Versuch 3: Michelson-Interferometer, Piezoaktor, thermisches System

Praktikum Sensorik
Fakultät 06
Feinwerk- und Mikrotechnik / Physikalische Technik
Semester: MFB4G
Versuch 3
Untersuchung der Eigenschaften eines Piezoaktors und eines
Peltierelements mit Hilfe eines Michelson-Interferometers
Die optische Interferometrie ist ein berührungsfreies Messverfahren für Wegänderungen und
Schwingungen, das die Wellennatur des Lichtes nutzt. Bei rechnerunterstützten Systemen kann
eine Ortsauflösung bis auf etwa ∆x < 1 nm erreicht werden.
Ziel des Versuches
Das Michelson-Interferometer wird dazu genutzt, die Übertragungseigenschaften eines Piezoaktors zu untersuchen. Piezoaktoren spielten eine wichtige Rolle in der Halbleiter-Technologie und der
Nanotechnik. Die Untersuchung dient dem Verständnis der Probleme, die mit der Positionierung
von Objeiten in der Nanoskala verbunden sind. In einem weiteren Teilversuch wird die thermische
Ausdehnung eines Alu-Quaders ermittelt, dessen Temperatur durch ein Peltier-Element variiert
wird. Diese Versuchsanordnung entspricht einem thermischen System, dessen dynamische Eigenschaften zu ermitteln sind.
Aufbau des Michelson-Interferometers
Ein He/Ne-Laser erzeugt einen Laserstrahl mit der Wellenlänge λ = 632,8 nm. Dieser wird durch
eine Aufweitungsoptik (Teleobjektiv mit integriertem Raumfilter) auf einen Durchmesser von D ~
10 mm aufgeweitet. Der Strahlteilerwürfel spaltet den einfallenden Strahl in die Teilstrahlen 1 und 2
auf. Diese werden von den Spiegeln S1 und S2 in sich selbst zurückreflektiert und am Strahlteiler wieder vereinigt. Ein Teil der überlagerten Strahlen wird auf den Foto-Detektor fokussiert, der andere
Teil wird zur visuellen Kontrolle des Interferenzbildes auf einen Beobachtungsschirm geleitet.
Spiegel
Teleobjektiv mit
Raumfilter
Piezoaktor
S1
Beobachtungs-
schirm
He/Ne-Laser
Wasserkühlung
Spiegel
S
Spiegel
PeltierElement
Alu-Quader
Strahlteiler
Foto-Detektor
Bild 1: Versuchsaufbau des Michelson-Interferometers
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Der Spiegel S1 ist auf einem Piezoaktor befestigt, der auf das Anlegen einer Spannung U mit einer
Längenänderung ε = ∆l/L reagiert. Die Spannungsversorgung des Piezoelements erfolgt über einen
Hochspannungsverstärker, der eine Ausgangsspannung im Bereich -1000 V < Ua < 0 V liefert. Wird
die Spannung erhöht, kann beobachtet werden, wie sich das Interferenzmuster am Beobachtungsschirm bewegt. Ab etwa 200 V ist die Auslenkung des Piezoelements nicht mehr rein transversal
linear, sondern zeigt zusätzlich eine Rotationskomponente, welche den Spiegel verkippt. Um diesen
Effekt zu vermeiden, sollte sich die Messungen der Kennlinie des Piezoaktors nur auf einen Spannungsbereich von ∆U = 200 V beschränken.
Der Spiegel S2 ist auf der Stirnfläche eines Al-Quaders befestigt. Die Temperatur dieses Quaders
kann durch ein Peltier-Element variiert werden. Die Untersuchung der Eigenschaften dieses thermischen Systems erfolgt im Anschluss an die Messung der Eigenschaften des Piezoaktors, an dem
dann keine Piezospannung mehr anliegt. Die dynamische Eigenschaft des thermischen Systems
wird durch einen stufenförmigen Strom ermittelt, der durch das Peltier-Element fliesst. Ein Widerstands-Thermometer (Pt-100) erfasst die Temperaturänderung im Al-Quader, während das Michelson-Interferometer die Längenänderung ε(t) des Quaders misst. Die Messungen dienen der Ermittlung der Zeitkonstante τ des thermischen Systems und des thermischen Ausdehungskoeffizienten
α Al von Aluminium.
Interferenz von monochromatischem und kohärentem Licht
Eine ebene harmonische Welle, die sich in x-Richtung ausbreitet, wird beschrieben durch die
folgende mathematische Funktion
(1)
y(x,t) = y0 . sin(k . x - ω . t)
mit dem Wellenvektor k=2π/λ, der Wellenlänge λ (=632,8 nm) und der Kreisfrequenz ω = 2π . f.
Die Intensität der Welle ist proportional zum Amplitudenquadrat. Licht entspricht einer
elektromagnetischen Welle, bei der das elektrische Feld senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes
liegt. Uberlagert man nun zwei monochromatische und kohärente Lichtwellen gleicher Amplitude
E0 mit unterschiedlicher Phasenlage ∆ϕ, lassen sich deren elektrische Feldstärken durch folgende
Funktionen definierten:
(2a) E1(x,t) = E1 . sin(k . x - ω . t)
(2b)
E2(x,t) = E2 . sin( k . x - ω . t + ∆ϕ)
Zwar überlagern sich die E-Felder der elektromagnetischen Wellen additiv, jedoch ist zu
berücksichtigen, dass die Intensität dem Amplitudenquadrat der Welle entspricht. Für die
Berechnung der Intensität ist es einfacher, die Funktionen als komplexe Exponentialfunktionen
darzustellen:
(3a) E1(x,t) = a1 . e
i(k . x - ω . t)
(2b)
E2(x,t) = a2 . e
i(k . x - ω . t+ Δϕ)
Die Addition der beiden Wellen ergibt folgenden Ausdruck:
(4)
E(x,t) = E1(x,t) + E2(x,t) = (a1 + a2 . e
iΔϕ
).e
i(k . x - ω . t)
Die Intensität I = |E|2 = E . E* - somit gilt:
iΔϕ
).e
i(k . x - ω . t)
|E|2 = (a1 + a2 . e
|E|2 = a12 + a22 + a1. a2 . (e
iΔϕ
+ e
. (a + a . e-iΔϕ ) . e-i(k . x - ω . t)
1
2
-iΔϕ
)
Mit I1 = a12 , I2 = a22 und der Euler-Gleichung ergibt sich schliesslich folgendes Ergebnis:
(5)
I = I1 + I2 + 2 . (I1 . I2 )½ . cos(Δϕ )
Die resultierende Intensität entspricht somit nicht der Summe der Einzelintensitäten, da ein
Interferenzterm auftritt. Die maximale Intensität ergibt sich nur unter der Voraussetzung dass die
Phasendifferenz Δϕ = 0° ist.
Ist die Phasenverschiebung Δϕ zwischen den beiden Teilstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches von
2π, dann treffen diese ohne Gangunterschied auf der Beobachtungsebene auf und verstärken sich.
Bei einem Phasenunterschied entsprechend einem ungeradzahligen Vielfachen von π verlaufen die
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beiden Teilstrahlen gegenphasig und löschen sich aus. Mit dem Interferometer kann somit eine
Ortsänderung zwischen den beiden Spiegel detektiert werden. Dazu muss sichergestellt werden,
dass sich nur jeweils einer der beiden Spiegel verschiebt. Die Änderung der durch eine Verschiebung
∆x eines der beiden Spiegel verursachten Phasendifferenz ist durch folgenden Ausdruck gegeben:
(6)
Δϕ =
4π .
∆x
λ
Da der Fotostrom i(∆x) proportional zur Lichtintensität ist, ergibt sich mit Gleichung (6) die folgende Abängigkeit des Fotostroms von der Wegverschiebung zwischen den beiden Spiegeln:
(7)
i(∆x) = i0. [ 1 + cos(
4π .
∆x )]
λ
Der Fotostom besitzt somit eine nichtlineare, periodische Kennlinie. Somit sind Messungen von
Ortsänderungen über den gesamten Bereich der Kohärenzlänge des Lasers bei gleichbleibender
Ortsauflösung möglich. Es tritt jedoch das Problem auf, dass die Richtung einer Wegänderung nicht
erkennbar wird, ob der Fotostrom bei einem Maximum oder Minimum liegt. Dieses Problem kann
dadurch gelöst werden, indem zwei Fotoströme erfasst werden, die jeweils einen Phasenunterschied
von 90° aufweisen. Das Fotosignal kann dann formal als komplexwertig betrachtet werden - die
Kennlinie besitzt dann die Form eines Kreises in der Gauß-Ebene.
Die am Beobachtungsschirm zu beobachtenden Interferenzbilder sind auch abhängig vom Winkel,
unter dem sich die beiden Wellenzüge überlagern. Die Ausrichtung der Spiegel S1 und S2 hat daher
einen großen Einfluss auf das sich durch die Interferenz ergebende Streifenmuster und damit auf
den Strom der Photodiode. Man kann das am Versuchsaufbau beobachten. Wenn man die Spannung am Piezoelement erhöht, ändert sich, abgesehen von den Hell- Dunkel-Übergängen, auch das
Aussehen der Interferenzfigur. Dieser Effekt wird verursacht durch eine minimale Verkippung des
Spiegels aufgrund einer Verbiegung des Piezoelements.
Piezo-Aktoren
Piezoelemente wandeln eine angelegte elektrische Spannung U in eine
Längenänderung ∆x und besitzen somit die Eigenschaft eines Aktors.
Ein Piezoaktor besteht aus einem Stapel von Scheiben, die jeweils der
elektrischen Spannung U ausgesetzt werden. Das piezoelektrische
Material besteht aus polykristallinem, gesinterten Bleizirkoniumtitanat (PZT), welches aus gepresstem und gesintertem Pulver hergestellt
wird. Jeder der Kristalle (Bild 2) besitzt ein elektrisches Dipolmoment.
O2-
Pb
Ti, Zr
Bild 2: Eine Gitterzelle von Bleizirkoniumtitanat enthält ein Titan- oder ZirkoniumAtom, das durch eines starkes elektrisches Feld aus dem Zentrum der Gitterzelle
ausgelenkt wurde. Dadurch besitzt die Keramik ferroelektrische Eigenschaften und
verformt sich unter dem Einfluss eines von aussen angelegten elektrischen Feldes.
Die elektrischen Dipole sind zunächst statistisch verteilt und werden durch Anlegen einer Spannung bei einer Temperatur von ca 200 °C ausgerichtet. Wird ein Piezo-Stellglied zu heiß, verliert es
daher die Ausrichtung der Dipole und damit seine piezoelektrischen Eigenschaften. Legt man an
ein piezoelektrisches Material ein elektrisches Feld an, so führt dies zu einer Gitterverzerrung, die
sich in einer makroskopischen Längenänderung zeigt. Die maximale Feldstärke, mit der ein Piezoaktor in Polarisierungsrichtung betrieben werden kann, liegt bei Emax = 2 kV/mm. In der Gegenrichtung ist nur eine Feldstärke bis zu Emax = 300 V/mm zulässig. Insgesamt ist somit eine relative
Längenänderung bis zu 0,2 % erreichbar.
Hysterese:
Die Kennlinie von Piezo-Aktoren weist eine Hysterese auf, die durch Polarisierungseffekte im Kristallgitter verursacht werden. Die Ausbildung der Hysterese hängt daher von der Amplitude der
Längenänderung (Bild 3) und der Vorgeschichte ab. Eine eindeutige Zuordnung der Piezospannung
U0 gegenüber der entsprechenden Längenänderung l0 des Piezoaktors ist daher nicht möglich.
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Für die bei der Nanopositionierung erforderliche
Ortsauflösung muss daher ein Positionssensor die
wahre Dehnung des Aktors erfassen. Diese wird in
der Regel über DMS-Sensoren gemessen. Über ein
Rückkopplungssystem wird das Eingangssignal
modifiziert, bis die Soll-Position erreicht wird.
10
∆l / µm
5
Kriechen:
Nach Anlegen einer sprungartigen Spannungsänderung U(t) nähert sich ein realer Piezoaktor
mit exponentieller Zeitabhängigkeit ε(t) an den
Endwert der Dehnung an (Bild 4). Dieses Verhalten
wird durch die Umorientierung von Kristalldomänen verursacht, die einem Relaxationsprozess
entspricht, der mit einer charakteristischen Zeitkonstante verbunden ist. Der Kriechanteil liegt bei
etwa 1% der Gesamtdehnung pro Zeitdekade.
U/V
250
500
750
1000
Bild : Kennlinie eines realen Piezo-Aktors im Vergleich zu deren Idealverlauf. Die Öffnung der Hysterese hängt von der Maximaldehnung ab.
U(t)
ε(t)
Piezo aktor
t
t
Bild : Nach einer stufenförmigen Spannungsänderung nähert sich die Dehnung eines Piezoaktors
erst mit zeitlicher Verzögerung dem entsprechenden Endwert.
Durchführung des Versuchs
Die Spannung des Piezoverstärkers wird auf U0 = -200 V eingestellt. Dann wird der auf der Alusäule
befindliche Spiegel so justiert, dass auf dem Beobachtungsschirm eine einigermaßen gleichmäßige Helligkeit zu beobachten ist. Über den Rechner wird ein Funktionsgenerator angesteuert. Dabei
kann die Signalform, die Amplitude des Anregungssignals und die Frequenz variiert werden, um
um die Kennlinie unter verschiedenen Testsignalen zu ermitteln.
Der Ausgang des Funktionsgenerators wird an den Eingang des Hochspannungsverstärkers angeschlossen, der am Ausgang die Piezospannung liefert. Das Signal des Funktionsgenerators wird
an den Kanal 0 des Datenerfassungssystems (BNC 2120) angeschlossen. An den Kanal 1 wird das
Ausgangssignal des Fotodetektors (Bild 1) angeschlossen. Zur Durchführung der Messung wird das
LabView-Programm „Kennlinie-Piezo.vi” aufgerufen.
Ermittlung des Verstärkungsfaktors des Piezoverstärkers
Nach Aufruf des Programms ist am Bildschirm eine Rechteckfolge mit der Frequenz f0 = 300 mHz
und der Amplitude U0 = 800 mV auszuwählen. Diese Einstellung wird nach Klicken auf die Taste
„An den Funktionsgenerator senden” (Bild 5) an den Funktionsgenerator übertragen. Beobachten Sie
das Ausgangssignal des Funktionsgenerators am Oszilloskop und die Spannungsänderung an der
Digitalanzeige des Piezoverstärkers. Berechnen sie den Übertragungsfaktor und geben Sie diesen
Wert in das Datenfeld „Übertragungsfaktor des Piezoverstärkers” ein.
Messung der Kennlinie des Piezoaktors
Der Funktionsgenerator wird auf „Dreieck-Folge” eingestellt. Die Amplitude und die Frequenz der
Dreieck-Folge kann über Schaltflächen variiert werden. Die Messung wird durch Klicken auf den
Schriftzug „Start der Messung” in Gang gesetzt. Als Ergebnis erhält man eine grafische Darstellung
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Bild 5: Benutzeroberfläche des LabView-Programms „Kennlinie-Piezo.vi”
der Abtastwerte der Dreieck-Folge und des Fotosignals. In dieser Darstellung sind 3 Linien mit dem
Mauszeiger so zu positionieren, dass der Anfangspunkt der Hysterese, deren Umkehrpunkt und der
Endpunkt markiert wird. Nach Betätigung der Taste „Weiter“ separiert der Rechner die beiden Teilsegmente uauf(n) und uab(n). Diese entsprechen jeweils den beiden Ästen der Hysterese.
Die beiden Signale uauf(n) und uab(n) werden mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation (DFT) in
den Spektralbereich transformiert. Aus den Spektralfunktionen Uauf(k) und U ab(k) wird der Offsetanteil entfernt. Zusätzlich werden die Werte der Spektralfunktionen nur bis zum Maximalwert kmax=
100 übernommen - der Rest wird auf Null gesetzt. Dabei wird die Anzahl der Nullen so gewählt, dass
eine inverse FFT möglich ist.
Wie entfernt man den Offsetanteil in einem diskreten Fourier-Spektrum X(k)?
In welchem Teil des DFT-Spektrums X(k) befinden sich die negativen Spektralanteile?
Welche K0nsequenz hat die Entfernung negativer Spektralanteile des DFT-Spektrums X(k) für
die Zeitfunktion x(n) nach der Rücktransformation?
Welche Konsequenz für die Zeitfunktion x(n) hat die Einfügung von zusätzlichen Nullen in die
Spektralfunktion X(k)?
Nach Anwendung der inversen FFT (IFFT) auf die modifizierte Spektralfunktion X(k) erhält man eine
analytisches Signal u(n), dessen Imaginärteil die Hilbert-Transformierte des ursprünglichen Fotosignals ist. Durch Betragsbildung erhält man die Hüllkurve des Fotosignals. Aus dem analytischen
Signal wird der Phasenverlauf der komplexen Amplitudenwerte berechnet. Aus den Phasenwerten
kann schliesslich die Verschiebung des Spiegels ermittelt werden.
Geben Sie den mathematischen Ausdruck an, mit dessen Hilfe die Verschiebung des Spiegels
aus den Phasenwerten berechnet wird.?
Welche maximale Öffnung besitzt die Hysterese?
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Welchen Übertragungsfaktor besitzt der Piezoaktor?
Wiederholen Sie den Versuch mit den anderen Frequenzen der Dreieckfolge und
der Amplitude U0 = 800 mV.
Wie ändert sich die Öffnung der Hysterese und der Übertragungsfaktor bei unterschiedlicher
Anregungsfrequenz?
Wiederholen Sie den Versuch bei der Frequenz f0 = 15 Hz bei den vorgegebenen Amplitudenwerten.
Wie ändert sich die Öffnung der Hysterese und der Übertragungsfaktor bei unterschiedlicher
Amplitude?
Nach Abschluss der Messungen ist der Funktionsgenerator und Piezoverstärker auszuschalten.
Messung der Übertragungseigenschaften eines thermischen Systems
Das thermische System (Bild 6) besteht aus einem Aluminiumblock, dessen Temperatur durch ein
Peltier-Element variiert werden kann. Das Peltier-Element besitzt die Funktion einer elektrischen
Wärmepumpe - das Funktionsprinzip beruht auf einer Umkehrung des Seebeck-Effekts. Fließt ein
Strom durch eine Grenzschicht zwischen zwei unterschiedlichen Metallen, so entsteht an der Kontaktstelle eine Temperaturdifferenz, die bei Umkehrung der Stromrichtung das Vorzeichen wechselt. Peltierelemente werden dazu genutzt, Infrarotdetektoren oder Mikroprozessoren zu kühlen.
Heizstrom i(t)
Temperaturerhöhung ∆T(t)
∆†∞
i0
τ
t
t
Bild 6: Ein thermisches System reagiert auf einen Heizstrom i(t) mit einer Temperaturerhöhung ∆T{t), die sich erst nach
langer Zeit der Temperaturdifferenz ∆T∞ asymptotisch annähert. Das System 1. Ordnung ist durch den statischen Übertragungsfaktor k Th = i0 /∆T∞ und die charakteristische Zeit τ eindeutig definiert.
Bei diesem Versuch werden sowohl die dynamischen Eigenschaften des thermischen Systems als
auch dessen Kennlinie untersucht. Der Strom wird dem Peltier-Element (Bild 7) mit einem LaborNetzteil (Iso-Tech) zugeführt. Dazu wird das Gerät nach dem Einschalten und Betätigen der Taste
„I-Limit“ auf jenen Strom I eingestellt, welcher in der entsprechenden Schaltfläche des Programms
(Bild 8) ausgewählt wurde. Die Taste „Output” am Labor-Netzteil muss auf „OFF” gestellt sein. Das
Ausgangssignal der Spannungsversorgung wird an den Anschluss „AI-3“ des Datenerfassungsgeräts
(BNC 2120) angeschlossen.
Schalten Sie vor Beginn der Messungen die Wasserkühlung des Peltier-Elements ein und schließen
Sie das Ausgangssignal des Digital-Thermometers
an den Eingang AI-2 an. Die Längenänderung des
Gesamtsystems führt zu einer Verschiebung des
auf dem Al-Block befindlichen Spiegels (Bild 7).
Dessen Verschiebung führt zu einer Wanderung
des Interferenzmusters.
Wasserkühlung
JustierSchrauben
Peltier-Element
Alu-Säule
Spiegel
Bild 7: Auf einem Al-Körper ist ein Peltier-Element befestigt,
welches diesem Wärme zu- oder abführt. Die mit der Temperaturänderung verbundene Längenänderung wird mit Hilfe
des Michelson-Interferometers erfasst.
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Bild 8: Benutzeroberfläche des LabView-Programms „ThermSys.vi”
Ermittlung der Systemfunktionen des thermischen Systems
Vor Beginn der Messung muss das Interferenzmuster nochmals über die am Spiegel befindlichen
Schrauben (Bild 7) nachjustiert werden. Starten Sie das Programm „ThermSys.vi“ und stellen Sie eine
Messdauer von TM = 3 min ein (Bild 8). Kontrollieren Sie, ob die Einstellung des Peltierstroms mit der
Schaltfläche „Peltierstrom” übereinstimmt. Durch Klicken auf den Schriftzug „Start der Messung“
wird die Messwerterfassung ausgelöst. Einige Sekunden nach dem Start der Messung ist die Taste
„Output“ an der Spannungversorgung (Iso-Tech) zu betätigen. Dadurch wird der Peltierstrom eingeschaltet.
Nach Beendigung der Messung erhält man den zeitabhängigen Temperaturverlauf. An diesen wird
eine mathematische Funktion nach der Methode der kleinsten Quadrate angepasst.
Welche mathematische Funktion ist für die Beschreibung des Temperaturverlaufs geeignet?
Wie lautet die Sprungantwort des thermischen Systems mit den experimentell bestimmten
Funktionsparametern? (Formel mit Zahlenwerten + Einheiten angeben!)
Wie lautet die Impulsantwort des Systems? (Formel mit Zahlenwerten + Einheiten angeben!)
Ermitteln Sie den Frequenzgang des Systems? (Formel mit Zahlenwerten+Einheiten angeben!)
Aus dem mathematischen Ausdruck für den Temperaturverlauf ∆T(t) kann man entnehmen, welche
Temperatur das System nach unendlicher Zeit erreicht, obwohl nur Messwerte über eine begrenzte
Messdauer vorliegen. Lassen Sie den Peltier-Strom daher noch nach Abschluss der Messwerterfassung eingeschaltet und überprüfen Sie, ob dieser Endwert auch wirklich angenähert wird.
Messung des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Al-Blocks
Die Auswertung des Fotosignals des Interferometers ergibt die Längenänderung des Alublocks als
Funktion der Zeit. Zusammen mit dem Temperaturverlauf kann der a-Wert von Al ermittelt werden. Die Länge des Alu-Blocks beträgt 60 mm.
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Ermitteln Sie den thermischen Ausdehnungskoeffizienten und vergleichen Sie diesen mit
dem Ausdehnungskoeffizienten von Aluminium. Wie kann man die Abweichung gegenüber
dem Sollwert erklären?
Messung der Kennlinie des Peltier-Elements
Wiederholen Sie den Versuch mit jenen verschiedenen Werten von „I-Limit”, welche an der Schaltfläche zur Verfügung stehen. Wählen Sie jeweils eine Messdauer von TM = 90 s. Aus der Steigung
der Temperaturkurve ∆T(t) im Zeitnullpunkt kann man die Endtemperatur ∆T∞ unter Nutzung der
charakteristischen Zeit t berechnen. Diese liegt bei t = (900 ± 200) s.
Zeichnen Sie die Peltier-Kennlinie ∆T∞/I.
Warum ist die Peltier-Kennlinie nichtlinear?
Schalten sie nach Abschluss des Versuchs die Peltier-Spannung ab - dies erfolgt durch Betätigung
der „Output-Taste“ am „ISO-Tech“-Gerät. Die Pumpe der Wasserkühlung des Peltier-Elements ist
ebenfalls abzuschalten.
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