14th sheet

Quantenmechanik II
A. Riefer, H. Aldahhak, W.G. Schmidt ([email protected], [email protected])
Übungsblatt 14 – Exercise 14
1. Zweite Quantisierung - Operatoren (1 Punkt)
Second Quantization - Operators
Zeigen Sie, dass die fermionischen/bosonischen Vertauschungsrelationen [Gln. (7.87)(7.89) im Skript] Show that the fermionic/bosonic commutation relations [eqn.
(7.87)-(7.89) in the lecture notes]
+ +
ĉl , ĉ+
(1)
k ± = δlk , [ĉl , ĉk ]± = 0 , ĉl , ĉk ± = 0
die Symmetrieeigenschaften fermionischer/bosonischer Vielteilchensysteme korrekt
darstellen describe correctly the symmetrie-properties of fermionic/bosonic manybody systems.
Zur Lösung Hints for the solution:
• Weisen Sie mit Hilfe fermionischer/bosonischer Vertauschungsrelationen nach,
dass |kli = ∓ |lki; Prove with the aid of fermionic/bosonic commutation
relations that |kli = ∓ |lki
2. Wechselwirkendes Elektronengas (5 Punkte)
Interacting electron gas
Ein Vielteilchen-System wird charakterisiert durch den Hamilton-Operator A manybody system is characterized by the Hamiltonian
Ĥ =
n
X
p̂2 (i)
i=1
2m
i6=j
+
1X
V̂ (ij).
2
(2)
i,j
Die Operatoren p̂(i) bzw. V̂ (ij) wirken dabei auf die Teilchen i bzw. i, j. Das
Potential soll zudem (lokal und) nur vom Abstand der Teilchen i, j abhängen, d.h.
The operators p̂(i) and V̂ (ij) act on the particles i and i, j. The potential is local
and only depends on the distance between the particles i, j, i.e.
Vri ,rj ;rl ,rm = V (|~ri − ~rj |)(2π)3 δ(~ri − ~rl )(2π)3 δ(~rj − ~rm ).
(3)
Zeigen Sie, dass für die Besetzungszahldarstellung des Hamilton-Operators gilt:
Show that the occupation number representation of the Hamiltonian is given by:
Z
Z
Z
Z
1
~2 k 2 +
Ĥ occ = d3 k
a~ a~k +
d3 k1 d3 k2 d3 k3 V (~k3 )a+~ ~ a+~ ~ a~k1 a~k2 . (4)
k1 +k3 k2 −k3
2m k
2
1
Hierbei wird eine Ebene-Wellen-Basis verwendet, d.h. der Feldoperator lässt sich
darstellen als: Thereby a plane-wave basis is used, i.e. the field operator is given
by:
Z
d3 k i~k~r
Ψ̂(~r) =
e â~k
(5)
(2π)3
Es gilt außerdem: Additionally it holds:
Z
Z
d3 r −i(~k1 −k~2 )~r
d3 k i~k~r
~
~
~
~
e
V
(~
r
)
=
V
(−
k)
und
and
δ(
k
−
k
)
=
e
.
V (k) =
1
2
(2π)3
(2π)3
(6)
Zur Lösung Hints for the solution: W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik
7, Aufg. 1.4.4, S. 433-435 W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7, exercise
1.4.4, p. 433-435 (german)
3. Gesamtzahloperator (1+2 Punkte)
Total number operator
a) Zeigen Sie, dass für den Gesamtzahloperator gilt: Show that the total number
operator can be written as:
Z
d3 k +
N̂ =
a a~
(7)
(2π)3 ~k k
b) Zeigen Sie, dass der Gesamtzahloperator mit dem Hamilton-Operator aus
Gl. (4) kommutiert. Was gilt infolgedessen für das System? Show that the
total number operator commutes with the Hamiltonian eq. (4). What is the
consequence for the system?
Zur Lösung Hints for the solution: W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik
7, Aufg. 1.4.5, S. 435-436 W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7, exercise
1.4.5, p. 435-436 (german)
2