Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2008/2009 SERIE 2 2.1 2.2 2.3

Korrespondenzzirkel
MATHEMATIK
SERIE 2
2008/2009
Termin: 17.12.2008
Rücksendung an:
Jörg Sonnenberger, Am Krug 3, 18211 Börgerende
2.1
Jedes Tripel (a, b, c) aus drei natürlichen Zahlen a, b, c mit 0 < a ≤ b < c, für die die Gleichung
a2 + b2 = c2 gilt, nennt man Pythagoreisches Zahlentripel.
Man beweise: In jedem Pythagoreischen Zahlentripel a, b, c muss a 6= 2 sein.
Mathematik-Olympiade, Klassenstufe 10, 1.Runde (Schulrunde)
2.2
Ermitteln Sie alle positiven ganzen Zahlen n mit der Eigenschaft, dass die drei Zahlen n + 1,
n + 10 und n + 55 einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben!
2.3
Man ermittle alle diejenigen Paare (x, y) ganzer Zahlen x und y, die dem System der folgenden
Ungleichungen (1) und (2) genügen:
2x2 + 2y 2 − 12x + 20y + 65 < 0
(1)
4x + 2y > 5
(2)
Mathematik-Olympiade, Klassenstufe 12, 2.Runde (Regionalrunde)
2.4
Im Raum seien A, B zwei verschiedene Punkte und ε eine Ebene. Für jede mögliche Lage von
A, B, ε ermittle man zu diesen gegebenen A, B, ε alle diejenigen Punkte C auf ε, für die die
Abstandssumme AC + BC möglichst klein ist!
2.5
Zu gegebenen positiven ganzen Zahlen a und b sei (xn )n=0,1,2,... die durch
x0 = 1,
xn+1 = axn + b (n = 0, 1, 2, . . .)
definierte Zahlenfolge.
Man beweise: Für jede Wahl von a und b enthält die so gebildete Folge unendlich viele Zahlen,
die keine Primzahlen sind!