wird ein Maßstab angegeben.
Beispiel:
1 : 50 000
1 cm im Bild entspricht 50 000 cm in der Wirklichkeit.
 50 000
12 cm
: 50 000
Bild/Zeichnung

600 000 cm =
6 km
Wirklichkeit
Dreisatzrechnen (3 Größen sind gegeben):
Beispiel:
Bauunternehmer Bodo Bagger benötigt 18,8 t Sand. Wie viel muss er bezahlen, wenn
in einer Kiesgrube 500 kg 25,00 € kosten?
Vorüberlegungen: Welche gegebenen Größen gehören zusammen, welche Größe ist gesucht?
Größe „Masse“ Größe „Geld“


geg:
500 kg  25,00 €
(diese beiden Größen gehören zusammen!!!)
ges:
18,8 t

?€
= 18800 kg
Dreisatzrechnung (diese muss immer angegeben werden!!!):
500 kg kosten:
25,00 €
1 kg kostet:
18800 kg kosten:
25,00 € : 500
= 2500 ct : 500
=
5 ct
=
=
5 ct  18800
94000 ct
940,00 €
damit Rechnung möglich: in kleinere Einheit umwandeln!!!
in sinnvolle Einheit umwandeln!!!
A: Bodo Bagger muss für die 18,8 t Sand 940,00 € bezahlen.
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5. Geometrische Grundbegriffe
Punkte und Linien
Beschreibung
Symbol
Zeichnung
A
A
1.
Der Punkt A
2.
Die Menge der Punkte A, B und C
3.
Die Strecke vom Punkt B zum Punkt C
4.
Die Länge der Strecke von E nach F beträgt 4 cm.
5.
Die Halbgerade h, die im Punkt A beginnt und durch den
Punkt D hindurchgeht.
h = [AD
6.
Die Gerade g, die durch die Punkte B und C verläuft.
g = BC
7.
Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden h.
g || h
8.
Die Gerade m steht senkrecht auf der Geraden h.
mh
A
{A; B; C}
[BC]
B
C
C
B
EF = 4 cm
E
F
4 cm
h
A
D
g
B
C
g
h
m
h
9.
Der Punkt C liegt auf der Geraden g.
(Der Punkt C ist ein Element „“ der Geraden g.)
10. Der Punkt F liegt nicht auf der Geraden, die durch die Punkt
A und B verläuft.
(Der Punkt F ist nicht Element „“ der Geraden AB.)
11. Mehrere Punkte oder eine Halbgerade, die auf einer Geraden liegen, nennt man eine Teilmenge „“ dieser Geraden.
Die Punkte C, D und E liegen auf der Geraden g.
Cg
F  AB
{C; D; E}  g
C
g
F
B
A
C
D
E
g
g
gh={S}
12. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S.
h

S
Gitternetz:
y (Hochwertachse)
5
A (3|4)
4
y- oder Hochwert
x- oder Rechtswert
3
4
2
1
3
1
Ursprung O (0|0)

2
3
4
5
k
M
d
Koordinaten des Punktes A
Beachte:
Erst Rechtswert,
dann Hochwert!
x (Rechtswertachse)
Kreis:
r
A (3|4)
Kreislinie k
Mittelpunkt M
Radius r:
Durchmesser d:
r=d:2
d=2r
Kreis k:
k(M; r)
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Dreiecke
C
ABC
b
a
A
Eckpunkte (A, B, C) werden gegen den
Uhrzeigersinn bezeichnet.
Seitenlängen (a, b, c) werden nach den
gegenüberliegenden Eckpunkten bezeichnet.
c
B
gleichschenkliges Dreieck:
gleichseitiges Dreieck:
C
C
b
A
a
b
B
c
A
 zwei Seiten sind gleich lang (a = b)
 gleich lange Seiten heißen Schenkel
a
B
c
 alle drei Seiten sind gleich lang (a = b = c)
Vierecke
c
D
d
C
ABCD
b
Eckpunkte (A, B, C, D) werden gegen den
Uhrzeigersinn bezeichnet.
Seitenlängen (a, b, c, d) werden nach den
vorausgehenden Eckpunkten bezeichnet.
A
a
B
besondere Vierecke:
Trapez
Parallelogramm
Drachenviereck
Raute
Rechteck
Quadrat
Körper
Würfel
Pyramide
Quader
Prisma (Säule)
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Kegel
Zylinder
Kugel
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Schrägbilder
Beispiel:
a = 3 cm; b = 1 cm; c = 2 cm
Zeichne die Seitenkanten des Quaders um
die Hälfte verkürzt auf
Kästchendiagonalen.
Zeichne die Vorderfläche
des Quaders.
Zeichne sichtbare
Kanten nach, strichle
nicht sichtbare Kanten.
Zeichne die hintere
Fläche des Quaders.
c
c
b
wird nur halb so lang gezeichnet:
statt 1 cm nur 0,5 cm
a
a
b
6. Längen-, Raum- und Flächenmessung

Flächeneinheiten:
2
km
ha
Quadratkilometer
Hektar
2
1 km
= 100 ha
1 ha


Raumeinheiten:
3
m
Kubikmeter
3
1m
a
Ar
m
2
dm
Quadratmeter
Umrechnungszahl 100
2
2
cm
mm
2
Quadratdezimeter Quadratzentimeter Quadratmillimeter
2
= 1 000 000 m
= 100 a
1a
=
3
dm
Kubikdezimeter
3
= 1000 dm
3
1 dm
2
100 m
2
2
1 m = 100 dm
2
1 dm
2
= 10000 cm
2
= 100 cm
2
1 cm
3
cm
Kubikzentimeter
3
= 1000000 cm
3
=
1000 cm
3
1 cm
Hohlmaße:
Umrechnungszahl 1000
3
mm
Kubikmillimeter
3
= 1000000 000 mm
3
=
1000 000 mm
3
=
1000 mm
Beachte die Umrechnungszahlen!
 1000
 100
hl
 100
 10
l
cl
: 100
: 100
ml
: 10
: 1000
Hektoliter
1 hl
= 1 000 000 mm2
= 10 000 mm2
=
100 mm2
=
Liter
100 l
3
1 l = 1 dm
=
=
Zentiliter
10000 cl
100 cl
Seite 7 von 8
=
=
=
Milliliter
100000 ml
1000 ml
10 ml
3
1 ml = 1 cm
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Rechteck
Quadrat
D
C
D
C
b
A
a
a
B
A
a
B
Eigenschaften:
Quadrat ist ein besonderes Rechteck:
 alle vier Seiten sind gleich lang (a = b = c = d)
 benachbarte Seiten liegen senkrecht
zueinander
 gegenüberliegende Seiten sind parallel
zueinander und gleich lang (a = c, b = d)
Umfang: (= Länge des Randes einer Fläche, z.B. Zaunlänge)
u = 2  a + 2  b oder
u = 2  (a + b)
u = 4  a
Flächeninhalt: (= Größe des Innern einer Fläche, z.B. Fußbodengröße)
A = a  b
A = a  a = a2
„Länge mal Breite”
Beachte: Für die Rechnung müssen Länge und Breite die gleiche Einheit haben!!!
Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren:
Viele Wege führen zum Ziel!!!
 Ergänzen zum Rechteck:
gesuchte Fläche = große Fläche – kleine Fläche
 Zerlegen in Teilflächen:
gesuchte Fläche = Rechtecksfläche 1 + Rechtecksfläche 2
Quader
Würfel
Netz:
Netz:
c
a
b
a
a
a
Eigenschaften:
 6 gleich große Begrenzungsflächen: Quadrate
 12 gleich lange Kanten (a = b = c)
 8 Ecken
Oberflächeninhalt:
 6 Begrenzungsflächen: Rechtecke
 12 Kanten
 8 Ecken
(= Größe aller Begrenzungsflächen eines Körpers, z.B. Papiergröße fürs Einpacken)
O = 2  a  b + 2  a  c + 2  b  c
O = 2  (a  b + a  c + b  c)
oder
O = 6  a  a
„doppelte Grundfläche +
doppelte Vorderfläche +
doppelte Seitenfläche”
oder
O = 6  a2
Volumen (Rauminhalt):
(= Größe des Innern eines Körpers, z.B. Verstauungsraum eines Pakets)
V = a  b  c
„Länge mal Breite mal Höhe”
V = a  a  a = a3
V = G  c mit
G = a  b
„Grundfläche mal Höhe”
Beachte: Für die Rechnung müssen Länge, Breite und Höhe die gleiche Einheit haben!!!
Volumen zusammengesetzter Körper:
Viele Wege führen zum Ziel!!!
 Ergänzen zum Quader:
gesuchtes Volumen = großes Volumen – kleines Volumen
 Zerlegen in Teilquader:
gesuchtes Volumen = Quadervolumen 1 + Quadervolumen 2
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