4th sheet

Quantenmechanik II – Advanced Topics in Quantum Mechanics
A. Riefer , H. Aldahhak, W.G. Schmidt ([email protected], [email protected])
Übungsblatt 4 – Exercise 4
1. Ritzsches Variationsprinzip (4 Punkte)
Ritz variational principle
Ein Teilchen befindet sich in dem Potential des Harmonischen Oszillators: A particle is subject to the potential of the harmonic oscullator:
2
a) Verwenden Sie den Variatonsansatz φ(x) = c(α)e−αx , wobei α der Variationsparameter ist und schätzen Sie die Grundzustandsenergie ab. Use the
2
Ansatz φ(x) = c(α)e−αx where α is a varational parameter to calculate the
groundstate energy
b) Berechnen Sie ebenfalls die Grundzustandsenergie für den Ansatz φ(x) =
2
d(α)xe−αx . Calculate also the groundstate energy for the ansatz φ(x) =
2
d(α)xe−αx .
c) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der exakten Grundzustandsenergie des
harmonischen Oszillators. Compare the results with the exact groundstate
energy of the harmonic oszillator.
Hinweise Hints: Es gilt It applies:
Z
Z ∞
f (x) , falls if f (x) = f (−x)
dxf (x) = 2
0
Z
dxf (x) = 0 , falls if f (x) = −f (−x)
(1)
(2)
Sie können die Hinweise (5) und (6) verwenden. You can use the hints (5) and (6).
2. Variationsrechnung für den Stark-Effekt (5+2 Punkte)
Variational calculus for the Stark effect
~ = |E|~
~ ez gebracht. A
Ein Wasserstoffatom wird in das homogene elektrische Feld E
~
~ ez . Als Verhydrogen atom is brought into the homogeneous electric field E = |E|~
suchswellenfunktion für den Grundzustand wird For the groundstate the following
trial wave function is applied:
Ψα (~r) = h~r | Ψ(α)i =
(1 + αr cos θ/aB ) exp(−r/aB )
q
πa3B (1 + α2 )
(3)
wobei aB = h̄2 /(me2 ) der Bohrradius ist, angesetzt. aB = h̄2 /(me2 ) is the Bohr
radius.
a) Berechnen Sie für diesen Ansatz die bestmögliche Näherung für den Grundzustand. Calculate with the present ansatz the best approximation for the
groundstate.
1
b) Die Energiekorrekturen in 2. Ordnung Störungstheorie für die Grundzustand(2)
senergie des Systems lautet: ES = − 94 a3B E 2 . Vergleichen Sie ihr Ergebnis
mit dem störungstheoretischen Resultat. Entwickeln Sie dazu das Resultat
~ In 2nd order
aus Aufg. 2a bis (einschließlich) zur zweiten Ordnung in |E|.
perturbation theory the energy correction for the groundstate of the system
(2)
is: ES = − 94 a3B E 2 . Compare your result with that obtained by perturbation
theory. For that purpose expand the result in exercise 2a up to and including
~
the second order of |E|.
Hinweise Hints:
e2
p~2
~ , hΨ(α) | Ψ(α)i = 1 ;
−
+ e|E|ẑ
Ĥ =
r̂
Z ∞ 2m
Z ∞
Γ(n + 1)
0.5Γ((n + 1)/2)
2
n −γx
x e
dx =
,
xn e−γx dx =
n+1
γ
γ (n+1)/2
0
0
√
Γ(n + 1) = nΓ(n), Γ(1) = 1, Γ(0.5) = π;
Z 1
Z 1
Z π
dτ τ 2n+1 = 0 , n ∈ N ;
dτ f (τ ) ;
dθ sin(θ)f (cos(θ)) =
0
(4)
(5)
(6)
(7)
−1
−1
1
1
∇ = ~er ∂r + ~eθ ∂θ + ~eφ
∂φ ,
r
r sin(θ)
~er , ~eθ , ~eφ Einheitsvektoren für Kugelkoordinaten unit vectors for
(8)
(9)
spherical coordinates;
(10)
Zum Überprüfen: To check:
Z
h̄2
e2
p~2
|Ψ(α)i =
d3 r [∇Φα (~r)]2 =
,
hΨ(α)|
2m
2m
2aB
1
1 2 + α2
hΨ(α)| |Ψ(α)i =
,
r
2aB 1 + α2
α
hΨ(α)| z |Ψ(α)i = 2aB
;
1 + α2
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
2