Physikalisches Praktikum PAP 1 für Physiker ( für Physiker (B.Sc.) September 2010 ) September 2010 (K (Kurze) Einführung in die Grundlagen der Fehlerrechnung ) Ei füh i di d oder besser: Bestimmung von Messunsicherheiten “Step Step inside, ladies & gentlemen, inside ladies & gentlemen ” said the museum attendant, “and see the dinosaurian skeleton which is 200.000.001 years old.” How are you so certain of its age?” asked a visitor. “Well,” he replied, “last year when I started this job it was 200.000.000 years old.” h b ld ” Citation from H. Hayden, Lab physics for the life sciences, Philadelphia. Uwe Schimpf, Institut für Umweltphysik [email protected]‐heidelberg.de Gliederung ► Angabe von Messergebnissen ► Ursache und Arten von Messunsicherheiten ► Berechnung von zufälligen Messunsicherheiten ► Gaussverteilung & Fehlerfortpflanzung Gaussverteilung & Fehlerfortpflanzung ► Graphische Darstellung ► Lineare Regression Lineare Regression [experimentelle Demonstration] [Lösungen zu den Arbeitsblättern] [zusätzliches Material] Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Experimentelle Demonstration Versuch 251 „Statistik“: Radioaktiver Zerfall von Kobalt 60 (Halbwertszeit 5.26 a) Betrachte ein einzelnes Atom: Ist eine Vorhersage möglich wann dieses Atom zerfallen wird ? Nein, aber: Der Zerfall radioaktiver Atome gehorcht den Gesetzen der Statistik! Der Zerfall radioaktiver Atome gehorcht den Gesetzen der Statistik! Auch wenn das Schicksal jedes einzelnen Atoms nicht vorhersehbar ist, sind genaue Vorhersagen wie sich Kollektive aus vielen Atomen verhalten werden möglich, z.B.: Nach einer i ganz bestimmten Zeit (Halbwertszeit), (H lb t it) ist stets die di Hälfte Hälft aller ll zunächst vorhandenen Atome zerfallen. Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerangabe Warum ist die Aussage: “Ich habe die Elementarladung gemessen, sie beträgt 1,602 × 10‐19 Coulomb” falsch ? Jede Messung ist mit einem Messfehler behaftet. g Es gibt keine Messung die unendlich genau ist! Charles Augustin de Coulomb g (1736–1806) Zwei unabhängige Messungen ergeben ungleiche Resultate: Nur wenn man die jeweiligen Messfehler angibt, kann man diskutieren, ob die beiden Messungen ‐ innerhalb der Fehlergrenzen ‐ in Übereinstimmung sind oder nicht ! Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerangabe Um ein theoretisches Modell experimentell durch eine Messung zu überprüfen, muss die Qualität und die Aussagekraft der Messung bekannt sein. Beispiel: Die Bestimmung der Elementarladung ergab folgende Ergebnisse: g g g g g Messung 1: e = (1,7 ± 0,1) × 10‐19 C Messung 2: e = (1,62 ± 0,01) × 10‐19 C Welche Aussage kann über die beiden Messungen getroffen werden? Messung 1 ist konsistent mit dem Literaturwert Messung 1 ist konsistent mit dem Literaturwert Messung 2 ist zwar präziser, stimmt aber innerhalb der Fehlergrenzen nicht mit dem Literaturwert überein! g Robert Andrews Millikan (1868–1953) Wir wollen realistische Fehler im Praktikum ! Wir wollen realistische Fehler im Praktikum ! Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Angabe einer Messgröße Ziel einer Messung: bestimme einen Schätzwert xB für die betreffenden Messgröße x, der zusammen mit der Messunsicherheit Δx zur Kennzeichnung eines Wertebereichs zur Kennzeichnung eines Wertebereichs für den wahren Wert der für den wahren Wert der Messgröße dient. ► Beste Schätzung des „wahren Beste Schätzung des wahren“ Wertes x Wertes xB ► Messunsicherheit Δx („Fehler“) ► Physikalische Einheit Physikalische Einheit Angabe des absoluten Fehlers x = xB ± Δx e = (1,62 ± 0,03) × 10‐19 C Angabe des Relativfehlers x = xB ± (Δx/xB) × 100 e = 1,62 × 10‐19 C ± 1,9 % zugehörige physikalische Einheit g gleiche Zehnerpotenzen für Messwert und Messunsicherheit p sinnvolle Zahl der angegebenen Stellen (eine, max. zwei signifikante Stellen) Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Messunsicherheiten Grobe Fehler z.B. verursacht durch: h defekter Messgeräte falsches Ablesen von Skalen Irrtum bei der Irrtum bei der Protokollierung oder Auswertung etc. Grobe Fehler können durch sorgfältiges Experimentieren ausgeschlossen werden und sollten im Praktikum nicht auftreten ! Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Messunsicherheiten Systematische Fehler führen zu einseitigen Abweichungen vom „wahren Wert“. Der Messwert ist entweder immer größer oder immer kleiner als der „wahre Wert“. Ursachen? Unvollkommenheit der Messgeräte ► Eich‐ und Justierfehler, Nichtlinearität, Reibung, .... teilweise bekannt (Herstellerangaben: Genauigkeitsklassen) Rückwirkung des Messgerätes (Prozesses) auf die Messgröße ► Innenwiderstand, Verformung, Erhitzung Umwelteinflüsse ► Auftrieb, elektromagnetische Felder, Temperatur, Luftfeuchtigkeit, ... Systematische Abweichungen sind: ► prinzipiell erfassbar ► oft aber schwer zu erkennen ► reproduzierbar und somit zumindest teilweise korrigierbar Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Messunsicherheiten Zufällige oder Statistische Fehler Beispiel syst. und stat. Fehler: Position eines Sterns ► Wiederholung von Messungen (unter gleichen Wiederholung von Messungen (unter gleichen Bedingungen): einzelne Messwerte werden sich voneinander unterscheiden. Stat. Fehler: klein Syst. Fehler: klein ► Statistische Fehler streuen „links“ und „rechts“ um den wahren Wert (in vielen Fällen sogar symmetrisch um den wahren Wert). Stat. Fehler: klein Syst. Fehler: y ggroß ► Zufällige Abweichungen sind unvermeidlich und nicht exakt erfassbar. ► sind statistischer Analyse zugänglich: Stat. Fehler: groß Syst. Fehler: klein Die Größe zufälliger Messabweichungen kann mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsaussagen bestimmt werden. Durch Mehrfachmessungen können statistische Fehler prinzipiell statistische Fehler prinzipiell beliebig klein gehalten werden ! Einführung in die Fehlerrechnung Stat. Fehler: groß Syst. Fehler: ggroß Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Messunsicherheiten Beispiele für zufällige Beispiele für zufällige Messabweichungen: ► Abweichungen beim Ablesen (P ll ) (Parallaxe) ► Reaktionsvermögen (z.B. bei Zeitmessung) ► Unsicherheit der Skaleninterpolation ► variable Umgebungsbedingungen (Druck, Temperatur, ...) ► statistischer Charakter der Messgröße (Rauschen, Radioaktivität,…) Einführung in die Fehlerrechnung Experiment zur Bestimmung des Schwerpunktes von Bierdosen (Experimental Physik I, WS 2007/08) Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerbestimmung Beispiel: Streckenmessung Lineal Auflösung: 1 mm Auflösung: 1 mm Auflösung: 0,05 mm Schieblehre Mikrometerschraube Auflösung: 0,01 ‐ 0,001 mm Messunsicherheit? Falls keine Messgenauigkeiten angegeben sind, kann der Fehler aus der Skalenteilung abgeschätzt werden. Messunsicherheit: 30% – 50% der Skalenteilung Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerbestimmung An vielen Analogmessinstrumenten ist eine Genauigkeitsklasse angegeben. Genauigkeitsangabe: Max Unsicherheit in % des Skalenendwertes Genauigkeitsangabe: Max. Unsicherheit in % des Skalenendwertes Genauigkeitsklasse Bei Skaleneinteilungen ist die absolute Genauigkeit in der Regel etwas besser als die Ablesegenauigkeit b l di Abl i k i Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerbestimmung Im Praktikum: Genauigkeitsangabe der Bedienungsanleitung entnehmen ! Beispiel: Es wurde eine Wechselspannung von 4,736 V gemessen Fehler: 0,9% von 4,736 = 0,043 V, 5 Digit = 5 mV Messunsicherheit: 0,048 V Ergebnis U = (4,74 ± 0,05) V Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerbestimmung Beispiel: Zeitmessung mit Handstoppuhr Auflösung: 1/100 s Messunsicherheit ? zusätzlicher Fehler durch das endliche Reaktionsvermögen des Experimentators, Reaktionszeit ~ 0,2 s – 0,3 s (Bei Differenzmessungen kleiner!) Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Statistische Fehler Um statistische Fehler zu bestimmen müssen mehrere Messungen unter gleichen Versuchsbedingungen durchgeführt werden: ► Stichprobe von N Messungen Vorgabe: ► Unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen verteilte Zufallsvariablen Gesucht: ► Beste Schätzung des wahren Wertes xw ► Aussagen über Genauigkeit der Messung Aussagen über Genauigkeit der Messung Graphische Darstellung als Histogramm: Häufigkeit der Ereignisse in einem Intervall [xi , xi+Δx] siehe experimentelle siehe experimentelle Demonstration Der Zufall zeigt Gesetzmäßigkeiten – der zentrale Grenzwertsatz: Die Summe der n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen ist im Die Summe der n unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen ist im Grenzwert n→∞ normalverteilt („Gauß“ verteilt). Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Gaußverteilung 2 ⎛ μ − x) ⎞ ( 1 P( x) = exp ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 σ 2π ⋅ σ ⎝ ⎠ P(x) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung mit i Erwartungswert E μ und Varianz σ2 ∞ ∫ Normierung: P ( x) dx = 1 −∞ Erwartungswert: μ = ∞ ∫ x ⋅ P ( x) dx −∞ Varianz: Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855) σ = 2 ∞ ∫ ( x − μ ) 2 ⋅ P ( x ) dx −∞ Interpretation: ► Wahrscheinlichster Wert μ ist die beste Schätzung des „wahren Wertes“ ► Breite σ der Verteilung ist ein Maß für die Messgenauigkeit ! Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Gaußverteilung: σ‐Abweichung Aufgabe 4 (AB Fehlerrechnung) Interpretation des Ergebnisses d P(μ ) = 1 2π ⋅ σ x = μ ± σ bzw. x = x ± Δ x σ ∫ P ( x) dx = 0,683 −σ P(μ + σ ) = P(μ) e 2σ ∫σ P( x) dx = 0,955 −2 3σ ∫σ P( x) dx = 0,997 −3 Als beste Schätzung für den „wahren Wert“ wurde bei einer Messung x der Wert bestimmt. Der wahre Wert liegt mit einer Wahrscheinlichkeit g [x − σ , x + σ ] von 68,3% im Intervall (1σ‐Umgebung). Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Schätzwerte aus endlicher Stichprobe Schätzwert für den Erwartungswert μ ( x → μ für n → ∞) Der arithmetische Mittelwert ist die beste Schätzung des wahren Wertes Warum arithmetischer Mittelwert, und nicht geometrischer, quadratischer,… ? n ∑ ( x −x ) = 0 i =1 i ∂ n ( xi −x ) 2 = 0 ∑ dx i =1 d.h. die Summe der Fehler verschwindet 1 n x = ∑ xi n i =1 d.h. die Summe der Fehlerquadrate ist minimal Schätzwert für die Standardabweichung σ ( S E → σ für n → ∞) Breite der Verteilung um den Mittelwert 1 n 2 ( ) σ = x − x ∑ i n i =1 Wann n bzw. n‐1? mittlerer Fehler einer Einzelmessung 1 n SE = ( x − xi ) 2 ∑ n − 1 i =1 kleine Stichprobenanzahl n: Streuung σ um den Mittelwert wird unterschätzt! Schätzwert für die Standardabweichung des Mittelwerts 10 mal höhere Genauigkeit erfordert 10 mal höhere Genauigkeit erfordert 100 mal mehr Messwerte! Einführung in die Fehlerrechnung mittlerer Fehler des Mittelwertes n SE 1 SM = = ( x − xi ) 2 ∑ n(n − 1) i =1 n Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Fehlerrechnung 1 n 359 a = ∑ ai = mm = 71.8mm n i =1 5 Mittelwert Standardabweichung der Einzelmessung Mittlerer Fehler des Mittelwertes 1 n 2.8 2 Sa = a − a = ≈ 0.84mm ( ) ∑ i n − 1 i =1 4 Sa = S a 0.84mm ≈ ≈ 0.37 mm n 5 Die Bearbeitung der beiden Arbeitsblätter verlangt Kenntnisse und Fähigkeiten, die für das erfolgreiche Arbeiten im Praktikum notwendig sind Sie sollen Ihnen helfen, sind. helfen etwaige Lücken zu erkennen und diese noch vor Beginn des Praktikums zu schließen. Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerfortpflanzung Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße x auf das Ergebnis f(x) kann mittels der Taylorreihe abgeschätzt werden: 2 f ( x + Δx) = f ( x) + 1 ∂f ( x) 1 ∂ f ( x) 2 Δx + Δ x + ... ( ) 2 1! ∂x 2! ∂x Bei genügend kleinem |Δx| kann die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied | | g abgebrochen werden ∂f ( x) (Näherungslösung!) Δf = f ( x + Δx) − f ( x) = Δx + Ordnung[( Δx) 2 ] ∂x Wie wirkt sich der Fehler Δx einer Messgröße x auf eine abgeleitete physikalische Größe f(x) aus? ∂f Δf ( x2 ) ≈ ( x2 )Δx ∂x ∂f Δf ( x1 ) ≈ ( x1 )Δx ∂x Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz In der Regel kann eine physikalische Größe nicht direkt gemessen werden, sondern wird aus einer oder mehreren Messgrößen bestimmt. Hängt eine physikalische Größe f von den Messgrößen x1 , x 2 ,..., x n mit den Fehlern Δx1 , Δx2 ,..., Δxn ab, d.h. f = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) so berechnet sich der Mittelwert von f gemäß: f ≈ f ( x1 , x 2 ,..., x n ) und der absolute Gesamtfehler zu: Δ f ( xi ) ≈ ∂f ∂f Δ x1 + Δ x2 + ⋅ ⋅ ⋅ ∂ x1 ∂x2 Der Gesamtfehler Δf(Δxi) von f(xi) ergibt sich zu: ⎞ n ⎛ ∂f Δf (Δxi ) ≈ ∑ i =1 ⎜ Δxi ⎟ ⎝ ∂xi ⎠ 2 Warum quadratische Addition ? Messewerte streuen statistisch „links Messewerte streuen statistisch links“ und „rechts und rechts“ um den um den Mittelwert, d.h. die Fehler kompensieren sich teilweise! Einführung in die Fehlerrechnung Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Fehlerfortpflanzung Hängt eine physikalische Größe f von den Messgrößen x und y ab, ergibt sich für den Gesamtfehler Δf: 2 ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f Δf (Δx, Δy ) = ⎜ Δx ⎟ + ⎜ Δy ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2 Einfache Fälle f(x,y) ‐ nützlich zu Erinnern bei der Auswertung: f = kx Δf = k Δx f = x + y, f = x − y Δf = f = xy , f = x y f = x±n (Δx ) 2 + (Δy ) 2 ⎛ Δy ⎞ ⎛ Δx ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Δf Δx = n f x Δf = f 2 2 Die e einfachen Fälle brauchen bei der Auswertung ni b auc e be de us e tu g cht hergeleitet werden, sondern können direkt angewendet werden! Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Fehlerrechnung a)) −5 dw = 3 y dx + 3 x dy + 2 dz z a) ⎛ −5 ⎞ Δw = ( 3y dx) + ( 3x dy) + ⎜ 2 dz ⎟ ⎝z ⎠ 2 2 2 b)) b) 12 66xx 2 dw = dx + 5 dy + 2 dz z z 2 2 ⎛ 12 ⎞ 2 ⎛ 6x ⎞ Δw = ⎜ dx ⎟ + ( 5 dy) + ⎜ 2 dz ⎟ ⎝z ⎠ ⎝z ⎠ Vollständiges Differential der Funktion w(x,y,z): dw = Einführung in die Fehlerrechnung 2 ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Fehlerrechnung Differenz D D ≡ U A − U B = 1.9V Fehler der Differenz ΔD ΔD = ΔD = ( ΔU A ) + ( ΔU B ) 2 (1.4V ) + (1.7V ) 2 2 2 ≈ 2.2V Vergleich von D mit ΔD der Differenz D = 1.9V < ΔD ≈ 2.2V ► nicht signifikant! Der Unterschied kann zufällig sein ‐> nicht signifikant Der Unterschied ist signifikant wenn es unwahrscheinlich ist, dass dies g , durch Zufall zustande kam. Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Graphische Darstellung wesentlicher Bestandteil einer Messung ► Veranschaulicht funktionale Zusammenhänge ► Erlaubt Kontrolle über mögliche Abweichungen (prinzipielle Abweichungen oder „Ausreißer“) Für das Praktikum bitte beachten: ► ► ► ► ► ► Wahl von geeignetem Millimeterpapier (linear / log. / doppelt log.) Wahl eines geeigneten Maßstabs für die Achsen Beschriftung der Achsen Messwerte (mit Fehlern) eintragen Graph der Funktion eintragen Bei linearer Beziehung: Abschätzung der Steigung der Ausgleichgeraden und deren Fehler Für das PAP 1 Praktikum: Diagramme von Hand anfertigen, keine Computerausdrucke !!! (Im PAP 2: Diagramme mit PC & Statistiksoftware) Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Graphische Darstellung doppelt logarithmischer Plot: n ergeben eine Gerade mit der Steigung des Exponenten: E Exp. Funktionen y=x b i it d St i d ln(y) = x * ln(x) Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Graphische Darstellung Halb‐logarithmischer Plot: Exponentialfunktionen y=c*exp(d*x) ergeben eine Gerade mit der Steigung d Exponentialfunktionen y=c ergeben eine Gerade mit der Steigung d und und y‐Achsenabschnitt c: ln(y) = ln(c) + d*x Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Graphische Darstellung (1) y‘(x=50) = 10 (2) y‘(x=50) = 1.218 50) = 1 218 (3) y‘(x=50) = 0.707 Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Arbeitsblatt Graphische Darstellung Fehler Δ(T Fehler Δ(T2) von T ) von T2: Berechnung aus Fehlerfortpflanzung ! : Berechnung aus Fehlerfortpflanzung ! Einführungsversuch: Berechnung der Berechnung der Federkonstante D aus der Steigung; der Fehler ΔD ist ebenfalls anhand der Fehlerfortpflanzung zu berechnen ! Fehlerfortpflanzung zu berechnen ! Xi Einführung in die Fehlerrechnung yi Δyi Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Ausgleichsgerade „von Hand“ y = a*x + b Gesucht: Steigung a sowie den Achsenabschnitt b und deren Fehler Zeichnung der Ausgleichsgeraden Eintragen von 2 weiteren parallelen nach oben bzw. unten verschobenen Geraden: ca. 70% der Messpunkte innerhalb der Geraden (1σ Abweichung) Fertigstellen des “Streubereichsrechtecks” Ergebnis: s2 a = (0, 0120 ± 0, 0 009) g Die Diagonalen in diesem Rechteck liefern in etwa den li f i t d Fehler der Steigung sowie des Achsenabschnitts b = (0, 407 ± 0, 099) s 2 Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Ausgleichsgerade „von Hand“ Im Praktikum auch erlaubt: Min/Max‐ Abschätzung Zeichnen der Ausgleichgerade d Δm=180g ΔT2/Δm = 2/g 0,0129s , g Ausgleichsgerade ΔT2/Δm = 0,0120s2/g Δm=224g Zeichnen der Fehlergerade ΔT2=2,68s s2 ΔT2=2,32s2 Fehlergerade Berechnung der Steigungen des ehlers: Berechnung des F Δa = aFehler – aAusgleich Ergebnis: s2 a = (0,0120 ± 0,0009) g Fehlerabschätzungen ‐> Augenmaß ausreichend g g Eine exakte Fehlerrechnung ist mit einer Hilfe linearen Regression möglich ! Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Lineare Regression Gegeben: N Paare von Messwerten (xi, yi) mit linearer Abhängigkeit y = a∙x + b xi‐Werte fehlerfrei, yi‐Werte mit Standardabweichung σi „Prinzip der kleinsten Quadrate“ (C.F. Gauß, 1795) 2 ⎡ Δyi ⎤ ⎡ yi − (axi + b) ⎤ = ⎥ ∑⎢ ⎥ sei minimal σi i ⎣ ⎣ σi ⎦ ⎦ χ2 = ∑⎢ i 2 ( χ2‐Methode und fitten von Funktionen wird im PAP 2 behandelt) a= xi yi xi yi ⎞ 1⎛ 1 − ∑ ∑ ∑ ⎟ ⎜∑ ξ ⎝ i Δyi2 i Δyi2 i Δyi2 i Δyi2 ⎠ Δa 2 = 1 1 ∑ ξ Δy i 2 i xi2 ⎛ x ⎞ 1 ξ = ∑ 2 ∑ 2 − ⎜∑ i2 ⎟ i Δyi i Δyi ⎝ i Δyi ⎠ xi2 y x xy ⎞ 1⎛ b = ⎜ ∑ 2 ∑ i 2 − ∑ i 2 ∑ i 2i ⎟ ξ ⎝ i Δyi i Δyi i Δyi i Δyi ⎠ xi2 Δb = ∑ 2 ξ i Δyi Steigung a = 0.01276 s2/g Fehler Δa = 0.00072 s2/g y‐Achsenabschnitt b = 0.40701 s2 Fehler Δb = 0.09938 s2 Einführung in die Fehlerrechnung 2 1 2 Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Einführungsversuch Federpendel Aufgabe: Bestimmung der Erdbeschleunigung mit einem Federpendel Durchführung und Auswertung: Gemeinsam mit den Betreuern am ersten Tag Ziel: Einführung in das Einführung in das physikalische Experimentieren, Protokollführung, Fehlerabschätzungg und grafische Darstellung Einführung in die Fehlerrechnung Physikalisches Anfängerpraktikum Praktikum PAP 1 September 2010 Zusätzliches Material Zusätzliches Material Ausgleichsgerade „von Hand“ y = a*x + b Gesucht: Steigung a sowie den Achsenabschnitt b und deren Fehler Zeichnung der Ausgleichsgeraden (geht bei gleichen Standardabweichungen durch (geht bei gleichen Standardabweichungen durch Schwerpunkt S der Daten) Eintragen von 2 weiteren parallelen nach oben bzw. unten verschobenen Geraden: unten verschobenen Geraden: ca. 70% der Messpunkte innerhalb der Geraden Fertigstellen des “Streubereichsrechtecks”. Die Diagonalen in diesem Rechteck liefern in etwa den Fehler der Steigung sowie des Achsenabschnitts. Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material 2 χ Lineare Regression mit ‐Fit 2 ⎡ yi − (axi + b) ] ⎤ ⎡ Δyi ⎤ [ 2 χ = ∑ ⎢ ⎥ =∑ ⎢ ⎥ 2 σi i ⎣ σi ⎦ i ⎢ ⎥⎦ ⎣ χ 2 sei minimal (Beispielrechnung für σ i =σ ∀ i )∗ 2 ∂χ −2 = 2 ∑ [ yi − axi − b) ] = 0 ∂b σ i 2 Partielles Ableiten: Partielles Ableiten: ! nach a & Nullsetzen ! ∂χ 2 −2 = 2 ∑ xi [ yi − axi − b)] = 0 ∂a σ i nach b & Nullsetzen ∑ yi = ∑ b + ∑ axi = bN + a∑ xi i Aufstellen der Funktion χ2(a,b) ( b) i i Gleichungssystem umformen i 2 2 x y = bx + ax = b x + a x ∑ii ∑ i ∑ i ∑i ∑i i i i i i * Allgemeiner Fall: siehe Praktikumsanleitung Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material 2 χ Lineare Regression mit ‐Fit ∑ y = ∑ b + ∑ ax i i i i i = bN + a ∑ xi ∑ x y = ∑ bx + ∑ ax i i i 2 i i i i i = b∑ xi + a ∑ xi2 i i Auflösen nach a und b: Achsenabschnitt Steigung 1⎡ ⎤ 2 b = ⎢ ∑ xi ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi ⎥ Δ⎣ i i i i ⎦ 1⎡ ⎤ a = ⎢ N ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi ⎥ Δ⎣ i i i ⎦ 2 Varianz ⎛ ⎞ mit Δ = N ∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ i ⎝ i ⎠ 1 2 ο 2 ≈ s2 = y − ax − b [ i i ] ∑ N −2 i Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Korrelationskoeffizient (nach Pearson) ρ ( x, y) := Cov( x, y) Var x ⋅ Var y n 1 ∑i=1 ( xi − x )( yi − y ) 1 n − rxy := n n 1 1 2 ( x − x ) ⋅ ( yi − y )2 ∑ ∑ i i =1 i =1 n −1 n −1 dimensionsloses Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen. Merkmalen Bei einem Wert von +1 (bzw. −1) besteht ein vollständig positiver (bzw. negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen. Wenn der Korrelationskoeffizient den Wert 0 aufweist, aufweist hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear voneinander ab. Quadrat des Korrelationskoeffizienten r2 : Bestimmtheitsmaß Es gibt an, wie viel Prozent der Varianz, d. h. an Unterschieden der einen Variable durch die Unterschiede der anderen Variable erklärt werden können. Beispiel: l Bei r=0,3 bzw. b 0,8 werden 9% bzw. b 64% der gesamten auftretenden f Varianz im Hinblick auf einen statistischen Zusammenhang erklärt. Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Regressionsanalyse Per Hand bzw. mit Taschenrechner mit überschaubarem Aufwand durchführbar bei linearen Funktionen mit wenigen Stichproben linearen Funktionen mit wenigen Stichproben. Beispiel: Linearisierung von Funktionen b y = a ebx ln y = ln a + bx „multiple“ Regression: Für komplexere Funktionen mit mehreren Variablen (alle mit Fehler behaftet) ist es sinnvoll geeignete Statistik Software verwenden ((z.B. Mathematica, Maple, Origin, SPSS, Stata, SAS, … ). Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Prinzipielle Vorgehensweise Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Zusammenfassung n 1 ( x − xi ) 2 SM = ∑ n(n − 1) i =1 Hääufigkeit 1 n x = ∑ xi n i =1 Messergebnis: x = x ±k⋅u u = (σM ) +(σSys ) 2 Mitt l Mittelwert t Zufallsabweichung Ei l Einzelwert t SE = wahrer Wert h 1 n ( x − xi ) 2 ∑ n − 1 i =1 S t Systematische Abweichung ti h Ab i h Einführung in die Fehlerrechnung 2 k=1 für k=1 für 68% Konfidenz und hinreichende Anzahl n von Anzahl n Einzelmessungen zusätzliches Material Beispiel Temperaturmessung mit PT100 Temperatursensor Zuleitung Ohmmeter Anzeigewerte Ω PT100 RL Systematischer Fehler (Zuleitungswiderstand) Arithmetischer Mittelwert sys = RL = 1.00 Ω m = 140.10 Ω Korrektur des Mittelwertes m mit dem bekannten systematischen Fehler y = 139.10 Ω mkorrig = m ‐ sys 140.12Ω 140.13Ω 140 19Ω 140.19Ω 140.08Ω 140.11Ω 140.12Ω 140.09Ω 140 10Ω 140.10Ω 140.11Ω Herstellerangabe Standardabweichung (Genauigkeit Messgerät) Des Mittelwerts a = 0.15 Ω sm = 0.10 Ω Kombinierte Messunsicherheit Messgerät und Messunsicherheit ures2 = sm2 + a2 ures = 0.18 Ω Vollständiges Messergebnis: (m – sys) ± ures = 139.10 Ω ± 0.18 Ω Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Binomial‐Verteilung ⎛n⎞ k n−k B (k ; n, p ) = ⎜ ⎟ p ((1 − p ) ⎝k ⎠ Ausfallwahrscheinlichkeit Trefferwahrscheinlichkeit Anzahl der Möglichkeiten (Permutationen) ∞ n=5 p=0.2 , q=0.8 Normierung: Mittelwert: ∑ B(k; n, p) = 1 k =0 ∞ k = ∑ k ⋅ B(k; n, p) = np k =0 Varianz: ∞ σ = ∑k 2 ⋅ B(k; n, p) − k = np(1 − p) 2 2 k =0 Standardabweichung: σ = np(1 − p) Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis genau k‐mal bei n voneinander unabhängigen Versuchen eintritt, wobei p die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses, Ereignisses und (1‐p) (1 p) die Wahrscheinlichkeit für das nicht Eintreten des Ereignisses darstellt. Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Zentraler Grenzwertsatz p=0.5 ► p=0.2 ► n=5 n=20 n=5 n=100 n=20 n=100 Konvergenz der Binomialverteilung an die Normalverteilung (Gauß) für n → ∞ ⎛n⎞ B ( k ; n, p ) = ⎜ ⎟ p k (1 − p ) n − k ⎝k ⎠ Einführung in die Fehlerrechnung P( x) = ⎛ ( μ − x )2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 σ 2π ⋅ σ ⎝ ⎠ 1 zusätzliches Material Poisson‐Verteilung Eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung, deren Erwartungswert np für große n und kleine p gegen eine von n unabhängige Konstante λ eine von n unabhängige Konstante λ konvergiert, kann konvergiert kann durch die Poisson‐Verteilung angenähert werden. P(k ; μ ) = k −μ μ e k! ∞ ∑ P(k ; μ ) = 1 Normierung: k =0 ∞ k = ∑ k ⋅ P(k ; μ ) = μ Mittelwert: k =0 Varianz: ∞ σ = ∑ k 2 P(k ; μ ) − k 2 2 =μ k =0 Standardabweichung: σ= μ Die Poisson‐Verteilung ist also die Grenzverteilung der Binomialverteilung für große n und kleine p. Die Verteilung wird durch einen Parameter μ (Erwartungswert) beschrieben. P ( k ; μ ) = lim ( k ; n → ∞ , p → 0) ; np → λ Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Poisson‐Verteilung & „Wurzel N Gesetz“ Für einen großen Mittelwert μ (μ >30) lässt sich die Poisson‐Verteilung in guter Näherung durch eine Gaußverteilung approximieren. μ=2 G (k ; μ ) = μ=20 1 e 2πμ ( μ − k )2 − 2μ mit σ = μ μ=100 G(μ,k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine sehr lange Messreihe den Mittel‐ wert μ ergeben würde, wobei das Resultat k einer einzigen Messung gegeben ist. Näherungswert für die Standardabweichung: σ = k Beispiel (z.B. Zählrate beim radioaktiver Zerfall): Interpretation einer Messung als Schätzung des Mittelwerts: N=4711 „counts“ Schätzung der Standardabweichung (absoluter Fehler): N Relativer Fehler : N / N = 1/ N Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material Literatur Einführung in die Fehlerrechnung zusätzliches Material