Multiplikation von Summen

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Seite 18 Volker Peters Raid_1:B:BFZ:BFZ-Lernprogramme:Algebra:4350:
Multiplikation von Summen
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Lösungen von Seite 17
(m + n) · (8 + p)
= m·8 + m·p + n·8 + n·p
= 8m + mp + 8n + np
(x + 15) · (y + 3)
= x · y + x · 3 + 15 · y + 15 · 3
= xy + 3x + 15y + 45
= 3x + xy + 15y + 45
(6 + a) · (4 + b)
= 6·4 + 6·b + a·4 + a·b
= 24 + 6b + 4a + ab
= 4a + ab + 6b + 24
Natürlich können die Summen, die multipliziert werden, auch aus mehr als
zwei Summanden bestehen!
Das wird Ihnen nichts ausmachen: Einfach jede Zahl der ersten Summe
mit jeder Zahl der zweiten Summe multiplizieren:
(x + 6) · (x + y + z)
= x·x + x·y + x·z + 6·x + 6·y + 6·z
= x2 + xy + xz + 6x + 6y + 6z
Lernschritt
(–x + y) · (x – 3)
= –x · x + (–x) · (–3) + y · x + y · (–3)
= –x2 + 3x + xy – 3y
Übungen
Auch negative Zahlen können Sie berechnen:
Berechnen Sie bitte:
(a + b) (m – n + 4) =
(r + s) (t – vw) =
(3a – 4b) (3a + 6c) =
(f – 3 + g) (5 – k – m) =
(c – d + e) (d – e) =
Versuchen Sie beim praktischen Rechnen die Zwischenschritte wegzulassen.
Wenn Sie jedoch unsicher sind,
schreiben Sie sie anfangs noch
auf!
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Multiplikation von Summen
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(a + b) (m – n + 4)
= am – an + 4a + bm – bn + 4b
= 4a + am – an + 4b + bm – bn
(r + s) (t – vw)
= rt – rvw + st – svw
Übungen
Lösungen von Seite 18
(3a – 4b) (3a + 6c)
= 9a2 + 18ac – 12ab – 24bc
= 9a2 – 12ab + 18ac – 24bc
(f – 3 + g) (5 – k – m)
= 5f – fk – fm – 15 + 3k + 3m +5g – gk – gm
= 5f – fk – fm + 3k + 3m + 5g – gk – gm – 15
(c – d + e) (d – e)
= cd – ce – d2 + de + de – e2
Haben Sie es bemerkt? Hier können
Sie noch weiter ausrechnen, denn es
ergibt sich zweimal das Produkt „de“:
= cd – ce – d2 + 2de – e2
Berechnen Sie nun diese Produkte:
(a + b) (a + b) =
(a – b) (a – b) =
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Lösungen von S. 19
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(a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b) (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
Das Produkt (a + b) (a + b), das Sie gerade berechnet haben, kann auch
als Potenz geschrieben werden:
(a + b) (a + b) = (a + b)2
Beide Ausdrücke (a + b) · (a + b) und (a + b)2
lassen sich zum selben Ausdruck auflösen: a2 + 2ab + b2
Damit ist (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Lernschritt
Dasselbe gilt für (a – b) · (a – b) und (a – b)2. Auch diese beiden Ausdrücke
lassen sich zum selben Ausdruck auflösen: a2 – 2ab + b2
Damit ist (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Übungen
Der Ausdruck (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
wird gelesen:
„a plus b in Klammern zum Quadrat gleich
a Quadrat plus zwei ab plus b Quadrat“
Rechnen Sie jetzt bitte dieses Produkt aus:
(a + b) (a – b) =