R. Schubert - Institut für Kern- und Teilchenphysik

Experimentalphysik III
Wellen und Quanten
Technische Universit t Dresden
Fachrichtung Physik
Prof. Dr. K. R. Schubert
WS 2004/05
erste Version in LaTex gesetzt von H. Reichardt und G. Schmidt, 1998-99
Version 5.20, 15/2/05
Dieses Vorlesungsskript ist nicht vollst
ndig, es fehlen Teile des ersten Kapitels Wellenoptik. Das Skript ist nur fr die Hrer meiner Vorlesung Experimentalphysik III im WS 2004/05 bestimmt. Ich werde w
hrend der Vorlesung
kleinere Korrekturen am Skript vornehmen und bitte jeden Studierenden, mich
auf Tippfehler, Unklarheiten u. a. hinzuweisen. Bei Hakon Reichardt und Gernot Schmidt bedanke ich mich herzlich fr die aufwendige und kompetente Umsetzung meines handschriftlichen Skriptes in LaTex, insbesondere auch fr die
Abbildungen.
Inhaltsverzeichnis
1 Wellenoptik
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
Interferenzerscheinungen . . . . . . . . . . . . . .
Koh
renzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
Interferenzen an planparalellen Grenz
chen . . .
Phasensprung am optisch dichteren Medium . . .
Beugungserscheinungen . . . . . . . . . . . . . .
Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt . . . . .
Fraunhofersche Beugung an der Kreisblende . . .
Ausugsvermgen optischer Instrumente . . . .
Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . .
Dopplereekt beim Licht und Aberration . . . .
Komplexe Schreibweise des Lichtes . . . . . . . .
Reexionsgitter und Fabry-Perot-Interferometer .
2 Lichtquanten
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2.1 Energie, Impuls, Masse und Drehimpuls
elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Photoeekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Erkl
rung des Photoeektes durch Einstein . . . . . . . . . . .
2.4 Photodioden und Photovervielfacher . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Elektrizit
t aus Sonnenlicht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Wellenl
ngenmessung
und Rntgenspektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Bremstrahlungsspektren und das Gesetz von Duane und Hunt .
2.9 Charakteristische Rntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Impulserhaltung bei Photoeekt und Bremsstrahlung . . . . . . .
2.11 Der Compton-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Rayleigh- und Thomson-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Der Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Der dierentielle Wirkungsquerschnitt beim Compton-Eekt . .
2.15 Die Paarbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Die Paarvernichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17 Photoeekt im Rntgengebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18 Zusammenfassung zur Wechselwirkung von Photonen mit Materie
2.19 Die schwere Masse des Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
5
5
7
9
9
11
11
11
11
12
12
12
13
17
18
19
22
23
24
25
26
29
32
35
37
40
43
45
46
47
48
49
51
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
2.20 Lichtablenkung am Sonnenrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.21 Interferenz von Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.22 Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Interferenz . . . . . . . 56
3 Wellen und Wellenpakete
3.1 Fourieranalyse periodischer Schwingungen . . . . . .
3.2 Beispiele von Fourieranalysen
und -synthesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Amplituden- und Intensit
tsspektrum . . . . . . . .
3.4 Aperiodische Schwingungen und das
Fourierintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Beispiele zum Fourierintegral . . . . . . . . . . . . .
3.6 Die Unsch
rferelation zwischen Zeit und
Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Wellen in einer Raumdimension . . . . . . . . . . . .
3.8 Wellen in drei Raumdimensionen . . . . . . . . . . .
3.9 Elektromagnetische Wellen als Beispiel . . . . . . . .
3.10 Harmonische Wellen und Fourieranalyse . . . . . . .
3.11 Dispersionsbehaftete Wellen . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Die Unsch
rferelation zwischen Ort und Wellenl
nge
58
. . . . . . . 58
. . . . . . . 60
. . . . . . . 64
. . . . . . . 66
. . . . . . . 67
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4 Materiewellen
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
87
De Broglies Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Verhalten bei Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . .
Wie gro sind de Broglies Wellenl
ngen? . . . . . . . . . .
Das Davisson-Germer-Experiment . . . . . . . . . . . . . .
Demonstration des Experimentes von G. P. Thomson . . . .
Das Doppelspaltexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenfunktionen und die Heisenbergsche Unsch
rferelation
Das Auseinanderlaufen von Wellenpaketen . . . . . . . . . . .
Drei- und vierdimensionale Wellenpakete . . . . . . . . . . . .
Beispiele fr die Heisenbergsche Unsch
rferelation . . . . .
4.10.1 Ortsbestimmung eines ruhenden Teilchens . . . . . . .
4.10.2 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.3 Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Beugungstheorie mit Fourierintegralen . . . . . . . . . . . . .
4.12 Die Gre der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Die
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
72
74
76
77
78
80
82
86
Schr dinger-Gleichung
Wellengleichungen fr de Broglie-Wellen .
Nichtrelativistische N
herung . . . . . . . .
Teilchenbewegung mit Kr
ften . . . . . . .
Die zeitunabh
ngige Schrdingergleichung .
Die Potentialstufe mit W > V0 . . . . . . .
Die Potentialstufe mit W < V0 . . . . . . .
Potentialwall und Tunneleekt . . . . . . .
Beispiele fr den Tunneleekt . . . . . . . .
Gamovs Theorie des Alpha-Zerfalls . . . .
Gebundene Zust
nde im Rechteckpotential
iii
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88
89
90
93
94
94
97
100
101
101
103
104
105
107
110
110
111
112
114
114
117
118
121
122
125
INHALTSVERZEICHNIS
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
INHALTSVERZEICHNIS
Das unendlich hohe Rechteckpotential . .
Der Potentialkasten in drei Dimensionen .
Die Nullpunktsenergie . . . . . . . . . . .
Die Parit
t . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der lineare harmonische Oszillator . . . .
Schwingungen zweiatomiger Molekle . .
iv
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130
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134
135
141
Kapitel 1
Wellenoptik
Die Beschreibung des Lichtes kennt in der Physik drei voneinander recht verschiedene Konzepte: Lichtwellen, Lichtstrahlen und Lichtquanten. Was Sie im
Rahmen dieses Vorlesungszyklus als erstes vertieft kennengelernt haben, ist das
Konzept der Lichtwelle. Maxwells Gleichungen von 1873 enthalten elektromagnetische Wellen als Lsungen. Im Vakuum heien die einfachsten dieser Lsungen
~ r t) = E~ 0 cos(~k~r !t) = E~ 0 cos(~k~r ckt)
E~ = E(~
~ r t) = (~u E~ 0 ) cos(~k~r ckt) :
B~ = B(~
(1.1)
c
Dies sind ebene monochromatische Wellen mit unendlicher Ausdehnung in ~r =
(x y z) und t. Darin ist c die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) und die Amplitude E~ 0 der elektrischen Feldst
rke sowie der Wellenzahlvektor ~k = ~u 2=
sind fast beliebig. E~ 0 und Wellenl
nge knnen beliebige Werte annehmen,
aber E~ 0 und ~k mssen aufeinander senkrecht stehen. Frequenz der Welle sowie
Betrag und Richtung der magnetischen Feldst
rkenamplitude B~ 0 sind durch E~ 0
und ~k festgelegt. Es gilt, wie in obiger Form schon geschrieben
;
j
;
;
j
! = 2 = c k = c= B~ 0 = E~ 0 =c E~ 0 B~ 0 ~k = rechtshandiges orthogonales Dreibein :
(1.2)
Elektomagnetische Wellen wurden experimentell 1888 von Heinrich Hertz entdeckt, und da sichtbares Licht eine elektomagnetische Welle mit irgendeiner
Wellenl
nge zwischen 400 nm und 800 nm ist, wurde in den folgenden Jahren
deutlich. Die Wellennatur des Lichtes ist viel l
nger bekannt, C. Huygens und R.
Hooke haben um 1700 die Grundlagen dazu erkannt und erarbeitet, J. Fresnel
und T. Young haben um 1800 die ersten einfachen, berzeugenden und vor allem quantitativen Experimente dazu vorgefhrt und im Wellenbild beschrieben.
Mit diesen beiden Experimenten beginnt die Wellenoptik, mit dem Fresnelschen
Biprisma und dem Youngschen Doppelspalt.
Nur noch eine Vorbemerkung: die geometrische Optik, die Sie als letztes Kapitel in Physik II studiert haben, arbeitet mit Lichtstrahlen, die sich geradlinig
j
j
j
j
2
Interferenzerscheinungen
im Vakuum oder in homogener durchsichtiger Materie ausbreiten und nur an
Grenz
chen zwischen zwei Materialien ihre Richtung ndern knnen. Die Wellennatur tritt dabei berhaupt nicht hervor. Im Wellenbild sind Lichtstrahlen
r
umlich begrenzte ebene Wellen, die durch Blenden realisiert werden knnen.
Abbildung 1.1: Konzept des Lichtstrahls. Eine Blende absorbiert den grten
Teil einer ebenen Lichtwelle und l
sst den ausgeblendeten Teil ungehindert in
gleicher Richtung weiterlaufen.
Das Konzept des Lichtstrahls in Abb. 1.1 ist eine N
herung. Eine kreisfrmig
begrenzte Welle
p
E0 ~ux cos(kz !t) x2 + y2 R
E~ =
(1.3)
0
sonst
p
erfllt die Maxwellschen Gleichungen nicht. Am Rand x2 + y2 = R w
re
divE~ = 0, das darf nicht sein. Die Feldst
rke E~ mu, und ebenso die magne~ in bereinstimmung mit den Maxwellschen Gleichungen
tische Feldst
rke B,
in der N
he der R
nder auf komplizierte Weise von maximaler Auslenkung auf
Null absinken. Die Natur schat das durch ein Ph
nomen, das wir Beugung
nennen. Beugung ist eine Folge von Interferenz, beides sind zentrale Begrie
der Wellenoptik. In der geometrischen Optik werden Interferenz und Beugung
vernachl
ssigt. Im Gebrauch optischer Instrumente spielen sie aber eine entscheidende Rolle. Sie bestimmen das Ausungsvermgen der Instrumente, wie
in Abschnitt 1.8 gezeigt wird.
;
6
1.1 Interferenzerscheinungen
In der Vorlesung zeigen wir das Fresnelsche Biprisma-Experiment. Ein Doppelspiegel (zwei Spiegel nebeneinander mit eingeschlossenem Winkel nahe 1800)
hat den gleichen Eekt und eignet sich besser zum Vorrechnen, da hier die zu
betrachtende Lichtwelle nur durch ein Medium (Vakuum bzw. Luft) l
uft und
nicht durch zwei (Luft und Glas). Abb. 1.2 zeigt den Versuchsaufbau mit dem
Fresnelschen Doppelspiegel. Das von der Lichtquelle Q ausgehende Licht trit
auf beide H
lften des Spiegels und wird so reektiert, dass auf dem Schirm S ein
Bereich entsteht, in den das Licht auf zwei verschiedenen Wegen gelangen kann.
In diesem Bereich trit das Licht so ein, als ob es ohne Spiegel aus den zwei
virtuellen Quellen Q1 und Q2 kommen wrde. W
ren Q1 und Q2 zwei reelle
Quellen, w
re die Intensit
tsverteilung I auf dem Schirm einfach
I = I(P) = I1 (P ) + I2 (P) (1.4)
Interferenzerscheinungen
3
d
Q1
Q2
s
Q
x
0 P
Abbildung 1.2: Fresnelscher Doppelspiegel. Das Licht gelangt von der Quelle Q
zum Schirmpunkt P auf zwei verschiedenen Wegen. Der Gangunterschied zwischen den beiden Wegl
ngen fhrt zu konstruktiver und destruktiver Interferenz
des Lichts auf dem Schirm.
wobei P ein Punkt im doppelt beleuchteten Bereich ist. Das Licht kommt aber
aus nur einer Quelle, als Welle auf zwei verschiedenen Wegen, und deshalb addieren sich in P nicht die Intensit
ten, sondern die Vektoren E~ und B~ . Da B~
aus E~ eindeutig folgt, reicht es E~ zu betrachten, d. h.
E~ = E~ (P ) = E~ 1(P) + E~ 2(P) :
(1.5)
Es reicht auch, nur eine Komponente zu nehmen. Im folgenden setzen wir Ex
und rechnen mit dieser Auslenkung der Lichtwelle ohne dabei an elektrische
Felder oder an Maxwell zu denken,
= (P) = 1 (P) + 2 (P ) :
(1.6)
Den Zusammenhang zwischen Intensit
t und Auslenkung holen wir aus den
Maxwellschen Gleichungen, er ist aber viel allgemeiner. Intensit
t ist der zeitliche Mittelwert der Energie W pro Fl
che A und Zeit t, mit Dimension W=m2.
Bei Ausbreitung des Lichtes in z-Richtung im Vakuum gilt
!
2
~
dW
dW
dz
1
B
I = dt dA = dV dt = 2 0 E~ 2 + c = 0 c E~ 2 :
(1.7)
0
Um den Faktor 0 c zu sparen, setzen wir, wenn E~ in x-Richtung schwingt,
= 0 c Ex I = 2 :
(1.8)
/
p
4
Interferenzerscheinungen
Damit gilt fr die berlagerung der zwei Teilwellen in P
I(P ) = 1(P) + 2(P)]2 = I1 (P) + I2 (P) + 2 1 (P) 2 (P) :
(1.9)
Zus
tzlich zu den zwei Einzelintensit
ten tritt das zeitgemittelte Produkt aus 1
und 2 , das wir den Interferenzterm I12 nennen. Sein Wert h
ngt vom Gangunterschied der beiden Teilwellen ab, die im Punkt P miteinander interferieren.
Damit ist im Vakuum einfach der Wegunterschied
(1.10)
= Q2P Q1P
gemeint. Auf den Fall zweier Medien, z. B. Glas und Luft, kommen wir im
Abschnitt 1.3 zurck. In nur Luft gilt
1 = 0 cos(kr !t) 2 = 0 cos(kr + k !t) :
(1.11)
;
;
;
I1 = I2 = 02 cos2 (kr !t) = 02 =2 (1.12)
;
I12 = 2 02 cos(k) cos2(kr !t) = 02 cos(k) = 02 cos 2
(1.13)
wobei wir cos cos(+) = cos2 cos cos sin sin , 2 cos sin = sin 2
und sin 2(kr !t) = 0 verwendet haben. Damit wird
2 I = I1 + I2 + I12 = 2 I1 1 + cos 2
(1.14)
= 4 I1 cos :
Diese Intensit
tsverteilung ist eine regelm
ige Folge von Maxima, dort wo der
Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenl
nge betr
gt, und
von Nullstellen, dort wo = (m + 1=2) mit m = 0 1 2::: Fr den
Gangunterschied gilt
p
p2
= s2 + (d=2 + x)2
s + (d=2 x)2 d x=s (1.15)
wobei d der Abstand zwischen den zwei virtuellen Quellen Q1 und Q2 ist, s der
Abstand der Quellen zum Schirm, und x die Koordinate von P. Auf dem Schirm
sehen wir eine regelm
ige Folge von parallelen Streifen mit einer Intensit
tsverteilung, die in x sinus-frmig variiert. Wie aus den beiden letzten Gleichungen
folgt, ist die Intensit
tsverteilung
I = 4 I1 cos2 dsx :
(1.16)
Die Maxima der Intensit
t erscheinen bei x = ns=d. Der Abstand zweier Intensit
tsmaxima betr
gt
x = s =d :
(1.17)
Viele Streifen lassen sich nur dann beobachten, wenn das Licht monochromatisch ist, d.h. aus Wellen nur einer Wellenl
nge besteht. Gl. 1.17 erlaubt dann
eine Wellenl
ngenmessung. Im weien Licht erscheint der zentrale Streifen wei,
rechts und links davon wird es dunkel, dann wird es farbig von blau bis rot, und
dann sehr bald nur noch grau. In der Vorlesung wird das Interferenzph
nomen
auch mit Wasserwellen vorgefhrt, wobei zwei Stifte, die mit gleicher Frequenz
und gleicher Phase ins Wasser eintauchen, die koh
renten Quellen zweier Kreiswellen sind.
;
;
;
;
;
Koh
renzbedingungen
5
1.2 Kohrenzbedingungen
Im Fall des Fresnelschen Doppelspiegels oder Biprismas fhrt Addition von Maxima und Minima der elektrischen Feldst
rke nur dann zu Verst
rkung und
Auslschung, d. h. zu Interferenzerscheinungen, wenn die beiden interferierenden Teilwellen gleichzeitig am Beobachtungsort vorhanden sind. Lichtwellen sind
aber nicht unendlich ausgedehnt, sondern knnen als Wellenzge endlicher
L
nge angesehen werden. Interfernzmuster treten nur solange auf, wie sich die
beiden Teilwellen koh
rent berlagern, d. h. solange der Gangunterschied kleiner ist als die L
nge L der Wellenzge:
< L:
(1.18)
Ist > L, haben wir einfach I = I1 + I2 .
Als zweite Koh
renzbedingung muss gelten, dass die Lichtquelle nicht zu
ausgedehnt ist. Andernfalls, wieder im Falle des Doppelspiegels als Beispiel,
interferiert ein Punkt der Quelle Q1 mit einer H
lfte der Quelle Q2 konstruktiv,
mit der anderen H
lfte destruktiv, und der Gesamtinterferenzterm wird Null.
An der Stelle x des Beobachtungsschirmes trit das im n-ten Streifen zu, wenn
x = n d s a = (n + 12 ) d s
(1.19)
+a wobei a die Ausdehnung der Quelle angibt. Dieses Verschwinden des n-ten Interferenzstreifens an der Stelle x tritt ein, wie sich aus der Lsung obiger Gleichung
ergibt, wenn n = d=4a. Mit x = ns=d, s. Gl. 1.17, heisst das a = s=4x. Daraus
folgt, Interferenzen an der Stelle x sind sichtbar fr alle Quellenausdehnungen
mit
s :
a < 4x
(1.20)
Je weiter in x sich die Interferenzstreifen ausdehnen sollen, um so kleiner muss
die Quellengrsse a sein.
;
1.3 Interferenzen an planparalellen Grenzchen
In der Verlesung werden streifen- und kreisfrmige Interferenzmuster mit monochromatischem Licht gezeigt, wobei Gasentladungen als Lichtquelle dienen und
pr
zis gearbeitete Glaskrper als Erzeuger von Gangunterschieden. Polychromatisches (weisses) Licht aus einer Kohlebogenlampe erzeugt regenbogenartig
bunte Streifen beim Durchgang des Lichts durch eine dnne Haut aus Seifenlsung.
All diesen Interferenzph
nomenen liegt das Prinzip der Abb. 1.3 zugrunde.
Licht gelangt auf zwei verschiedenen Wegen von der Quelle zum Empf
nger,
und im Empf
nger berlagern sich die zwei Lichtwellen koh
rent, weil zwischen
den beiden Wegl
ngen ein Gangunterschied besteht. An Grenz
chen zwischen
zwei Medien mit verschiedenem Brechungsindex n1 = n2 drfen wir Weg- und
Gangunterschied nicht verwechseln. Es gilt:
6
Gang = Weg n :
(1.21)
6
Interferenzen an planparalellen Grenz
chen
Begrndung: Im Vakuum gilt !=k = c, in Medien mit Brechungsindex n aber
!=k = v = c=n. Mit Ausbreitungsrichtung x schreiben wir eine Welle in diesem
Medium als
= 0 cos (kx !t) = 0 cos !( nx
(1.22)
c t)] :
;
;
Da die Frequenz des Lichts bei bergang von einem Medium ins andere gleich
bleibt, ndert sich die Phase der Welle mit n x, und wir nennen n x den
Gangunterschied .
E
Q
A
n>1
D
α
n=1
d
C
β
n=1
B
Abbildung 1.3: Zweistrahlinterferenz an einer Glasplatte. Das Licht l
uft auf
zwei verschiedenen Wegen von der Quelle Q zum Empf
nger E. Der Gangunterschied auf beiden Wegen fhrt zur Interferenz in E.
In der Glasplatte in Abb. 1.3 l
uft das Licht von der Quelle Q auf folgenden
zwei Wegen zum Empf
nger E 1: Weg 1 = QAE mit Reexion am dichteren
Medium in A Weg 2 = QABCE mit Brechung in A, Relexion am dnneren
Medium in B und Brechung in C. Die Dicke der Platte ist d, der Einfallswinkel
ist , und fr den Gangunterschied beider Wege gilt
= 2 n AB AD + =2
= 2n AB AC sin + =2
= AB (2n 2 sin sin ) + =2
2d (n sin2 ) + =2
= cos
n
2d
= p 2
(n2 sin2 ) + =2
n sin2 ;
;
;
;
;
;
p
= 2d n2 sin2 + =2 (1.23)
wobei wir das Snelliussche Brechungsgesetz sin = n sin verwendet haben.
Der zus
tzliche Gangunterschied von einer halben Wellenl
nge =2 entsteht
durch die Reexion am dichteren Medium, s. Abschnitt 1.4.
;
1 Q und E werden im Unendlichen angenommen. Benden sie sich im Endlichen, lsst sich
mit Sammellinsen nachhelfen. Die Argumente bleiben dann aber die gleichen.
Phasensprung am optisch dichteren Medium
7
Wenn der gesamte Ganguterschied ein ganzzahliges Vielfaches der
Vakuum-Wellenl
nge betr
gt, = n , interferieren die beiden Strahlen konstruktiv, die Intensit
t in E hat ein Maximum. Wenn = (n + 1=2) , interferieren sie destruktiv und in E ist es dunkel. Durch Variation von entsteht
abwechselndes Hell und Dunkel.
Praktische Verwendung nden diese Interferenzen, um Glasober
chen, z. B.
Brillengl
ser oder Objektive von Photoapparaten, zu entspiegeln, zu vergten.
Aufdampfen dnner Schichten mit geeignetem Brechungsindex und geeigneter
Dicke fhrt zur Auslschung des reektierten Lichts. Damit verbunden ist ein
Maximum der durchgehenden Lichtintensit
t. In gewissen Grenzen gelingt Vergten auch fr weisses Licht, durch mehrere Schichten mit verschiedener Dicke
oder verschiedenem Brechungsindex. Kennt man die Wellenl
nge des feindlichen
Radars unter Wasser, lassen sich auch U-Boote unsichtbar machen.
1.4 Phasensprung am optisch dichteren Medium
Die Herleitung des im letzten Abschnitt auftretenden Phasensprungs einer reektierten Welle bentzt die elektromagnetische Natur der Lichtwellen. Wie in
Abb. 1.4 skizziert, soll eine ebene Welle in Richtung ~k1 auf eine Grenz
che
zulaufen, die senkrecht auf ~k1 steht. Die Feldst
rkevektoren E~ 1 und B~ 1 liegen
in Ebenen parallel zur Grenz
che. Die Brechungsindizes seien n1 vor und n2
nach der Grenz
che.
n1 n2
(einlaufende Welle)
E1
B1
(durchlaufende Welle)
E3
k1
a
k3
(reflektierte Welle)
b
E2
B3
B2
k2
Abbildung 1.4: Herleitung des Phasensprungs einer elektromagnetischen Welle
an einer Grenz
che
Die durchlaufende Welle hat nach dem Brechungsgesetz mit = = 0 die
gleiche Richtung wie die einlaufende. Ein Teil der Welle wird reektiert, bei
= 0 ist k2 = k1 . Fr Reexion und Transmission sind mikroskopisch die
Ladungstr
ger (Elektronen) in der N
he der Grenz
che verantwortlich. Die
elektrische Feldst
rke regt diese zum Mitschwingen an, und die von den schwingenden Elektronen wieder abgestrahlte Feldst
rke hat die gleiche Richtung, des;
8
Phasensprung am optisch dichteren Medium
halb der Ansatz E~ 1 E~ 2 E~ 3. Wegen k2 = k1 und der Rechtsh
ndigkeit des
~ B~ ~k) hat B~ 2 die entgegengesetzte Richtung wie B~ 1 . Jetzt betrachDreibeins (E
ten wir einen geschlossenen rechteckigen Weg mit Seiten a und b wie in Abb. 1.4
gezeichnet. Nach den Maxwellschen Gleichungen ist
I
@ Z Z B~ dA~ E~ d~r = @t
k
k
;
;
I
@ Z Z E~ dA~ :
B~ d~r = c12 @t
(1.24)
Die zweite Gl. enth
lt keine Stromdichte ~j , weil die Ladungstr
ger ortsfest sind
und keine Strme iessen. Mit b 0 werden die Fl
chenintegrale auf der rechten
Seite null, und fr die Feldst
rken und deren Amplituden E0i, B0i gilt
!
a (E1 + E2) a E3 = 0 ;
E01 + E02 E03 = 0 ;
(1.25)
B01 + B02 B03 = 0 :
(1.26)
;
Wegen B~ 0 = (~k=!) E~ 0, k1 =! = n1 =c, k3=! = n2=c und wegen der Umkehr
von B~ 2 gilt
B01 = E01 n1=c B02 = E02 n1 =c B03 = E03 n2 =c :
;
Damit wird aus Gl. 1.26:
n1 E n1 E = n2 E :
c 01 c 02 c 03
(1.27)
E02 T = E03 R= E
E
(1.28)
;
Mit den Denitionen
01
01
wobei wir R den Reexions- und T den Transmissionskoezienten nennen, wird
aus den Gln. 1.25 und 1.27:
1 + R = T n1 (1 R) = n2 T (1.29)
R = nn1 + nn2 T = n 2n+1n :
(1.30)
;
;
1
2
1
2
W
hrend T immer positiv ist, ist R positiv fr n1 > n2 und negativ n1 < n2 .
Die durchgehende und die am optisch dnneren Medium reektierte Welle haben
die gleiche Phase wie die einlaufende Welle. Die am optisch dichteren Medium
reektierte Welle erf
hrt einen Phasensprung um , d. h. einen Gangunterschied
um =2.
Beugungserscheinungen
9
1.5 Beugungserscheinungen
In der geometrischen Optik werfen absorbierende Gegenst
nde, die von einer
Punktquelle beleuchtet werden, scharfe Schatten. Die Wellennatur des Lichts
fhrt zu Interferenzen an der Schattengrenze, zur sog. Beugung des Lichtes. In
der Vorlesung wird der Schatten eines 40 m dicken Haares in rotem Laserlicht
gezeigt. Die Intensit
tsverteilung der Beugungsstreifen zeigt die rechte Seite von
Abb. 1.5, links die Erwartung der geometrischen Optik. Ebenfalls gezeigt wird
das Beugungsbild hinter einem schmalen Spalt, siehe Abb. 1.6(b).
I
I
z
z
Abbildung 1.5: Lichtintensit
t hinter einem 40 m dicken Haar. Links die Erwartung der geometrischen Optik, rechts das beobachtete Beugungsbild.
Zur Beschreibung der Beugungsbilder verwenden wir das Huygenssche
Prinzip: Jeder Punkt in einem Wellenfeld sendet Kugelwellen aus. In jedem
Empf
ngerpunkt wird dann die koh
rente berlagerung all dieser Kugelwellen
beobachtet. Zur Veranschaulichung werden auf der Wasserober
che ebene
Wellen gezeigt, die nicht von einer harmonisch schwingend eintauchenden Platte, sondern von einer Vielzahl nebeneinander liegender Stifte erzeugt werden.
Stellt man in diese Wasserwellenfront ein blendenfrmiges Hindernis, ergibt
sich im Wasser dahinter eine Wellenhhenverteilung, die genauso aussieht wie
in Abb. 1.6(b).
Beugung wurde ausfhrlich von Fresnel und Fraunhofer untersucht und beschrieben. Unter Fraunhoferscher Beugung verstehen wir den Spezialfall mit
folgenden zwei Bedingungen:
die einfallende Welle ist eine ebene Welle, und
das Beugungsbild wird in einer Entfernung beobachtet, die sehr gro gegenber der Ausbehnung des beugendenden Objekts ist.
Unter allen anderen Bedingungen sprechen wir von Fresnelscher Beugung, die
der gleiche Eekt ist, aber schwieriger zu berechnen.
1.6 Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt
Der Einzelspalt, d. h. eine Rechteckblende l
sst Licht in d=2 x d=2 und
h=2 y h=2 mit voller Intensit
t durch und absorbiert berall sonst. Wir
nehmen h d an, kmmern uns deswegen nicht um die y-Richtung und rechnen
zweidimensional. Licht f
llt als ebene Welle in z-Richtung auf den Spalt. Wir
;
;
10
Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt
xi
-d/2
0
d/2
x
α
s
r0
0
r0+∆i
B
b
-4
-3
-2
(a) zur Herleitung
-1
0
1
2
3
4
d sin α / λ
(b) Intensittsverteilung
Abbildung 1.6: Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt
suchen die Intensit
tsverteilung auf einem Beobachtungsschirm bei z = s mit
s d, siehe Abb. 1.6(a).
Die Fraunhoferschen Bedingungen sind erfllt, und nach dem Prinzip von
Huygens ergibt sich (b) aus der berlagerung aller Elementarwellen, die von
den Punkten (x z) = (xi 0) zwischen xi = d=2 und xi = +d=2 ausgehen. Jede
einzelne hat im Punkt B = (b s) die Amplitude
;
i = 0 cos
k(r0 + i) !t)] i = xi sin :
;
;
(1.31)
Aufsummieren unendlich vieler Amplituden erledigen wir durch Integrieren,
Z
Z 0
X
i = d
dx
=
(1.32)
dx
d dx und damit wird die Gesamtamplitude () im Punkt B:
() =
Z +d=2 0
;d=2 d
cos(kr0 !t kx sin )dx = :::
;
;
(1.33)
Fraunhofersche Beugung an der Kreisblende
1.7
1.8
1.9
1.10
11
Fraunhofersche Beugung an der Kreisblende
Ausugsvermgen optischer Instrumente
Beugungsgitter
Holographie
Im Fortgeschrittenen-Praktikum der TU Dresden wird fr alle Studierenden
der Physik ein Holographie-Versuch angeboten. Die wesentlichen Schritte dieses
Versuches sind:
Aufspalten eines koh
renten Lichtstrahls in zwei Teilstrahlen, d. h. in zwei
Teilwellen mit fester Phasendierenz,
Beleuchten eines Objekts mit einer der beiden Teilwellen,
berlagerung dieser am Objekt gebeugten Teilwelle mit der ungestrten
anderen Teilwelle,
Photographische Aufnahme des Interferenzmusters, das aus dieser berlagerung entsteht, Hologramm genannt,
Entwickeln und Fixieren des Hologramms,
Beleuchtung des Hologramms mit koh
rentem Licht der gleichen Wellenl
nge wie im ersten Schritt,
Betrachten des bei dieser Beleuchtung durch Beugung am Hologramm
entstehenden dreidimensionalen Bildes des Objektes.
Ohne jedes mathematisches Detail hier das Wesentliche zusammengefasst: Holographie heisst Speicherung und Betrachtung eines dreidimensionalen Bildes in
zwei Schritten,
O(x y z) I( )
vom Objekt O im Ortsraum x y z durch Beugung zur Intensit
tsverteilung I
im Winkelraum, und dann
!
I( )
!
B(x0 y0 z 0)
von der im Hologramm gespeicherten Verteilung I durch nochmalige Beugung
zum Bild B im Ortsraum x0 y0 z 0. Im Gegensatz zur Photographie wird I so
raniert gespeichert, dass Phaseninformationen der ersten Beugung erhalten
bleiben, wegen der berlagerung der beiden Teilwellen. Photographie heisst
Bildspeicherung und -betrachtung gem
ss
O(x y z)
!
I( )
!
B(x0 y0 )
in nur einem Schritt, wobei alle Phaseninformationen verloren gehen. Der Witz
der Holographie, von Denis Gabor 1948 erfunden (Nobelpreis 1971), ist die
Speicherung der dritten Dimension durch Speicherung der Phasendierenzen
im gebeugten Licht, realisiert durch die Interferenz zwischen gebeugtem und
12
Das Michelson-Interferometer
ungebeugtem Licht.
Die Phase einer Lichtwelle ist unbeobachtbar,
cos2 (!t kx) = cos2 (!t kx ) = 1=2 :
(1.34)
Die Phasendierenz zweier Lichtwellen ist beobachtbar und speicherbar,
cos(!t kx) + cos(!t kx )]2 = 2 cos2 (=2) :
(1.35)
In dieser einfachen Gleichung liegen alle Eekte von Zwei- und Vielstrahlinterferenzen und damit (im Prinzip) auch die Holographie. Zum vollst
ndigen
Verst
ndnis mssten wir uns ansehen, wie die Verteilung des gebeugten Lichtes
aussieht, das von dreidimensionalen Beugungsstrukturen ausgeht. Das Hologramm ist die zweidimensionale Speicherung einer solchen Beugungsverteilung.
;
;
;
;
;
;
1.11 Das Michelson-Interferometer
1.12 Dopplereekt beim Licht und Aberration
1.13 Komplexe Schreibweise des Lichtes
In Gl. 1.8 hatten wir die Auslenkung der Lichtwelle (~r t) eingefhrt und
damit bis auf den Faktor 0c den Betrag der elektrischen Feldst
rke gemeint.
Fr eine ebene monochromatische Welle ist
(1.36)
(~r t) = 1 = 0 cos(~k~r !t) 0 = 0 c E~ 0 :
Mit dem Wort Amplitude wird gelegentlich die Auslenkung und gelegentlich
die maximale Auslenkung 0 bezeichnet. Bleiben wir in diesem Kapitel bei
Auslenkung fr und bei Amplitude fr 0 .
p
p
;
j
j
Wegen der prinzipiellen Unbeobachtbarkeit von Phasen wird die gleiche Physik wie in Gl. 1.36 durch eine andere Funktion 2 beschrieben, n
mlich durch
(1.37)
2 = 0 sin(~k~r !t) 0 = 0c E~ 0 sie enth
lt die gleiche Amplitude wie 1 , ist aber gegenber 1 um =2 phasenverschoben. Die Phasenverschiebung darf beliebig sein, und wegen
cos(~k~r !t ) = cos cos(~k~r !t) + sin sin(~k~r !t)
beschreibt auch jede Linearkombination
3 = A cos(~k~r !t) + B sin(~k~r !t)
die gleiche Physik wie in Gl. 1.36. Fr die Konstanten A und B muss gelten:
A2 + B 2 = 02
Eine besonders ranierte und ntzliche Linearkombination ist komplex,
~ r t) = 0 cos(~k~r !t) + i sin(~k~r !t)] = 0 ei(~k~r;!t) :
(~
(1.38)
2
2
p
;
;
;
;
;
p
j
;
;
;
;
j
p
Reexionsgitter und Fabry-Perot-Interferometer
13
~ r t)
Mit ihr wird auch die Berechnung der Lichtintensit
t viel einfacher, weil (~
zeitlich konstant ist und deshalb die zeitliche Mittelung entf
llt. Im Reellen ist
j
j
I = 2 (~r t) und im Komplexen mit der Wellenfunktion ~ einfach
~ r t) 2 :
I = (~
j
(1.39)
j
Statt mit der Amplitude 0 = 2 = 0c E~ 0 knnen wir einfacher schreiben
p
p
j
j
p
~ = A ei(~k~r;!t) A = 0c=2 E~ 0 I = A2 :
j
j
(1.40)
Nun zur koh
renten berlagerung zweier Wellen. Phasen sind unbeobachtbar,
Phasendierenzen sind beobachtbar. Gl. 1.35 war ein Spezialfall, betrachten wir
allgemeiner
= a cos(~k~r !t) + b cos(~k~r !t ) :
(1.41)
;
;
;
Zu dieser Interferenz gehrt eine Intensit
t
I = a cos(~k~r !t) + b cos(~k~r !t )]2
;
;
;
2
2
= a2 + b2 + 2ab cos(~k~r !t) cos(~k~r !t )
2
2
= a + b +22ab cos :
Nun die gleiche Interferenz mit komplexen Wellenfunktionen,
~ = A ei(~k~r;!t) + B ei(~k~r;!t;) = ei(~k~r;!t) (A + Be;i ) ;
;
;
I = A + Be;i 2 = A2 + B 2 + 2AB cos :
j
j
(1.42)
(1.43)
(1.44)
Die Ergebnisse sind gleich, wegen A = a= 2 und B = b= 2, aber die Rechnerei
ist wesentlich krzer. Was fr zwei Wellen gilt, gilt auch fr viele, einschliesslich
unendlich vieler, wo dann die Summe zum Integral wird. Eine erste Anwendung
werden wir beim Fabry-Perot-Interferometer im n
chsten Abschnitt kennen lernen.
p
p
1.14 Reexionsgitter und Fabry-Perot-Interferometer
Die in der Optik behandelten Transmissionsgitter mit der Spaltbreite b und dem
Spaltabstand d haben folgendes Beugungsbild mit der Intensit
t:
d
sin2 b sin sin2 N
sin :
I = I0 b 2
sin2 d sin sin (1.45)
14
Reexionsgitter und Fabry-Perot-Interferometer
Ihr Ausungsvermgen = = N m liegt im Bereich von 104. Einfacher herzustellen sind Reexionsgitter. Mit ihnen erreicht man = 106 , weil d hier
kleiner gew
hlt werden kann (z.B. d = 1m). Der Neigungswinkel der einzelnen
Reexionszonen gegenber der Gitterebene heit Glanzwinkel oder Blazewinkel
. Der Einfallswinkel bleibt konstant, der Ausfallswinkel ist variabel, und
gemessen wird die Intensit
t I = I(). Der Gangunterschied der zwei gezeichneten Teilstrahlen ist s = d sin d sin . Man ndet ein Hauptmaximum
m-ter Ordnung fr s = m, also bei einem Winkel = m fr den gilt:
d sin m = d sin + m sin m = sin + m d :
Die Intensit
t dominiert in der m-ten Ordnung, wenn als Blazewinkel die Winkelhalbierende von und m gew
hlt wird:
m = + = m 2 :
(1.46)
Der Blazewinkel h
ngt von ab. In der Praxis w
hlt man so, da er fr die
Mitte des zu messenden -Bereiches optimal ist. Ein Beispiel: um 600 nm,
Gitterabstand 3 m, Einfallswinkel = 30 , Spektroskopie bei m = 1. Fr das
erste Hauptmaximum berechnen wir
sin m = sin 300 + 0 2 = 0 7 m = 44 :
Will man also unter 44 messen, w
hlt man ein Gitter mit einem Blazewinkel von
7 . Die Ausung ist wie beim Transmissionsgitter = = Nm, d.h. fr m=1
etwa 105 bei Koh
renz ber 10 cm. Wie sind kleinste und groe Koh
renzbreiten der Ordnung o(10 cm) zu vereinbaren? Das schat die Geometrische
Optik, wie in Abb. xx gezeigt. Eine solche Anordnung mit Photodiodenzeile
heit Spektrograph oder Spektrometer. Mit nur einem Ausgangsschlitz ist sie
ein Monochromator.
Als n
chstes behandeln wir das Fabry-Perot-Interferometer, das seit 1897
bekannt ist und zur Spektroskopie von atomaren Spektrallinien eingesetzt wird.
Es beruht auf dem Prinzip der Vielstrahlinterferenz. Hierzu bentigt man eine planparallele Quarzplatte oder einen Luftspalt zwischen zwei planparallelen
Platten. Der Gangunterschied s zwischen zwei benachbarten Teilstrahlen ist,
wie aus Abb. xx ersichtlich,
;
s = n AB + BC AD
2nd 2d tan sin = cos
2nd
sin n sin = cos 2d cos
;
2nd 1 sin2 = 2nd cos = cos
4
4
4
;
4
;
;
4
4
4
4
;
;
;
;
q
p
= 2d n2 n2 sin2 = 2d n2 sin2 :
;
;
(1.47)
Dazu gehrt ein Phasenunterschied von = 2 s=.
Die Ober
che der Quarzplatte ist auf beiden Seiten teilverspiegelt, mit
hohem Reexionskoezienten R. Dieser ist als Verh
ltnis von reektierter zu
4
Reexionsgitter und Fabry-Perot-Interferometer
15
p
einlaufender Intensit
t deniert. Das Verh
ltnis der Amplituden ist R. Analog
gilt dies fr die Transmission mit dem Transmissionskoezienten T = 1 R,
T = 1 R. Die einlaufende Lichtintensit
t ist I0 = 02 . Fr die auslaufende
Intensit
t It, die durch beide Grenz
chen der Platte durchl
uft, gilt
p
;
p
;
It = 1 + 2 + 3 + ::: 2 1 = 1 R 1 R 0 = (1 R)
0 2 = 1 R R 1 R 0 ei = R(1 R)
0 ei It = I0 (1 R)2 1 + Rei + R2 e2i + ::: 2 = I0 (1 R)2 1 1Rei 2
I0 (1 R)2
R)2 =
= 1 +Ir02(1 2R
cos (1 R)2 + 2R(1 cos )
I0
=
mit F 2 = (1 4RR)2 :
2
2
1 + F sin =2
p
p
p
p
;
;
;
j
j
;
;
;
j
;
j
;
j
;
j
;
;
;
;
;
;
(1.48)
Fr R=0,96 erhalten wir F 2=2400, F=49. Schmale Maxima der durchlaufenden
Intensit
t sind immer dort, wo =2 = m, s. Abb. xx. Nun zur Breite dieser
Maxima. Mit voller Breite ; in halber Hhe gilt
It 1
2 2 ; =2 = 1
I0 = 2 bei F sin
2
(1.49)
Wie kann man damit Wellenl
ngen messen und wie genau? Diese Anwendung stammt von den Franzosen Charles Fabry und Alfred Perrot. Das
Prinzip der Vielstrahlinterferenzen ist lter (Newtonsche Ringe). Bei senkrechtem Durchgang ist = 2 2dn und die Intensit
t der Transmission ist null.
Typische Wellenl
ngen liegen bei 560 nm, typische Dicken sind 2 cm und typische Brechungsindizes von etwa 1,4. In einer Linie unter 0 w
re
2 8 2 10;2 m = 105:
=
m = 2dn
5 6 10;7 m
Wie kann man messen, wenn man zwar n und d sehr gut kennt, aber m nicht?
Einfache Algebra hilft weiter: s = 2d n2 sin2 = m p
4
1. Ring: 4d2(n2 sin2 1) = (m0 1)2 2
p-ter Ring: 4d2(n2 sin2 p ) = (m0 p)2 2 = m20 2 2m0 p2 + p22
;
;
;
;
;
Den letzten Term vernachl
ssigen wir, und mit m0 = 2dn= knnen wir umstellen.
2 2
2
sin2 p = n2 m4d0 2 + 2m4d0 p
2
2
= + p m2d0 2 = + p nd (1.50)
ist nicht interessant, nur die Steigung n=d ! Den Vorfaktor n=d eicht man
am besten mit einer Referenzlinie. Wie genau kann man damit Wellenl
ngen
;
16
Reexionsgitter und Fabry-Perot-Interferometer
messen?
4
@ = 2 s = @
2
; = = 2 s2 = 2m = F4
= F m = F m
2
= 2 s = 2m 4
4
4
;
4
4
4
4
4
(1.51)
(1.52)
p
F = 2 F = 1 RR
F heit Finesse des Interferometers. Ein Zahlenbeispiel: m = 105 , F 50,
F 80, 4 = 8 106. Beim Gitter hatten wir 4 = N m gefunden, Maximum
105 10. Hier ist 4 = F m, Maximum 102 105. Die Finesse F hat
tats
chlich die Bedeutung einer eektiven Anzahl interferierender Teilstrahlen
in der Interferometerplatte.
;
Kapitel 2
Lichtquanten
Die Maxwellsche Deutung des Lichtes als elektromagnetische Welle (1873)
erkl
rt eine Vielzahl von Ph
nomenen, die wir in der Optik kennengelernt
haben. Interferenz, Beugung und Polarisation folgen aus der Wellennatur.
Lichtstreuung an atomaren Dipolen (Rayleigh 1871/72)und die knstliche Erzeugung von Strahlung mit Hilfe makroskopischer Dipole (Hertz 1888) folgen
aus der elektromagnetischen Natur. Einiges bleibt von Maxwell unerkl
rt:
das Spektrum eines schwarzen Hohlraumstrahlers , die diskreten Wellenl
ngen
strahlender Atome, der Photoeekt. In diesen Eekten tritt die vom Licht
getragene Energie in Form kleinster Pakete auf und nicht kontinuierlich.
Planck erkl
rt 1900 die Hohlraumstrahlung mit Hilfe dieser Energiepakete, er nennt sie Lichtquanten. Der Photoeekt, in dem sich Lichtquanten
wie Teilchen bemerkbar machen, wird 1905 von Einstein in diesem Sinne
erkl
rt. Und um 1920 zeigt sich in Compton's Experimenten ber Streuung
von Lichtquanten an Elektronen, da sich ein Lichtquant in jeder Hinsicht
wie ein Teilchen verh
lt. Ein solches Teilchen, von den Teilchenphysikern
inzwischen !Photon genannt und mit dem Symbol bezeichnet, kann auch an
Hochenergiereaktionen beteiligt sein und darin z.B. ein e+ e; - oder ein pp-Paar
erzeugen.
Besteht Licht nun aus Wellen oder aus Teilchen? Diese Frage basiert auf
unseren Vorstellungen bzw. Vorurteilen ber die Begrie Welle und Teilchen.
Unter Welle haben wir gelernt so etwas wie die Bewegung der Wasserober
che
zu verstehen und unter Teilchen etwas zur Billiardkugel hnliches. Licht ist aber
Welle und Teilchen. Nicht mal so mal so, sondern von Natur aus immer beides.
Diese Annahme der modernen Physik heit Welle-Teilchen-Dualismus. Wegen
dieses Dualismus in der Natur mssen wir unsere Vorstellungen ber Welle
und Teilchen korrigieren. Beide Begrie sind als Grenzf
lle eines gemeinsamen
tieferliegenden Konzeptes anzusehen. Ein treender und heute blicher Begri
fr dieses Konzept ist Quantenfeld. Licht ist ein Quantenfeld, oder, bescheidener
formuliert, Licht wird am vollst
ndigsten durch ein Quantenfeld beschrieben.
Nach der Behandlung der Quanteneekte des Lichtes werden wir sehen, da
auch die Objekte, die wir mit der Vorstellung Teilchen verbinden, Welleneigenschaften haben. Ein Strahl monoenergetischer Elektronen zeigt Beugungseekte
Energie, Impuls, Masse und Drehimpuls
elektromagnetischer Wellen
18
wie eine Welle. Der Dualismus hrt nicht beim Licht auf, alle Objekte unserer
materiellen Welt sind zugleich Teilchen und Welle. Auch Elektronen sind ein
Quantenfeld, ebenso die anderen elementaren Bausteine der Materie. Mehr dazu in der Quantenfeldtheorie und in der Elementarteilchenphysik.
2.1 Energie, Impuls, Masse und Drehimpuls
elektromagnetischer Wellen
Dies ist zun
chst eine kurze Wiederholung aus der Maxwellschen Theorie. Eine monochromatische, linear polarisierte, ebene Lichtwelle im Vakuum ist durch
zwei aufeinander senkrecht stehende Vektoren bestimmt: E~ 0 und ~k. Dabei ist
~k = 2~u= der Wellenzahlvektor, die Wellenl
nge, k = ~k , ~u der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung und E~ 0 die Amplitude der elektrischen Feldst
rke.
~ r t) = E~ 0 cos(ckt ~k~r)
E(~
(2.1)
B~ (~r t) = ~uc E~ 0 cos(ckt ~k~r):
Eine solche ebene Welle dehnt sich in allen vier Dimensionen unendlich weit aus.
Man kann aber eine Welle konstruieren, die innerhalb eines Wrfels mit Volumen V und innerhalb einer Zeitspanne T ungef
hr so aussieht wie in Glg. (2.1),
auch die Maxwellschen Gleichungen erfllt und auerhalb des Wrfels verschwindet. Diese begrenzte Welle, dieser Wellenzug, tr
gt die Energie W und
den Impuls ~p,
W = 12 "0 E~ 02 V
(2.2)
p~ = Wc ~u = "2c0 E~ 02 V ~u:
(2.3)
j j
;
;
Um Energie und elektrische
Feldst
rke nicht zu verwechseln, soll die Energie hier mit
W bezeichnet werden. Wenn
unser Ausschnitt aus einer
ebenen elektromagnetischen
Welle die Energie W tr
gt,
Abbildung 2.1: Gedankenexperiment zum Im- dann hat 2er auch eine Masse
m = W=c . Dies folgt aus der
puls von Licht
speziellen Relativit
tstheorie,
ist aber ein Musterbeispiel, die Formel W = mc2 herzuleiten. Deshalb mchte
ich das Gedankenexperiment Einsteins an dieser Stelle vorfhren: Ein geschlossener Kasten soll ruhen, und von einer Seitenwand soll ein Lichtsignal
zur gegenberliegenden geschickt werden. Wie in Abb. 2.1 hat der Kasten die
Masse M, je zur H
lfte an beiden betrachteten Seiten. Der Rest der Masse
sei vernachl
ssigbar, die L
nge des Kastens sei L, der Schwerpunkt ruht in x = 0.
Das links emittierte Lichtsignal habe die Energie W. Damit hat es den Impuls
p = W=c und versetzt dem Kasten eine Rckstogeschwindigkeit v = p=M =
Der Photoeekt
19
W=(cM) nach links. W
hrend der Signallaufzeit t = L=c bewegt sich der Kasten um x = v t = WL=(Mc2 ) nach links und ruht dann wieder. Der
Schwerpunkt mu w
hrend des gesamten Prozesses in x = 0 geblieben sein,
denn es wirkte keine uere Kraft auf den abgeschlossenen Kasten. Nach dem
Austausch des Lichtsignals ist der Schwerpunkt nicht mehr in der Kastenmitte,
sondern um x weiter rechts. Also mu die rechte Seite schwerer sein als die
linke die Masse m ist von links nach rechts transportiert worden. Die Schwerpunktsbedingung lautet:
M L
M L
m
+
x
=
+
m
x
2
2
2
2
Mx = mL
(2.4)
M
M
W
L
W
m = L x = L Mc2 = c2 :
;
;
,
Das Lichtsignal der Energie W hat die Masse m = W=c2 .
Eine zirkular polarisierte ebene elektromagnetische Welle tr
gt auerdem
einen Drehimpuls, was sich als ein Drehmoment auf eine Probeladung bemerkbar macht. Energie, Masse, Impuls und Drehimpuls einer elektromagnetischen
Welle haben noch nichts mit Lichtquanten zu tun, sondern sind in der Sicht der
Maxwellschen Theorie kontinuierlich ber das Wellenvolumen verteilt. Diese
Vorbemerkung soll aber zeigen, da eine Welle auch Eigenschaften hat, die wir
in der Anschauung eher Teilchen zuordnen.
2.2 Der Photoeekt
Abbildung 2.2: Versuchsaufbau zum Photoeekt (schematisch)
Dieser Eekt, auch lichtelektrischer Eekt genannt, ist heute jedem durch
den Einsatz von Photoelementen in Lichtschranken o.
. gel
ug. Seine Entdeckung geht auf Heinrich Hertz zurck, der 1887 bei seinen Experimenten
mit Funkenstrecken herausfand, da es bei Bestrahlung der Kathode mit
20
Der Photoeekt
ultraviolettem Licht besser funkte. Also ein Abfallprodukt der Entdeckung
der elektromagnetischen Wellen! Der Photoeekt wurde dann von Hallwachs und Lenard weiter untersucht1 , und die folgenden Resultate gehen
im wesentlichen auf die Arbeiten dieser beiden zurck. Abb. 2.2 zeigt den
verwendeten Versuchsaufbau. Das Quarzrohr enth
lt zwei Metallelektroden,
an denen eine variable Gleichspannung U angelegt werden kann. Die Anode
wird mit monochromatischem Licht bestrahlt, dieses schl
gt Elektronen aus
der Metallober
che heraus. Einige dieser !Photoelektronen erreichen trotz
der angelegten Gegenspannung die Kathode. Da diese Spannung mit Hilfe des
Netzger
tes konstant gehalten wird, iet daraufhin ein Strom I.
Bei konstanter Lichtwellenl
nge zeigt Abb. 2.3 den erhaltenen !Photostrom I als Funktion der Spannung U. Die verschiedenen Kurven sind bei
jeweils konstanter Lichtintensit
t aufgenommen. Der Photostrom ist bei jedem
Spannungswert U der Lichtintensit
t proportional.
Das Auftreten von Photoelektronen
ist nach Maxwells Theorie nicht ber4P
raschend. Die Welle tr
gt ein elektrisches
Feld E~ , und dieses kann ein Elektron
aus dem Metall !herausrtteln. Die
3P
kinetische Energie des Photoelektrons,
das dieses durch sein Anlaufen gegen die
2P
angelegte Spannung zeigt, nimmt es aus
der Energie W der Welle. berraschend
P
und nach Maxwell unvorstellbar ist das
Resultat, da mit schw
cher werdender
U U/V
Lichtintensit
t " E~ und W werden immer
Abbildung 2.3: Photostrom- kleiner " immer noch Photoelektronen
Spannung Diagramm bei kon- austreten und da die Grenzspannung U0
stanter Wellenl
nge und variierter dabei konstant bleibt (Lenard 1902).
In Zahlen: Ein messbarer Photostrom
Intensit
t
entsteht noch bei einer Lichtabsorption
von 10;6W=m2. Wenn die gesamte Auslsearbeit von 2 eV durch die klassische Energie dieser Welle aufgebracht werden mte, wrde der Vorgang des
Auslsens 20 Tage dauern. Wie Experimente mit kurzen Lichtblitzen aber
zeigen, kommen die Photoelektronen aber spontan, 10;9 sec oder eher nach
Absorption des Lichtes. Konklusion: Die von der elektromagnetischen Welle
getragene Energie kann nicht kontinuierlich ber das Wellenvolumen verteilt
sein, sie mu in r
umlich konzentrierten Energiepaketen gebndelt sein.
I/mA
P...Lichtintensität
0
Wenn die Wellenl
nge des eingestrahlten Lichtes variiert wird, wie in
Abb. 2.4 gezeigt, ndert sich die Grenzspannung U0 , also die maximale kinetische Energie, die den Photoelektronen mitgegeben wird: Dieses Ergebnis ist in
der elektromagnetischen Lichttheorie ebenso unverst
ndlich. Was kann die Wellenl
nge mit der Energie zu tun haben? Fr die Energie ist E~ 0 zust
ndig, also die
Intensit
t! Die Grenzspannung U0 ist ein Ma fr die bei gegebener Wellenl
nge
1
Den Nobelpreis erhielt Einstein fr die Deutung der Resultate.
Der Photoeekt
21
I
Lichtintensität konstant
l 1> l 2 > l 3
l3
l2
l1
U01
U02
U03 U
Abbildung 2.4: Photostrom-Spannung-Diagramm bei konstanter Intensit
t und
variierter Wellenl
nge
auftretende maximale kinetische Energie der entstehenden Photoelektronen.
Ekin,max = e0 U0
(2.5)
Wie h
ngt diese von der Lichtwellenl
nge bzw. der Frequenz des eingestrahlten monochromatischen Lichtes ab? Abb. 2.5 zeigt die Resultate: Unterhalb
Ekin, Max/eV
3
K
2
Na
1
0
2
4
6
8
10
12
14
ν [10 Hz]
-1
Abbildung 2.5: Ekin -Frequenz-Diagramm des Photoeekts. Es ist unabh
ngig
von der Lichtintensit
t.
einer Grenzfrequenz g tritt berhaupt kein Photoeekt auf, oberhalb ist der
Zusammenhang zwischen Ekin,max und linear. Verschiedene Materialien zeigen parallel verschobene Geraden: immer Geraden und immer mit der gleichen
Steigung.
e0 U0 = Ekin,max ( Material) = h A(Material):
(2.6)
Die !Ablsearbeit A liegt fr die meisten Materialien im Bereich zwischen 1 eV
und 10 eV. Fr die Steigung h ergibt sich folgender Wert:
h = 4 1 10;15eV s = 6 6 10;34 Js:
(2.7)
;
22
Erkl
rung des Photoeektes durch Einstein
h heit Planksches Wirkungsquantum. Es wurde 1900 von Max Planck zur
Erkl
rung des Spektrums eines schwarzen Hohlraumstrahlers in die Physik eingefhrt. Sein Zahlenwert wurde lange Zeit am genauesten mit Hilfe des Photoeffektes ermittelt. Heute wird meist h = h=2 verwendet, und der experimentelle
Bestwert aus vielen Messungen ist
h = 1 05457168 10;34Js 170 ppb (2.8)
ppb heit parts per billion = 10;9 und gibt den relativen Messfehler mit einer
Standardabweichung an.
2.3 Erklrung des Photoeektes durch Einstein
Zusammenfassung der Ergebnisse des letzten Abschnittes, W_ ist die Lichtintensit
t, I der Photostrom und die Wellenl
nge:
Wellentheorie
Experiment
Maxwell 1873
Lenard 1902
I = f(W_ )
I W_
I W_
OK
_
_
_
e0 Umax = f(W ) steigt mit W unabh. von W Widerspruch
e0 Umax = f() unabh. von e0 U0 = hc= A Widerspruch
Die bis 1905 gesammelten Daten wurden von Einstein2 wie folgt gedeutet: Die
Energie einer elektromagnetischen Welle ist nicht kontinuierlich ber ihr Volumen verteilt, sondern in Lichtquanten gebndelt. Diese Quanten treten nicht
nur bei der Lichtemission auf, wie von Planck zur Erkl
rung des Spektrums
schwarzer Strahler gefordert, sondern auch bei der Lichtabsorption. Bei Emission und Absorption ist Licht gequantelt, und ein Lichtquant tr
gt die kinetische
Energie
W = h = h !
(2.9)
Darin ist die Frequenz der elektromagnetischen Welle, die mit dem Lichtquant
identiziert wird, ! = 2 die entsprechende Kreisfrequenz. Das Lichtquant
heit heute Photon, abgekrzt . Im Photoeekt reagiert das Photon wie ein
Teilchen, es bertr
gt seine kinetische Energie auf ein Elektron, und Glg. (2.10)
Ekin,max (e; ) = Ekin () A
(2.10)
drckt einfach die Energieerhaltung in dieser Reaktion aus. Die Ablsearbeit
A ist die minimale potentielle Energie eines Elektrons im Atomgitter, d. h.
Glg. (2.10) bedeutet:
Ekin () = Ekin,max (e; ) + Epot,min (e; ) = Etot(e; )
(2.11)
= Ekin (e; ) + Epot (e; ):
Da die potentielle Energie nicht fr alle Elektronen im Atomgitter die gleiche
ist, z.B. sind Elektronen in tieferen Lagen anders gebunden als in der oberen,
verteilen sich auch die kinetischen Energien der ausgelsten Photoelektronen,
nur ihr Maximum liegt fest. Noch fnf Anmerkungen:
/
/
;
;
2
Im selben Jahr erschien auch seine spezielle Relativittstheorie
Photodioden und Photovervielfacher
23
1. Beim Photoeekt gibt ein Photon seine kinetische Energie vollst
ndig an
ein Elektron ab.
2. Das Photon verschwindet dabei vllig diese Eigenschaft sind wir sonst
von Teilchen nicht gewhnt.
3. Dasp Photon bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit. Wegen =
1= 1 v2 =c2 = muss es deshalb die Ruhemasse m0 = 0 haben,
sonst w
re E = m0 c2 unendlich.
4. Die Energie eines Photons ist W = h ! und enth
lt mit ! eine Eigenschaft,
die wir nur von Schwingungen und Wellen gewohnt sind.
5. Licht ist bei Emission und Absorption gequantelt, nicht aber bei der Lichtausbreitung. Bei der unbeobachteten Ausbreitung verh
lt es sich als Welle,
bei den beobachtbaren Prozessen Emission und Absorption als Teilchen.
Aus Anmerkung 3 folgt eine Formelsammlung des Photons :
;
1
m0 = 0
q
W = p2c2 + m20 c4 = pc
Ekin = W = h!
p = Wc = hc! = hc = h = hk
2 = hk
~p = h~k
p h! hk
m= W
c2 = c = c2 = c
(2.12)
Die Richtung eines Photons ist die Richtung der elektromagnetischen Welle,
deshalb folgt ~p = h~k aus p = hk. Die Ruhemasse eines Photons ist Null. Ein
Photon reagiert aber auf die Schwerkraft und zeigt auch Tr
gheit, beides durch
hk=c beschrieben.
2.4 Photodioden und Photovervielfacher
Im Labor und in der Technik verwendet man den Photoeekt, um Lichtintensit
ten zu messen, bzw. um variable Lichtintensit
ten zu messen, bzw. um
variable Lichtintensit
ten in variable elektrische Strme zu verwandeln und
damit einen Vorgang elektrisch zu steuern. Eine Mglichkeit dies zu realisieren
Photokathode
Glasfenster
Photoelektron
Szintillationslicht
Dynoden
Fokussierung
Anode
Abbildung 2.6: Photovervielfacher
24
Elektrizit
t aus Sonnenlicht?
sind Photodioden, die aus einer Photokathode und einer Anode in einem evakuierten Glaskolben bestehen. Aus der Kathode werden Elektronen ausgeschlagen
und von der Anode angesaugt, was zu einem messbaren Photostrom fhrt.
Beliebig kleine Lichtintensit
ten lassen sich mit der Diode nicht messen, auch
im Dunkeln iet ein kleiner Strom, der aber um mehr als sechs Zehnerpotenzen
kleiner ist als der maximal zul
ssige Photostrom. Deshalb kann man mit einer
Photodiode Lichtintensit
ten ber etwa sechs Grenordnungen messen.
Mit Photodioden mit man nicht nur Gleichstrme, sondern auch kurze
Lichtimpulse. Da die Photoelektronen auf verschiedenen Wegen von der Kathode zur Anode laufen, entsteht eine Zeitverschmierung in der Grenordnung
von Nanosekunden. Aufwendigere Konstruktionen haben Zeitverschmierungen
von nur etwa 100 ps.
Zur Messung sehr kurzer und sehr lichtschwacher Lichtsignale verwendet man sogenannte Photovervielfacher, englisch: Photomultiplier, kurz PM.
Abb. 2.6 zeigt die Prinzipskizze eines PM. Das Prinzip des PM beruht auf
der Sekund
relektronenemission. Zwischen Kathode und erster Dynode liegt
eine Spannung von ca. 200 V. Die mit 200 eV auf der metallischen Dynode
auftreenden Elektronen lsen dort im Mittel 4 andere Elektronen aus, die
ihrerseits zur zweiten Dynode beschleunigt werden, und jedes lst dort im
Mittel wieder 4 Sekund
relektronen aus. ber 12 Stufen erreicht man damit
aus einem Photoelektron an der Kathode 412 = 1:7 107 Elektronen an der
Anode. Je nach Typ liegen g
ngige Verst
rkungsfaktoren zwischen 107 und 108 ,
die Spannungen zwischen Kathode und Anode bei etwa 2000 V.
Durch spezielle Formgebung der Dynoden erreicht man bei PMs schnelle
elektrische Impulse mit Zeiten im ns-Bereich. Gute PMs erlauben bei schwachen
Lichtintensit
ten, einzelne Photonen zu registrieren. Die Nachweiswahrscheinlichkeit ist aber nie eins, typischerweise liegt sie bei 10 bis 20%. Die Lebensdauer
eines PM ist auf 10 20 Jahre begrenzt. Dann ist durch das Glas aus der Luft
soviel Helium hineindiundiert, dass die Verst
rkung gestrt wird und Nachimpulse entstehen.
;
2.5 Elektrizitt aus Sonnenlicht?
Die Solarkonstante betr
gt S0 = 1 3 kW=m2, d.h. von einem Punkt auerhalb
der Atmosph
re betrachtet misst man 1300 J einfallende Lichtenergie pro m2
und Sekunde. Die Luft absorbiert, weshalb im deutschen Flachland nur noch etwa S~0 = 0 6kW=m2 gemessen werden " immer vorausgesetzt die Luft ist sauber
und die Sonne scheint. Pro m2 heit senkrecht zur Einfallsrichtung. Als mittlere
in Deutschland wirksame Solarkonstante sch
tzen wir ab, mit dem optimistischen Faktor 1=2 fr schlechtes Wetter:
R sin t dt
1 = 60 W m;2
S = S~0 cos 50 0 2
(2.13)
2
Deutschland mit einer Fl
che von A = 352 109 m2 erh
lt im Jahr im Mittel 6 7
1020 J. Der !Prim
renergiebedarf, also die gesamte Energie, die wir zus
tzlich
zur kostenlos verwendbaren Sonnenenergie im gleichen Zeitraum nutzen, betr
gt
h
i
Bremsstrahlung
25
1 5 1019 J, das ist 2,2 % der erhaltenen Sonnenenergie (praktisch konstant seit
1990). Eine Bialkali-Photokathode hat einen Wirkungsgrad von etwa 6 %. Man
m$sste also knapp die halbe Fl
che des Landes mit Solarzellen bedecken, um
den gesamten Prim
renergiebedarf auf diese Weise zu erzeugen. Mit modernen
Silizium-Photodioden ist der Wirkungsgrad (im Labor) etwa zwei- bis viermal
hher, dafr geht aber sehr viel Energie in ihre Herstellung.
2.6 Bremsstrahlung
Bei der Bremsstrahlung handelt es sich um eine Umkehrung des Photoeektes.
Wurde dort Energie von einem Photon auf ein Elektron bertragen, so hier von
einem Elektron auf ein Photon. Sehr schematisch in Abb. 2.7:
Atome
g
e
Elektron durch
Atome gebremst
Stoß an
Elektron
e
g
e
Photoeffekt
Bremstrahlung
Abbildung 2.7: Vergleich Photoeekt - Bremsstrahlung
Beim Photoeekt verschwindet ein Photon, das Elektron ndert nur seinen
Bewegungszustand. Beim Bremsstrahlproze entsteht ein Photon, ein Elektron
ndert wieder seine Bewegung. Die Bremsstrahlung wurde 1895 von Rntgen
in Wrzburg entdeckt. Abb. 2.8 zeigt den Versuchsaufbau. Mit Spannungen
zwischen 10 und 100 kV in einer Vakuumrhre entsteht an der Anode eine
durchdringende Strahlung, die sich als kurzwellige elektromagnetische Strahlung herausstellt.
Ihr Auftreten ist in der Maxwellschen Theorie verst
ndlich: Elektronen
werden im Anodenmaterial abgebremst, und beschleunigte Ladungen strahlen
elektromagnetische Felder ab, wie beim Hertzschen Dipol behandelt. Das Frequenzspektrum ist aber nach der Maxwellschen Theorie unverst
ndlich und
wird wieder nur im Bild der Photonen, die diskrete Energieportionen tragen,
erkl
rbar. Wie mit man das Frequenzspektrum? Das soll im n
chsten Abschnitt behandelt werden. Zun
chst die experimentellen Ergebnisse ber die
Winkelverteilung der Bremsstrahlung. Bei e U me c2 , also bei Elektronengeschwindigkeiten, die sehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind, sieht die
_
Winkelverteilung aus wie beim Hertzschen Dipol, dW/d
sin2 #. Die pro
/
Wellenl
ngenmessung
und Rntgenspektrometer
26
+
U
e
g
Abbildung 2.8: Versuchsaufbau zur Rntgenstrahlung
Raumwinkeleinheit abgegebene Strahungsleistung ist proportional zum SinusQuadrat des Winkels gegen die Elektronenrichtung. Abb. 2.9(a) zeigt diese Leistungsverteilung als Polardiagramm. Die hchste Intensit
t tritt unter 90 zur
Elektronenrichtung auf, deshalb auch die 90 -Geometrie in Abb. 2.8. Bei hheren Elektronengeschwindigkeiten, ab ca. v=c 0:2 verbiegen sich die beiden
Intensit
tsmaxima in Bewegungsrichtung der Elektronen wie in Abb. 2.9(b)
skizziert. Bei sehr hohen Geschwindigkeiten, und Bremsstrahlung wird heute
bis zu den hchsten an Beschleunigern erzeugten Elektronenenergien von ca.
50 GeV beobachtet, geht fast die gesamte Bremsstrahlungsintensit
t in Bewegungsrichtung der Elektronen.
2.7 Wellenlngenmessung
und Rntgenspektrometer
In der Optik bestimmt man die Wellenl
nge monochromatischen Lichtes, d. h.
mit fester Wellenl
nge , z. B. mit Hilfe eines Beugungsgitters, wie in Abb. 2.10
dargestellt: Der Zusammenhang zwischen Gitterkonstante D, Wellenl
nge und
dem Ablenkwinkel zum Intensit
tsmaximum der Ordnung m ist :
m = D sin :
(2.14)
Je kleiner D, umso kleinere Wellenl
ngen lassen sich damit messen. Das Problem in der Anfangszeit der Rntgenstrahlung war, da die besten Gitter nur
D = 20 m hatten damit waren die Wellenl
ngen von Rntgenstrahlen unmessbar klein. Pr
zise Gitter lassen sich aber schr
g in den Strahl stellen bei
0 6 zwischen Gitterebene und Strahlrichtung gewinnt man einen Faktor 100.
Damit gelang es, die Wellenl
nge der Cu-K-Linie, s. Abschnitt 2.9, zu bestimmen. Aus sin (m = 1) = 8 10;4 folgte (Cu K ) = 1 6 10;10 m. Die Einheit
;
Wellenl
ngenmessung
und Rntgenspektrometer
27
q
e
e
(a) v=c
e
(b) v=c 0:2
1
(c) v=c 1
Abbildung 2.9: Bremsstrahlcharakteristik in Abh
ngigkeit von der Elektronengeschwindigkeit
1. Ordnung
f
0. Ordnung
Licht
Gitter
Schirm
Abbildung 2.10: optisches Beugungsgitter
1 = 10;10 m hie frher 1 Angstrm. Rntgenwellenl
ngen bestimmt man jetzt
bequemer mit Hilfe von Kristallgittern, nachdem deren Gitterkonstanten mit
Rntgenstrahlung bekannter Wellenl
nge " mit Hilfe schr
g gestellter mechanischer Gitter " bekannt war. Die drei wichtigsten Kristallgittermethoden sind:
1. das Laue-Verfahren (v. Laue 1912),
2. das Bragg-Verfahren (Bragg und Bragg 1913),
3. das Debye-Scherrer-Verfahren (Debye und Scherrer 1916).
Abb. 2.11 zeigt die ersten beiden Methoden. Mit ihnen lassen sich Kristallgitterabst
nde bestimmen, wenn die Wellenl
nge der (monochromatischen)
Rntgenstrahlung bekannt ist. Ebensogut kann man mit bekannter Gitterkonstante Wellenl
ngen bestimmen, wofr sich besonders das Bragg-Verfahren
eignet. Und das interessiert uns hier im Hinblick auf die Vermessung eines
Bremsstrahlungsspektrums.
Beim Laue-Verfahren wird polychromatische Rntgenstrahlung durch einen
Einkristall geschickt. Die Strahlung regt die Gitteratome zum Mitschwingen an,
die Atome senden daraufhin Kugelwellen der gleichen Frequenz aus. Konstruktive Interferenz vieler Nachbaratome fhrt zu Intensit
tsmaxima in jeweils nur
Wellenl
ngenmessung
und Rntgenspektrometer
28
Kristall
monochromatisch
polychromatischer
Röntgenstrahl
Photoplatte
(a) von Laue-Verfahren
Röntgenröhre
Detektor
Kollimator
ϑ
ϑ
Kristall
(b) Bragg-Verfahren
Abbildung 2.11: Rntgenspektrometer
einer Raumrichtung bei jeweils nur einer Wellenl
nge, wenn Glg. (2.14) gerade erfllt ist. Beim Bragg-Verfahren wird die Rntgenstrahlung an der Ober
che eines Einkristalls reektiert. Gesucht wird nach Intensit
tsmaxima mit
'ein = 'aus = '. Bei monochromatischer Strahlung treten solche Maxima nur
unter bestimmten Winkeln ' auf, wie anhand von Abb. 2.12 hergeleitet werden
soll. Viel Reexion heit konstruktive Interferenz zwischen den Elementarwellen
aus der ersten und zweiten und allen folgenden Kristallebenen. Dazu mu der
Gangunterschied zwischen ACD und AB ein Vielfaches der Wellenl
nge betragen.
AB = AD cos ' ACD = 2 AD=2
cos ' 2'
= ACD AB = AD cos1 ' cos ' = AD sin
cos ' = z :
Die Strecke AD=2 ist aber gerade d cos '= sin ' und daraus folgt die BraggBedingung :
m = 2 d sin '
(2.15)
Nur unter diesen Winkeln ' treten Reexionsmaxima auf. Dabei ist d der
Abstand zweier Ebenen, in der Kristallphysik von z. B. NaCl heit 2d die
;
;
Bremstrahlungsspektren und das Gesetz von Duane und Hunt
29
B
f
A
f
D
d
C
Abbildung 2.12: zur Herleitung der Bragg-Bedingung.
Gitterkonstante, sie betr
gt 2d = 563 pm.
Beim Debye-Scherrer-Verfahren wird statt eines Einkristalls ein Kristallpulver verwendet. Kristallebenen des Lagenabstandes d liegen dann in allen
Raumrichtungen, und Braggsche Reexion nach Glg. (2.15) tritt unter dem
Polarwinkel 2' zur Einfallsrichtung unter allen Azimutwinkeln auf. Statt Reexion in nur einer Raumrichtung fhrt dies zu einem Reexionskegel, Auf einem
photograschen Film um die Probe herum zeigt sich dieser als schw
rzende
Kreislinie.
Besonders das Bragg'sche Drehkristallverfahren eignet sich zum Ausmessen
kontinuierlicher Spektren, wenn man mit bekannten Kristallen arbeitet. Kristalle wie NaCl (d=281 pm) oder Kalkspat (d=303 pm) sind dafr blich ihre Eichung geschah wie geschildert mit Hilfe monochromatischer Rntgenstrahlung
im 200-pm-Bereich, deren Wellenl
nge mit schr
ggestellten mechanisch hergestellten Gittern an das Meter-Ma angeschlossen wurde.
2.8 Bremstrahlungsspektren und das Gesetz von
Duane und Hunt
Die mit Hilfe von Rntgenrhren nach Abb. 2.8 auf S.26 und Braggschen
Drehkristall-Spektrometern nach Abb. 2.11 auf S.28 gefundenen Wellenl
ngenbzw. Frequenzspektren der Bremsstrahlung h
ngen zwar in der Intensit
t, aber
nicht in der Form 3 vom Anodenmaterial ab. Sie h
ngen jedoch stark von der
Spannung U an der Rntgenrhre und der Dicke der Anode ab. Beginnen wir
mit den experimentellen Ergebnissen an dnnen Anoden in Abb. 2.13, gemessen
z. B. mit einer 1 m dicken Goldfolie.
Beide Spektren h
ngen auf triviale Weise miteinander zusammen.
dW_ = const dW_ = dW_ d = const (2.16)
d
d d d
2
3
abgesehen von den charakteristischen Linien
30
Bremstrahlungsspektren und das Gesetz von Duane und Hunt
dW
dl
dW
dn
~1/l2
konstant
l
lmin
nmax
(a)
n
(b)
Abbildung 2.13: Wellenl
ngen- und Frequenzspektrum der Bremsstrahlung in
dnner Anode
denn = c= d=d = c=2 . Ferner gilt max = c=min . Diese Grenzwerte
h
ngen von der Spannung der Rntgenrhre ab und berhaupt nicht vom
Material. Man ndet bei U = 10 kV max = 2 5 1018 Hz, min = 120 pm und
bei anderen Spannungen max U, min 1=U.
;
/
/
Bei dicken Anoden werden die Spektren komplizierter, weil die Elektronen
im Anodenmaterial ihre Energie nicht nur durch Bremsstrahlung verlieren,
sondern berwiegend durch Ste an Hllenelektronen, die zu einer Erw
rmung
des Anodenmaterials fhren. Wir betrachten hier die experimentellen Spektren
an sehr dicken Anoden, d.h. so dick, da die beschleunigten Elektronen im
Anodenmaterial alle auf Geschwindigkeit Null abgebremst werden. Abb. 2.14(a)
_
zeigt dW=d
fr diesen Fall und die Erkl
rung, wieso diese Spektrenform aus
den Ergebnissen an der dnnen Anode folgt.
Jede Schicht erzeugt ein aches Kastenspektrum der Form in Abb. 2.13(b).
Je tiefer die Schicht, um so kleiner die Eindringenergie der Elektronen in diese
Schicht und umso kleiner die dazugehrige Grenzfrequenz. Als Summe ergibt
sich ein dreieckfrmiges Frequenzspektrum, das nur bei kleinen Frequenzen gerundet ist, da die in tiefen Schichten erzeugten Bremsstrahlen im Anodenmaterial selbst wieder absorbiert werden. Fr das betrachtete Spektrum gilt in guter
N
herung
_
dW=d
= const (max ) (2.17)
und max ist die gleiche Grenzfrequenz wie die bei gleicher Rhrenspannung U
mit dnner Anode erhaltene Grenzfrequenz. Bei Umrechnung auf die Wellenl
nge erh
lt man
dW_ = const 1
1 = konst 1 min :
(2.18)
d
2 min 2 3
Abb. 2.14(b) zeigt diese Wellenl
ngenspektren fr Spannungen zwischen 20 kV
und 50 kV, gemessen mit einer dicken Wolframanode.
;
;
;
Bremstrahlungsspektren und das Gesetz von Duane und Hunt
Relative
Intensität
10
31
50 kV
8
40 kV
dW
dn
6
4
30 kV
2
20 kV
0,2
0,4
0,6
0,8
l
1,0
10
-10
m
nmax n
(a)
(b)
Abbildung 2.14: (a) Frequenzspektrum der Bremsstrahlung in dicker Anode,
(b) Wellenl
ngenspektren mit dicker Wolfram-Anode bei verschiedenen Spannungen.
Jedes Bremsstrahlungsquant tr
gt die Energie h. Im Intervall + d]
_ der unabh
ngig von ist
steckt bei dnner Anode ein Intensit
tsanteil dW,
und nur von U und vom Material abh
ngt. Die Zahl der Quanten in diesem
Intervall folgt dann aus dW_ = dN_ h , und es gilt
dN_ = const :
(2.19)
d
Die Zahl der Photonen in jedem Frequenzintervall geht etwa mit 1= bei dnner
Bremsschicht. Bei der dicken Anode bersetzt sich Glg. (2.17) in
dN_ = const ( max 1) :
(2.20)
d
Beide Photonenzahlspektren sind in Abb. 2.15 dargestellt.
;
1915 entdeckten Duane und Hunt die Gesetzm
igkeit zwischen max und
angelegter Spannung,
h max = e0 U U min = hc=e0 = 1234 V nm :
(2.21)
Aus diesem Gesetz folgt unmittelbar die Deutung der Bremsstrahlung: Ein
abgebremstes Elektron gibt Energie quantenweise in elektromagnetische Strahlung ab. Jedes Quant tr
gt die Energie h , das energiereichste Quant die
Energie e0 U, denn mehr als seine gesamte Energie kann das Elektron nicht
abgeben. Das Gesetz in Glg. (2.21) heit Duane-Hunt-Gesetz . Es wurde auch
zur experimentellen Bestimmung des Wertes von h benutzt.
32
Charakteristische Rntgenstrahlung
·
·
dN
dn
dN
dn
æn
ö
» ç max - 1÷
è n
ø
1
»
n
n max n
n max n
(a) dnne Anode
(b) dicke Anode
Abbildung 2.15: Photonenzahlspektren dnner und dicker Anoden
Aus den Ergebnissen in Abb. 2.14(b) ist auch etwas ber die Gesamtintensit
t der Bremsstrahlung abzulesen, sie steigt ungef
hr mit U 2 an. D. h. der
Anteil der Elektronenenergie, der sich in Bremsstrahlung verwandelt, w
chst
etwa linear mit U. Als Faustformel im Bereich von 10 kV bis 100 kV gilt
_
W(Bremsstrahlung)
Z U
(2.22)
_W(Elektronenstrahl) = 109 V
bei dicker Anode aus einem Material der Ordnungszahl Z. Die Bremsstrahlungsausbeute bei Wolfram mit Z = 74 und U = 50 kV liegt bei nur etwa 0,4 %. Aber
die Elektronen werden doch vollst
ndig abgebremst, wo bleibt die Energie? Sie
wird in W
rme umgesetzt. Das Anodenmaterial wird so stark erw
rmt, da im
technischen Betrieb von Rntgenrhren die Anoden meist wassergekhlt werden
mssen.
2.9 Charakteristische Rntgenstrahlung
Der weitaus grte Teil der Elektronenergie in einer Rntgenrhre verwandelt
sich in W
rme und nicht in Bremsstrahlung. Was heit das mikroskopisch
gesehen? Die beschleunigten Elektronen werden durch Ste mit Kernen,
mit festgebundenen Elektronen und mit schwachgebundenen Elektronen im
Anodenmaterial abgebremst. Im Vorgri auf die Atomphysik: !Festgebunden
bedeutet, da sich die Elektronen auf den innersten Bahnen um die Atomkerne
bewegen ihre Bindungsenergien betragen je nach Kernladungszahl zwischen
103 eV beim Aluminium und 105 eV beim Wolfram. !Losegebunden bedeutet
in Metallen, da sich diese Elektronen frei durch das gesamte Metall bewegen
knnen, deswegen leiten Metalle den elektrischen Strom, und da es nur einer
Auslsearbeit im eV-Bereich bedarf. Natrlich liegt zwischen !fest und !lose
eine Vielzahl von Elektronenzust
nden.
Charakteristische Rntgenstrahlung
33
Relative
Intensität
12
10
8
6
W
Z=74
4
2
Mo
Z=42
0,2
0,4
0,6
0,8
l
1,0
10
-10
m
Abbildung 2.16: Rntgenstrahlungsspektren fr Wolfram und Molybd
n bei
U = 35 kV
Ste mit den Kernen fhren zur Bremsstrahlung. Ste mit den meisten
Elektronen fhren zur Erw
rmung des Anodenmaterials und gelegentlich auch
zum Herausschlagen eines Elektrons, zur Sekund
relektronenemission wie in Abschnitt 2.4 beim Photovervielfacher diskutiert. Ste mit Elektronen auf den innersten Bahnen fhren zur sogenannten !charakteristischen Rntgenstrahlung.
Abb. 2.16 zeigt die beobachteten Rntgenstrahlspektren bei U = 35 kV mit
dicker Wolfram- und Molybd
n-Anode. Das Wolframspektrum ist glatt und besteht nur aus Bremsstrahlung, das Molybd
nspektrum enth
lt zus
tzlich zwei
ausgepr
gte monochromatische Linien, genannt K bei ca. 70 pm und K bei ca.
62 pm. Sie treten gemeinsam mit der Bremsstrahlung im gleichen Versuchsaufbau auf, haben aber nichts mit Bremsstrahlung zu tun. Diese elektromagnetische
Strahlung stammt aus der Atomhlle: Ein durch Elektronensto erzeugtes Loch
in der innersten (K-) Schale wird durch Elektronensprung aus der n
chsten (L) Schale oder bern
chsten (M-) Schale aufgefllt. Bei diesem Sprungproze
wird ein Photon erzeugt, und dieses erh
lt als kinetische Energie die Dierenz
der Bindungsenergien in K- und L-Schale (K ) bzw. K- und M-Schale (K ).
Die Schalenvorstellung wurde anhand der charakteristischen Rntgenlinien entwickelt und fhrte zusammen mit den optischen Linienspektren in Gasen 1913
zum Bohr'schen Atommodell. Die Strahlung heit !charakteristisch, weil zu
jedem Element Linien anderer Frequenz gehren.
Abb. 2.17 zeigt eine Zusammenstellung der Linien ber das Periodensystem
der chemischen Elemente. Mehr darber in der Atomphysik. Fr das Folgende ist wichtig, da die charakteristischen Linien dem Experimentator auf be-
34
Charakteristische Rntgenstrahlung
Abbildung 2.17: Energien und Wellenl
ngen charakteristischer Rntgenstrahlung fr eine Auswahl von Elementen zischen Z = 1 und Z = 91. %Aus K. H.
Hellwege, Einfhrung in die Physik der Atome]
Impulserhaltung bei Photoeekt und Bremsstrahlung
35
Abbildung 2.18: Interferenzebenen im kubischen Kristallgitter
queme Weise eine monochromatische elektromagnetische Strahlung im Bereich
der Bremsstrahlungswellenl
ngen zur Verfgung stellen. Der im bern
chsten
Abschnitt diskutiere Compton-Eekt wurde mit der Molybd
n-K-Linie aus
Abb. 2.16 entdeckt.
Zusammengefat: Rntgenstrahlung = Bremsstrahlung +
charakteristische Strahlung im Wellenl
ngenbereich 10 bis 1000 pm.
Ohne charakteristische Rntgenstrahlung w
ren auch viele Erfolge der Rntenstrukturanalyse undenkbar. Im Abschnitt 2.7 ber Rntgenspektrometer haben wir nur das Allereinfachste darber gesagt. Wie in Abb. 2.18 skizziert,
besteht selbst der einfachste kubische Kristall nicht nur aus Ebenen eines Gitterabstandes d, sondern aus einer Vielzahl interferenzf
higer Ebenen mit verschiedenen Abst
nden. Und die Streuzentren sind keine Punkte, sondern ausgedehnte Elektronenverteilungen. Mit charakteristischer Rntgenstrahlung einer
festen Wellenl
nge treten an einem Kristall viele Linien in der Reexionswinkelverteilung auf. Das Vermessen solcher Linien einschlielich der Intensit
ten
und Breiten fhrt zu Elektronendichteverteilungen im Kristall.
2.10 Impulserhaltung bei Photoeekt und
Bremsstrahlung
Der Photoeekt wurde von Einstein im Quantenbild mit Energieerhaltung
h = 21 mv2 + A
(2.23)
gedeutet. Wie sieht es mit den Impulsen aus? Nehmen wir ein Zahlenbeispiel
mit v = 2 10;3c Das Photon tr
gt p() = 3 eV=c, das abgetrennte Elektron
p(e) = 1000 eV=c. Woher kommt dieser Impuls, oder ist der Impuls etwa nicht
erhalten? Die Antwort steckt in der W
rmebewegung der Kerne. Sei M die
Masse eines (z.B. Kalium-) Kernes, dann gilt :
1 Mv2 = 1 kT = 1 eV
(2.24)
2 x 2
80
36
Impulserhaltung bei Photoeekt und Bremsstrahlung
bei Labortemperaturen um 293 K. Dem entspricht eine quadratisch mittlere
Geschwindigkeit von 8 10;7c. Dem entspricht ein quadratisch mittlerer Kernimpuls von 3 104 eV/c. Dies ist 30 mal mehr als fr den Photoeekt notwendig.
Der fehlende Impuls kommt also aus der W
rmebewegung des Kernes und die
vollst
ndige Reaktionsgleichung es Photoeektes lautet :
+ e(gebunden) + K e(frei) + K
(2.25)
Ohne Kernn
he gibt es keinen Photoeekt. Was ist der Beitrag des aufgenommenen Kernimpulses zur Energiebilanz? Der Kern gibt dp = 1000 eV/c ab. Seine
kinetische Energie betr
gt 401 eV. Seine Energie
nderung dEkin = p dp=M =
4 10;4eV. Fr die Gesamtenergiebilanz,
h + 4 10;4eV = 21 mv2 + A (2.26)
ist das unmebar wenig, d.h. vier Zehnerpotenzen kleiner als die anderen beteiligten Energien. Ist der Proze
+ e(langsam) e(schnell)
(2.27)
d. h. Photoeekt am freien Elektron berhaupt mglich? Relativistisch korrekt
betrachtet mit Energieerhaltung,
h + 1 m0 c2 = 2 m0 c2 (2.28)
und Impulserhaltung,
h + m c = m c (2.29)
1 1 0
2 2 0
c
ergibt sich, wenn man Energie- und Impulserhaltung verlangt :
(2 1 )m0 c2 = (2 2 1 1 )m0 c2
2 (1 2 ) = 1 (1 1 )
s
s
(2.30)
1 2 = 1 1
1 + 2
1 + 1
1 = 2
Dies ist die einzige Lsung. Kinematisch gibt es den Proze nur fr h = 0, d.h.
es ist kein Energiebertrag eine Photons auf ein Elektron mglich, wenn das
Photon dann verschwinden soll. Photoeekt am freien Elektron ist unmglich.
!
!
;
;
;
;
;
;
Die gleichen berlegungen gelten fr die Bremsstrahlung. Der Proze heit
e(schnell) + Kern e(langsam) + + Kern :
(2.31)
Der Kern nimmt bei der Bremsstrahlung Impuls auf, aber wieder nur sehr
wenig Energie, und im Duane-Hunt-Gesetz ist diese Energie gegen eU und h
vernachl
ssigbar klein.
!
Die !Katalysatorrolle von Kernen macht die kleinen Quantenekte Bremsstrahlung und Photoeekt in gewisser Weise fraglich. Verstehen wir wirklich alles
in Kernn
he? Gibt es einen Quanteneekt nur zwischen Licht und Elektronen
ohne Mitwirkung anderer Materie?
Der Compton-Eekt
37
2.11 Der Compton-Eekt
Dieser Quanteneekt zwischen Licht und Elektronen wurde 1922 von A. H.
Compton an der Universit
t von St. Louis in Missouri entdeckt. Gem
Abb. 2.19 wurde monochromatische Mo-K-Strahlung (s. auch Abb. 2.16) an
einem Graphit-Kristall gestreut und die Streustrahlung als Funktion des Streu_
winkels # analysiert. Zu jedem # gehrt ein Wellenl
ngenspektrum dW=d,
und
Graphit-Kristall
50 kV
MolybdänAnode
Bragg- Kristall
Zählrohr
Abbildung 2.19: Versuchsaufbau zum Compton-Eekt
e' (E ', p')
g (hn )
J
j
g ' (hn ')
Abbildung 2.20: Prinzipskizze zum Compton-Eekt
Abb. 2.21 zeigt die Ergebnisse von Compton. Zus
tzlich zu den Photonen der
ursprnglichen Wellenl
nge = 70 pm treten bei # = 0 Photonen mit grerer Wellenl
nge 0 = + (#) auf, und (#) w
chst kontinuierlich mit dem
Streuwinkel. (90) = 2:4 pm. Compton deutete seine Resultate richtig als
die elastische Streuung von Lichtquanten an quasifreien (lose-gebundenen) Elektronen im Graphit. Dieser Proze soll hier relativistisch durchgerechnet werden
mit den Bezeichnungen aus Abb. 2.20.
6
pi () + pi(e) = pi ( 0 ) + pi(e0): Viererimpulserh. i = 0 1 2 3
(2.32)
38
Der Compton-Eekt
Relative
Intensität
J = 0°
Relative
Intensität
l
Dl
J = 45°
l
Relative
Intensität
Dl
J = 90°
l
Relative
Intensität
Dl
J = 135°
l
Abbildung 2.21: Rel. Intensit
ten in Abh
ngigkeit vom Streuwinkel
Der Compton-Eekt
39
i = 0 : h + mc2 = h 0 + 0 mc2 m = m0 (e)]
h 0 cos # + 0 0 mc cos '
i = 1 : h
+
0
=
c
c
0
i=2 :
0 = hc sin # + 0 0 mc sin '
i=3 :
0=0
senkrecht zur Streuebene]
;
(i = 2) und (i = 1) quadriert :
h 0 2 2
0 0 2 2
c sin # = ( mc) sin '
h 2 h2 0
h 0 2 2
0 0 2 2
2
cos
#
+
c
c2
c cos # = ( mc) cos '
;
beide Gleichnungen addiert :
h 2 h 0 2 h2 0
2 c2 cos # = ( 0 0 )2 m2 c2
c + c
h2( 0)2 + 2h2 0(1 cos #) = ( 0 0 )2 m2 c4
;
!
(i = 0) quadriert :
;
;
(*)
;h( 0) + mc22 = 02m2c4
;
)
h2 ( 0)2 + 2h( 0)mc2 = 0 2 m2 c4 m2 c4
;
;
;
Dies von %*] abgezogen ergibt:
2h2 0(1 cos #) 2h( 0)mc2 = m2 c4 ( 0 2 0 2 0 2 + 1)
02
02
= m2 c4 1 + 10 2 = 0 1 0
0
h (1 cos #) = ( )mc2
0 = 1 1 = h(1 cos #)
0
0 mc2
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
h (1 cos #)
0 = mc
(2.33)
Dies ist genau das in Abb. 2.21 gezeigte Resultat von Compton. Seine Beobachtung entspricht der elastischen Streuung von Lichtquanten an Elektronen.
Damit ist das Teilchenverhalten eines Photons aufs Einfachste und Eindrucksvollste demonstriert. Der Faktor h=mc in Glg. (2.33)
h = 2 4263 pm
(2.34)
C = mc
heit Compton-Wellenl
nge des Elektrons. Ein Photon mit der Wellenl
nge C hat eine Energie, die der Ruheenergie des Elektrons entspricht.
W = hc=C = mc2 = 511 keV.
;
;
40
Rayleigh- und Thomson-Streuung
In Comptons Experiment war = 70 pm und das maximale bei
# = 180 ist 2C = 4 8 pm. Bei sichtbarem Licht mit = 480 nm ist der
Compton-Eekt praktisch nicht zu erkennen. Welche kinetische Energie erh
lt
das Elektron durch den Compton-Eekt?
h (1 cos #)
h mc
=
Ekin(e0 ) = h( 0) = h
h
c c
0
+ mc (1 cos #)]
2
1 cos #
= (h)
h2 (1 cos #)
2
mc 1 + mc
(h)2 (1 cos #) wenn h mc2 :
(2.35)
mc2
Bei = 70 pm ist Ekin (e0) = 560 eV(1 cos #). Mit hheren Photonenenergien
steigt Ekin(e0 ), und 1925 gelang es Compton und Simon, das gestreute Elektron in einer Nebelkammer sichtbar zu machen. Ebenfalls 1925 gelang es Bothe
und Geiger, mit einer elektronischen !Koinzidenz-Schaltung zweier Z
hlrohre zu zeigen, da Elektron und Photon gleichzeitig auftreten. Bei entsprechend
kleiner einfallender -Intensit
t mit man in den Z
hlrohren keine Dauerintensit
t mehr, sondern einzelne elektrische Impulse. Der Proze e + e0 + 0
wird dann als Wechselwirkung eines Elektrons mit einem Photon sichtbar. Wie
schon anhand des Photovervielfachers mit sehr kleiner einfallender Lichtintensit
t diskutiert, bleibt bei solchen Beobachtungen von der elektromagnetischen
Wellenerkl
rung des Lichtes nichts brig. Licht zeigt sich hier als Flu einzelner
Teilchen mit allen mechanischen Eigenschaften eines Teilchens.
;
;
;
;
;
;
;
!
2.12 Rayleigh- und Thomson-Streuung
Im Compton-Expriment tritt, wie in Abb. 2.21 auf Seite 38 zu sehen, bei allen
Streuwinkeln auch eine Linie bei 70 pm auf, also nicht um verschoben.
W
hrend die Verschiebung um in der klassischen Wellenverschiebung nicht
erkl
rt werden kann, ist die Linie bei 0 = darin verst
ndlich: Die Lichtwelle
regt die Atome zum Mitschwingen an und diese senden daraufhin wie ein
Hertz'scher Dipol Lichtwellen genau gleicher Frequenz aus. Das wurde 1899
von Rayleigh fr Licht optischer Wellenl
ngen und 1906 von J. J. Thomson fr Rntgenwellen durchgerechnet. Wir wollen beide Streuprozesse hier
nachholen, historisch versp
tet, denn beide haben auch fr die Entwicklung
der Quantenphysik eine bedeutende Rolle gespielt: aus der Rayleigh-Streuung
kann man die Avogadrozahl messen und aus der jetzt nach ihm benannten
Streuung hat Thomson 1906 geschlossen, da in einem Atom der chemischen
Massenzahl A ungef
hr A=2 Elektronen enthalten sind.
Wir behandeln Rayleigh- und Thomsonstreuung hier nur kurz im Wellenbild und kommen am Ende des Abschnittes kurz auf die Beschreibung im
Photonenbild zurck. Ein elektrischer Dipol, der harmonisch schwingt und das
Dipolmoment
d~ = q ~x = d~0 cos !t
(2.36)
besitzt, strahlt elektromagnetische Wellen der ber alle Ausstrahlungswinkel
Rayleigh- und Thomson-Streuung
41
integrierten Leistung
2
2
dW = W_ = d~0 !4 = 43c d~0
(2.37)
dt
12"0 c3 3"0 4
ab. Die auf ein Stck Materie der Fl
che A einfallende Lichtleistung ist nach
Glg. (2.2) :
1 ~2
W_ in = 21 "0 E~02 dV
(2.38)
dt = 2 "0 E0 cA
Im Volumen dV = A dx benden sich n dV Atome, wenn
(2.39)
n= N
V
die Zahl der Atome pro Volumen bedeutet (!Anzahldichte).
Eine auf das Stck Materie mit der Fl
che A und Dicke dx auallende (linear
polarisierte und ebene) Welle verliert darin also durch Anregung der Atome und
darauolgende Abstrahlung eine Leistung von
3c d~02
4
_
dW = n A dx 3" 4
(2.40)
0
und einen Leistungsanteil von
dW_ = n A dx 43 d20 c = n 83 (d0=E0)2 dx
(2.41)
3"204
3 "0 4 12 "0 E02 c A
W_
Wir schreiben dies als
dW_ = n dx (2.42)
W_
das Minuszeichen bedeutet Leistungsabnahme in der Welle, mit
;
3 2
= 38"24 Ed0
0
(2.43)
0
Integration von Glg. (2.42) ergibt bei Durchlaufen einer dicken Schicht :
_ = W_ (0)e;nx
W(x)
(2.44)
Die Leistung nimmt nach einer Strecke von 1=n auf e;1 der Anfangsleistung
ab. Messungen im sichtbaren Wellenl
ngenbereich und in sehr sauberer Luft4
ergeben einen Wert von 18 km und gute Proportionalit
t von n und 1=4. Das
heit, d0 =E0 ist im optischen Bereich von unabh
ngig. Diese Tatsache ist fr
die blaue Farbe des Himmels und die roten Sonnenunterg
nge verantwortlich:
blaues Licht wird viel st
rker gestreut als rotes, 1=4. Was bedeutet das
atomistisch? Oenbar sind die Eigenfrequenzen der Ladungen im Atom sehr viel
/
4
durch den Dresdner Physiker Harry Dember 1914 auf Teneria in 3200 m Hhe
42
Rayleigh- und Thomson-Streuung
grer als = c=. Die erzwungenen Schwingungen durch die Lichtwelle fhren
dann gem
der bekannten Resonanzkurve in Abb. 2.22 wegen 0 zu einem
Mitschwingen der Ladungen und frequenzunabh
ngiger Amplitude d0. Bei = 0
ist d0=E0 bekannt. Diese !Polarisierbarkeitder Materie ist die Ursache fr die
Dielektrizit
tskonstante, und es gilt "0 ("r 1) = n d0=E0. Die Messungen und
der fr die Luft bekannte Wert von "r = 1 00063 fhren zu einer Bestimmung
der Avogadrozahl NA . Es ist
N m =N 1 n= N
=
(2.45)
A V m V
;
mit = Stomenge, = Molmasse mit der Einheit g/mol und = Massendichte.
Aus der gemessenen Absorptionsl
nge von 18 km und = 29 g/mol fr das
Mittel von Luftmoleklen erhalten wir NA = 6 6 1023=mol.
d0
E0
»
konst
1
n2
n0
Soweit die Theorie der RayleighStreuung und ihre Erfolge. Streuexperimente mit Rntgenstrahlung zeigen
eine gestreute Intensit
t, die in gewissen Grenzen unabh
ngig von ist und
zudem auf einfache Weise vom Material abh
ngt. Der ber Glg. (2.42),
bzw. Glg. (2.44) gewonnene Streukoezient n dividiert durch die Dichte ist bei leichten Elementen um
n = 30 pm herum konstant:
n = 0 02 m2
(2.46)
kg
Die Unabh
ngigkeit von l
t sich aus Abb. 2.22 verstehen: Fr 0 wird
d0=E0 1= 2, und wir knnen sogar den Absolutwert ausrechnen. Die erzwungene Schwingung lautet nichtrelativistisch:
ml + kl_ + Dl = e0 E0 cos !t (2.47)
Abbildung 2.22:
wenn ein Elektron der Masse m und der Ladung e0 von der elektrischenp Feldst
rke mit E0 und ! zum Mitschwingen gezwungen wird. Fr ! !0 = D=m
ist kl_ und Dl gegen ml vernachl
ssigbar, und mit dem Ansatz
l = l0 cos !t
(2.48)
heit die Lsung :
0 E0
l0 = em!
2
2 E0
0
d0 = e0 l0 = em!
2
2
d0
e0
E0 = m!2
(2.49)
Der Wirkungsquerschnitt
43
Eingesetzt in Glg. (2.43) :
3
4
= 38"24 me20!4
(2.50)
0
3 4 4
(2.51)
= 3 "2 84me20c4 (2)4
0
Dies ist fr ein Elektron gltig. Hat ein Atom Z Elektronen, gilt
2
;29 2
(2.52)
= Z 8
3 re = Z 6:65 10 m
mit dem sogenannten !klassischen Elektronenradius :
2
re = 4"e0mc2 = 2:818 10;15m
(2.53)
0
Diese Rechnung Thomsons, verglichen mit den experimentellen Ergebnissen
aus Glg. (2.46), ergibt :
2 m2 Z 6:65 10;29m2 = 0:02 m
=
0:02
kg n
kg NA
1
kmol
Z 2 kg
(2.54)
Eine Substanz mit dem Atomgewicht A und = A kg=kmol hat Z = A=2
Elektronen pro Atom. Dieser uns so vertraute Sachverhalt (bei leichten Elementen) gewann Thomson 1906 aus der Streuintensit
t von Rntgenstrahlung.
Die Formel 2.52 fr Thomson-Streuung gilt nur in einem eingeschr
nkten
Bereich. Fr grere Wellenl
ngen berwiegt Rayleigh-Streuung, fr kleinere
Comptonstreuung.
Die Linie mit = 0 in Compton's Experiment, Abb. 2.21(S. 38), rhrt von
der Thomson-Streuung her. Wie versteht man diese Linie im Quantenbild? Der
Energiebertrag des Photons auf das Elektron ist nach Glg. (2.35) auf Seite 40:
2
(2.55)
Ekin (e0) = (h)
2
mc (1 cos #) = 560 eV(1 cos #)
Die innersten Elektronen des Kohlenstoes sind mit ca. 300 eV gebunden, d. h.
bei kleinen Winkeln knnen diese Elektronen durch elastischen Photonensto
gar nicht aus dem Atom gelst werden. Das Photon stt mit dem Atom als
Ganzem, in der Herleitung wird die Elektronenmasse m durch die Atommasse
M ersetzt und
h (1 cos ) h (1 cos ) :
= Mc
mc
;
;
;
;
2.13 Der Wirkungsquerschnitt
Die Abschw
chung der Wellenintensit
t W_ = dW=dt durch Streuung oder Absorption kann immer als
dW_ = n dx W(x)
_ = W(0)e
_ ;nx
(2.56)
W_
;
44
Der Wirkungsquerschnitt
s
Abbildung 2.23: Der Wirkungsquerschnitt
geschrieben werden. Die Schw
chung ist (bei dnnen Schichten) der Dicke der
Schicht und der Anzahldichte der Streu- oder Absorptionszentren proportional.
Die verbleibende Gre gibt dann die Schw
chung an einem einzigen dieser
Zentren, z.B. einem Elektron oder einem Molekl, an. heit Wirkungsquerschnitt und hat die Dimension einer Fl
che.
3 (Rayleigh) = 3"82 4 Ed0 fr ein Molekl,
(2.57)
0
0
2
(Thomson) = 8
(2.58)
3 re fr ein Elektron.
Da der Wirkungsquerschnitt die Dimension einer Fl
che hat sieht man
an seiner Denition in Glg. (2.42) auf Seite 41. Anschaulich bedeutet der
Wirkungsquerschnitt die Fl
che, ber die ein Streuzentrum Intensit
t aus der
Welle herausnimmt, wie in Abb. 2.23 skizziert. Der Wirkungsquerschnitt ist
aber nicht direkt eine Fl
che, denn eine doppelt so groe Fl
che, die nur die
H
lfte der Intensit
t wegnimmt, hat den selben Wirkungsquerschnitt.
Gehen wir vom Wellenbild zum Teilchenbild, z.B. bei monochromatischer
elektromagnetischer Strahlung, dann ist
dW_ = dN_ h = dN_
(2.59)
_
W_
Nh
N_
_ dx
dN_ = Nn
(2.60)
_N(x) = N(0)
_ e;nx
(2.61)
In dnner Schicht ist die Zahl der gestreute Quanten pro Zeiteinheit gleich der
Zahl der einlaufenden Quanten pro Zeiteinheit mal Wirkungsquerschnitt mal
Anzahldichte der Streuzentren mal Schichtdicke. In dicker Schicht nimmt die
Zahl der nach der Strecke x noch ungestreuten Quanten exponentiell ab.
;
Je nach Proze spricht man statt vom Wirkungsquerschnitt auch von Streuquerschnitt oder Absorptionsquerschnitt oder Photoerzeugungsquerschnitt.
Knnen an einem Streuzentrum mehrere Prozesse stattnden, z.B. Photoeekt
und Thomson-Streuung und Compton-Streuung , dann gilt:
= Photo + Thomson + Compton:
(2.62)
Eine solche Summe heit auch totaler Wirkungsquerschnitt tot . Nehmen wir
nur einen einzigen Proze wie z.B. die Compton-Streuung. Reduziert man die
Der dierentielle Wirkungsquerschnitt beim Compton-Eekt
45
Intensit
t des einfallenden -Strahlers immer weiter, ist N_ nicht mehr konstant,
sondern beginnt statistisch zu uktuieren. Ist im Mittel die Zahl der einlaufenden Quanten 10 s;1 , so gibt es Zeitabschnitte mit nur 5 oder 7 oder 13 Quanten
gem
einer Poisson-Verteilung. Die Zahl der gestreuten Quanten wird dann
erst recht statistisch uktuieren. Die Gleichungen 2.60 und 2.61 geben dann nur
_ N_ ist die Wahrscheinlichkeit, da
noch zeitliche Mittelwerte wieder und dN=
ein einzelner Streuproze stattndet. Da bis auf Normierungsfaktoren gleich
dieser Wahrscheinlichkeit ist, kann man auch sagen: Wirkungsquerschnitt ist
Fl
che mal Wahrscheinlichkeit, diese Fl
che zu treen. Als Einheit des Wirkungsquerschnitts ist 1 barn = 10;24 cm2 gebr
uchlich.
2.14 Der dierentielle Wirkungsquerschnitt beim
Compton-Eekt
Bei der Durchrechnung der Compton-Streuung hatten wir uns nur gefragt,
welche Photonenwellenl
nge und welche Elektronenenergie bei welchem Streuwinkel auftritt. Abb. 2.21 enth
lt aber eine weitere Information, n
mlich die
Wahrscheinlichkeit, mit der jeder Streuwinkel auftritt. Dies drckt man wieder
durch einen Wirkungsquerschnitt aus, aber durch einen Wirkungsquerschnitt
pro Winkelintervall. Wie in Abb. 2.24 skizziert, ist eine Raumrichtung gestreu-
C
g
J
f
g‘
dW
Abbildung 2.24: Der Raumwinkel beim dierentiellen Wirkungsquerschnitt.
ter Photonen durch zwei Winkel bestimmt, den Streuwinkel # und den Azimutwinkel '. Ein Kegel um diese Richtung herum hat ein Raumwinkelelement d
mit
d = sin # d# d' :
(2.63)
Fr die Rate N_ (Anzahl/Zeit) der in d hineingestreuten Quanten gilt
d dxd d2N_ = N_ 1 n2 d
(2.64)
und d/d heisst dierentieller Wirkungsquerschnitt fr den gegebenen Streuproze. Er ist gleich der mittleren Zahl der in d gestreuten Quanten pro Zeiteinheit, dividiert durch die einlaufende mittlere Quantenzahl pro Zeiteinheit
46
Die Paarbildung
N_ 1 , durch die Schichtdicke dx und durch die Anzahldichte n2 der Streuzentren.
Den dierentiellen Wirkungsquerschnitt fr die Compton-Streuung am freien
Elektron kann man in der Quantenelektrodynamik ausrechnen. Man erh
lt die
Klein-Nishina-Formel,
dCompton = re2 0 2 0 + sin2 #:
(2.65)
d
2 0
Sie gilt fr unpolarisierte Strahlung. re ist der !klassische Elektronenradius
nach Glg. (2.53) auf Seite 43, ist die Frequenz der einlaufenden Quanten und 0
die der unter dem Winkel # auslaufenden Quanten. Abb. 2.25 zeigt das Resultat
fr verschiedene Photonenstrahlenergien h. Bei h mc2 wird 0 = und es
gilt
d = re2 (2 sin2 #) = re2 (1 + cos2 #)
(2.66)
d 2
2
ber alle Streuwinkel integriert ergibt sich:
ZZ d
re2 Z 2 d' Z (1 + cos2 #) sin # d#
d
=
d
2 0
(2.67)
Z ;1 0
8
2
2
2
= re
(1 x )( dx) = 3 re
;
;
1
;
;
was, wie in Glg. (2.52) auf Seite 43 schon gesehen wurde, der Wirkungsquerschnitt der Thomson-Streuung fr ein Elektron ist. Fr h mc2 wird das
ds
dW
re2
hn << mc 2
hn = mc 2
hn >> mc 2
0°
90°
180°
J
Abbildung 2.25: dierentieller Wirkungsquerschnitt der Compton-Streuung fr
verschiedene Photonenenergien
RR
Integral d=d d ungef
hr proportional zu 1=. Fr in Atomen gebundene
Elektronen gilt die Klein-Nishina-Formel nur angen
hert.
2.15 Die Paarbildung
Eine weitere Wechselwirkungsmglichkeit von kurzwelliger elektromagnetischer
Strahlung mit Materie wurde 1932 von Anderson in der kosmischen Strahlung
Die Paarvernichtung
47
entdeckt. Es handelt sich um den Proze der Paarbildung :
+ Kern e+ + e; + Kern:
(2.68)
Das Photon verschwindet dabei vllig und erzeugt ein Elektron-Positron-Paar.
Das Positron (e+ ) ist das Antiteilchen des Elektrons (e; ) und hat die gleiche
Ruhemasse und die entgegengesetzt gleiche Ladung wie dieses. Der Proze erh
lt
Ladung, Energie und Impuls. Der Kern ist wieder wesentlich dabei, um die
Impulserhaltung zu gew
hrleisten. Der Proze
e+ + e;
(2.69)
ist nicht mglich, die Rechnung l
uft im wesentlichen wie im Abschnitt 2.10.
Der Kern bernimmt Impuls, jedoch wegen seiner groen Masse so gut wie
keine Energie, auch dieses war in Abschnitt 2.10 durchgerechnet worden. Die
Energieerhaltung verlangt:
h = E(e+ ) + E(e; )
(2.70)
= 2mc2 + Ekin (e+ ) + Ekin (e; ):
Wegen der Masse 2mc2 l
uft der Proze erst oberhalb der Schwelle hmin =
2mc2 = 1 022 MeV ab. Sein Wirkungsquerschnitt steigt von der Schwelle ab
stark an und wird bei sehr hohen Photonenenergien h 1 GeV ungef
hr konstant. Der Kern spielt nicht nur fr die Impulsbilanz, sondern auch fr die Prozeh
ugkeit eine Rolle: der Wirkungsquerschnitt ist proportional zu Z 2 . Die
Energieaufteilung auf Elektron und Positron erlaubt viele Mglichkeiten und
kann wieder durch einen dierentiellen Wirkungsquerschnitt beschrieben werden. Auer mit e+ e; ist die Paarbildung sp
ter auch mit + ; , + ; und pp
beobachtet worden. Im Wirkungsquerschnitt ist e+ e; aber weitaus am grten.
!
!
2.16 Die Paarvernichtung
Im Vakuum ist ein Positron stabil, d.h. es lebt genau wie das Elektron unendlich
lang. Trit es auf ein Elektron, kann es aber mit diesem zusammen verschwinden
und in elektromagnetische Strahlung bergehen. Aufgrund der Impulserhaltung
ist der Proze e+ e; wieder nicht mglich, aber folgende Prozesse sind es:
e+ + e; + Kern + Kern
e+ + e; 2 (2.71)
+
;
e +e
3 :
Diese drei Vernichtungsprozesse werden beobachtet, die ebenso erlaubten
e+ e; n mit n 4 sind so selten, da sie praktisch nicht vorkommen.
Die Vernichtung in ein Photon geschieht z.B. beim Durchiegen eines schnellen
Positrons durch eine Bleifolie. Werden Positronen durch Bremsstrahlung und Ionisation in Materie abgebremst, und das soweit bis ihre kinetische Energie sehr
klein gegen mc2 ist, knnen sie von einem Elektron eingefangen werden und mit
diesem ein gebundenes System bilden, das sogenannte Positronium. Das Positronium ist eine Art Wasserstoatom, aber nicht stabil. Im Grundzustand lebt es
im Mittel 10;10 s, und im Zerfall entstehen zwei monochromatische Photonen,
jedes hat die Energie mc2 = 511 keV. Die Anwendung dieser Paarvernichtung
in der Medizin (PET) nimmt st
ndig zu.
!
!
!
!
!
48
Photoeekt im Rntgengebiet
2.17 Photoeekt im Rntgengebiet
s abs
cm2
L-Kante
10-19
10
Pb
.-20
K-Kante
10-21
10-22
10
100
1000
hn
keV
Abbildung 2.26: Absorptionsquerschnitt von Rntgenquanten am Bleiatom
Mit Photoeekt, Rayleigh-, Thomson- und Compton-Streuung und
Paarbildung haben wir nun alle wesentlichen Wechselwirkungen zwischen Photonen und Materie behandelt. Nachzutragen ist, da der Photoeekt nicht nur
im sichtbaren Teil des Spektrums, sondern auch im Ultravioletten und im Rntgengebiet eine groe Rolle spielt. Gem
h = Ekin (e) + A
kann man durch Bestimmung des Energiespektrums der aus dnnen Folien
herausgeschlagenen Photoelektronen etwas ber die Bindungsenergien der
Elektronen im Material lernen. Dieses !Photoelektronenspektroskopie spielt
heute eine bedeutende Rolle in der Atom", Molekl- und Festkrperphysik.
Man lernt daraus z. B., da die fest gebundenen Elektronen in der inneren
Schale diskrete Werte fr die Auslsearbeit A liefern, die lose gebundenen
Elektronen im Festkrper aber B
nder der Breite einiger eV haben.
Der Wirkungsquerschnitt fr den Photoeekt sinkt mit steigender Photonenenergie. Immer wenn mit zunehmender Photonenenergie neue Photoelektronen aus einer fest gebundenen Schale ausgelst werden knnen, steigt der Wirkungsquerschnitt sprunghaft an. Abb. 2.26 zeigt den Absorptionsquerschnitt
von Rntgenquanten fr ein Bleiatom, er beruht in diesem Energiebereich ausschlielich auf dem Photoeekt. Die Sprnge heien L-Kante, K-Kante usw.,
je nach der Schale, die dem Photoeekt gerade zug
nglich ist. Aus de Lage
der K-Kante in Blei liest man ab, da die innersten Elektronen in Blei mit einer
Energie von ca. 90 keV gebunden sind. Der Wirkungsquerschnitt abs beschreibt
die Absorptionswahrscheinlichkeit eines Photons in einer Bleischicht. In dicker
Schicht gilt nach Glg. (2.61) auf Seite 44: N(x)=N(0) = e;nx . D. h. nach einer
durchquerten L
nge von 1=n sinkt die Intensit
t eines Rntgenstrahls auf e;1
ihrer Anfangsintensit
t. Diese Dicke, auch Absorptionsl
nge lA genannt, betr
gt
Zusammenfassung zur Wechselwirkung von Photonen mit Materie
49
bei einer Photonenenergie von 100 keV in Blei
207 g=mol
1 = a =
lA = n
NA 6 1023=mol 11 35 g=cm3 2 10;21 cm2 = 0 015 cm :
(2.72)
Nach einer Schichtdicke von x = 1 mm bleibt nur e;x=lA = 0 0014 der Anfangsintensit
t brig. Der Rest wird durch den Mechanismus des Photoeektes
absorbiert. Des heit aber nicht, da alle Phototelektronen das Bleiblech verlassen. Die meisten bleiben durch Ste mit anderen Elektronen darin stecken
und erw
rmen das Blei.
2.18 Zusammenfassung zur Wechselwirkung von
Photonen mit Materie
Abschw
chung von Photonen in Materie heit Absorption und Streuung, ein
Photon kann entweder durch Absorption oder durch Streuung aus dem Strahl
herausgenommen werden. Photoeekt und Paarbildung gehren zur Absorption, das Photon verschwindet dabei und bei den drei Arten der Streuung wird
das Photon aus seiner ursprnglichen Richtung abgelenkt.
Die Wahrscheinlichkeit, da ein Photon durch einen von N Prozessen aus
dem einlaufenden Strahl entfernt wird, wird durch den Wirkungsquerschnitt fr
diesen Proze beschrieben. An jedem Streuzentrum kann ein Photon durch den
ersten, zweiten : : : oder N-ten Proze verlorengehen. Die Wahrscheinlichkeit,
durch irgendeinen davon verlorenzugehen, ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten pro Streuzentrum:
tot = 1 + 2 + + N :
(2.73)
Wie schon zuvor erw
hnt, heit diese Summe, wenn ber alle Abschw
chungsmglichkeiten summiert wird, totaler Wirkungsquerschnitt . Abb. 2.27 zeigt in
doppelt-logarithmischer Darstellung5 ber zehn Zehnerpotenzen die einzelnen
und die totalen Wirkungsquerschnitte von Photonen an Kohlensto. Zus
tzlich
zu den zwei diskutierten Streuprozessen (Compton: Elektron wird aus dem
Atomverbund gelst. Thomson: Elektron bleibt auf seinem Platz und Rckstoimpuls wird vom gesamten Atom aufgenommen) und den beiden Absorptionsprozessen sind zwei weitere Absorptionsprozesse eingetragen: Paarbildung
an den Hllenelektronen,
+ e; e; + e+ + e; (2.74)
statt am Kern, und der Kernphotoeekt, zu dem Prozesse gehren wie z. B.:
+12C 11C + n :
(2.75)
!
!
Die Wirkungsquerschnitte als Funktion der Quantenenergie sind fr eine
Vielzahl von Elementen gemessen und fr eine Vielzahl von Anwendungen interessant. Man sieht daran auch, wieviel Energie in einem bestrahlten Material
5
Originalarbeit: Hubbell et a., J. Phys. Chem. Ref. Data, Band 9 (1980) Seite 1023
50
Zusammenfassung zur Wechselwirkung von Photonen mit Materie
10-16
s abs
cm2
10-18
g+C
Photoeffekt
am Elektron
10-20
Totaler
Wirkungsquerschnitt
10-22
Thomson
Kernphotoeffekt
. -24
10
Paarbildung am Kern
Compton
Paarbildung
am Elektron
-26
10
10 eV
1 keV
100 keV
10 MeV
1 GeV
100 GeV
Abbildung 2.27: Wirkungsquerschnitte fr das Photon am Beispiel des Kohlenstos mit den dazugehrigen Wirkungsquerschnitt.
stecken bleibt, um darin chemische oder biologische Reaktionen durchzufhren.
Auer den Abschw
chungswirkungsquerschnitten sind oft die Abschw
chungskoezienten , die Massenabschw
chungskoezienten =% oder die Abschw
chungsl
ngen lA in Tabellen und Diagrammen zusammengestellt. Aber
alle diese Gren sind auf triviale Weise miteinander verknpft:
(2.76)
= n = NAA % %Dimension: m;1]
= NA %Dimension: m2=kg]
(2.77)
% A
1 = 1
lA = n
(2.78)
%Dimension: m]
Darin ist n die Zahl der Atome pro Volumen, NA die Avogadrokonstante, %
die Dichte und A die Atommasse in Gramm pro mol. In den Anwendungen
verwendet man am h
ugsten =%. Fr chemische Verbindungen gilt die Formel
= Xw (2.79)
i % i
%
i
Die schwere Masse des Photons
51
wobei (=%)i die Koezienten fr
Pdie einzelnen Elemente und wi ihre Gewichtsanteile in der Verbindung sind ( i wi = 1). Tabellen fr =% sind deshalb ntzlicher als Tabellen fr . Aber Vorsicht: Glg. (2.79) gilt nur in Energiebereichen,
wo sich die Einsse der chemischen Bindung nicht mehr bemerkbar machen.
Bei sichtbarem Licht machen sich diese aber sehr nachdrcklich bemerkbar. Die
Verteilung der Bindungsenergien der Leitungselektronen im metallischen Blei
ist vllig anders als die der am losesten gebundenen Elektronen in Bleiglas. Eine 0,5 mm dicke Bleifolie ist undurchsichtig, ein 2,5 mm dickes Kristallglas mit
20 Gewichtsprozenten Blei l
t die Farbe des darin bendlichen Weines bestens
erkennen! Glg. (2.79) gilt sicher ab etwa 1 keV sehr gut.
2.19 Die schwere Masse des Photons
Ein Photon tr
gt die Energie h und folglich die Masse h=c2. Als tr
ge Masse
wird diese im Compton-Eekt deutlich, dort zeigt das Photon seinen Impuls
und damit seine Tr
gheit. Nach dem )quivalenzprinzip mu das Photon auch
eine schwere Masse haben und von der Schwerkraft beeinubar sein. Kommt
eine elektromagnetische Welle der Wellenl
nge auf einen schweren Krper, z.B.
die Erde, zu, wird verkleinert, die Welle wird blauverschoben. Fr ein Photon
aus der Welle ist das leicht herleitbar. Der schwere Krper sei kugelsymmetrisch
und besitze eine Masse M und den Radius R. Dann hat ein Photon in groer
Entfernung
Ekin = h Epot = 0
(2.80)
und nach der Ankunft auf der Ober
che des schweren Krpers
0
Epot = Mh
(2.81)
c2 R Ekin = h :
ist die Gravitationskonstante. Die Photonen iegen im freien Fall, deshalb gilt
Energieerhaltung und daraus folgt
h 0 h = Mh
c2 R
= M (Frequenzerhhung)
(2.82)
c2 R
M
(2.83)
c2R (Blauverschiebung)
Das genau Umgekehrte gilt, wenn ein Photon einen Stern verl
t, fr seine
Wellenl
nge und die Frequenz weit vom Stern entfernt gilt:
= M (Frequenzerniedrigung)
(2.84)
c2 R
M (Rotverschiebung)
(2.85)
c2 R
;
;
)
;
;
Beim Sonnenlicht sind solche Verschiebungen unsichtbar klein, sie liegen in
der Grenordnung 10;6. Spektrallinien im Apsorptionsspektrum der Sonne
sind aber !Doppler-verbreitert. Die lichtabsorbierenden Atome bewegen sich
aufgrund der hohen Temperaturen so schnell, da die Dopplerverschiebungen
52
Die schwere Masse des Photons
der Frequenzen viel grer sind als 10;6. Weie Zwerge sind Sterne mit viel
grerer Dichte als die der Sonne. Sirius B hat einen Wert von M=R, aufgrund
dessen man = = 5 9 10;5 erwartet. Beobachtet wird 6 6 10;5, was die
Gravitationsrotverschiebung von Licht auf 10% genau zu best
tigen scheint.
1960 gelang es Pound und Rebka, die Gravitationsrotverschiebung im Labor nachzuweisen, indem sie Photonen der Energie 14 keV ber eine Hhendifferenz von 22,5 m nach oben schickten. Es galt, damit eine Verschiebung von
2 5 10;15 nachzuweisen, was den Einsatz eines kurz zuvor (1958) von Mssbauer entdeckten Eektes erforderte, der rckstofreien Kernresonanzabsorption.
Bei den 14 keV-Photonen handelt es sich um eine Kernspektrallinie aus 57Fe.
Genau wie es in der Atomhlle Elektronensprnge unter Aussendung eines Photons gibt, so im Atomkern Protonen- und Neutronensprnge. Wird dabei eine
Energie h0 frei, so hat das Photon nicht die Energie h = h0 sondern wegen
des Kernrckstoes etwas weniger. Mit der Kernmasse M und Viererimpulserhaltung gilt, einen ruhend emittierenden Kern angenommen:
h0 = 12 Mv2 + h
(2.86)
0 = h
c Mv
h0 :
h = h0 1 2Mc
2
L
uft dieses Photon durch einen 57 Fe-Absorber, kann es dort nicht absorbiert
werden, denn um dem Kern eine Energie h0 zuzufhren, mte es mit dem
gleichen Argument wie oben eine kinetische Energie
h0 h 0 = h0 1 + 2Mc
(2.87)
2
tragen. Die Spektrallinien im Kern sind sehr scharf, im Fall der 14-keV-Linie
des 57Fe betr
gt die !natrliche Linienbreite nur etwa
;12
(2.88)
nat 10
Bei h0=2Mc2 10;7 gibt es fr das Photon keine Chance, wieder in einem
57Fe-Kern absorbiert zu werden. Bei tiefen Temperaturen hat Mssbauer aber
entdeckt, da es diese !Resonanzabsorption doch gibt, und bei der kleinsten
Dopplerverschiebung ist sie wieder weg, wie in Abb. 2.28 skizziert: Die Breite der Absorptionskurve als Funktion der Geschwindigkeit zwischen Fe-Quelle
und Fe-Absorber betr
gt 0,3 mm sec;1 . Also ist v=c = 10;12 und damit
nach dem Dopplereekt = = 10;12. Die Begrndung fr diesen ! Mssbauer-Eekt ist festkrperphysikalischer Natur. Die Rckstoenergie, die auf den
Kern bertragen wird, ist klein gegen seine !Bindungsenergie im Kristallgitter.
Der Rckstoimpuls kann deshalb nicht vom einzelnen Kern, sondern nur vom
Kristall als Ganzem aufgenommen werden und dessen Masse ist 1023 M. Im
Gravitationsexperiment von Pound und Rebka wird nun der Absorber 22,5
m hher als der Emitter aufgestellt und wieder eine Geschwindigkeitskurve wie
in Abb. 2.28 aufgenommen. Sie ist nicht um Null symmetrisch, sondern 2,5
Tausendstel ihrer Breite nach links verschoben. Um diese Rotverschiebung der
;
)
;
Lichtablenkung am Sonnenrand
53
Absorption
-2
-1
0
1
2
æ mm ö
vFe / ç
÷
è s ø
Abbildung 2.28: Absorption durch Mssbauer-Eekt in Abh
ngigkeit von der
Geschwindigkeit des Fe-Atoms.
Gravitation auszugleichen, mu Doppler-blauverschoben werden. Pound und
Rebka best
tigten den Erwartungswert fr die Frequenzverschiebung mit
(experimentell) = (1 05 0 10) :
(2.89)
(theoretisch)
2.20 Lichtablenkung am Sonnenrand
d
Erde
Sonne
scheinbare
Position
wahre
Position
Abbildung 2.29: Winkelablenkung eines Lichtstrahls bei Vorbeiug an der Sonne
Die schwere Masse eines Photons sollte auch bewirken, da es beim Vorbeiug an einem schweren Krper abgelenkt wird. Abb. 2.29 zeigt diesen Eekt
fr das Licht eines Sternes, der zum Zeitpunkt einer Sonnennsternis direkt am
Sonnenrand steht. Wird zu diesem Zeitpunkt seine Position gemessen und diese
mit der normalen Position verglichen, ergibt sich eine Winkelverschiebung von
. Man kann diese mit Newton'scher Mechanik ausrechnen und erh
lt mit
00
(2.90)
Newton = 2M
c2R = 0 88
einen halb so groen Wert wie er nach Einsteins allgemeiner Relativit
tstheorie
vorhergesagt und durch Messungen bei Sonnennsternissen auch experimentell
best
tigt wurde
= 2 Newton = 1 7500:
(2.91)
54
Interferenz von Photonen
Dieser Faktor 2 ist keine Eigenschaft des Photons, sondern eine Eigenschaft
der Sonne, genauer gesagt der Gravitation schwerer Krper. In der allgemeinen
Relativit
tstheorie werden L
ngen und Zeiten abh
ngig von Gravitationspotentialen, was nicht Inhalt dieser Vorlesung ist.
Man nennt
RS = 2M
c2
(2.92)
den Schwarzschildradius eines Krpers. Die Sonne hat einen Schwarzschildradius, der viel kleiner als ihr Radius ist. Fr die behandelten relativistischen Eekte gelten folgende Formeln:
RS
Rotverschiebung : (2.93)
= 2R S
(2.94)
Lichtablenkung : = 2R
R
aber immer nur wenn R RS . In der N
he von Krpern, deren Dichte so gro
ist, da ihr Radius von gleicher Grenordnung wie ihr Schwarzschildradius
ist, sind die entsprechenden Formeln komplizierter. Ein Grund dafr ist, da
nicht nur von der Masse selbst, sondern auch von der Energie, die im Feld um
die Masse herum enthalten ist, Gravitationswirkung ausgeht.
2.21 Interferenz von Photonen
An diese Stelle gehrt die Erinnerung, da Licht eine Welle ist. Ohne Welleneigenschaften keine Interferenz, keine Beugung, keine Rntgenstrukturanalyse.
Photonen knnen miteinander interferieren. Genauer gesagt kann jedes Photon
mit sich selbst interferieren. Solange der Weg des Photons nicht eingeschr
nkt
wird, sind wir gezwungen zu sagen, da sich das Photon aufteilt und auf vielen
Wegen l
uft und da es sich erst bei beobachteter Absorption (oder Streuung)
wieder in ein einzelnes Teilchen verwandelt.
Im Sinne von beobachtbarer Energie sind Photonen unteilbar. Halbierung der
Lichtintensit
t heit Halbierung der Quantenintensit
t mit konstanter Energie
pro Quant. Ein Photon ist kein klassisches Wellenpaket mit
ZZZ 1
~2
W0 =
(2.95)
2 "0 E0 dV = h!:
Im Optik-Teil der Vorlesung wurde das Interferenzmuster am Doppelspalt
mit rotem Laserlicht gezeigt. Wird nur Spalt 1 beleuchtet, gilt mit Spaltbreite
d Wellenl
nge fr die Intensit
t I auf dem Beobachtungsschirm in grosser
Entfernung hinter dem Spalt
I() = I1 const:
(2.96)
wie in Abb. 2.30 gezeigt. Bei Beleuchtung von nur Spalt 2 ergibt sich ebenfalls
I() = I1 . Wenn wir genau wissen, durch welchen der beiden Spalte das Licht
gelaufen ist (realisierbar z. B. durch Beleuchten beider Spalte mit doppelter
Interferenz von Photonen
55
Intensit
t und abwechselndes Abdecken jedes der beiden Spalte fr je die H
lfte
der Zeit), ergibt sich
I() = 2 I1 :
(2.97)
Sind beide Spalte gleichzeitig genet, so dass ich von jedem einzelnen Photon
nicht weiss ob es durch Spalt 1 oder Spalt 2 gelaufen ist, ergibt sich mit dem
Spaltabstand D
I() = 4 I1 cos2 (D sin =)
(2.98)
was zwar im Mittel ber alle Winkel gleich 2I1 ist, aber das Streifenmuster der
Abb. 2.30 zeigt.
2,0
I
e 0 E02
4I1
I
1,0
2I1
0,5
I1
0
0
J
Abbildung 2.30: Intensit
tsverteilung am Einzel- und Doppelspalt
Das Doppelspaltexperiment ist das Urbild aller Interferenz- und Beugungseffekte und deshalb auch geeignet, die Quantenaspekte auf die einfachstmgliche
Weise zu demonstrieren. Laufen die Photonen durch Spalt 1, ergibt sich die
Verteilung I1 , laufen sie durch 2, entsteht ebenfalls I1 . Laufen sie abwechselnd
durch 1 und 2, ergibt sich 2I1 und nicht I. Die einzige widerspruchsfreie Erkl
rung ist im Falle der Kurve I zu sagen, da die Photonen durch beide Spalte
laufen. Die Photonen oder jedes einzelne Photon? Die Antwort heit leider jedes einzelne Photon. In einem klassischen Experiment hat Taylor 1909 das
Beugungsbild eines dnnen Drahtes mit sehr schwachen monochromatischem
Licht fotograert. Sehr schwach hie Belichtungszeit 3 Monate und immer nur
ein Photon auf der Reise zwischen Lichtquelle und Film. Und das ergab das
1 Sekunde.
selbe Beugungsbild wie bei intensivem Licht und Belichtungszeit 100
Nicht nur Taylors Experiment, alle sp
teren Erfahrungen zeigen, da einzelne Photonen !mit sich selbst interferieren knnen. Kann ein Photon zwischen
Lichtquelle und photograscher Platte auf verschiedenen Wegen laufen, so interferieren diese Wege und legen fest, ob dieses Photon mit groer oder kleiner
Wahrscheinlichkeit im Punkt P ankommt.
56
Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Interferenz
2.22 Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der
Interferenz
Bei Emission und Absorption6 besteht Licht aus Photonen der unteilbaren
Energie h!. Dazwischen wird die Ausbreitung des Lichtes im Raum korrekt
~ r t) und
durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben, in denen E(~
~ r t) kontinuierlich variierende und linear zu berlagernde Feldst
rken sind.
B(~
Diese Aussagen scheinen sich zu widersprechen. Aber die Natur ist nun eben
so, wir mssen uns damit abnden. Abnden und dem Widerspruch einen Namen geben: !Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes. Abnden und wenn mglich in eine brauchbare Sprache bringen, mit deren Hilfe wir den Dualismus
!verstehen. Verstehen heit, soweit damit vertraut sein, da die Ergebnisse von
Experimenten mit hnlichen oder schwierigeren Gegebenheiten (4 Spalte statt
2 oder ein ganzer Kristall) richtig vorhergesagt werden. Diese brauchbare Sprache, die heute bliche Interpretation des Welle-Teilchen-Dualismuses, ist die
Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Ich erl
utere sie an Hand des Doppelspaltexperimentes. Bei Beleuchtung nur eines Spaltes sehen wir auf dem Beobachtungsschirm
dN I = dt dA h! :
(2.99)
1
Bei koh
renter Beleuchtung beider Spalte gilt in der N
herung sin = :
dN dN
I = dt dA h! = 4 dt dA h! cos2 (D=) :
(2.100)
1
Auf dem Beobachtungsschirm, der im Abstand R hinter dem Doppelspalt in der
xy-Ebene liegt, hat ein Fl
chenelement die Gre dA = R d dy. Insgesamt in
der Messzeit T treen N0 Photonen auf den Schirm, d. h.
Z Z dN
T Rddy = N0 :
(2.101)
A dt dA
Die Wahrscheinlichkeit, da ein einzelnes dieser N0 Photonen irgendwo auf den
Schirm trit, ist 1. Die Wahrscheinlichkeit dP , da dieses Photon in einem
Streifen zwischen und + d auf dem Schirm auftrit, ist
1 dN T R d dy
d
=
dP = dP
d
N0 dt dA
(2.102)
= const cos2 D
d
und diese Wahrscheinlichkeit fr ein einzelnes Photon ist eine kontinuierliche
und keine gequantelte Funktion von .
Die kontinuierlichen Maxwellschen Gleichungen beschreiben exakt die
Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Photons. Die Wahrscheinlichkeit, dass das
6 oder auch bei der Compton-Streuung , wo das Rckstoelektron verrt, dass und wo ein
Photon vorbeigekommen ist.
Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Interferenz
57
Photon durch Spalt 1 og, ist 50% und ebenso 50 % , dass es durch Spalt 2 og.
Die Wahrscheinlichkeiten sind den Quadraten der Maxwell'schen Feldst
rken
proportional. Und an diesem Quadrat liegt es, da koh
rente und inkoh
rente
berlagerung zweier Wellen verschiedene Ergebnisse geben.
An einem Spalt allein :
An zwei Spalten inkoh
rent :
An zwei Spalten koh
rent :
dP1 = const
dP2 = const
dP = const
dP = const
E12
E22
(E12 + E22)
(E1 + E2 )2
(2.103)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
Die elektrische Feldst
rke spielt die Rolle einer !Wahrscheinlichkeitsamplitude,
und die Wahrscheinlichkeit ist das Quadrat dieser Amplitude.
Im Film wird gezeigt, wie bei kleiner Intensit
t einzelne Photonen zuf
llig verteilt nach einem Doppelspalt auf einen Beobachtungsschirm auftreen.
Erst nach dem Auftreen sehr vieler Photonen ergibt sich fr das Auge eine
cos2(D=)-Verteilung.
Kapitel 3
Wellen und Wellenpakete
Dieses Kapitel ist ein Nachtrag zu dem, was in Physik I und II ber Schwingungen und Wellen gesagt wurde. Da Schwingungen ausfhrlich behandelt wurden, hier darber nur ein mathematischer Nachtrag. Wir beschr
nken uns auf
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad, also solche, die durch eine einzige Funktion y = y(t) beschrieben werden.
3.1 Fourieranalyse periodischer Schwingungen
Eine Funktion y = y(t) heit periodisch, wenn
y(t + T) = y(t)
(3.1)
gilt. T heit die Periode, = 1=T die Frequenz und
(3.2)
! = 2 = 2
T
die Kreisfrequenz. Periodische Funktionen beschreiben unged
mpfte Schwingungen, und es soll hier gleich sein, ob die elektrische Ladung in einer Antenne, ein
Pendel im Schwerefeld oder das Magnetfeld in der Spule eines Schwingkreises
schwingt. Eine Schwingung heit harmonisch, wenn sie einem Sinus oder Cosinus
folgt:
y = y0 cos(!t + ) :
(3.3)
Die Schwingung eines Pendels im Schwerefeld ist nur fr kleine Amplituden
harmonisch, bei greren Amplituden ist sie unharmonisch, aber immer noch
periodisch. Unter Einu von Reibung wird sie gedmpft, d.h. unperiodisch. Fr
das Rechnen mit Schwingungen ist oft die komplexe Schreibweise ntzlich. Im
Fall der harmonischen Schwingung:
y^ = y^0 ei!t y^0 = y0 ei
(3.4)
y = Re^y = Rey0 ei!t+i = y0 cos(!t + ) :
(3.5)
Den Konventionen der Elektrotechnik folgend, will ich hier alle komplexen
Gren mit einem ^ kennzeichnen. Die physikalische Schwingung y ist der
Fourieranalyse periodischer Schwingungen
59
Realteil der Schwingung y^, gleichgltig ob diese harmonisch, periodisch oder
gar aperiodisch ist.
Jede periodische Funktion der Periode T = 2=! l
t sich in eine unendliche
Reihe harmonischer Funktionen entwickeln. Fourier 1822:
y^(t) =
1
X
n=;1
g^n ein!t
(3.6)
Die Fourierkoezienten g^n dieser Fourierreihe ergeben sich aus y^ durch ein
Integral ber die Periode T:
Z t+T
1
y^(t)e;in!t dt
g^n = T
t
(3.7)
fr alle n einschlielich Null. Der Beweis fr Glg. (3.7) l
uft ber die Orthogonalittsrelation der trigonometrischen Funktionen:
Z t+T
t
ei(m;n)!t dt = mn T
(3.8)
1 Z y^e;im!t dt = 1 Z X g^ ein!te;im!t dt = 1 X g^ T = g^
m
T
T n n
T n n mn
(3.9)
Die Vertauschung von Integral und Summe gilt fr alle stckweise glatten
periodischen Funktionen, das gehrt in die Mathematik. Die Bedeutung der
Fourierreihe liegt natrlich darin, da die Summe in Glg. (3.6) nicht von
bis + zu laufen braucht, um eine sehr gute Approximation der Funktion y^ zu
erhalten.
;1
1
Ins Reelle bersetzt:
y = Re y^ =
1
X
(Re g^n cos n!t Im g^n sin n!t)
;
n=;1
= Re g^0 +
= a20 +
1
X
n=1
1
X
1
(Re g^n + Re g^;n ) cos n!t +
1
X
( Im g^n + Im g^;n ) sinn!t
n=1
;
(an cos n!t + bn sin n!t) :
(3.10)
Beispiele von Fourieranalysen
und -synthesen
60
mit
Z
an = Re (^gn + g^;n) = T1 Re y^(e;in!t + ein!t)dt
Z
Z
1
2
= T Re y^ 2 cos n!t dt = T y cos n!t dt n = 0 1 2 : ::
Z
bn = Im( g^n + g^;n) = T1 Im y^( e;in!t + ein!t) dt
Z
Z
2
1
= T Im(^y 2i sin n!t) dt = T Im(i^y ) sin n!t dt
Z
Z
= T2 Re y^ sin n!t dt = T2 y sin n!t dt n = 1 2 : : :
;
;
(3.11)
Soll y^ = y reell sein, dann l
t sich auch die Schreibweise nach Glg. (3.6) mit
komplexen Harmonischen verwenden. Die komplexen Fourierkoezienten g^n
haben dann die spezielle Eigenschaft
g^;n = g^n
(3.12)
wobei g^n das Konjugiert-Komplexe von g^n ist. Beweis direkt aus Glg. (3.6):
y^ = y^
X y^ reell
X
(3.13)
g^n ein!t = g^n e;in!t
multipliziert mit e;im!t und ber T integriert
g^m = g^; m q.e.d.
(3.14)
Diese Form ist in den Anwendungen am h
ugsten: die Schwingung wird durch
eine reelle Funktion y(t) beschrieben, und in ihrer Reihenentwicklung stehen
komplexe Harmonische ein!t mit komplexen Fourierkoezienten der Eigenschaft g^n = g^; n . Der Zusammenhang mit den an und bn aus Glg. (3.10) lautet
dann:
an = 2 Re^gn
g^n = 12 (an ibn )
(3.15)
bn = 2 Im^gn g^;n = 12 (an + ibn )
Fourieranalyse heit Bestimmung der Fourierkoezienten einer Schwingung
und Beschreibung der Schwingung durch diese Koezienten. Die Gesamtheit der
Koezienten bildet das Spektrum der Schwingung. Die Bestimmung der Koezienten / des Spektrums kann mathematisch durch Glg. (3.7) oder messtechnisch
mit einem Fourieranalysator erfolgen. Ein Fourieranalysator fr elektrische
Schwingungen ist z.B. ein variabler Bandpasslter, der nur eine Frequenz und
ein schmales Frequenzband darum herum !passieren l
sst und fr alle anderen
Frequenzen einen sehr hohen Widerstand hat.
,
;
;
3.2 Beispiele von Fourieranalysen
und -synthesen
Als erstes Beispiel soll hier der !S
gezahn analysiert werden. Er entspricht in
etwa der Schwingungsform einer gestrichenen Saite, z.B. auf einer Violine. Der
Beispiele von Fourieranalysen
und -synthesen
61
Bogen nimmt die Saite ein Stck mit, je nach St
rke, mit der er gestrichen wird.
Dann lst sich die Saite ab, springt zurck und wird dann wieder vom Bogen
erfat. Die dazugehrige periodische Funktion heit
y(t) = A Tt
in T2 + T2
(3.16)
Die Berechnung des Fourierspektrums l
uft wie folgt:
;
y
A/2
T/2
t
Abbildung 3.1: !S
gezahn als Beispiel fr die Fourieranalyse
Z + T2 t
Z + 12
1
;
in
2
t=T
dt = A 1 heh dh
g^n = T T A T e
;2
;2
mit h = t=T und = in2. Damit wird fr n = 0:
h
;
1
1
+2
g^n = A 12 eh = A
; 12
A e 2 + e; 2
A e 2
= 2
2
A
A
= 4in 2 cos n
42 n2
1)n+1
an = 0 , bn = A( n
;
;
;
;
)
2
;
;
e; 2
6
;
1 e2
2
;
1
;
2
(3.17)
;
1 e; 2
2
iA( 1)n
=
2i sin
n
| {z } 2n
;
0
;
Fr n = 0 ist g^0 = 0.
y(t) = A sin !t
;
(3.18)
1
1
2 sin 2!t + 3 sin 3!t : : :
;
(3.19)
Abb. 3.2 zeigt die Funktionen
yN = A
N ( 1)n+1
X
sin n!t
;
n=1
n
als Approximationen des S
gezahns fr N = 4, 10, 20 und 40.
(3.20)
Beispiele von Fourieranalysen
und -synthesen
62
y
N=4
N=10
N=20
N=40
A
0
0
T/2
Abbildung 3.2: Fourieranalyse des !S
gezahns
bn
n
Abbildung 3.3: Frequenzspektrum des !S
gezahns
t
Beispiele von Fourieranalysen
und -synthesen
63
Abb. 3.3 zeigt das Frequenzspektrum des S
gezahns, wie hier ausgerechnet und wie auch z. B. mit einem Bandpasslter-Analysator zu messen. Die
!Spektrallinien entsprechen n = 1 2 3 : : : bzw. ! = !1 2!1 3!1 : : :, wenn
!1 = 2=T die !Grundfrequenz des S
gezahns ist. Das menschliche Ohr
reagiert nicht auf die Phasenunterschiede von 180 zwischen sin !0 t sin 2!0t
usw., sondern nimmt nur die relativen Intesit
ten b21 : b22 : b23 : : : : wahr. Die
Grundfrequenz !1 bestimmt die Tonhhe der Schwingung, und das Verh
ltnis
b21 : b22 : b23 : : : : die Klangfarbe, wobei fr die Violine nachzutragen ist, da nicht
wie in Abb. 3.3 b2n = 1=n2 ihren Klang bestimmt, sondern der Resonanzboden
das Spektrum entscheidend ver
ndert.
Wie in der Elektrik gilt auch in der Akustik der quadratische Zusammenhang
zwischen Amplitude und Intensit
t. Bei fester Frequenz ist die Intensit
t:
1 2 vs 2 2
dW
I = dtdW
(3.21)
dA = vs dV = vs 2 u0 = 2 ! x0
Dabei ist vs die Schallgeschwindigkeit, die Dichte des Tr
germediums, x0
die Ortsamplitude und u0 die Geschwindigkeitsamplitude der Schwingung im
Tr
germedium. Wegen der logarithmischen Empndlichkeit des Ohres gibt man
meist nicht I an, sondern
L = 10 log II
(3.22)
0
Dabei ist I0 frequenzabh
ngig und wird bei = 2000 Hz zu I0 = 10;12 Wm;2
gesetzt. Die dimensionslose Zahl L heit Lautst
rke und erh
lt die knstliche
Einheit 1 Phon.
Das Ohr ist ein Fourieranalysator, der nur Amplitudenquadrate abliefert,
aber sonst mit phantastischen Eigenschaften: Frequenzbereich 20 20000 Hz
(Faktor 1000) Ausungsvermgen je nach Frequenzbereich bis zu = 300,
d.h. zwei Tne mit um 0,3% verschiedenen Frequenzen werden im gnstigsten
Fall noch als verschieden erkannt dynamischer Bereich 10;12 Wm;2 bis
1Wm;2 (Faktor 1012 von der Hrschwelle bis zur Schmerzgrenze, entsprechend
0 bis 120 Phon).
;
Als zweites mathematisches Beispiel soll die periodische Rechteckschwingung
in Abb. 3.4 Fourieranalysiert werden. Die Amplitude sei A, die Periode T und
die Breite B mit 0 < B < T .
y
T
A
-
B
2
B
2
Abbildung 3.4: Rechteckfunktion
t
64
Amplituden- und Intensit
tsspektrum
(
B
B
y(t) = A fr B 2 t + B2
0 fr 2 t T 2
;
(3.23)
;
Fr n = 0 ist
6
Z2
T he;in2t=T i+ B2
1
g^n = T B Ae;in2t=T dt = A
T in2
; B2
;2
h
i
iA e;inB=T e+inB=T = iA ( 2i) sin nB
= 2n
2n
T
A
nB
= n sin T :
B
;
;
R
;
(3.24)
B
Und fr n = 0 ist g^0 = T1 ;+B22 A dt = AB=T. Damit ist
2
3
" X
#
1
1 sin n B
B
X
sin
n
B
AB
in!t
T
T
y(t) = A 4 T +
e 5 = T 1+
B 2 cos n!t :
n=1 n T
n=;1,n6=0 n
(3.25)
Die Reihe besteht nur aus Cosinus-Termen, weil y(t) eine gerade Funktion ist.
Genau wie die S
gezahn-Reihe als ungerade Funktion nur aus Sinus-Termen
bestand. In Abb. 3.5(a) und Abb. 3.5(b) zeigen wir das Spektrum der an fr
zwei F
lle: B=T = 1=2 und B=T = 1=10. Tr
gt man vertikal an = AB
T und
horizontal != B auf, ergibt sich in beiden F
llen das gleiche Spektralbild, nur
liegen bei kleinerem Verh
ltnis B : T die Spektrallinien dichter.
B=1
T 2
!
B= 1
T 10
1 2
2
y = A 2 + cos !t 3 cos 3!t + : : :
;
"
!
1 + 2 sin BT cos !t + : : :
y = A 10
BT
#
(3.26)
(3.27)
Bleibt B konstant und wird T immer grer, rcken die Linien immer dichter
zusammen. Anschaulich folgt daraus, da im Grenzfall T
ein kontinuierliches Spektrum entsteht. D.h. das Spektrum eines einzigen Rechteckimpulses
der Breite B wird aussehen wie in Abb. 3.6, wobei noch zu kl
ren bleibt, wie
der Absolutwert der Amplituden a(!) mit A zusammenh
ngt. Dies folgt im
bern
chsten Abschnitt.
! 1
3.3 Amplituden- und Intensittsspektrum
In der Optik ist dW=dt dA = "0 cE~ 2 , und der zeitliche Mittelwert davon ist
I = dW=dt dA = "0 cE~ 02 =2, wenn E~ = E~ 0 cos !t eine harmonische schwingende
Feldst
rke ist. In der Akustik ebenso, I = vs u20=2 = vs !2 x20 =2, dabei ist
die Intensit
t wieder das zeitliche Mittel einer Energieudichte, und u0 und
x0 sind Geschwindigkeits- und Ortsamplituden einer harmonischen Schwingung
Amplituden- und Intensit
tsspektrum
65
an
an
2B
T
2B
T
0
6
n
4p 6p
B B
w
4
2
2p
B
0
(a) 1:2
10
20
30
n
2p
B
4p 6p
B B
w
(b) 1:10
Abbildung 3.5: Frequenzspektrum der Rechteckfunktion
a(w)
2B
T
2p
B
4p
B
6p
B
w
Abbildung 3.6: bergang zum Fourierintegral
mit der Kreisfrequenz !. Immer gilt der quadratische Zusammenhang zwischen
Amplitude und Intensit
t. Wie lautet dieser Zusammenhang bei periodischen
und nicht-harmonischen Schwingungen? Sei y = y(t) periodisch, I y2 (t) mit
/
Aperiodische Schwingungen und das
Fourierintegral
66
hier nicht weiter interessierenden Proportionalit
tskonstanten.
y = reell =
y2
=
1
X
n=;1
1 X
1
X
n=;1 m=;1
g^n ein!t g^n = g^; n g^ng^m ei(n+m)!t
(3.28)
:
Bei der Mittelung ber
R die Zeit sind alle Beitr
ge Null auer n + m = 0, d. h.
m = n, denn 1=T 1 dt ber eine Periode ist 1.
;
y2 =
1
X
n=;1
g^ng^;n =
1
X
n=;1
g^ng^n =
1
X
n=;1
g^n 2
j
(3.29)
j
Wichtiges Ergebnis: Das zeitliche Mittel des Amplitudenquadrates ist die Summe der Betragsquadrate der Fourierkoezienten. Deshalb bilden die g^n 2 das
!Intensit
tsspektrum der Schwingung. Mit an und bn :
j
y2 =
1
X
n=;1
2
g^n 2 = a40 +
j
j
1
X
n=1
2
g^n 2 + g^;n 2 = a40 + 2
j
j
j
j
j
1 a2 b2
X
4n + 4n ] (3.30)
n=1
3.4 Aperiodische Schwingungen und das
Fourierintegral
Das Frequenzspektrum einer periodischen Schwingung besteht aus diskreten
Spektrallinien, i.a. aus unendlich vielen. Besteht das Spektrum einer Schwingung aus einer einzigen Frequenz, so handelt es sich um eine harmonische
Schwingung, die unendlich lange andauert.
Aperiodische Schwingungen und insbesondere Schwingungen endlicher
Dauer haben ein Spektrum, das nicht aus diskreten Frequenzen, sondern aus
Frequenzb
ndern oder einem breiten Kontinuum von Frequenzen besteht. Die
Analyse solcher Schwingungen erfordert die Mathematik der Fourierintegrale.
Jede1 nichtperiodische Funktion y^(t) l
t sich als Fourierintegral schreiben:
r Z1
1
y^(t) = 2
g^(!)ei!t d!
;1
Darin ist das !Frequenzspektrum g^(!) der Funktion y^(t):
r Z1
1
(3.31)
g^(!) = 2
y^(t)e;i!t dt
(3.32)
;1
Die beiden Relationen zwischen y^(t) und g^(!) sehen denen fr die Fourierreihe
periodischer Funktionen in Glg. (3.6) und Glg. (3.7) sehr hnlich. Im Grenzfall sehr groer Perioden T n
hert sich die unendliche Summe ber sehr viele
1
im ganzen Intervall (;1 +1) deniert und stckweise glatt
Beispiele zum Fourierintegral
67
benachbarte diskrete Frequenzen einem Integral ber ein Kontinuum von Frequenzen. Statt eines Beweises verweise ich nochmals auf Abb. 3.5(a)und 3.6, die
diesen Grenzfall veranschaulichen. Da beim Integral die ! Fourierkoezienten
g^(!) mit d! bewichtet werden mssen, um einen endlichen Integralwert y^ zu
erhalten, hat g^(!) einer andere Dimension als g^n in der Fourierreihe. Aus 1=T
in Glg. (3.7) wird dadurch 1=2, und aus Grnden der Symmetrie wird je ein
Faktor 1= 2 in beide Relationen gesteckt. Ist die Funktion y^ = y reell, gilt:
p
g^( !) = g^ (!) (3.33)
;
und daraus folgt:
r Z 1
1
Z0
g^(!)ei!t d! +
g^(!)ei!t d!
y = 2
0
;1
r Z 1
Z1
1
i!t
;
i!t
= 2
g^(!)e d! +
g^( !)e d!
0
r Z 10 1
g^(!)ei!t + g^ (!)e;i!t d!
= 2
r Z 10
Re^g(!) cos !t Im^g(!) sin !t]d!
= 2
Z1 0
=
a(!) cos !t + b(!) sin !t] d! ;
(3.34)
;
0
mit:
r
Z1
2
1
a(!) = Re^g(!) = y(t) cos !t dt ;1
r
Z1
y(t) sin !t dt b(!) = 2 Im^g(!) = 1
;1
r
g^(!) = 2 a(!) ib(!)] :
;
(3.35)
;
)hnlich wie bei der Fourierreihe haben gerade Funktionen, d.h. solche mit
y(t) = y( t) ein rein reelles g^(!), d.h. b(!) 0, und ungerade Funktionen mit
y(t) = y( t) haben ein imagin
res g^(!) a(!) 0. Dies folgt direkt aus
Glg. (3.32), reelles y vorausgesetzt. Soweit das Fourierintegral als mathematisches Werkzeug zur Spektralanalyse einer nichtperiodischen Funktion.
;
;
;
!
3.5 Beispiele zum Fourierintegral
Wir betrachten vier Beispiele, als erstes eine Schwingung, die mit cos t nicht
unendlich lange andauert, sondern wie in Abb. 3.7(a) nur ber eine Dauer T.
Der voreilige Schlu !diese Schwingung hat die Frequenz gilt nur ungef
hr.
8
>
<0
y(t) = >A cos t
:0
< t < T2
T < t < +T
2
2
T <t<
2
;1
;
;
1
(3.36)
68
Beispiele zum Fourierintegral
)
b(!) = 0 y =
Z1
0
Z + T2
A
a(!) cos !t d! a(!) = T cos t cos !t dt :
;2
(3.37)
Mit cos cos = 21 cos( + ) + cos( )] wird daraus:
;
AZ
a(!) = 2
+ T2
; T2
cos(! )t + cos(! + )t] dt
;
A sin(!
= 2
!
"
sin(!
= A
!
;
;
;
T
)t + sin(! + )t + 2
! + ; T2
#
) T2 + sin(! + ) T2 :
!+
;
(3.38)
Dieses Frequenzspektrum ist in Abb. 3.7(b) dargestellt. Es enth
lt nicht nur ,
a(w)
AT
2p
y
Dw =
4p
T
w
t
Dw
T
(a) Der Wellenzug...
(b) ...und sein Spektrum
Abbildung 3.7: Fourierintegral eines begrenzten Wellenzuges
sondern ein Band von Frequenzen um herum. Als Ma fr die Breite dieses
Bandes knnen wir ! zwischen den beiden ersten Nulldurchg
ngen nehmen.
! T = ! = 4
(3.39)
2 2
T :
Je l
nger die !harmonische Schwingung andauert, umso schmaler ist das
Frequenzband um die Zentralfrequenz .
)
Als zweites betrachten wir eine exponentiell schwach ged
mpfte harmonische
Schwingung, die zwar unendlich lange anh
lt, aber deren Amplitude wie in
Abb. 3.8(a) exponentiell abnimmt:
(
<t<0
y(t) = 0 ;
t
Ae cos t 0 t <
;1
1
(3.40)
Beispiele zum Fourierintegral
69
y
a, b
a
Dw=2g
A
e -gt
b
W
t
w
-A
(a)
(b)
Abbildung 3.8: Fourierintegral zur ged
mpften Schwingung
Schwach ged
mpft heit , diese N
herung soll am Ende der Rechnung
ausgenutzt werden, um Schreibarbeit zu sparen.
y = Re^y y^ = Ae;
t+it Z1
A
g^ =
e;
t+it;i!t dt
2 0
h ;
t+i(;!)ti1
A= 2 1
e
=
= A
0
+ i(! )
2 + i i!
Z
+
1
i!t
e d!
A
y^ = 2
+ i(! ) :
p
p
p
;
;
;1
;
;
A Z 1 cos !t i(! )i sin !t d!
y = 2
2 + (! )2
;1
;
;
;
Z1
0
(a cos !t + b sin !t)d! :
(3.42)
)
(3.41)
A
a(!) = 2
2 + 2 + (! + )2 + 2 (!
)
! !
A
b(!) = 2 (! )2 + 2 + (! + )2 + 2 :
;
;
;
;
(3.43)
;
Dies sind die exakten Resultate fr die Spektralfunktionen a und b unabh
ngig
von der N
herung . Die Resultate enthalten zwei Summanden, weil in der
Denition mit a und b das Fourierintegral nur von 0 bis statt von
bis
+ l
uft. Die Resultate sind in Abb. 3.8(b) dargestellt. Fr und in der
N
he von , d.h. mit der zus
tzlichen N
herung (! ) dominiert jeweils
1
1
;1
;
70
Beispiele zum Fourierintegral
der erste Summand, und es gilt
A
a(!) 2
(! )2 + 2 b(!)
A2
1
a2(!) + b2(!) 4
2 (! )2 + 2 :
;
A
! 2 (! )2 + 2 ;
(3.44)
;
;
In der N
he von haben die Spektralfunktion a(!) und die Summe a2 +b2, die
wir sp
ter als Intensit
tsspektrum kennen lernen werden, die gleiche Form. Diese
Form hat zwei Namen: Lorentz-Kurve und Breit-Wigner-Kurve. Sie kennen
sie als N
herung der Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung. Die Kurve
ist symmetrisch um und hat die Halbwertsbreite 2, d. h. a(+) = a( ) =
a()=2. Damit gilt hier wie im ersten Beispiel eine reziproke Beziehung zwischen
Breite des Frequenzbandes und Dauer der Schwingung. 1= ist die mittlere
Lebensdauer T der Schwingungsamplitude y(t).
! = T2 :
(3.45)
Als drittes Beispiel betrachten wir einen einzigen Schwingungsausschlag y(t),
der Einfachheit halber mit der schon bei der Fourierreihe bekannten Rechteckform, in Abb. 3.9(a) nochmals aufgezeichnet: Um die Vorteile der geraden
Funktion auszunutzen, legen wir t = 0 in die Mitte des Impulses.
;
a(w)
y(t)
AT
p
Dw =
2p
T
A
w
Dw
T/2 t
-T/2
(a)
(b)
Abbildung 3.9: Fourierintegral eines !Rechteckes
8
>
<0 T < t < TT2
y(t) = >A 2 < t < + 2
:0 + T < t < +
2
;1
;
;
(3.46)
1
r Z + T2
1
A e;i!t + T2
g^(!) = 2 T Ae;i!t dt =
; T2
2 i!
;2
p
;
(3.47)
Beispiele zum Fourierintegral
71
r
h
i
=2) :
= A 2 sin(!T
g^(!) = iA e;i! T2 ei! T2 = iA 2i sin !T
2
!
! 2
! 2
2A
!T
T = AT a(!) = ! sin 2 b(!) = 0 a(0) = 2A
2 Z 1 sin(!T=2)
2A
y(t) = cos !t d! :
!
0
(3.48)
Die Spektralfunktion a(!) fr den Rechteckimpuls ist in Abb. 3.9(b) dargestellt.
Wir kennen sie schon aus Abb. 3.6 als Grenzfall der periodischen, aber sehr seltenen, Wiederholung von Rechteckimpulsen. Denieren wir hier als Bandbreite
! den ersten Nulldurchgang von a(!), gilt
! T2 = ! = 2
(3.49)
T
Je krzer der Puls, desto breiter das Frequenzspektrum. Das Spektrum ist
hier nicht um einen Zentralwert herum verteilt wie in den beiden ersten
Beispielen, sondern es ist sehr breit.
p
;
p
;
)
Re g$ (w )
As
y
A
Ae
-
1
2
Ase
s
-
1
2
1/s
t
(a)
w
(b)
Abbildung 3.10: Fourierintegral zur Gau-Funktion
Als letztes Beispiel ein einziger Schwingungsauschlag y(t) mit der Form einer Gaukurve. Ihr Fourierintegral ergibt eine Spektralfunktion, die wieder
die genau gleiche Form einer Gaukurve hat. Wir legen t=0 in die Mitte des
Impulses, siehe Abb. 3.10(a):
y = Ae;t2 =22
(3.50)
In dieser !Standarddarstellung der Gaufunktion ist A die Amplitude und die !Standardbreite oder Standardabweichung. An der Stelle t = ist die
Funktion
auf e2 ;1=22 = 1= e = 61% der Amplitude abgesunken.
Das InteR
R
1
+ ;t2 =22
;
t
=
2
gral ;1 Ae
dt betr
gt 2 A. Das Integral ; Ae
betr
gt
0 683 2 A, d.h. innerhalb der Standardbreite liegen 68 3% der gesamten
Fl
che unter der Kurve. Die Kurve ist symmetrisch, der Mittelwert t ist Null,
und die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert (t t)2 ist 2 . Soweit die Eigenschaften der Gaukurve. Mittelwert und mittlere quadratische
p
p
p
;
Die Unsch
rferelation zwischen Zeit und
Frequenz
72
Abweichung vom Mittelwert sind wie folgt deniert:
R +1 ty(t) dt
t = R;1
+1
y(t) dt
(3.51)
R +1 (t t)2y(t) dt
(t t)2 = ;1R +1
y(t) dt
(3.52)
;1
;
;
;1
Die Spektralfunktion g^(!) des Gaufrmigen Impulses ist:
Z +1 2 2
g^(!) = 1
Ae;t =2 e;i!t dt :
2 ;1
(3.53)
p
Da e;t2 =22 gerade ist, entf
llt der Imagin
rteil, und es gilt:
Z +1 2 2
1
Ae;t =2 cos !t dt :
(3.54)
g^(!) = g(!) =
2 ;1
Aus einer Integraltafel, z.B. Bronstein-Semendjajew, entnimmt man:
r
g^(!) = A 2 2 e;!2 2 =2 = Ae;!2 2 =2 :
(3.55)
2
Dieses Spektrum ist wieder Gaufrmig und in Abb. 3.10(b) dargestellt. Dabei
sind wir in der Form g^(!) geblieben, wo die Frequenzen von
bis + laufen.
Die physikalischen Frequenzen sind natrlich nur positiv, und
p
a(!) = 2= g^(!)
ist nur von ! = 0 bis deniert. Als Breite ! von a(!) knnen wir ! =
^g(!)] = 1=
y(t)] nehmen, und mit t = = y(t)] gilt
! = 1 :
(3.56)
t
Je breiter der Zeitimpuls, umso schmaler das Frequenzspektrum.
p
p
;1
1
1
3.6 Die Unschrferelation zwischen Zeit und
Frequenz
In allen vier Beispielen des vorhergehenden Abschnitts war die Breite des Frequenzspektrums umkgekehrt proportional zur Dauer der Schwingung. Die Proportionalit
tskonstante war immer von der Grenordnung 1.
cos t der Dauer T : ! T = 4 Exponentiell ged
mpfte Schwingung: ! 1= = 2 Rechteckimpuls der Breite T : ! T = 2 Gauimpuls der Standardbreite t : ! t = 1 :
Die Unsch
rferelation zwischen Zeit und
Frequenz
73
Das Produkt aus Frequenzbandbreite und Schwingungsdauer ist konstant,
und da die Konstante in den vier F
llen leicht verschiedene Werte hat, liegt
sowohl an den verschiedenen Schwingungsformen als auch an den verschieden
benutzten Denitionen von !Breite. Aber im Prinzip ist die Aussage immer die
gleiche, und sie gilt allgemein: Nur eine unendlich lang andauernde harmonische
Schwingung hat die Frequenzbandbreite Null.
Eine allgemein gltige Aussage fr das Produkt aus Schwingungsdauer
und Frequenzbandbreite l
sst sich nur fr die Intensit
ten der Schwingung
angeben. Dies liegt daran, da die Standardbreite einer Funktion nach der
Denition von Glg. (3.52) ein berall positives y(t) erfordert. Amplituden
knnen positiv und negativ sein. Amplitudenquadrate sind immer positiv und
bedeuten Intensit
ten. Was bedeutet nun Intensit
t bei den Spektralfunktionen?
Dazu mssen wir zun
chst die Ergebnisse fr die Fourierreihe in Abschnitt 3.3 fr aperiodische Schwingungen umschreiben. Es war:
+1
X
"
#
1 a2 b2
2 X
a
0
n+ n
2
2
g^n = k 4 +
I =k y =k
(3.57)
2
n=;1
n=1 2
wenn y = y(t) eine reelle periodische Schwingung ist. Bei einer aperiodischen
Schwingung macht
R es keinen Sinn, nach einem zeitlichen Mittelwert zu fragen.
Hier z
hlt nur y2 dt, und mit den gleichen Bezeichnungen wie oben ist:
Z
It(t) dt = k
Z +1
;1
Z
j
j
y2 dt = k
Z +1
;1
g^(!) 2d! = 2k
j
j
Z1
g^(!) 2d!
j
j
(3.58)
Z
2(!) b
=k 2 + 2 d! = I! (!) d!
0
Die zeitliche Intensit
t ber die Zeit integriert ist gleich der spektralen Intensit
t ber das Spektrum integriert.
1 a2 (!)
0
Im Fall der Gauform ist
y(t) = Ae;t2 =22 It (t) = k A2 e;t2 =2 :
(3.59)
Die Standardbreite von y(t) ist , die von y2 (t) ist = 2. Die Standardbreite von
g(!) ist 1=, die Standardbreite von I! (!) = ka2(!)=2 ist folglich 1=( 2).
Fr die Gaufunktion gilt also
y2 (t)] g^ 2(!)] = 21 :
(3.60)
Fr andere Funktionen gilt Glg. (3.60) mit dem Ungleichheitszeichen, und allgemein gilt:
y2 (t)] g^ 2(!)] 21 :
(3.61)
Die grundlegende Bedeutung dieser Ungleichung (3.61) fr die Wellenausbreitung von Quanten wurde 1927 von Heisenberg erkannt. Die Ungleichung
p
p
j j
j j
74
Wellen in einer Raumdimension
heit deshalb in der Quantenmechanik die Heisenbergsche Unschrferelation .
An dieser Stelle der Vorlesung ist sie nur eine Eigenschaft beliebiger Schwingungen: Ist die Frequenz scharf, wohl deniert, dann ist der Zeitpunkt der
Schwingung wenig gut deniert, unscharf, die Schwingung dauert lange an. Ist
der Zeitpunkt der Schwingung scharf deniert, ist die Frequenz unscharf. Und
was in diesem Zusammenhang lange oder kurze Dauer der Schwingung heit,
h
ngt noch von der Hhe der Frequenz ab.
In diesem Sinn hat sicher Mozart die Unsch
rferelation gekannt: Fr Pikkolote knnen schnelle Triller komponiert werden, fr Kontrafagott nur langsame. Dazu eine Rechnung zur Veranschaulichung: Wie lange muss ein Ton der
Frequenz %damit ist gemeint, dass die Mitte des tiefsten Frequenzbandes bei
liegt] mindestens anhalten, damit er den gleichen Klang hat wie ein Dauerton
dieser Hhe? Das Ohr hat im mittlerenFrequenzbereich ein Ausungsvermgen
von = 100 ! 10;2 !. Gleicher Klang heisst < =100. Nach
Glg. (3.39) gilt fr die gesuchte Dauer
T = 4=! = 2= > 200= :
Dies ist eine Sekunde fr = 200 Hz, fr hhere Tne krzer und fr tiefere
l
nger.
)
Zweites Beispiel: Ein bestimmtes angeregtes Atom hat eine mittlere Lebensdauer von 10;8 s. Danach sendet es Licht der Quantenenergie h! = 2 eV aus.
Dieses Licht ist nicht monochromatisch, sondern hat eine !natrliche Linienbreite von
= !
2 2 eV
;7
! 10;8 s = h 10 :
Folglich ist auch die Anregungsenergie des angeregten Atoms nicht scharf deniert, sondern nur mit W=W 10;7. Diese Aussagen werden wir sp
ter
noch pr
zisieren, bzw. in die Wahrscheinlichkeitssprache der Quantenmechanik
bringen.
3.7 Wellen in einer Raumdimension
Eine Welle ist die r
umliche Ausbreitung einer periodischen Schwingung. Die
r
umliche Ausbreitung einer aperiodischen Schwingung werden wir sp
ter ein
Wellenpaket nennen. Wellen in nur einer Raumdimension sind z.B. Wellen, die
ein Seil entlanglaufen. Oder ebene Wellen im dreidimensioalen Raum x y z, die
sich in x-Richtung ausbreiten und zu festem x und t unabh
ngig von y und z
sind. Die Wellenamplitude a h
ngt von x und t ab, aber auf spezielle Weise:
Schwingung a(t)
Welle a(t xv ) d. h. die Wellenamplitude ist nicht eigentlich Funktion von zwei Variablen x
und t, sondern nur von einer, t x=v. Meist schreibt man:
A = A(x t) = a(x vt) :
(3.62)
Die Welle ist mit A bezeichnet, und a heit ihre Phasenfunktion. v heit Phasengeschwindigkeit, und ' = x vt heit Phase. Veranschaulicht ist dies in
!
;
;
;
;
Wellen in einer Raumdimension
75
Abb. 3.11.
A(F)
f
Festes x= x1,x2 (x1<x2):
A(x1,t)
Festes t=t1,t2 (t1<t2):
A(x,t1)
T
L
x
t
A(x2,t)
(x1-x2)/n
A(x,t2)
v(x1-x2)
t
x
Abbildung 3.11: Ausbreitung einer Welle
Glg. (3.62) beschreibt eine nach rechts, d.h. zu positivem x hin laufende
Welle. Eine nach links laufende Welle wird durch
A(x t) = a(x + vt)
(3.63)
beschrieben. Die nach rechts laufende Welle erfllt die partielle Dierentialgleichung:
1 @A = @A (3.64)
v @t
@x
die nach links laufende Welle:
@A
1 @A
(3.65)
v @t = + @x und beide Wellen:
;
1 @2A = @2A
(3.66)
v2 @t2 @x2
Beweis: @A=@x = da=d', @A=@t = v da=d' je nach Richtung,
@ 2 A=@x2 = @ 2 a=@'2 , @ 2 A=@t2 = v2 d2a=d'2. Die drei Gleichungen, insbesondere Glg. (3.66) heien Wellengleichung . Jede Funktion, die sie erfllt, ist
eine Welle. Die Wellengleichungen sind lineare Dierentialgleichungen. Deshalb
gilt das Superpositionsprinzip: Ist die Funktion A1(x t) eine Welle und auch die
76
Wellen in drei Raumdimensionen
Funktion A2 (x t), dann ist A1 + A2 wieder eine Welle.
Zwischen Schwingungsdauer T bei festem x und Wellenl
nge bei festem t
gilt der einfache Zusammenhang:
(3.67)
v = T :
Beweis: A(x t) = a(x vt).
Periodisch heit A(x t) = A(x + t) a(x vt) = a(x + vt),
und auch A(x t) = A(x t T) a(x vt) = a(x vt vT).
Daraus folgt = vT , q. e. d.
;
;
;
;
;
;
;
Die Wellengleichungen enthalten weder T noch , d.h. auch die Superposition
von A1 und A2 zu verschiedenen T und ist eine Welle. Die Superposition
einer nach rechts laufenden Welle und einer nach links laufenden erfllt weder
Glg. (3.64), noch Glg. (3.65), aber Glg. (3.66). Eine solche Superposition heit
auch Welle, insbesondere stellt
A(x t) = a(x vt) + a(x + vt)
(3.68)
eine stehende Welle dar. Da stehende Wellen so interessant sind wie laufende,
wollen wir im folgenden nur fordern, da eine Welle Glg. (3.66) erfllt nur diese
nennen wir Wellengleichung .
;
3.8 Wellen in drei Raumdimensionen
Eine Welle in einer Raumdimension erfllt Glg. (3.66). Eine ebene Welle im
dreidimensionalen Raum, die sich in x-Richtung ausbreitet, ebenfalls. Fr sie
gilt auerdem
1 @2A = @2A + @2A + @2A
A
(3.69)
v2 @t2 @x2 @y2 @z 2
mit A = A(x y z t). Auch ebene Wellen in y- und z-Richtung und beliebige
Superpositionen davon erfllen Glg. (3.69). Weitere Beispiele sind Kugelwellen :
A(r # ' t) = 1r a(r vt) :
(3.70)
Eine Kugelwelle, die sich von (0 0 0) mit v kugelsymmetrisch nach auen ausbreitet, stellt man am besten in Kugelkoordinaten (r # ') dar. Kugelsymmetrie
heit Unabh
ngigkeit von # und ', und in diesem Fall heit der -Operator2 :
@A 1
@
A = r2 @r r2 @r
(3.71)
Damit l
t sich nachrechnen, dass der Ansatz 3.70 die dreidimensionale Wellengleichung erfllt, und der simplere Ansatz A(r # ' t) = a(r vt) nicht. Die
allgemeinste ebene fortschreitende Welle heit:
A(~r t) = a(~e ~r vt)
(3.72)
4
;
4
4
;
;
2
s. z. B. S. Gromann, Mathematischer Einfhrungskurs fr die Physik
Elektromagnetische Wellen als Beispiel
77
wobei ~r = (x y z) der Ortsvektor und ~e der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung ist. Beweis mit ~e = ( ):
@ 2 A = v2 a00 @ 2 A = 2a00 @ 2 A = 2 a00 @ 2 A = 2 a00 :
(3.73)
@t2
@x2
@y2
@z 2
2 + 2 + 2 = 1
A = a00 :
(3.74)
Damit ist Glg. (3.69) erfllt. Punkte einer Wellenfront , d.h. alle Punkte ~r mit
konstanter Phase = ~e ~r vt = const, liegen zur gleichen Zeit t in einer Ebene
~e ~r = x+y+z = const, die senkrecht auf ~e steht, dx+dy+dz = ~e d~r = 0,
~e d~r.
)
4
;
?
3.9 Elektromagnetische Wellen als Beispiel
~ r t) und B(~
~ r t), die
Hier soll nur gezeigt werden, dass fr zwei Vektorfelder E(~
die Maxwellschen Gleichungen erfllen, auch die Wellengleichung 3.69 gilt. Die
vier Maxwellschen Gleichungen fr das elektrische und magnetische Feld lauten
in dierentieller Form im Vakuum:
div E~ = 0 div B~ = 0 (3.75)
~
~
rot E~ = @@tB rot B~ = c@2E@t :
Und weiter mit elementarer Vektoranalysis3:
!
@ 2 Bx = @ ( rot E~ ) = rot @ E~ = c2(rot rot B~ )
x
x
@t2 @t
@t x
0
1
(3.76)
@
= c2 @ @x |div{zB~} + div gradBx A = c2 Bx :
;
;
;
;
;
Ebenso ist
4
0
@ 2 By = c2 B y
@t2
4
@ 2 Bz = c2 B :
z
@t2
(3.77)
4
Und genauso:
!
@ 2 Ei = c2 rot @ B~ = c2 rot rot E~ = c2 E i = x y z : (3.78)
i
@t2
@t i
i
Zusammengefat:
@ 2 B~ = c2 B~ @ 2 E~ = c2 E
~
(3.79)
2
@t
@t2
mit der nicht ganz so elementaren Schreibweise V~ = ( Vx Vy Vz ). Alle
sechs Komponenten erfllen die Wellengleichung, und die Felder breiten sich mit
v = c aus. Auf hnliche Weise, von den entsprechenden physikalischen Gesetzen
ausgehend, l
sst sich zeigen, da longitudinale oder transversale Strungen in
elastischen Medien oder Schallausbreitung in Gasen die Wellengleichung 3.69
erfllen und deshalb zu Wellen fhren.
;
;
4
4
4
4
3
4
siehe S. Gromann, Mathematischer Einfhrungskurs in die Physik
4
4
78
Harmonische Wellen und Fourieranalyse
3.10 Harmonische Wellen und Fourieranalyse
l
A
x
Abbildung 3.12: Momentanbild einer Welle
Wellen A(x y z t), deren Phasenfunktion a(~e ~r vt) oder a(r vt) harmonisch ist, sind harmonische Wellen. Am festen Ort schwingen sie harmonisch mit
ei!t , wobei ! = 2=T, und zu fester Zeit t ist ihr Momentanbild eikx ebenfalls
harmonisch wie in Abb. 3.12. Die Periode heit Wellenlnge , und k = 2=
heit Wellenzahl :
~k = 2 ~e (3.80)
= k(~e ~r vt) = ~k ~r !t (3.81)
v = !k = T :
(3.82)
Auch die Ortsperiode einer nichtharmonischen Welle wie in Abb. 3.11 heit
meist einfach Wellenlnge, wir wollen hier die Bezeichnung beibehalten. Harmonische ebene Wellen und Kugelwellen schreiben sich wie folgt:
E(x y z t) = A cos(~k ~r !t) (3.83)
A
K(r # ' t) = r cos(kr !t) :
(3.84)
Genauso wie wir periodische Schwingungen in eine Fourierreihe harmonischer
Schwingungen entwickeln knnen, so eine Welle in eine Summe von harmonischen Wellen mit Wellenl
ngen , die ganzzahlige Bruchteile von sind. Allerdings nur, wenn die Phasengeschwindigkeit v von unabh
ngig ist. Dann gilt
fr den Fall einer ebenen Welle mit der Periode T und der Ortsperiode :
;
;
;
;
;
;
E(x y z t) =
+1
X
n=;1
g^n ein(~k~r;!t)
(3.85)
mit Wellenzahlen nk = kn = n 2= und Kreisfrequenzen n! = !n = n 2=T .
Die Koezienten g^ errechnen sich wie folgt:
Z x+
1
g^n = E(x y z t0)e;in(~k~r;!t0 ) dx
(3.86)
x
zu fester Zeit t0. Vorsicht: Diese Fourierzerlegung und alles bisher gesagte
einschlielich Abb. 3.11 gilt nur fr den Fall, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit harmonischer Wellen unabh
ngig von ihrer Wellenl
nge ist. Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum ist das streng der Fall, bei Schall in Luft in
Harmonische Wellen und Fourieranalyse
79
v
10 m / s
8
2,00
1,982
1,96
1,94
0
0,5
1
1,5
2 l
mm
Abbildung 3.13: Licht in Glas
v
cm / s
40
überwiegend
Kapillar- Schwerewellen
wellen
30
20
anormale normale
Dispersion
10
0
2
4
6
8 l
cm
Abbildung 3.14: Ober
chenwellen auf Wasser
80
Dispersionsbehaftete Wellen
sehr guter N
herung. Elektromagnetische Wellen in Materie oder Wellen auf
der Wasserober
che zeigen Dispersion, d.h. harmonische Wellen verschiedener Wellenl
nge breiten sich verschieden schnell aus. v = v() darf dann nicht
mehr Ausbreitungsgeschwindigkeit , sondern muss Phasengeschwindigkeit genannt werden. Wellen mit v = !=k = const heien dispersionsfrei, anderenfalls
dispersionsbehaftet.
3.11 Dispersionsbehaftete Wellen
Abb. 3.13 zeigt die experimentellen Ergebnisse fr die Phasengeschwindigkeiten
von Licht in Glas und Abb. 3.14 fr Ober
chenwellen auf dem Wasser. Bei
Licht ergibt sich v aus:
c
v = v() = n()
(3.87)
mit Brechungszahlen n als Funktion der Wellenl
nge. Fr Wasserwellen im Tiefwasser (Tiefe ) gilt:
s
2
+
v = g
2 (3.88)
wobei g die Schwerebeschleunigung, die Ober
chenspannung und die
Dichte ist. Steigt v mit , spricht man von normaler Dispersion , f
llt v mit ,
von anormaler Dispersion .
In beiden F
llen werden aus harmonischen Schwingungen harmonische
Wellen, aber aus periodischen nichtharmonischen Schwingungen werden i.a.
nichtperiodische Wellen, sogenannte Wellengruppen, Wellenzge, Wellenpakete . Die zwei folgenden Beispiele zur Veranschaulichung sind mit v() aus dem
rechten Teil von Abb. 3.14 durchgerechnet, d. h. fr Wasserwellen mit 2 cm.
Erstes Beispiel: a(t) = A cos !1 t mit !1 = 2 5 s;1 fhrt zu einer Welle
a1 (x t) = A cos (2x=1 !1t) mit 1 = 6 cm, denn v = v(6cm) 30 cm/s. Zu
!2 = 2 10 s;1 gehrt ebenfalls eine harmonische Welle mit 2 = 2 5 cm und
v = v(2 ) = 25 cm/s. Die berlagerung beider Schwingungen fhrt zur berlagerung beider Wellen, aber das Wellenbild ist nicht mehr periodisch, genauer
gesagt ist die Periode sehr viel grer als 6 cm. Abb. 3.15 veranschaulicht diese
Resultate. Das Erscheinungsbild Abb. 3.15c ndert sich auerdem mit der Zeit,
aber nach 0,2 s sieht es wieder gleich aus. Das Wellenbild sieht so unregelm
ig
aus, dass es ungeeignet ist, den Begri der Gruppengeschwindigkeit zu demonstrieren.
;
Die folgende Welle,
A(x t) =
6
X
i=1
2
gi cos (x v(i )t) i
;
(3.89)
wieder in Wasser, mit 1 = 3 8 cm, g1 = 1, 2 = 4 2 cm, g2 = 1, 3 = 3 4 cm,
g3 = 0 67, 4 = 4 6 cm, g4 = 0 67, 5 = 3 cm, g5 = 0 2 und 6 = 5 cm,
Dispersionsbehaftete Wellen
a1(t)
81
A1(x,t=0)
0,2 s t
a2(t)
A2(x,t=0)
0,2 s
a1+a2
x
6 cm
t
x
5 cm
A1+A2(t=0)
x
0,2 s t
Abbildung 3.15: berlagerung zweier Wellen
g6 = 0 2. Dies ist ein ausreichend schnes Wellenpaket, um die Gruppengeschwindigkeit zu sehen. v() ist wieder aus Abb. 3.14 fr Wasserwellen. Vier
Momentaufnahmen sind in Abb. 3.16 gezeigt, fr t = 0 0 2 0 4 und 0 6 s.
Man erkennt deutlich, da ein Maximum innerhalb der Wellengruppe schneller
l
uft als die Gruppe als Ganzes. Der !Schwerpunkt der Gruppe ist gleich dem
Maximum der Einhllenden. Ein einzelnes Maximum, eine einzelne Phase l
uft
mit der Phasengeschwindigkeit v' , hier v' = v(4cm) aus Abb. 3.14 26 cm/s.
Die Gruppe l
uft mit der Gruppengeschwindigkeit vg 20 cm/s. Die genaue
Denition der Gruppengeschwindigkeit und ihre Berechnung aus v' = v' ()
folgt im n
chsten Abschnitt. Der hier gezeigte Fall vg < v' gilt immer bei
normaler Dispersion mit dv' =d > 0. Da die Maxima und Minima schneller
laufen als die Gruppe, entstehen Maxima und Minima am Gruppenende und
verschwinden im Gruppenkopf. Dies wird in einem Film sowohl an Hand einer
82
Wellenpakete
x
x
x
x
vg vf
Abbildung 3.16: Phasengeschwindigkeit bei Wellenpaketen. Die vier Wellenbilder entsprechen der Welle in Gl. 3.89 zu Zeiten t = 0, t = 0:2 s, t = 0:4 s und
t = 0:6 s.
gezeichneten mathematischen Wellengruppe hnlich Abb. 3.16 als auch an
Hand von Wasserwellen mit 70 cm in einer 25 m langen Versuchsrinne
gezeigt.
Bei anormaler Dispersion mit dv' =d < 0 ist vg > v' , und innerhalb einer
Wellengruppe entstehen Maxima am Gruppenkopf und verschwinden am Gruppenende. Bei dispersionsfreien Wellen mit dv'=d = 0 ist vg = v' , und das
Erscheinungsbild der Welle ndert sich nicht mit der Zeit. Dann gilt Abb. 3.11
fr beliebige Wellengruppenform.
3.12 Wellenpakete
Unter Wellenpaket oder Wellengruppe verstehen wir die i. a. nichtperiodische
Ausbreitung einer Amplitude A(x y z t) durch den Raum. Bei dispersionsbehafteten Wellen, auch dispersive Wellen genannt, kann eine solche nichtperiodische Gruppe durchaus auch aus einer periodischen Schwingung hervorgegangen
sein. Fr die folgende Diskussion beschr
nken wir uns wieder auf eine Raumdimension x, im Fall einer ebenen Welle, kann man sich das Koordinatensystem
Wellenpakete
83
so gedreht denken, dass ~e = ~ex . Bei dispersionsfreien Wellen ndert sich das
Bild des Wellenpaketes mit der Zeit nicht, bei dispersiven Wellen ndert es
sich, wie in Abb. 3.17 dargestellt. Als Gruppengeschwindigkeit wird die Ausdispersiv
dispersionsfrei
t=t0
t=t1>t0
Dx
x
Abbildung 3.17: Gestalt eines Wellenpaketes
breitungsgeschwindigkeit vg des Mittelpunktes des Wellenpaketes deniert.
Zu fester Zeit t, z. B. t = 0, kann man vom Momentanbild der Welle eine
Wellenl
ngenspektralanalyse durchfhren:
r Z +1
1
A(x 0) = a(x) = 2
g^(k)eikx dk
;1
r Z +1
1
g^(k) = 2
a(x)e;ikx dx
;1
(3.90)
(3.91)
wobei g^(k) = g^ ( k), wenn a(x) reell. Dabei sind die eikx harmonische Momentanbilder, und k = 2= wie im Abschnitt ber harmonische Wellen deniert.
Ein einfacher Sonderfall eines Wellenpaketes ist die !fast harmonische Welle
mit einem Wellenbild bei t = 0 wie in Abb. 3.18(a):
^ 0) = a^(x) = Ae;x2 =2x2 eik0 x
A(x
(3.92)
;
Welches ist das Wellenl
ngen- bzw. das Wellenzahlspektrum dieses Paketes?
r Z +1
1
;x2 =2x2 eik0 x e;ikxdx
(3.93)
2 ;1 Ae
Z +1 2 2
A
= reell =
e;x =2x cos(k k0)x dx
(3.94)
2 ;1
= Ax e;(k;k0)2 x2 =2
(3.95)
Dieses Wellenzahlspektrum ist in Abb. 3.18(b) dargestellt. Es ist eine
Gaufunktion des Mittelwertes k0 und der Standardbreite k = 1=x,
das ist der Kehrwert der Standardbreite der Amplitudenfunktion e;x2 =2x2 in
g^(k) =
p
;
84
Wellenpakete
Re a$
sk =
Re g$
1
sx
x
l0 =
2p
k0
sx
k0
(a) Ortsraum
k
(b) Impulsraum
Abbildung 3.18: eine !fast harmonische Welle
der fast harmonischen Welle.
Zurck zum allgemeinen Wellenpaket. Seine Momentaufnahme war in
Glg. (3.90) spektral zerlegt worden. Jeder harmonische Anteil g^(k)eikx hat
eine feste Ausbreitungsgeschwindigkeit, die gleich der zu dieser Wellenl
nge
= 2=k gehrenen Phasengeschwindigkeit v() ist. Daraus folgt:
A(x t) =
=
Z +1 g^(k)
p
2
Z;1
+1 g^(k)
;1
p
2
eikx;v()t]dk
ei(kx;!t)dk
mit ! = vk v = !k = v() :
(3.96)
So geschrieben ist ! = !(k) eine Funktion von k und v = !(k)=k.
Ein typisches Wellenpaket wird immer so hnlich aussehen wie das in
Abb. 3.18(a). Nicht so speziell mit Gaufrmiger Amplitudenfunktion und
Gaufrmigem Wellenzahlspektrum, aber doch mit abfallender Wellenfunktion fr x
und einem mehr oder weniger breiten Spektrum um k = k0
herum. Mit dem Ansatz
! 1
A(x t) = M(x t) ei(k0 x;!0 t)
(3.97)
ist ein solches Paket beschrieben, wobei zun
chst nur M(x 0), die Einhllende
der Momentaufnahme, vorgegeben ist. Bei hinreichend breitem M(x 0) ist das
Spektrum g^(k) eine hinreichend schmale Funktion um k = k0 herum. Die Frage,
die uns zur sauberen Denition der Gruppengeschwindigkeit fhrt, lautet: Wie
Wellenpakete
85
ndert sich M(x t) mit der Zeit?
A(x 0) =
A(x t) =
Z +1 g^(k)
2
Z;1
+1 g^(k)
p
2
p
eikx dk
ei(kx;!t)dk
;1
M(x t) = e;i(k0 x;!0t) A(x t)
Z +1 g^(k)
p
ei(k;k0)x;i(!;!0 )t)dk :
=
;1 2
(3.98)
! = !(k) ist eine Funktion von k. Diese kann an der Stelle k = k0 in eine
Taylorreihe entwickelt werden:
1 d2! (k k )2 + : : :
! = !0 + d!
(k
k
(3.99)
k
0) +
0
0
dk
2 dk2 k0
Da nach Voraussetzung nur Wellenzahlen um k0 herum im Spektrum vorkommen, verwenden wir die lineare N
herung und erhalten:
Z +1 g^(k)
M(x t) =
ei(k;k0)x;i(k;k0)d!=dkt) dk
;1 2
(3.100)
Z +1 g^(k)
ei(k;k0)(x;d!=dkt) dk :
=
;1 2
Wenn d!=dk unabh
ngig von k ist, gilt:
M(x t) = M(x d!
(3.101)
dk t 0)
d. h. M(x,t) bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit vg = d!=dk nach rechts
und ndert seine Form nicht. Im allgemeinen ist vg selbst wieder Funktion von k,
d.h. im Integral kommen mehrere Gruppengeschwindigkeiten vor. Dann bewegt
sich M(x t) nicht nur, sondert ndert mit der Zeit seine Form, das Wellenpaket
!zeriet. Aber dieses Zerieen geht langsamer als das Fortbewegen, und
j
;
j
;
p
p
;
vg = d!(k)
dk
(3.102)
gilt als allgemeine Denition der Gruppengeschwindigkeit.
Ist v' = v' () gegeben, dann l
sst sich Glg. (3.102) umschreiben:
dv'
2 dv' d
! = v' k d!
(3.103)
dk = v' + k dk = v' + d dk 2
d = 2 = :
(3.104)
= 2
k
dk
k2
2
;
;
Damit ergibt sich
'
vg () = v' () dv
d ()
;
(3.105)
86
Die Unsch
rferelation zwischen Ort und Wellenl
nge
Fr dispersionsfreie Wellen gilt vg = v' , solche mit normaler Dispersion haben
vg < v' , und solche mit anormaler Dispersion vg > v' .
Als abschlieendes Zahlenbeispiel sollen nochmals die Ober
chenwellen auf
tiefem Wasser herhalten. Es war dort die Phasengeschwindigkeit
s
2
v' = g
+
2 (3.106)
mit der Erdbeschleunigung g, der Ober
chenspanung = 0 073 N=m und der
Dichte . Daraus folgt v' (4cm) = 0 27 m=s. Und fr vg folgt:
dv' = 1 g 2
d 2v' 2 2 (3.107)
' = g=2 + 3 2= = 0 18 m bei = 4 cm:
vg = v' dv
d
2v'
s
;
;
3.13 Die Unschrferelation zwischen Ort und
Wellenlnge
Nur unendlich weit ausgedehnte harmonische Wellen haben eine einzige Wellenl
nge, alle anderen bestehen aus der berlagerung mehrerer Partialwellen mit
verschiedenen Wellenl
ngen. Unendlich weit ausgedehnt heit unbestimmt im
Ort, die Welle bendet sich berall. Ist im entgegengesetzten Fall ein Wellenpaket sehr gut lokalisiert, d.h. ist sein x in Abb. 3.18(a) sehr klein, dann ist sein
Wellenl
ngenspektrum sehr breit. Nehmen wir zun
chst die Gausssche Einhllende der Abb. 3.18(b). Fr die allgemeingltige Denition der Standardbreiten
brauchen wir Amplitudenquadrate:
^ 0) = Ae;x2 =2x2 eik0 x
A(x
^ 0) 2 = A2 e;x2 =x2
(3.108)
A(x
2
2
g^(k) 2 = A2 x2 e;(k;k0) x
und mit
^ 2] k = g^(k) 2]
x = A(x)
(3.109)
j
j
j
j
j
j
j
erhalten wir:
j
1
(3.110)
2
mit dem Gleichheitszeichen. Dies ist unabh
ngig von k0, d. h. von der Wellenl
nge innerhalb des Wellenpaketes, Das Grerzeichen gilt " auch hier ohne Beweis
" fr alle F
lle nicht-Gauscher Einhllenden. k = 0 heit harmonische Welle, sie bendet sich berall, x = 0 heit pr
zise lokalisiertes Wellenpaket, sein
Wellenl
ngenspektrum reicht von 0 bis + . Beide Extreme sind Idealisierungen, die in der Natur nicht vorkommen. Alle !Wellen, die man beobachtet, sind
Wellenpakete mit = 0 x = 0, und immer gilt Glg. (3.110).
x k
6
1
6
Kapitel 4
Materiewellen
Licht zeigt Wellen- und Teilcheneigenschaften. In der Diskussion der Photonen
haben wir uns historisch von Einsteins Deutung des Photoeektes 1905 bis
zum Comptoneekt 1922, der Koinzidenzmessung von gestreutem Photon und
rckgestreutem Elektron 1925 und der Paarerzeugung 1932 vorgearbeitet. Die
Interpretation der Lichtwelle als Wahrscheinlichkeitsverteilung fr Photonen
wurde kurz angeschnitten, sie geht auf Born 1926 zurck.
Zwanzig Jahre lang, von Einstein 1905 bis de Broglie 1924 hat anscheinend niemand n
her untersucht, ob der bei Licht oenkundige Dualismus von
Teilchen und Welle auch bei !Materieteilchen, d. h. bei Objekten mit einer
Ruhemasse m0 = 0 sichtbar werden kann. Nach de Broglies Doktorarbeit
ber Materiewellen 1924 verlief die Geschichte explosionsartig, mit den bahnbrechenden Arbeiten von Heisenberg 1925, Schrdinger 1926 und Born,
Heisenberg und Jordan 1926 wurde innerhalb von zwei Jahren das gesamte
Geb
ude der heutigen Quantenmechanik aufgebaut.
6
Die ersten berzeugenden Interferenzerscheinungen von Elektronenwellen an
Kristallen wurden 1927 von Davisson und Germer, und unabh
ngig von ihnen
1928 von G. P. Thomson gefunden.
4.1 De Broglies Hypothese
De Broglie stellte 1924 seine theoretische Doktorarbeit !Recherches sur la
Th*orie des Quanta fertig, in der er untersuchte, welche Eigenschaften Wellen
haben mssten, die die Bewegung von Teilchen mit der Ruhemasse m0 = 0 beschreiben. m0 = 0 bedeutet !Materie im Gegensatz zum Licht mit m0 () = 0,
deshalb der heute bliche Name Materiewellen .
6
6
Ein freies Teilchen der Ruhemasse m0 bewegt sich geradlinig mit der Geschwindigkeit ~v , dem Impuls p~ = m0~v und der Energie E = m0 c2 . Fr Photonen und ihre Wellen galt Glg. (2.9), E = h!, und daraus folgte mit dem
Einheitsvektor ~e in Photonenrichtung Glg. (2.12):
~p = ~e Ec = hc! ~e = hk~e = h~k :
(4.1)
88
Verhalten bei Lorentztransformationen
Versucht man hypothetisch die gleichen Beziehungen
2
E = h! = m0 c2 = qm0 c 2
1 vc2
~p = h~k = m0 ~v = qm0~v 2
1 vc2
(4.2)
;
(4.3)
;
fr Materieteilchen, so erh
lt man eine ebene Welle
= (x y z t) = Aei(~p~r;E t)=h :
(4.4)
Die Fl
chen konstanter Phase sind Ebenen senkrecht zur Teilchengeschwindigkeit, genauso wie Wellenfronten der Optik Ebenen senkrecht zur Richtung der
Lichtstrahlen und der Photonen sind. Wir schreiben die Welle komplex und
benutzen die in der Quantenmechanik dafr bliche Bezeichnung1 .
Was ist die Phasengeschwindigkeit von de Broglies hypothetischer Welle?
0 c2 = c2 > c :
v' = !k = Ep = m
(4.5)
m0 v v
Die Phasengeschwindigkeit ist grer als die Lichtgeschwindigkeit, aber sie ist
abh
ngig von v, d. h. wellenl
ngenabh
ngig. De Broglie-Wellen sind also
dispersiv, dv' =dv < 0, dv'=dk < 0, dv'=d > 0. Es liegt normale Dispersion
vor, d. h. die Gruppengeschwindigkeit ist kleiner als die Phasengeschwindigkeit.
Wie gro ist sie? Mit vg = d!=dk erhalten wir:
d qp2c2 + m2 c4 = 1 2pc2
vg = dE
=
0
dp dp
2E
(4.6)
2
2
m
vc
pc
0
= E = m c2 = v :
0
Die Gruppengeschwindigkeit eines de Broglieschen Wellenpaketes ist gleich
der Geschwindigkeit eines Teilchens, dessen Bewgung dieses Paket beschreiben
soll. Dies ist ein brauchbares und zugleich merkwrdiges Ergebnis: Die Welle
bewegt sich nur dann mit dem Teilchen mit, wenn das Teilchen keinen scharfen
Impuls p = p0 hat, sondern wenn ein Paket aus einer berlagerung von Impulsen
um p0 herum vorliegt. p = p0 scharf hiee harmonische Welle mit v' = c2=v.
p = p0 p unscharf heit Wellenpaket mit vg = v.
4.2 Verhalten bei Lorentztransformationen
Wie ndert sich die Wellenfunktion der Bewegung eines Materieteilchens,
wenn wir diese Bewegung nicht im Inertialsystem S(x y z t), sondern in einem
dagegen gleichfrmig bewegten System S 0 (x0 y0 z 0 t0) beschreiben?
= Aei(~p~r;Et)=h 0 = A0ei(~p ~r ;E t )=h :
0
0
0 0
(4.7)
1 Das ^ ber sparen wir uns von jetzt ab, Materiewellen sind immer komplex. Auch schreiben wir die Energie im folgenden wieder als E , nicht mehr als W , weil keine Verwechslung
mit der el. Feldstrke mehr mglich ist.
Wie gro sind de Broglies Wellenl
ngen?
89
P
(ct x y z) ist ein Vierervektor
xi. x0i = k Lik xk . Auch (E=c px py pz ) ist ein
P
0
~ zweier
Vierervektor pi , und pi = k Lik pk . Das Viererprodukt V0 W0 V~ W
~
~
Vierervektoren Vi = (V0 V ) und Wi = (W0 W) ist eine Invariante. Daraus folgt:
Et ~p ~r = E 0 t0 p~0 ~r0 ~k ~r !t = ~k0 ~r0 !0 t0 :
(4.8)
Die Phase einer de Broglie-Welle ist relativistisch invariant. Wichtig ist das
fr Phasendierenzen, denn konstruktive Interferenz zweier Teilwellen soll in
jedem Inertialsystem konstruktive Interferenz sein.
;
;
;
;
;
4.3 Wie gro sind de Broglies Wellenlngen?
Aus Glg. (4.3), p~ = h~k, folgt:
h = h = p hc
= 2
:
(4.9)
p
p
E 2 m20 c4
In dieser Form gilt Glg. (4.9) auch fr Lichtteilchen. Fr Materieteilchen mit
E = m0 c2 ist p = 0, das Teilchen ruht, und seine Welle hat eine unendlich groe
Wellenl
nge. Mit steigender Energie wird kleiner. Bei nichtrelativistischen
Geschwindigkeiten v c ist p = mv und
h :
= mv
(4.10)
Bei gegebener Teichengeschwindigkeit ist die Wellenl
nge proportional zu 1=m.
Groe Massen bedeuten kleine Wellenl
ngen. Es folgen ein paar Zahlenbeispiele:
1. Ein Auto im Straenverkehr. m = 103 kg v = 50 km=h = 14 m=s =
h=mv = 5 10;38 m. Diese Wellenl
nge ist so winzig, selbst im Vergleich zu
Atomkerndurchmessern von 10;15 m, dass Materiewellen im Straenverkehr keine Rolle spielen und auch sonst nirgends in der makroskopischen
Mechanik.
2. Ein Luftmolekl bei Zimmertemperatur. m = 32 u = 32 931
106 eV=c2 Ekin = k 300 K = 0 025 eV, p = 2mEkin = 3 9 104 eV=c =
3 2 10;11 m. Auch diese Wellenl
nge ist kleiner als die Gre der Molekle von einigen 10;10 m. Beobachten von Luftmoleklen bei 300 K heit
integrieren ber etwa 10 Wellenl
ngen, auch dabei werden Welleneekte
kaum sichtbar.
3. Elektronen in Kanalstrahlexperimenten + la 1900, U = 50 V, Ekin = 50
eV, m = 511 keV=c2, p = 2mE = 7150 eV=c, = h=p = 1 73 10;10 m =
173 pm. Zur Erinnerung: der Gitterabstand zwischen zwei Ebenen in NaCl
betr
gt 281 pm. D. h. die Wellenl
nge von 50 eV-Elektronen liegt in der
Gegend von Kristallgitterabst
nden. Interferenzmaxima und -minima sollten sich zeigen, entweder beim Durchgang von diesen Elektronen durch
dnne Kristallschichten oder bei Reexion an Kristallober
chen, wenn
es Materiewellen gibt.
;
p
p
hc = 1 2398 10;6 eV m :
(4.11)
Zu merken ist: Die Wellenl
nge, die einem Impuls von 1 eV=c entspricht, betr
gt
1 2398 m.
90
Das Davisson-Germer-Experiment
4.4 Das Davisson-Germer-Experiment
Die quantitative Best
tigung der De Broglie-Beziehung = h=p gelang
Davisson und Germer in den USA 1927 nach mehrj
hrigen Arbeiten ber die
Reexion von Elektronen an Metallober
chen. In den zwanzig Jahren nach
Sekundäres
Elektron
Primäres
Elektron
Elektronenquelle
Detektor
Elektronenstrahl
J
Gebeugter
Strahl
Metall
(a) Sekundrelektronenemission
(b) Versuchsapparatur
Abbildung 4.1: Davisson-Germer-Versuch
Einstein 1905 gab es zwar experimentell unzweideutiges Material ber den
Photoeekt, aber Einsteins Photonenerkl
rung blieb den meisten Physikern
unverst
ndlich. Und die Vorstellung, dass Teilchen Welleneigenschaften haben
knnten, war so absurd, dass auch Beobachtungen ber seltsame Intensit
tsmaxima beim Experimentieren mit Kanalstrahlen 2 durch dnne Folien nicht
richtig gedeutet wurden. Seit etwa 1919 ist die Beobachtung bekannt, dass
Sekund
relektronen, die von Elektronen gem
Abb. 4.1(a) aus Metallober
chen !herausgeschlagen werden, ein Energiespektrum zeigen, das unabh
ngig
von der Prim
renergie E1 ein kleines Maximum bei E2 = E1 hat. Ein Teil
der einfallenden Elektronen wird vom Metall wie von einem Spiegel reektiert.
Davisson arbeitete seit etwa 1920 an dieser Sekund
relektronenemission.
Ihre Bedeutung fr den Photovervielfacher wurde in Abschnitt 2.4 diskutiert,
Davisson war Industriephysiker bei Western Electric und bei Bell Telephone
in New York. Materiewellen machte er aus seinen Beobachtungen erst, als die
Motivation dazu durch de Broglies Arbeiten vorlag und Born und andere
ihn auf einer Tagung in England darauf hingewiesen hatten. Die Apparatur,
mit der Davisson zusammen mit Germer 1927 zum ersten Mal die Existenz
von Materiewellen nachwies, ist in Abb. 4.1(b) skizziert. Elektronen, deren
kinetische Energie E1 von ca. 40 bis 100 eV variiert werden konnte, iegen
durch Vakuum auf die Ober
che eines Nickeleinkristalls.
Der Elektronendetektor war mit einem Gegenfeld ausgestattet und registrierte nur solche Sekund
relektronen mit E2 E1. Sowohl der Winkel #
des Detektors als auch die Orientierung des Einkristalls relativ zum Prim
relektronenstrahl wurden variiert. Bei senkrechtem Einfall auf die (1 1 1)-Ebene
2
z. B. bei Lenard in Heidelberg
Das Davisson-Germer-Experiment
91
50°
40 V
44 V
48 V
54 V
60 V
64 V
68 V
Abbildung 4.2: Intensit
ten beim Davisson-Germer-Experiment
des Kristalls ergaben sich schlielich Anfang 1927 die Intensit
tsverteilungen
in Abb. 4.2. Darin ist die Zahl der mit E2 E1 reektierten Sekund
relektronen dividiert duch die Zahl der Prim
relektronen als Funktion von # als
Polardiagramm dargestellt. Da Elektronen im Metall Energie verlieren, sind sie
bei vorgegebenem E1 nur in wenigen Schichten des Kristalls monochromatisch.
Zur Deutung des Intensit
tsmaximums, das bei 54 eV und # = 50 am deutlichsten hervortritt, verwenden wir in Abb. 4.3 nur die alleroberste Schicht des
Kristalls. Konstruktive Interferenz der reektierten Elektronenwelle an benachbarten Atomen tritt ein, wenn
J
J
a
Abbildung 4.3: Elektroneninterferenz
a sin# = n n = 1 2 3 : : :
(4.12)
Aus der Rntgenstrukturanalyse von Nickel ist a = 215 pm bekannt. Mit n = 1
und # = 50 folgt daraus:
= 215 pm sin 50 = 165 pm :
(4.13)
92
Das Davisson-Germer-Experiment
Nach de Broglies Glg. (4.9) erwarten wir bei Ekin = 54 eV:
p
p
54 eV = 7400 eV p = 2mEkin = 2 511 keV
c
c
hc
= 7400 eV = 167 pm (4.14)
in bester bereinstimmung mit dem Experiment. Achtzehn weitere Intensit
tsmaxima konnten zur berprfung von p = h verwendet werden, alle
best
tigten diese Relation im Rahmen der Messfehler.
Warum tritt in Abb. 4.2 das Maximum bei 54 eV deutlicher auf, als bei
benachbarten Elektronenenergien, wo doch
a sin # = (4.15)
fr alle Energien mit entsprechendem # gilt? Dies liegt an der konstruktiven
Interferenz benachbarter Atome in einer Schicht und auch mehrerer Schichten
gem
der Braggschen Bedingung, vgl. Glg. (2.15):
2 d sin' = (4.16)
Abb. 4.4 skizziert diesen Sachverhalt. a und d sind Gitterkonstanten des Nickels,
J
2
J
2
f
a
f
d
Abbildung 4.4: Bragg bei Davisson-Germer
a = 215 pm und d = 91 pm. Damit beide Interferenzbedingungen gelten, muss
' = 2 #2 sein und
;
= a sin # = 2d sin'
#
#
#
2a sin 2 cos 2 = 2d sin 2 2 = 2d cos #2
sin #2 = ad = 0 423 :
;
Daraus folgt # = 50 , und mit n = 1 folgt Ekin = 54 eV.
(4.17)
Demonstration des Experimentes von G. P. Thomson
93
4.5 Demonstration des Experimentes von G. P.
Thomson
G. P. Thomson (Sohn von J. J. Thomson) arbeitete seit Bekanntwerden
von de Broglies Hypothese am experimentellen Nachweis von Materiewel-
len durch Elektronenbeugung in Kristallen. Die Methode, mit der er Ende 1927
erfolgreich war, entspricht der Debye-Scherrer-Methode, die bei der Behandlung der Rntgenstrahlbeugung schon kurz erw
hnt wurde: Ein Rntgen- oder
jetzt Elektronenstrahl iegt durch eine dnne polykristalline Schicht. Einkristallober
chen innerhalb dieser Schicht liegen in verschiedenster Orientierung
relativ zum einfallenden Strahl, und die Braggsche Reexionsbedingung in
Glg. (2.15),
photographische
Platte
gestreute Strahlen
Probe
Beugungsringe
Abbildung 4.5: Schema des Experiments von G. P. Thomson
n = 2 d sin #2 (4.18)
ist fr einen ganzen Kegel mit # =const, ' beliebig erfllt, wobei # der Polarwinkel und ' der Azimutwinkel des gebeugten Strahles relativ zum einlaufenden
Strahl ist. Auf einem Nachweislm ergeben sich dann Kreise von Intensit
tsmaxima, zu jedem # nach obiger Glg. (2.15) ein Kreis, wie in Abb. 4.5 skizziert.
In der Vorlesung wird Thomsons Experiment in einer Vakuumrhre mit
Elektronen der kinetischen Energie zwischen 1 und 5 keV und einer sehr dnnen
Graphitfolie vorgefhrt. Auf einem Leutschirm sieht man deutlich zwei Kreisringe, deren Polarwinkel # mit steigender Elektronenenergie kleiner werden. Bei
4 keV beobachtet man #1 = 5 2 und #2 = 9 0. Die Wellenl
nge bei 4 keV
94
Das Doppelspaltexperiment
betr
gt
1 24 10;6 eV m = 1 94 10;11 m = 19 4 pm :
= hc
=
(4.19)
pc
2 511 4 keV
Mit n = 1 folgen aus der Bragg-Glg. (2.15) zwei Gitterabst
nde:
4 pm = 214 pm d = 19 4 pm = 124 pm :
(4.20)
d1 = 219
2 2 sin4 5
sin 2 6
Diese zwei Abst
nde sind aus der Strukturanalyse von Graphit durch Rntgenstrahlen bekannt (123 pm, 213 pm), womit die de Broglie-Relation = h=p
fr Elektronen bewiesen ist.
p
1930 gelang es Stern und anderen in Experimenten mit Atomstrahlen zu
zeigen, dass auch Strahlen von H- und He-Atomen an Kristallgittern Beugungsbilder ergeben und dass fr sie ebenfalls = h=p gilt. h ist die universelle
Konstante zwischen Wellenl
nge und Teilchenimpuls, unabh
ngig von der Teilchenmasse.
4.6 Das Doppelspaltexperiment
Die Beugung einer Elektronenwelle an einer makroskopischen Beugungsstruktur gelang berzeugend 1960 in Tbingen, wo die Beugungsbilder von
40-keV-Elektronen an Einzel-, Doppel- und Mehrfachspalten der Breite 0,3 m
und des Abstandes 2 m im Elektronenmikroskop aufgezeigt wurden. Weil die
Beugung einer Welle am Doppelspalt als !Urbild aller Interferenzeekte in
unz
hligen Gedankenexperimenten herhalten muss, soll hier auf die praktische
Durchfhrung des Doppelspaltexperimentes mit Elektronen kurz eingegangen
werden. Die weitaus meiste Arbeit steckt in der Herstellung der materiefreien
Spalte in einer 50 m dicken Kupferfolie. Die Folie wird durch Elektrolyse
auf eine vorher mittels feinfokussiertem Elektronenstrahl pr
parierte SilberHochpolymer-Unterlage hergestellt. Die Beugungsstreifen im Endergebnis sind
in bereinstimmung mit dem Ergebnis der Wellenoptik in Glg. 1.16 und
= h=p.
Um 1995 gelang es Zeilinger in Wien, mit einem makroskopischen Doppelspalt das Interferenzmuster von C60-Moleklen (Fullerenen), d. h. von Materiewellen mit m = 720 u zu beobachten, auch dies in voller bereinstimmung
mit = h=p.
4.7 Wellenfunktionen und die Heisenbergsche
Unschrferelation
De Broglies Ansatz in Glg. (4.4),
= (x t) = A ei(px;Et)=h (4.21)
ist eine Wellenfunktion. Die Bewegung von Teilchen mit m v p E (in xRichtung) kann nicht durch eine harmonische Welle beschrieben werden, weil
Wellenfunktionen und die Heisenbergsche Unsch
rferelation
95
diese mit der Phasengeschwindigkeit v' = c2=v = v fortschreitet. Eine berlagerung harmonischer Wellen zu
Z +1 g^(p)
(4.22)
(x t) =
ei(px;Et)=h dp
h
;1 2
hat jedoch die Gruppengeschwindigkeit vg = v, wie in Abschnitt 4.1 bewiesen.
Die Wellenfunktion in Glg. (4.22) hat eine Impulsunsch
rfe p , die gleich der
Standardbreite von g^(p) 2 ist und eine Ortsunsch
rfe x gleich der Standardbreite von (x) 2 zu fester Zeit t. Die jedem Wellenpaket eigene Unsch
rferelation
p x h2
(4.23)
heit bei Materiewellen die Heisenbergsche Unschrferelation . Die Erkenntnis, dass die Bewegung von Teilchen nicht durch harmonische Wellen, sondern
durch Wellenpakete beschrieben werden muss und dass deshalb Ort und Impuls
zwangsl
ug nur unscharf deniert sind, geht auf Heisenberg 1925 zurck.
Nach allem heutigen Wissen beschreibt die Wellenfunktion in Glg. (4.22) die
Bewegung eines freien Teilchens vollst
ndig. Sie enth
lt die vollst
ndige Information ber die Bewegung eines Teilchens und beschreibt sowohl die Teilchenwie die Wellenaspekte der Bewegung. ber den Welle-Teilchen-Dualismus gilt
genau das gleiche, wie das in Abschnitt 2.22 gesagte ber den Dualismus von
Licht als Photonen und als Welle.
6
p
j
j
j
j
Re y
y
2
dP
x
dx
x
Abbildung 4.6: Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude
Was ist ? Wir wollen die Frage zweiteilig beantworten, was ist der Zahlenwert von und was ist die Natur von ? In bereinstimmung mit allen
Beobachtungen wird (x t) heute als Wahrscheinlichkeitsamplitude dafr angesehen, in einem Messprozess das Teilchen zur Zeit t am Ort x anzutreen.
(x t) 2dx = dP :
(4.24)
Darin ist dP die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Intervall
x x + dx] anzutreen. Das Betragsquadrat von ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte und damit eine messbare Verteilung. Am Gauschen Wellenpaket in
j
j
96
Wellenfunktionen und die Heisenbergsche Unsch
rferelation
Abb. 4.6 veranschaulicht: Kenne ich von einem Teilchen zu gegebener Zeit t
seine Wellenfunktion (x), so ergibt eine Messung der Ortskoordinate zu dieser
Zeit irgendeinen nicht determinierten Messwert x, irgendwo zwischen x0 und
+x0 . Messe ich viele Teilchen, die zu ihrer Messzeit alle durch die gleiche Wellenfunktion (x) beschrieben sind, ergibt sich eine Verteilung der Messwerte x1
gem
(x) 2 in Abb. 4.6. In diesem Sinne ist (x) 2 eine messbare Funktion.
Ein einziges Teilchen irgendwo zwischen x0 und +x0 zu lokalisieren, hat die
Wahrscheinlichkeit 1. Deshalb muss g^(p) in Glg. (4.22) auf Seite 95 so gew
hlt
werden, dass die Normierungsbedingung gilt:
;
j
j
j
j
;
Z +1
(x t) 2 dx = 1
j
;1
(4.25)
j
Im Gegensatz zum Betrag ist die Phase von nicht messbar. Warum dann
berhaupt Wellen? Dies liegt an der F
higkeit zweier (oder mehrerer) Wellenfunktionen, berlagert zu werden. Im Doppelspaltexperiment wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ankunftsorte der Elektronen auf dem Beobachtungsschirm beschrieben durch
= 1 + 2 (4.26)
wobei 1 der Bewegung des Elektrons durch Spalt 1 und 2 durch Spalt 2
entspricht. Wie beim Licht in Abschnitt 2.21 diskutiert, muss bei koh
renter
berlagerung beider Bewegungen erst die Amplitude addiert und dann quadriert werden. Mit 1 = 1 ei'1 und 2 = 2 ei'2 wird
j
j
j
j
1 + 2 2 = (
1 + 2)(
1 + 2 )
= 1 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2
(4.27)
= 1 2 + 2 2 + 2 Re(
1 2 )
= 1 2 + 2 2 + 2 1 2 cos('1 '2) :
Phasen sind nicht messbar. Aber Phasendierenzen zwischen zwei berlagerten
Wellen sind messbar " und sind verantwortlich fr alle Interferenzeekte. Die
Tatsache, dass nur Phasendierenzen und nicht absolute Phasen von Wellenfunktionen messbar sind, erkl
rt auch, warum man beim ersten Ansatz von de
Broglie-Wellen statt der relativistischen Gesamtenergie auch die kinetische
Energie verwenden kann. Mit Ruhemasse m und Geschwindigkeit v1 gilt:
p1 = 1 mv1 E1 = 1 mc2 = mc2 + Ekin1
(4.28)
1 = ei(p1 x;E1 t)=h = ei(p1 x;Ekin1 t)=h e;imc2 t=h
~
1 = ei(p1 x;Ekin1 t)=h :
Zwei de Broglie-Wellen mit benachbarten v1 und v2 haben eine Phasendierenz von h('1 '2 ) = (p1x p2x) (E1t E2t). Die entsprechenden Funktionen
~1 und ~2 haben die exakt gleiche Phasendierenz, denn Ekin1 Ekin2 = E1 E2 .
In der nichtrelativistischen Grenze haben die ~ eine Phasengeschwindigkeit
2
2
v' = !k = Epkin = mvmv=2 = 12 v = cv
(4.29)
j
j
;
j
j
j
j
j
j
j
j
;
;
j
j
j
j
;
;
6
;
;
Das Auseinanderlaufen von Wellenpaketen
97
und eine Gruppengeschwindigkeit
dEkin = d(mv2 =2) = v :
vg = d!
=
(4.30)
dk
dp
d(mv)
Aber Phasengeschwindigkeiten sind nicht beobachtbar, nur Gruppengeschwindigkeiten als Dierenz von Phasengeschwindigkeiten. Deshalb sind die ~ so gut
wie die .
Soviel zum Zahlenwert von . beschreibt Wahrscheinlichkeiten. Was ist
die !Natur von ? Alle Erkl
rungsversuche, als Tr
gerwelle von Teilchen
anzusehen, fhren zu nichts. ist von seiner Natur her das Teilchen selbst, und
(Elektron) ist ein anderes als (Proton) oder (Lichtquant) oder (Auto).
In diesem Sinne ist (Lichtquant) die elektrische und magnetische Feldst
rke.
~ besteht aus Photonen. Und das eines beliebigen Materieteilchens ist
(E~ B)
ein Feld wie E~ und B~ mit Welleneigenschaften und mit Teilcheneigenschaften.
Die Physik kennt mehrere verschiedene Typen von Feldern: Die Gravitation,
~
das (E~ B)-Feld,
das Elektronfeld, das Protonfeld : : :
Die Tatsache, dass das Feld von Materieteilchen genau solche Welleneigen~ heit dass Ort und Impuls eines
schaften hat wie das Photonenfeld ( E~ B),
Materieteilchens nie beide beliebig scharf deniert sind. Die Aussage, ein Teilchen bendet sich zur Zeit t0 am Ort x0, heit immer x0 x. Und ebenso
heit Messung von p immer p p mit p x h=2. Die Intervalle sind
nicht nur Messfehler, sondern prinzipielle Unbestimmtheiten. Wegen des kleinen Zahlenwertes von h spielt die Heisenberg'sche Unsch
rferelation in der
makroskopischen Physik keine Rolle. Hier sind die Messfehler immer grer als
die naturgegebenen Unsch
rfen.
4.8 Das Auseinanderlaufen von Wellenpaketen
Ein Wellenpaket, das zur Zeit t = 0 aussieht wie z. B. in Abb. 4.6, wandert
mit zunehmender Zeit nicht nur mit vg nach rechts, sondert ndert dabei auch
sein Aussehen. Zur Herleitung mssen wir die Funktion ! = !(k) nicht nur
bis zur ersten Ordnung wie bei der Herleitung der Gruppengeschwindigkeit in
Abschnitt 3.12 sondern bis zur zweiten Ordnung in eine Taylorreihe entwickeln.
Das Wellenpaket sei Gau-frmig und stelle eine Materiewelle dar:
g^(k) = e;(k;k0)2 =4k2 (x 0) = N
Dabei ist N so, da
Z +1
;1
(x t) = N
Z +1
;1
Z +1
;1
e;(k;k0 )2 =4k2 eikx dk :
2 dx = 1 und
j
j
e;(k;k0)2 =4k2 ei(kx;!t) dk mit ! = !(k) :
(4.31)
(4.32)
(4.33)
98
Das Auseinanderlaufen von Wellenpaketen
In nichtrelativistischer N
herung ist mit abgespaltener Ruhemasse:
p2 = hk2 ! = !(k) = Eh = 2m
h 2m
d! = hk = p = v (4.34)
dk m m
d2! = d d! = d v = h dv = h :
dk2 dk dk d(p=h)
d(mv) m
Relativistisch w
re d!=dk = v und d2!=dk2 = h= 3 m. Wegen d3 !=dk3 = 0
besteht die Taylorreihe nur aus drei Termen:
1 h (k k )2 +v(k
k
)
+
(4.35)
!(k) = !(k
)
0
0
0
| {z }
2m
;
;
!0
und damit wird
Z +1
(x t) = Nei(k0 x;!0 t)
= Nei(k0 x;!0 t)
= Nei(k0 x;!0 t)
Z;1
+1
Z ;1
+1
;1
p
2
2
e;(k;k0 ) =(4k ) ei(k;k0)x;i(!;!0 )t dk
e;(k;k0)2 =(4k2 ) ei(k;k0 )x;iv(k;k0)t;ih(k;k0)2 t=2m dk
e;(k;k0 )2 1=4k2 +iht=2m] ei(x;vt)(k;k0) d(k k0 )
;
= Nei(k0 x;!0 t) 22 e;(x;vt)22 =2 wobei gegeben ist durch
1
1
ht
22 = 4k2 + i 2m
Zu fester Zeit t wird
)
(4.36)
2 = 1=(22 )1+ iht=m :
!
2
= const exp (x1 vt)
2
i
h
t exp
k2 + m
0
1
12 + 12
= const exp @ (x vt)2 1 k 4t2kh2 A
k4 + m2
2
j
(x)j = ;
;
0
= const exp @
;
;
(x vt)2
1
k2
;
;
!
2iht
m
(4.38)
;
1
;
(4.37)
k
(x vt)2 A 2t2h2 k2
1
2k2 + m2
;
s
(x vt)2 1 + t2 h2 k2 : (4.39)
(x) 2 = const exp
mit
=
x
22
42
m2
j
j
;
;
x
k
Dies ist das gewnschte Ergebnis. Zur Zeit t = 0 ist x = 1=2k wie vom
Gauschen Wellenpaket bekannt. Zur Zeit t > 0 wird x > 1=2k, die Breite
Das Auseinanderlaufen von Wellenpaketen
y
2
y
t=0
99
2
t>0
vt
x
x
Abbildung 4.7: Zerieen von Wellenpaketen
R
nimmt zu, und die Hhe nimmt wegen 2 dx = 1 entsprechend ab. In
Abb. 4.7 ist dies graphisch veranschaulicht. Wegen der Breitenzunahme und der
damit verbundenen Hhenabnahme von 2 wird die Wahrscheinlichkeit, das
Teilchen innerhalb eines vorgegeben Intervalls dx vorzunden, immer kleiner,
die Wahrscheinlichkeit dehnt sich ber ein immer greres x-Intervall aus. Die
zwei Terme im Ergebnis Glg. (4.39) sind einfach zu verstehen: 1=2k ist die
Ortsunsch
rfe zur Zeit t = 0, und dazu addiert sich wegen k = 0, v = 0
eine zunehmende Unsch
rfe in x = vt: (vt) = t(v) = t p =m = t hk =m.
Ist die Geschwindigkeit v sehr ungenau bekannt, dann ist auch der Ort x
nach der Zeit t entsprechend ungenau bekannt. Dabei geht es hier nicht um
Messungenauigkeit, sondern um die prinzipielle Unsch
rfe.
j
j
j
j
6
6
Philosophischer formuliert: Bei der Beschreibung von Teilchenbewegungen
durch Materiewellen gibt es keinen strengen Determinismus, und je weiter man
in die Zukunft extrapoliert, umso weniger deterministisch ist das Verhalten (hier
die Ortskoordinate) des beschriebenen Teilchens. Auch eine zweite erkenntnistheoretische Neuerung der Wellenmechanik l
t sich am Auseinanderieen eines Materiewellenpaketes demonstrieren. Die Beschreibung ist nicht mehr ob-
y
2
und nach 2.
Messung
vor
x
vt
Abbildung 4.8: Beobachter und Wellenfunktion
jektiv, enth
lt die Kenntnis des Beschreibenden. In Abb. 4.7 wurde zur Zeit
t = 0 der Ort des Teilchens zu x = 0 x bestimmt, damit liegt seine Wellenfunktion fest. Fhrt man viel sp
ter zur Zeit t eine weitere Messung durch,
und zwar mit gleicher Genauigkeit, so ver
ndert sich zum Zeitpunkt dieser
Messung, aus dem in Abb. 4.7 breitem 2 wird wieder ein Schmales. Konsequenz: Jeder Messvorgang ver
ndert . Jede Messung heit Beeinussung des
gemessenen Objektes, s. Abb. 4.8.
j
j
100
Drei- und vierdimensionale Wellenpakete
4.9 Drei- und vierdimensionale Wellenpakete
Die Wellenfunktion in Glg. (4.22)
Z +1 g^(p)
(4.40)
ei(px;Et)=h dp
h
;1 2
beschreibt ein zwar in x irgendwie eingeschr
nktes aber in y und z unendlich
weit ausgedehntes Wellenpaket. Es bewegt sich mit v = dE=dp exakt in xRichtung. Die Bewegung eines freien Teilchens durch den dreidimensionalen
Raum beinhaltet normalerweise zur Zeit t = 0 nicht nur die Kenntnis von x =
x0 x, sondern entsprechend auch y0 y und z0 z . Das Wellenpaket ist
r
umlich in x, y und z eingeschr
nkt. Daraus folgt aber genau wie durch die
Fourieranalyse in einer Dimension, dass sein Impulsvektor (px py pz ) nicht
gleich (px0 x 0 0) sein kann, sondern auch eine Unsch
rfe in py und in pz
haben muss. Im diskutierten Beispiel muss der Impulsvektor ein Spektrum
h
h
h
p 2 0 2 0 2
(4.41)
x
y
z
besitzen. Weil py =px und pz =px die Richtung des Wellenpaketes angeben, folgt
daraus: Nur ein in y und z unendlich weit ausgedehntes Wellenpaket kann sich
exakt in x-Richtung bewegen. Ist es in y und z eingeschr
nkt, ist die Richtung
nur unscharf deniert. Das Wellenpaket enth
lt dann ein Richtungsspektrum
um die x-Richtung herum. Dieses folgt aus den Spektren vov py und pz , und
diese wiederum folgen aus der Fourieranalyse der y- und z-Verteilung des
Wellenpaketes.
(x t) =
p
Die Mathematik der dreidimensionalen Fourieranalyse ist eine einfache Erweiterung der Analyse in einer Dimension. In Abschnitt 3.4 war schon eingefhrt
worden:
r Z +1
r Z +1
1
1
i
kx
g^(k)e dk g^(k) = 2
(x)e;ikx dx : (4.42)
(x) = 2
;1
;1
In drei Dimensionen gilt:
(~r) = (x y z) = (2);3=2
Z
g^(~k)ei~k~r d3 k (4.43)
Z
g^(~k) = g^(kx ky kz ) = (2);3=2 (~r)e;i~k~r d3 r (4.44)
wobei die Dreifachintegrale jeweils ber das gesamte Volumen im Orts- bzw.
Impulsraum laufen. Ohne die Mathematik hier weiter zu vertiefen, folgt daraus
die Heisenbergsche Unschrferelation fr die Standardbreiten von 2 und
g^ 2 in drei Dimensionen:
j
j
j j
(x) (px ) h=2
(y) (py ) h=2
(z) (pz ) h =2
(4.45)
Beispiele fr die Heisenbergsche Unsch
rferelation
101
Alle drei Relationen gelten unabh
ngig voneinander, d. h. bei beliebigen Wellenpaketen mssen alle drei eingehalten werden. Die Gleichheitszeichen gelten
wieder nur fr die Gauform. Die Bedeutung von (x y z) 2 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Dreidimensionalen, d. h.
j
j
dP = (x y z) 2dx dy dz
j
(4.46)
j
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Volumenelement x dx=2, y dy=2,
z dz=2] anzutreen.
In der vierten Dimension, der Zeit, gilt das schon bei der Frequenzanalyse
von Schwingungen gesagte: Nur eine unendlich lange andauernde Schwingung
hat eine feste Frequenz, sonst gilt t ! 1=2. Wegen E = h! folgt daraus
bei Materiewellen (ebenso natrlich beim Photon) die vierte Heisenbergsche
Unschrferelation :
t E h=2
(4.47)
Ein Wellenpaket, das nur eine endliche Zeit T lebt, z. B. zwischen Erzeugug und
Absorption oder Zerfall, hat keine feste Energie E0, sondern ein Energiespektrum E0 h=T . In einem Messprozess, der eine Zeitspanne t dauert, kann eine
Energie nur auf h=t genau ermittelt werden.
4.10 Beispiele fr die Heisenbergsche Unschrferelation
4.10.1 Ortsbestimmung eines ruhenden Teilchens
Ruht ein Teilchen in einem vorgegebenen System, so ist p = 0 und zwar scharf,
d. h. p = 0.
r
b
Beugungsscheibchen
Db
D
d
a
punktförmiges
Teilchen
Dx
Abbildung 4.9: Abbildung mit dem Mikroskop
102
Beispiele fr die Heisenbergsche Unsch
rferelation
Mit einem Mikroskop kann man die x-Koordinate des Teilchens auf x
genau messen. Das Produkt x p ist Null im Widerspruch zur Unsch
rferelation. Wie lst sich der Widerspruch auf? Dazu muss der Messprozess n
her
analysiert werden. Das Mikroskop ist in Abb. 4.9 schematisch dargestellt. Der
Objektabstand ist d, der Linsendurchmesser D. Die Beleuchtung des Teilchens
erfolgt durch Photonen von links. Ein einzelnes gestreutes Photon gelangt dann
in das Mikroskop, wenn es unter einem Winkel = =2 D=2d gestreut wird
(D d). Nach Brechung durch die Linse gelangt es in die Bildebende und trit
dort an irgendeiner Stelle innerhalb des Beugungsscheibchens auf. Die Gre
des Beugungsscheibchens ist durch die Ausung des Mikroskopes gegeben. Ein
Punkt wird nicht in einen Punkt, sondern in eine Kreisscheibe abgebildet, fr
deren Radius gilt:
b :
(4.48)
r = 0 61 0b5D
D
Aus dieser Ausung folgt die Genauigkeit, mit der durch Streuung eines einzelnen Photons die Koordinate x bestimmt werden kann:
x = db r = d
(4.49)
D :
Der Winkel , unter dem das Photon in das Mikroskop eingetreten ist, bleibt
dabei unbekannt.
Dieser Winkel bestimmt
aber
die Beeinussung des
hn'
Teilchens durch den Messproc
J
zess, wie in Abb. 4.10 skizziert.
px
Vor dem Streuprozess hat das
Teilchen den Impuls ~p = ~0,
Abbildung 4.10: Photonensto beim Messpro- danach den Impuls ~p0 . Fr die
zess
x-Komponente gilt:
0
h = h cos # + p0
(4.50)
x
c
c
Fr ein schweres Teilchen mit m h=c2 ist bei der Compton-Streuung 0 ,
und fr p0x gilt:
p0x = h
(4.51)
c (1 cos #) :
Im Fall des diskutierten Mikroskopes ist # = = =2 D=2d, und wegen
cos (=2 ") = sin " " folgt:
0 h D
(4.52)
p0x h
c (1 ") px c 2d :
Das zu messende Teilchen ruht nach dem Messprozess nicht mehr, und die Unsch
rfe seiner Bewegung in x-Richtung ist wie oben hergeleitet duch D und
d bestimmt. Fr das Produkt x px gilt:
D=h
x px d D hc 2d
(4.53)
2
hn
c
;
Beispiele fr die Heisenbergsche Unsch
rferelation
103
denn = c. Dieses Resultat nach der Ortsmessung durch ein einziges Photon
ist in voller bereinstimmung mit der Unsch
rferelation. Misst man mit mehreren Photonen gleicher Wellenl
nge, z. B. mit N=2 von links und N=2 von rechts,
damit das Teilchen im Mittel in Ruhe bleibt, verbessert sich die Ortsmessung
auf
(4.54)
x = d D N
denn die Mitte des Beugungsscheibchens wird nach elementarer Fehlerrechnung
genauer bestimmt sein, desto h
uger man misst. Gleichzeitig wird der Impulsfehler immer grer, denn hD=2dc muss N mal quadratisch addiert werden.
Daraus folgt:
0 h
p0x = hD
(4.55)
2dc N x px 2 :
Das Produkt der Orts- und Impulsunsch
rfe hat den gleichen Wert wie bei der
Ortsbestimmung mit nur einem Photon.
p
p
4.10.2 Beugung am Doppelspalt
px
py
d
J
y
J
Abbildung 4.11: Unsch
rferelation am Doppelspalt
Ergibt sich nach einem Doppelspalt ein ausgepr
gtes Interferenzmuster wie
rechts in Abb. 4.11 gezeigt, so war die auf den Doppelspalt auallende Welle
koh
rent, d. h. zwischen den Photonen der Wellenfunktion im Spalt 1 und denen
im Spalt 2 bestand eine feste Phasendierenz. Ist es unter diesen Voraussetzungen erlaubt zu fragen, durch welchen der beiden Spalte ein einzelnes Teilchen,
das zum Interferenzmuster beigetragen hat, gelaufen ist? Die Beantwortung der
Frage setzt einen Messvorgang der y-Koordinate dieses einen Teilchens voraus.
Folgende Anforderungen bestehen an diesen Messvorgang:
1. y d, der Fehler auf y muss sehr klein gegen den Spaltabstand sein,
um zu sagen, durch welchen Spalt das Teilchen gegangen ist.
2. # = py =px #max, wobei #max der Winkelabstand zweier Maxima ist. Sonst wird durch den Messvorgang das Interferenzmuster zerstrt.
Der Winkelabstand ist =d. Also: py px =d.
104
Beispiele fr die Heisenbergsche Unsch
rferelation
Das Produkt der zwei Forderungen ergibt:
y py
d px d = px = h = h :
(4.56)
y py h steht aber im Widerspruch zur Heisenbergschen Unsch
rferelation. Die Fordungen knnen nicht gleichzeitig erfllt sein. Entweder ist 1 erfllt,
dann 2 nicht: Der Meprozess hat ergeben, durch welchen Spalt das Teilchen og
und damit wird das Interferenzmuster zerstrt. Die Wellenfunktion ist sowohl
Teilchen wie Welle. Das Hervorheben des Teilchenaspektes im Meprozess (gute
Ortsbestimmung) vermindert den Wellenaspekt (kein Interferenzbild). Oder 2
ist erfllt, dann 1 nicht: der Meprozess erh
lt das Interferenzbild (gute Winkelbestimmung) und beantwortet nicht die Frage, durch welchen Spalt das Teilchen
og (schlechte Ortsbestimmung). Hervorheben des Wellenaspektes verringert
den Teilchenaspekt.
4.10.3 Beugung am Einzelspalt
I
y
J
Abbildung 4.12: Unsch
rfe am Einzelspalt
Ein paralleler Elektronenstrahl oder Lichtstrahl (Welle ist Welle) in xRichtung f
llt auf einen in z-Richtung sehr langen parallelen Spalt der Breite D
in y-Richtung. In groem Abstand x D ergibt sich ein Beugungsbild wie in
Abb. 4.12. Wie gro ist die Winkelbreite des zentralen Intensit
tsmaximums?
Diese Breite folgt aus der Unsch
rferelation. denn fr ein einzelnes Quant der
Welle gilt:
(y) (py )
py
h y p h
y
2
h h
py
y D # = px
h=D = :
h= D
(4.57)
Das zentrale Maximum, das Beugungsscheibchen hat eine Winkelbreite von etwa
=D. Dies ist aus Kapitel 1.6 bekannt, hier folgt es allein aus der Unsch
rferelation. Fragen wir genauer nach der Intensit
tsverteilung des gebeugten Strahls
nach Passieren des Spaltes auf einem Beobachtungsschirm, mssen wir eine Stufe genauer rechnen als mit der Unsch
rferelation, aber im Prinzip das gleiche
tun, n
mlich das Spektrum der py durch Fourieranalyse der y-Verteilung des
Beugungstheorie mit Fourierintegralen
105
Wellenpaketes nach dem Spalt ausrechnen.
8 0 fr
9
y < D=2 = Z +1 g^(ky )
<
(y) = : A fr D=2 y +D=2 ! =
eiky y dky 2
;1
0 fr D=2 < y
D
Z
Z
A +2
1 +1
;
;
p
e;iky y dy
(y)e;iky y dy =
2 ;1
2 ; D2
r
D
Z + D2
A
2
A
=
cos(ky y) dy = k sin ky 2 :
2 ; D2
y
g^(ky ) =
p
p
p
(4.58)
Das Quadrat g^(ky ) 2 bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung, also die Intensit
t, der Winkel nach dem Spalt, denn
y ky = 2#
# = ppy = hhkky = k2
x
x
(4.59)
2
sin
(D#=)
2
I(#) g^
:
(D#=)2
Dies ist, mit anderen Mitteln gefunden, das gleiche Resultat wie in Kapitel 1.6
der Wellenoptik.
j
j
)
/ j j
/
4.11 Beugungstheorie mit Fourierintegralen
Einfache Beugungsstrukturen wie Rechteckspalte, Mehrfachspalte, Kreisblenden : : : sind zweidimensional. D. h. in einer Ebene gibt es Bereiche B, die eine
einlaufende Welle passieren lassen, und solche A, wo die einlaufende Welle absorbiert wird. Auch Bereiche mit teilweiser Absorption sind mglich, was hier aber
nicht diskutiert werden soll. In Abb. 4.13 l
uft eine ebene Welle in x-Richtung
z
kz
ky
kx
kx
B
y
Schirm
x
Abbildung 4.13: Beugungsstruktur
auf eine Blende B zu. In y- und z-Richtung ist sie !unendlich weit ausgedehnt,
d. h. ihre Ausdehnung ist gro gegen B. Das sichert die Koh
renz ber ganz
B hinweg. Auerdem ist sie fast monochromatisch, d. h. ihr kx -Spektrum ist
106
Beugungstheorie mit Fourierintegralen
schmal. Nur ein Teil der Welle passiert die Ebene x = 0, in der sich die beliebig
geformte Blende B bendet. Nach der Blendenebene gilt:
(
(y z) = a innerhalb B (4.60)
0 auerhalb B :
Die zweidimensionale Fourieranalyse dieses so eingeengten Wellenpaketes ergibt das Spektrum der ky und der kz nach Passieren der Blende und damit die
Intensit
tsverteilung der gebeugten Welle als Funktion der Winkel #y = ky =kx
und #z = kz =kx in groer Entfernung x hinter der Blende. Gro heit gro gegen
die Ausdehnungen von B.
p
(
2)2
g^(ky kz ) =
=
Z +1
Z;1
B
dy dz (y z)e;i(ky y+kz z)
a e;i(ky y+kz z) dy dz :
(4.61)
Der Faktor 2 erscheint im Quadrat, weil hier zweidimensional integriert wird.
Die Intensit
t ist
I(#y #z ) = const g^(ky kz ) 2 :
(4.62)
Dieser Formalismus zur Berechnung von Beugungsverteilungen mit Hilfe der
zweidimensionalen Fourieranalyse geht auf Kirchhoff und Fraunhofer
im vergangenen Jahrhundert zurck. Als Beispiele die Rechteckblende in
Abb. 4.14(a) und die Kreisscheibe in Abb. 4.14(b). Im Fall des Rechteckes ist
p
j
z
j
z
H
y
D
(a) Rechteckblende
y
D
(b) Kreisblende
Abbildung 4.14: Blendenformen
die zweidimensionale Fourieranalyse elementar durchzufhren:
a Z + D2 dy Z + H2 dz e;iky y e;ikz z
g^(ky kz ) = 2
; D2
; H2
D
Z
Z + H2
+2
a
;
i
k
y
y
= 2 D e
dy H e;ikz z dz
;2
;2
a
sin(k
sin(k
D=2)
z H=2) :
y
= 2
ky
kz
(4.63)
Die Gre der Atome
107
Und fr die Intensit
tsverteilung folgt:
2
sin2 (H#z =) :
(4.64)
I = I(#y #z ) = const sin (D#y =)
(D#y =)2
(H#z =)2
Fr die Kreisblende ist die zweidimensionale Fourieranalyse nicht elementar
durchfhrbar. In Polarkoordinaten # und ' ausgedrckt, h
ngt die Intensit
t
nur von # und nicht von ' ab, das Beugungsbild ist kreissymmetrisch wie aus
Symmetrieberlegungen nicht anders zu erwarten. Als Funktion von # ergibt
sich eine Intensit
tsverteilung, die durch eine spezielle Funktion der mathematischen Physik ausgedrckt werden kann, die sogenannte Besselfunktion J1 . In
einem Taschenbuch wie Bronstein-Semendjajew ist J1 (x) ebenso tabelliert
wie sin x oder ex . Die Intensit
tsverteilung nach der Kreisblende heit:
I = I(#) = const
J1 (D#=) 2
(4.65)
D#=
und ist in Abb. 4.15 dargestellt. Das Maximum liegt bei # = 0 , das erste
I
3,83
7,0
DpJ
l
Abbildung 4.15: Intensit
tsverteilung nach der Kreisblende
Minimum bei D#= = 3 83, d. h. # = 1 22 =D:
#min = 1 22 D :
(4.66)
4.12 Die Gre der Atome
Das Wasserstoatom ist ein gebundener Zustand zwischen einem Elektron mit
der Ladung Q = e0 und einem Proton mit Q = +e0 . Die Coulombsche
Anziehungskraft bewirkt die Bindung. Das Elektron ist nach heutigem Wissen
punktfrmig, sein Radius ist kleiner als 10;18 m. Der Radius des Protons
betr
gt etwa 10;15 m, nach heutigem Wissen ist das Proton deshalb nicht
punktfrmig weil es aus drei !elementareren Teilchen, zwei u-Quarks und
einem d-Quark zusammengesetzt ist. Fr die folgende Diskussion nehmen wir
Elektron e und Proton p als zwei Punkte an, deren Radien kleiner gleich
10;15 m sind. Die Gre des gebundenen Systems H = (pe) folgt aus der
Unsch
rferelation.
;
Das System pe kann verschiedene Energien enthalten. Die Zust
nde hherer
Energie knnen durch Aussenden von Photonen in den Zustand kleinster Energie
108
Die Gre der Atome
W
~
1
r2
r
~-
6 cm
1
r
Abbildung 4.16: Energie eines Atoms
bergehen. Dieser heit Grundzustand, und dessen r
umliche Ausdehnung soll
hier abgesch
tzt werden. Solange keine ueren Kr
fte auf ein ruhendes Atom
im Grundzustnd einwirken, lebt es unendlich lange und
E = const
(4.67)
gilt unendlich genau, d. h. E = 0. Auerdem bleibt der Schwerpunkt in Ruhe,
~pe = ~pp . In nichtrelativistischer N
herung pc mc2 fr Elektron und Proton
gilt:
p2e + p2p + e20 = const :
E = me c2 + mp c2 + 2m
(4.68)
e 2mp 4"0 r
Dabei ist r der Abstand zwischen beiden !Punkten e und p. Wegen pe = pp = p
und mp me ist p2 =2mp vernachl
ssigbar und
p2 + e20 = const :
(4.69)
W = 2m
e 4"0 r
Dieses so denierte W ist negativ, die potentielle Energie e20 =4"0 r ist dem
Betrage nach grer als die kinetische Energie p2 =2me. Aufgrund der Unsch
rferelation sind r und p nicht scharf deniert, das Elektron bendet sich in unregelm
iger und undeterminierter Bewegung um das Proton herum. Bei aller
Bewegung bleibt aber W konstant. Zu einem gegebenen W gibt es einen maximalen Impuls (fr r = ) und einen minimalen Abstand (fr p = 0). Ohne im
einzelnen zu wissen, wie h
ug jedes p und jedes r in der Bewegung vorkommt,
knnen wir grob absch
tzen, dass
p = p p mit p p (4.70)
;
;
;
;
1
r = r r=2 mit r r=2 :
p r p 2r
(4.71)
h 2
(4.72)
Die Gre der Atome
109
p hr 2
W = 2mh r2
(4.73)
e20 :
(4.74)
4"0 r
e
Zu jedem W gehrt ein mittlerer Abstand r zwischen Elektron und Proton.
Abb. 4.16 zeigt diese Funktion W = W (r). Bei kleinen r dominiert +h2 =2mer2 ,
bei groen r der negative Term, deshalb besitzt W (r) ein Minimum. Grere
Atome sind energiereicher, kleinere ebenfalls. Das Minimum wird eingenommen
fr dW=dr = 0 = 2h2 =2me r3 + e20 =4"0 r2. Daraus folgt:
;
;
2
0 h
;10
r(Wmin ) = 4"
e2 m = 0 53 10 m :
0 e
(4.75)
Dieser Zahlenwert heit Bohrscher Radius des Wasserstoatoms. In der strengen quantenmechanischen Behandlung des Wasserstoatomes hat er eine groe
Bedeutung. Hier besagt er nur: Das H-Atom hat eine Gre von etwa 10;10 m,
und diese Gre folgt ausschlielich aus der Unsch
rferelation und aus den
Zahlenwerten fr h me e0 und "0 . Nils Bohr hatte dies bereits 1913 gefunden. Er argumentierte, dass der Bahndrehimpuls des Elektrons um das Proton gequantelt ist und im Grundzustand des Atoms den kleinstmglichen Wert
L = p r = 1 h annimmt. Dieses Argument ist gut, aber nicht richtig. Die
weitere Quantenmechanik wird uns zeigen, dass im Grundzustand des Wasserstoatioms L = 0 ist.
Kapitel 5
Die Schr dinger-Gleichung
5.1 Wellengleichungen fr de Broglie-Wellen
Die nach rechts laufende ebene harmonische Welle
= (x t) = a ei(px;Et)=h (5.1)
erfllt die Wellengleichungen Glg. (3.64) und Glg. (3.66) auf Seite 75 :
@
= v @
@ 2 = v2 @ 2 (5.2)
' @x
@t
@t2 ' @x2
mit v' = E=p, wie bereits im Abschnitt 3.7 fr beliebige harmonische Wellen
gezeigt wurde, als wir das erste Mal ber Wellengleichungen gesprochen haben.
Glg. (3.66) mit den zweiten Ableitungen gilt sowohl fr nach links als auch fr
nach rechts laufende harmonische und auch fr stehende harmonische Wellen.
Das im Kapitel ber Materiewellen erw
hnte Superpositionsprinzip: !Ist 1 eine
Lsung der Wellengleichung und 2 auch, dann ist auch 1 + 2 eine Lsung
gilt nur, wenn 1 und 2 beide die gleiche Phasengeschwindigkeit v' haben.
Anderenfalls lst 1 die Gleichung = v12 @ 2 =@x2 , 2 lst = v22 @ 2 =@x2 ,
und die Summe lst keine derart einfache Dierentialgleichung. Daraus folgt,
da ein de Broglie-Wellenpaket
;
(x t) =
Z
a(p) ei(px;Et)=h dp
(5.3)
die Glg. (3.66)pnicht lst, denn zu jedem Impuls p gehrt eine andere Geschwindigkeit v' = m2 c4 + p2c2 =p. Wie heit statt Glg. (3.66) die einfachste Differentialgleichung fr de Broglie-Wellenpakete? Wir beantworten die Frage
gleich in drei Raumdimensionen,
= (~r t) =
Z
a(~p) ei(~p ~r;Et)=h d3 p mit ~p ~r = px x + py y + pz z. Fr die zweiten Ableitungen gilt
@ 2 = ZZZ a(~p) h i2 p2x i ei(~p ~r;Et)=h d3p @x2
h2
(5.4)
(5.5)
Nichtrelativistische N
herung
111
entsprechend fr die anderen r
umlichen Ableitungen.
2
2
2
= @@x
2 + @@y
2 + @@z
2
ZZZ h p2 i
i(~p ~r;Et)=h d3p (5.6)
=
a(~p)
2 e
h
ZZZ
h E2 i i(~p ~r;Et)=h 3
@2
=
e
dp:
a(~
p
)
@t2
h2
Das Wellenpaket aus Glg. (5.4) beschreibt die Bewegung eines Teilchens mit
fester Masse m, Impuls ~p (~p) und Energie E (E), wobei wie gehabt
(~p) die drei Standardbreiten von a(~p) 2 sind. E und p~ haben bei fester Masse
(Ruhemasse) m die feste Relation
E 2 p2 c2 = m2 c4:
(5.7)
Daraus folgt eine Wellengleichung
@ 2 c2 = m2 c4 (5.8)
@t2
h2
fr beliebige de Broglie-Wellenpakete in Glg. (5.4) mit beliebigen Impulsverteilungen a(~p). Der Beweis:
@ 2 c2 = ZZZ a(~p)h E 2 + p2c2 i ei(~p ~r;Et)=h d3p
2
2
@t2 ZZZ
h m2c4 i i(~p ~rh;Et)=h h3
m2 c4 =
a(~p)
e
d
p
=
h2
h2
Die Wellengleichung 5.8 heit Klein-Gordon-Gleichung fr freie Teilchen. Sie
beschreibt die kr
ftefreie Bewegung eines Teilchens im dreidimensionalen Raum
relativistisch exakt. Die Lsungen sind die Wellenpakete aus Glg. (5.4) in beliebiger Raumrichtung mit beliebigen Impulsspektren.
4
;
;
j
j
;
;
;
4
4
;
;
;
;
5.2 Nichtrelativistische Nherung
Fr langsame Bewegung von Teilchen mit v
c , pc
mc2 ist
p2 :
E = mc2 + 2m
(5.9)
In analoger Weise, wie wir in Glg. (5.8) aus Glg. (5.7) gewonnen haben, suchen
wir jetzt nach einer Wellengleichung, die der obigen nichtrelativistischen Relation zwischen E und p entspricht. Die Phasen von de Broglie-Wellen sind
unbeobachtbar, das Paket
ZZZ
~
~
= (~r t) =
a(~p) ei(~p ~r;E t)=h d3p
(5.10)
kin
beschreibt die Bewegung des Teilchens der Masse m ebensogut wie das in
Glg. (5.4), das wurde in Abschnitt 4.7 gezeigt. Mit Ekin p2=2m beschreibt
das Paket in Glg. (5.10) die Bewegung in nichtrelativistischer N
herung:
ZZZ
2
~ r t) =
(5.11)
(~
a(~p) ei(~p ~r;p t=2m)=h d3p :
112
Teilchenbewegung mit Kr
ften
Fr diese Pakete gilt:
@ ~ = ZZZ a(~p)h ip2 iei(~p ~r;p2 t=2m)=h d3 p @t ZZZ
2mh
h
2i
2
~ =
a(~p) p2 ei(p~ ~r;p t=2m)=h d3p h
und damit gilt
;
4
(5.12)
;
~
h 2 ~
ih @@t
= 2m
;
4
(5.13)
Diese Wellengleichung heit Schrdingergleichung fr ein freies Teilchen der
Masse m. Die Bewegung freier Teilchen im dreidimensionalen Raum wird in
nichtrelativistischer N
herung durch sie beschrieben. Aber alles Wesentliche darber wurde bereits im Abschnitt ber Materiewellen gesagt. Die groe Leistung
Schrdingers 1926 war es, Glg. (5.13) so zu erweitern, da sie auch den Einu von Kr
ften auf bewegte Teilchen richtig erfat.
5.3 Teilchenbewegung mit Krften
Teilchen, auf die eine uere Kraft einwirkt, sind nicht frei, ihre klassische Bahn
ist keine gleichfrmig durchlaufene Gerade mehr, ihre Wellenfunktion ist kein de
Broglie-Paket mehr wie in den Gleichungen (5.10) und (5.11) und ihre Wellengleichung sind nicht mehr so einfach wie Glg. (5.13). Kr
ftefreie Bewegung
heit in der klassischen nichtrelativistischen Mechanik:
d~p=dt = 0 ~p = m~v = const ~r = ~r(0) + ~v t :
(KI)
(KII)
(KIII)
Die gleiche Bewegung heit in der Wellenmechanik:
h2 ihd
=dt = 2m
a(~p) = const ZZZ
=
a(~p)ei(~p ~r;p2 t=2m)=h d3p :
;
4
(WI)
(WII)
(WIII)
Soweit haben wir die Wellenmechanik bis jetzt behandelt, die zuletzt
aufgestellte Schrdingergleichung (5.13) heit klassisch nur d~p=dt = 0. Was
wir als n
chstes brauchen und suchen, ist das wellenmechanische Analogon
zu Newtons Axiom d~p=dt = F~ . Diese Dierentialgleichung fr wurde wie
bereits erw
hnt 1926 von Erwin Schrdinger gefunden. Hier und im folgenden bezeichnen wir mit ein Wellenpaket der nichtrelativistischen Form aus
~
Glg. (5.11) und schreiben statt .
Teilchenbewegung mit Kr
ften
113
Die Kr
fte, deren Einu auf die Teilchen-/Wellenbewegung wir beschreiben
wollen, sollen konservativ sein:
F~ = V V = V (~r t):
(5.14)
V heit Potential, es darf auch von der Zeit abh
ngen. Die Einfhrung des Potentials in die Wellenmechanik ist hnlich wie die Einfhrung des Brechungsindexes in die Wellenoptik, auch dort ndert sich die Geschwindigkeit der Wellen.
Schrdingers Vorgehensweise war wie folgt:
p2 + V:
W = nichtrelativistische Gesamtenergie = Ekin + Epot = 2m
Die Wellenfunktion = (x t) h
ngt wie e;iWt=h von der Zeit ab.
@
= iW @t
h
(5.15)
@
ih @t = W
:
;r
;
p2 = h2 :
=
W
=
In Raumbereichen mit V = 0 ist ih @
@t
2m
2m
2
p
In Raumbereichen mit V = V0 ist 2m = W V0
h2 = i h d
V :
(5.16)
2m
dt 0
Wenn V = V (~r t) im vierdimensionalen Raum variiert, folgt daraus:
;
4
;
) ;
4
;
h 2 + V (~r t)
ih @
=
(5.17)
@t
2m
Dies ist die eigentliche Schrdingergleichung, eine lineare Dierentialgleichung
fr die Wellenfunktion der Teilchenbewegung unter dem Einu des Potentials
V . Diese partielle Dierentialgleichung ist von erster Ordnung in der Zeit und
von zweiter Ordnung in der Ortskoordinate. Sie wurde in den Jahren nach 1926
mit groem Erfolg auf die Atom-, Molekl-, Kern- und Festkrperphysik angewendet. Sie ist aber keine strenge !Theorie, sie ist weder relativistisch invariant,
noch hat das Potential in Theorien der Wechselwirkung zwischen elementaren
Teilchen eine strenge Denition. Die Schrdinger-Gleichung hat ihren ganz
speziellen Anwendungsbereich. Was wir heute Wellenmechanik und Quantenmechanik nennen, ist viel allgemeiner und strenger fundiert. Die Haupteinschr
nkungen fr den Gltigkeitsbereich der Schrdinger-Gleichung sind:
1. Die zu beschreibende Bewegung ist nichtrelativistisch.
2. Teilchen werden weder erzeugt noch vernichtet.
3. Kr
fte werden durch ein Potential pauschal erfat.
Glg. (5.17) heit zeitabh
ngige Schrdingergleichung. Sie gilt innerhalb ihres
eingeschr
nkten Bereiches fr Wellenfunktionen jeder beliebigen Gesamtenergie
W , da W nicht in der Gleichung vorkommt.Sie gilt deshalb auch fr Bewegungen
mit unscharfer Energie W (W), was ja streng genommen immer der Fall ist,
wenn die Bewegung nicht unendlich lange andauert.
;
4
114
Die zeitunabh
ngige Schrdingergleichung
5.4 Die zeitunabhngige Schrdingergleichung
Nimmt man konstante Gesamtenergie als N
herung, d. h. (W) = 0, und ist
das Potential V (~r) zeitunabh
ngig, d. h. @V =@t = 0, dann lassen sich in der
partiellen Dierentialgleichung (5.17) die Variablen separieren. !Separation der
Variablen ist eine Standardtechnik zur Lsung partieller Dierentialgleichungen. Man beginnt mit dem Ansatz:
(~r t) = (~r) (t)
(5.18)
und setzt dies in Glg. (5.17) ein:
h2 + V =
ih d
dt
2m
Division durch ergibt
;
4
(5.19)
h 2 + V:
ih d=dt
=
(5.20)
2m Die linke Seite der Gleichung h
ngt nicht vom Ort ~r ab und die rechte wegen
@V =@t = 0 nicht von t. Beide Seiten h
ngen weder von t noch von ~r ab und
sind konstant.
h2 + V = C :
ih d=dt
=
(5.21)
2m In der Mathematik partieller Dierentialgleichungen heit C die Seperationskonstnante. Hier knnen wir sie, wie schon in der heuristischen Herleitung
der Schrdingergleichung(5.17), mit der nichtrelativistischen Gesamtenergie W
gleichsetzen. Dann gilt:
4
;
;
4
(t) = e;i W t=h ;
h 2 (~r) = W V (~r)] (~r)
2m
4
;
(5.22)
denn nur e;iWt=h lst die gewhnliche Dierentialgleichung ihd=dt = W.
Glg. (5.22) heit zeitunabhngige Schrdingergleichung . Im Falle eindimensionaler Bewegung (z.B. entlang der x-Achse) wird daraus eine gewhnliche Dierentialgleichung:
h 2 d2(x) = W V (x)] (x):
2m dx2
Diese werden wir jetzt auf ein paar Beispiele anwenden.
;
;
(5.23)
5.5 Die Potentialstufe mit W > V0
Beschrieben werden soll die eindimensionale Bewegung von Teilchen, die wie in
Abb. 5.1 skizziert von links einfallend in x = 0 eine bremsende p
Kraft erfahren.
Fr x < 0 ist p1 = 2mW konstant, fr x > 0 ebenfalls, p2 = 2m(W V0).
p
;
Die Potentialstufe mit W > V0
115
V(x)
W
V0
x
Abbildung 5.1: Potentialstufe mit W > V0
Die Bremskraft soll ber eine so kurze Strecke wirken, da wir approximieren
knnen:
(
V = V (x) = 0 x < 0 (5.24)
V0 x 0 :
Die Dierentialgleichung fr die Bewegung ist Glg. (5.23),
h2 00 = W V (x)] (5.25)
2m
die zeitunabh
ngige Schrdingergleichung in einer Dimension. Zeitunabh
ngigkeit heit Beschreibung nicht eines Teilchens, fr das ein mehr oder weniger
schmales Wellenpaket zust
ndig w
re, sondern eines Stromes vieler Teilchen mit
einer Quelle bei x = , der von t =
bis t = andauert. Die Lsung von
Glg. (5.23) ist die der harmonischen Schwingung, eine beliebige berlagerung
von cos kx und sinkx mit zwei verschiedenen k-Werten:
( ik1x ;ik1x
(x) = Ae ik2 x + Be ;ik2 x x 0
(5.26)
Ce + De
x 0
p
hk1 = 2mW hk2 = 2m(W V0 ) :
(5.27)
Die Anteile mit A und C beschreiben nach rechts laufende Wellen mit
(x t) = (x) e;iWt=h = const ei(kx;!t) (5.28)
und die mit B und D nach links laufende Wellen. Daraus ergibt sich D = 0,
denn in x = bendet sich nach Voraussetzung keine Quelle. Die weiteren
Konstanten werden durch die Stetigkeitsbedingungen
(x) = stetig in x ( + )
(5.29)
0(x) = stetig in x ( + )
festgelegt. W
re 0(x) unstetig an einer Stelle, z. B. in x = 0, w
re 00(x) dort
unendlich gro. Nach Glg. (5.23) ist 00 aber berall endlich. Also ist 0(x) stetig
und damit auch (x). In x = 0 folgt daraus:
A + B = C ik1 A ik1B = ik2 C und damit:
A + B = kk1 (A B)
B 1 + kk1 = A kk1 1 2
2
2
;
;
;1
;1
1
p
;
1
2
;1
1
2
;1
1
;
;
)
;
116
Die Potentialstufe mit W > V0
B = kk1 + kk2 A C = k 2k+1k A
(5.30)
;
1
(
2
1
2
(k1 + k2 )eik1 x + (k1 k2)e;ik1 x x 0
(5.31)
2k1eik2 x
x 0:
Dies ist die gesuchte Lsung. Links von x = 0 nden wir neben der nach rechts
laufenden Welle auch eine nach links laufende. Ein Teil der auf die Bremskraft
zulaufenden Teilchen wird reektiert. Dies ist ein in der klassischen Mechanik
nicht auftretender Eekt. Der Rest der Lsung, p1 = hk1 = 2mW, p2 = hk2 =
p
2m(W V ), ist wie von der klassischen Mechanik erwartet. Welcher Anteil
der Teilchen wird reektiert?
2 = dN
dx = Teilchendichte
dN
(5.32)
2 dx
dt = dt = Teilchenstrom
= Zahl der Teilchen pro Zeiteinheit:
Daraus erhalten wir:
v1 A 2 = Strom der von links auf x = 0 auallenden Teilchen,
v1 B 2 = Strom der im Bereich x < 0 nach links laufenden Teilchen,
v2 C 2 = Strom der im Bereich x > 0 nach rechts laufenden Teilchen.
;i!t
(x t) = kAe+ k
1
2
;
p
;
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Als Reexionskoezienten R deniert man sinnvollerweise den Quotienten
aus reektiertem und einlaufendem Teilchenstrom:
2
2 (5.33)
R = vv1 BA 2 = kk1 + kk2 :
1
1
2
Der Transmissionskoezient
2
2
1
= (k 4k+1kk2 )2
(5.34)
T = vv2 CA 2 = kk2 (k 4k
2
+
k
)
1
1 1
2
1
2
gibt den Anteil der gebremst durch x = 0 durchlaufenden Teilchen wieder. Wie
man leicht nachrechnet, gilt:
R + T = 1
(5.35)
d. h. in der Potentialstufe verschwinden keine Teilchen. Die Ergebnisse in
Glg. (5.33) und Glg. (5.34) sind die gleichen wie in der Optik fr die Reexion einer Lichtwelle am optisch dichteren Medium. Das Ergebnis ist gleich trotz
verschiedener Herleitung, denn dort gilt als Wellengleichung nicht die nichtrelativistische Schrdingergleichung, sonder die wegen der nichtvorhandenen
Ruhemasse des Photons notwendigerweise relativistisch korrekte MaxwellWellengleichung. In der Optik ist v1 = c, v2 = c=n, k2 =k1 = n, und es folgt:
R = ( 11 + nn )2 T = (1 +4nn)2 (5.36)
ein Spezialfall der Fresnelschen Formeln. Glas hat n = 1 5 und damit R = 4%
bei senkrechtem Lichteinfall.
j
j
j
j
;
j
j
j
j
;
Die Potentialstufe mit W < V0
117
5.6 Die Potentialstufe mit W < V0
V(x)
V0
W
x
Abbildung 5.2: Potentialstufe mit W < V0
Unter den gleichen Voraussetzungen und mit den gleichen N
herungen und
Methoden wie im letzten Abschnitt sollpdie Bewegung von Teilchen mit Quelle
bei x =
und Geschwindigkeit v1 = 2W=m, die auf ein Bremspotential
;1
(
x<0
V = V (x) = 0
V0 > W x 0
(5.37)
zulaufen, beschrieben werden. Die Lsung der zeitunabh
ngigen Schrdingergleichung lautet hier:
(
ik1 x
;ik1 x x 0
(x) = Ae x + Be;x
(5.38)
Ce + De
x 0
p
(5.39)
hk1 = 2mW h = 2m(V0 W ) :
k1 und sind reell, d. h. fr x 0 sind nicht trigonometrische, sondern Exponentialfunktionen Lsung der Dierentialgleichung. Ein exponentielles Ansteigen von 2 mit x
ist sinnlos, daraus folgt C = 0. Die Parameter B und D
werden wieder mit den Stetigkeitsbedingungen fr und 0 in x = 0 eliminiert:
A + B = D ik1(A B) = D p
;
j
j
! 1
;
A + B = ik1 (A B)
;
;
)
;
A 1 + ik1 = B ik1 1 ;
k1 i
2k1
1
B = + ik
ik A = k + i A D = A + B = k + i A :
;
;
1
1
1
Die Wellenfunktion lautet also:
(
;i!t (k1 + i)eik1 x + (k1 i)e;ik1 x x 0
Ae
(x t) = k + i
2k1e;x
x 0
1
;
(5.40)
(5.41)
und der Reexionskoezient betr
gt:
2 i 2 = 1 :
R = vv1 BA 2 = kk1 + i
j
j
1j
j
;
1
(5.42)
118
Potentialwall und Tunneleekt
y2
y2
V0® ¥
stehende exponentiell x
gedämpft
Welle
kein x
stehende
Welle Eindringen
(a) Wahrscheinlichkeitsdichte fr
den Fall endlichen Potentials. Fr
x < 0 ergibt sich ein stehende Welle,
fr x > 0 eine exponentiell gedmpfte Welle.
(b) Wahrscheinlichkeitsdichte fr
den Fall unendlichen Potentials.
Fr x < 0 ergibt sich ein stehende
Welle, fr x > 0 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 0.
Abbildung 5.3: Aufenthaltswahrscheinlichkeit an der Potentialstufe
Alle Teilchen werden an dieser Potentialstufe reektiert. Der einzige Unterschied zur klassischen Mechanik ist die Tatsache, da die Teilchen mit einer von
Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit in den Bereich x > 0 eindringen, bevor
sie reektiert werden. Dieser Bereich ist klassisch verboten, wellenmechanisch
ergibt sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im verbotenen Bereich zu
2 = 2 e;2x :
j
j
j
j
/
(5.43)
p
Die !mittlere Eindringtiefe ist x = 1=2 = h= 8m(V0 W). Nr fr V0
gibt es kein Eindringen mehr. Abb. 5.3(a) und Abb. 5.3(b) skizzieren die
Teilchendichten 2 als Funktion von x. Unter den gegebenen Vorraussetzungen
mit (W) = 0 ergibt sich fr x < 0 eine stehende Welle. Unter realistischeren
Vorraussetzungen mit Wellenpaketen ist die Mathematik sehr viel komplizierter.
Die Behandlung eines solchen Problemes ist nur durch numerische Integration
der zeitabh
ngigen Schrdingergleichung mglich.
;
!
1
j
j
5.7 Potentialwall und Tunneleekt
Wie in den beiden letzten Abschnitten soll von x =
ausgehend eine monochromatische Welle mit (W) = 0 auf ein bremsendes Potential zulaufen, aber
das Potential soll jetzt ein !Wall sein, wie in Abb. 5.4 dargestellt mit W < V0 .
;1
V(x)
V0
W
x
Abbildung 5.4: Potentialbarriere mit W < V0 und Breite a.
Potentialwall und Tunneleekt
119
8
>
<0 x < 0
V (x) = >V0 0 x a
:0 x > a :
(5.44)
Die Lsung der zeitunabh
ngigen Schrdingergleichung lautet:
8 ikx
>
<A ex + B e;;xikx x 0
(x) = >C e + D e
0 x a
:E eikx + F e;ikx x a :
(5.45)
Aus x = + kommt keine nach links laufende Welle, deshalb muss F = 0 sein.
Der Anteil mit C erstreckt sich nicht bis x = + und darf deshalb beteiligt sein.
Die Lsung mu sowohl in x = 0 als auch in x = a die Stetigkeitsbedingungen
fr und 0 erfllen:
1
1
A+B = C +D
ik(A B) = (C D)
a
C e + D e;a = E eika
(C ea D e;a ) = ik E eika :
;
;
(5.46)
;
y 2= f 2
x
Abbildung 5.5: Wahrscheinlichkeitsdichte fr den Tunneleekt am Wallpotential
A ist eine beliebige Konstante und gibt den Teilchenstrom der Quelle bei
x=
an. Die vier weiteren Konstanten B C D E folgen aus dem obigen
Gleichungssystem. R = B 2= A 2 gibt den Anteil der reektierten Teilchen und
T = E 2= A 2 den durchlaufenden Anteil an. In der klassischen Mechanik mu
R = 1 und T = 0 sein. Die Wellenmechanik erlaubt, wie in Abb. 5.5 dargestellt,
einen kleinen Transmissionsanteil. Dieser Eekt heit Tunneleekt nach der
bildhaften Vorstellung, da sich einige wenige der auf den Wall zulaufenden
Teilchen einen Tunnel durch den Wall suchen und ihn nden. Der Tunneleekt
ist in der Kern-, Molekl- und Festkrperphysik weitverbreitet. Fr den Fall
a 1 wird T 1, und das Ergebnis fr T l
t sich in guter N
herung wie
folgt darstellen, hier ohne Herleitung:
;1
j
j
j
j
j
j
j
j
T
16k2 2 e;2a :
(k2 + 2 )2
(5.47)
Fr a 1 ist e;2a eine sehr kleine Zahl. Der Vorfaktor 16k2 2 =(k2 + 2 )2
ist verglichen damit von der Grenordnung 1, wenn V0 und W von selber
120
Potentialwall und Tunneleekt
Genordung sind. Somit gilt:
22
ln T = ln (k16k
0 2a
2 + 2 )2 2a
r 2
8ma (V W) :
=
(5.48)
h2 0
Werden zwei W
lle mit W < V0 hintereinander durchtunnelt wie in Abb. 5.6(a),
;
;
;
;
V(x)
V(x)
V0
W
W
x1
x
(a) zwei schmale Wlle hintereinander
x2
x
(b) allg. Potential aus schmalen Wllen zusammengesetzt
Abbildung 5.6: bergang vom Rechteckpotential zum allgemeinen Potential
wobei es auf den Abstand zwischen beiden nicht wesentlich ankommt, wenn wir
wieder nur Grenordnungsm
ig nach der Transmission T fragen, multiplizieren sich die Transmissionen durch jeden der beiden W
lle:
T = T1 T2
ln T = ln T1 + ln T2
(5.49)
= 2a 2a = 2 2a
in bereinstimmung mit der Transmission durch einen Wall der Breite 2a. Liegt
nun ein beliebig geformter Wall vor, der zwischen x1 und x2 durchtunnelt werden
mu, d. h. dort ist W < V (x), so knnen wir den Wall in N Rechteckw
lle zerlegt
denken und schreiben:
;
T=
ln T =
N
Y
Ti ln T =
i=1
x2
X
;
;
p
xi =x1
1 Z x2 p
;
N
X
i=1
lnTi
i
8m
V (xi) W] x
h
;
(5.50)
h x1 8m
V (xi) W ] dx :
Darin sind x1 und x2 die Punkte mit V (x) = W, denn davor und danach ist
T 1. Auch Glg. (5.50) gilt nur der Grenordnung nach. d. h. auf einen Faktor
10 oder 100 genau. Das Ergebnis zeigt qualitativ die Eigenschaften der Potentialwalldurchdringung. Die erste erfolgreiche Anwendung von Glg. (5.50) geschah
1928 durch Gamow, der damit die Halbwertszeiten von alpha-strahlenden Kernen erkl
rte, und diese Halbwertszeiten variieren von Kern zu Kern um bis zu
25 Zehnerpotenzen.
;
;
Beispiele fr den Tunneleekt
121
5.8 Beispiele fr den Tunneleekt
Wegen der Kleinheit von h ist der Tunneleekt fr Objekte mit einer Masse der
Grenordnung Kilogramm und Energien der Grenordnung Joule ohne die
geringste praktische Bedeutung. Erst wenn es um Elektronen- oder Moleklmassen und Energien im eV-Bereich geht, werden Barrieren mit beobachtbaren
Wahrscheinlichkeiten durchtunnelt. Auch mit Wasserwellen und Licht kann man
den Tunneleekt demonstrieren. Vom dichteren Medium (Glas) ins dnnere
Medium (Luft) austretendes Licht wird totalreektiert, wenn der Winkel zur
Grenz
chennormalen grer als arcsin(1=n) ist, wie in Abb. 5.7(a) skizziert.
Der Transmissionskoezient T ist dann gleich Null. Bendet sich aber nach
einem dnnen Luftspalt der Grenordnung einiger Wellenl
ngen wieder Glas,
so dringt ein Teil des Lichtes durch den Spalt hindurch. Im Spalt gilt brigens
weder Strahlenoptik noch Wellenoptik, die Wellenl
ngen dort sind imagin
r.
R<1
R=1
T>0
n1>1
n2=n1
n=1
n>1
n=1
(a)
(b)
Abbildung 5.7: Tunneleekt am Beispiel der Reexion an Glas
Mit Ober
chenwellen auf Wasser kann man Totalreexion bei schr
gem
Einfall auf eine Stufe in tieferes Wasser erreichen. Ein Graben von der Breite
weniger Wellenl
ngen ergibt aber, da ein Teil der Wellenintensit
t ber den
Graben hinwegl
uft. Dieser Tunneleekt fr Wasserwellen wird in der Vorlesung
mit einer Wellenwanne vorgefhrt.
Ein Elektriker ntzt den Tunneleekt aus, wenn er einen Stromkontakt
zwischen Kupferdr
hten durch Verdrillen der beiden Dr
hte herstellt. Beide
Ober
chen bestehen aus nichtleitendem Kupferoxid. Die Ober
chenschichten
sind aber in der Praxis so dnn, da die Elektronen von einem Leiter durch
nichtleitendes Material hindurch in den anderen Leiter tunneln, und bei angelegter Spannung iet ein Strom durch die beiden Oxidschichten.
Ein n
chstes Beispiel fr den Tunneleekt ist die Feldemission. Legt man
an eine kalte Metallober
che ein sehr starkes elektrisches Feld der richtigen
Polarit
t, so zieht dieses Elektronen aus dem Metall heraus. Normalerweise
treten aus einem Metall keine Elektronen aus, weil dazu mindestens die Ablseenergie A aufgebracht werden muss. Bisher hatten wir drei Mglichkeiten
kennengelernt um doch Elektronen abzulsen: den Photoeekt mit h > A
die Sekund
relektronenemission, bei der prim
re Elektronen, die auf die Me-
122
Gamovs Theorie des Alpha-Zerfalls
tallober
che prallen, durch Sto den gebundenen Elektronen so viel kinetische
Energie mitgeben, da diese entweichen knnen und die Glhemission durch
Aufheizen des Metalles, wobei die schnellsten Elektronen der W
rmebewegung
im Schwanz der Maxwellverteilung1 gengend viel Energie zum Entweichen
erhalten. Bei der Feldemission wird Abb. 5.8(a) durch das elektrische Feld in
Abb. 5.8(b) verwandelt. A liegt in der Gegend um 3 eV. Bei Feldst
rken von
E~ = 109 V/m haben wir eine Tunnell
nge von 3 10;9 m. Dies reicht fr
Transmissionskoezienten der Grenordnung 10;23, und damit knnen einige
der 6 1023 Leitungselektronen pro mol ihren Tunnel nden. Spannungen von
100 kV an sehr feinen Spitzen mit Krmmungsradien im Bereich von 1/10 mm
ergeben 109 V/m und damit beobachtbare Feldemission.
j
j
Metall
A
V
W
Luft
Energien der
Elektronen
x
(a) ohne usseres Feld
Metall
A
V
Luft
x
Tunnel
(b) mit usserem Feld
Abbildung 5.8: Feldemission an Metallober
chen als Tunneleekt. A bezeichnet
die Ablsearbeit. Die zwei Teilbilder zeigen den Potentialverlauf in der N
he der
Ober
che.
Eine Anwendung der Feldemission ist das Rastertunnelmikroskop, das von
G. Binning und H. Rohrer in den Jahren bis 1984 entwickelt wurde. Dafr
erhielten die beiden Industriephysiker (IBM Zrich) 1986 den Nobelpreis. Mit
dem Rastertunnelmikroskop lassen sich auf Festkrperober
chen einzelne Atome sichtbar machen. Eine Weiterentwicklung ist das Atomare Kraftmikroskop,
bei dem der Tunnelstrom dazu bentzt werden kann, um einzelne Atome oder
Molekle auf gekhlten Metallober
chen zu bewegen und gezielt zu plazieren.
Als letztes Beispiel betrachten wir das historisch erste, die Beschreibung des
-Zerfalls von Atomkernen durch Gamov 1928.
5.9 Gamovs Theorie des Alpha-Zerfalls
Beim -Zerfall handelt es sich um den Kernprozess
AK
A;4 K0 + = 4 He (5.51)
Z
Z ;2
2
in dem ein Kern K der Protonenzahl (=Ladungszahl) Z und der Nukleonenzahl
(=Massenzahl) A unter Aussenden eines Helium-Kerns zerf
llt. Diese Heliumkerne heissen historisch -Teilchen. In der Natur kommen viele verschiedene
!
1 Fr Elektronen in Festkrpern gilt die Fermiverteilung. Die hochenergetischen Teile beider Verteilungen sind aber gleich.
Gamovs Theorie des Alpha-Zerfalls
123
V(r) Vc
W
150pt
r
R Rc
Abbildung 5.9: Potential beim -Zerfall nach dem Gamov-Modell
-Strahler vor. Ein typisches Exemplar ist 226
88 Ra = Radium 226 mit einer
Halbwertszeit von 1622 Jahren und einer kinetischen Energie der -Teilchen
von
4.8 MeV. Die beobachteten Halbwertszeiten variieren von 3 10;7 sec bei
212 Po bis 5 109 Jahren bei 238 U. Bereits lange vor 1928 war der Zusam84
92
menhang zwischen Halbwertszeit und Energie der -Teilchen bekannt, als sogenannte Geiger-Nuttall-Regel. Die Energie war durch die Reichweite von
Alphas in Luft oder in einer Nebelkammer leicht messbar. Wenn man in einem
Diagramm die Halbwertszeit T1=2 gegen die Energie W auftr
gt, und zwar als
log T1=2 gegen 1= W, dann erh
lt man eine Gerade. Dieser lineare Zusammenhang log T1=2 = A+B= W ist eine Konsequenz des Tunneleektes und soll
im folgenden hergeleitet werden.
In Gamovs Modell sind die -Teilchen im !Mutterkern AZ K vorgeformt. Die potentielle Energie V (r) zwischen dem -Teilchen und dem
!Tochterkern AZ ;;42 K0 ist in Abb. 5.9 skizziert. Fr groe Abst
nde r zwischen und Tochterkern ist V (r) ein reines abstoendes Coulomb-Potential,
fr kleine Abst
nde r < R berwiegt die starke Wechselwirkung, d. h. die starke
Anziehungskraft zwischen den Nukleonen, die die Kerne zusammenh
lt. Dabei
ist R etwa die Summe der Radien von Tochterkern und -Teilchen. Proton und
Neutron haben einen Radius von etwa 1 10;15 m. Kerne sind Neutronen und
Protonen in dichtesten Kugelpackungen mit einem Radius von
p
;
p
R(Kern) 1 10;15m
3
A = A1=3 fm :
p
(5.52)
Auf der in Abb. 5.9 gezeichneten Energieskala hat das -Teilchen innen wie
auen die nichtrelativistische Gesamtenergie Ekin +V = W. Dabei ist V (r) = W
fr r = R und r = RC . Eine einfache Rechnung mit
2
VC = Z1 Z2r hc Z1 = Z 2 Z2 = 2 = 4e0 hc 0
;
(5.53)
ergibt fr 226
88 Ra die Werte R = 7 5 fm und RC = 51 fm. Nach Glg. (5.50)
gilt grenordnungsm
ig fr den Transmissionskoezienten T des tunnelnden
-Teilchens mit Masse m() = m:
Z RC p
1
8m(V W) dr
lnT = h
R r
Z RC
= h1
8m W rRC W dr :
R
;
;
;
;
(5.54)
124
Gamovs Theorie des Alpha-Zerfalls
Mit der neuen Variablen x = r=RC wird dies:
Z 1 r 1 ln T = RhC
8mW x 1 dx
R=RC
Z 1 r1
8mWR
C
1dx =
h
R=RC x
und mit RC = Z1 Z2 hc=W :
r 2Z 1 r
1
ln T = Z1 Z2 8mc
(5.55)
W R=RC x 1 dx :
Das bestimmte Integral n
hern wir wegen R=RC = 7 5=51 1 wie folgt an:
Z 1 r1
Z R=RC r 1
Z 1 r1
1 dx =
x 1 dx 0
x 1 dx
0
R=RC x
r
Z R=RC x; 12 dx = 2 R :
(5.56)
2 0
2
RC
R q
Dabei wird das Integral 01 x1 1 dx leicht mit der Substitution x = sin # zu
=2 bestimmt. Weiter folgt:
r 2 r !
2 R
lnT
Z1 Z2 8mc
W
2
RC
r 2 p
r 2
2mc
R
= Z1 Z2 W + 4 Z1 Z2 2mc
(5.57)
hc :
Mit Zahlenwerten fr 226
88 Ra und nach Umrechnung vom natrlichen zum Zehnerlogarithmus ergibt sich:
r
(5.58)
logT = 148 1 MeV
W + 32 5 :
Wie knnen wir den Transmissionskoezienten T in die Halbwertszeit T1=2 verwandeln? Groes T heit sicher kleines T1=2 und umgekehrt. Quantitativ: Die
Zeit t0 zwischen zwei Sten des p
im Mutterkern vorgeformten -Teilchen betr
gt t0 = 2R=v. Dies ist t0 = 2R m=2W = 10;21 sec fr unser Beispiel. Die
Zahl der Ste an den Potentialwall pro Zeiteinheit ist = 1021 pro sec, und die
Rate (Wahrscheinlichkeit/Zeit) fr eine erfolgreiche Durchtunnelung ist dann
; = T 1021/sec. Fr die Halbwertszeit folgt daraus
(5.59)
T1=2 = ;1 ln2 = 0:69 10;21sec T1
r
h T =2 i
log 1 1sec
= 21 2 logT = 148 1 MeV
53 7 :
(5.60)
W
;
;
p
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Obwohl wir die Zahlenwerte von 226 Ra verwendet haben, gilt Glg. (5.60) in
etwa fr alle -Strahler, da R und W und damit v in t0 = 2R=v nur wenig
variieren. Die Gerade weicht im Mittel um einen Faktor 10 bis 100 von den
gemessenen Halbwertszeiten ab, gibt den Trend aber genau wieder. Und bei
einer Variation ber 1025 sind Abweichungen bis 102 fr ein so einfaches Modell
wie das von Gamov 1928 verwendete ein groartiger Erfolg gewesen.
Gebundene Zust
nde im Rechteckpotential
125
5.10 Gebundene Zustnde im Rechteckpotential
Bisher haben wir Potentiale betrachtet, die keine Teilchen binden, sondern sie
bremsen oder reektieren. Abb. 5.10(a) zeigt das eindimensionale Rechteckpotential, oft auch Kastenpotential genannt:
(
a
V (x) = V0 x a2
0 x < 2:
(5.61)
j j j j
Ein Teilchen mit Masse m und kinetischer Energie W < V0 wird an der rechten
wie an der linken Stufe mit R = 1 reektiert, sein Impuls ist abwechselnd
+ 2mW und 2mW. Wellenmechanisch haben wir hier erstmals eine Situation, in der die zeitunabh
ngige Schrdingergleichung die exakte Beschreibung
liefert. Kurz nach dem Hineinwerfen in den Kasten und dem Abbremsen auf W
wird genau genommen noch ein Wellenpaket bentigt. Da Wellenpakete aber
schnell !zeriessen, hat sich durch die vielen Reexionen rechts und links bald
ein station
rer Zustand ausgebildet, d. h. eine Wellenfunktion, die sich mit der
Zeit nicht mehr ndert. W ist streng konstant, (W) = 0, die Lebensdauer des
Zustandes ist unendlich. Streng genommen gilt das nur fr das in Abb. 5.10(a)
gezeichnete Potential mit V = V0 bis x =
und x = + . Ein Potential wie
in Abb. 5.10(b) kann das Teilchen nicht unendlich lange halten, irgendwann
wrde es hinaustunneln.
p
p
;
;1
V(x)
W
-a/2 a/2
V0
1
V(x)
W
x
(a) wie hier diskutiert
x
(b) mit nur endlicherPotentiallnge
Abbildung 5.10: Kastenpotential
Das Kastenpotential ist eine gute N
herung z. B. fr Elektronen in Festkrpern oder Neutronen in groen Atomkernen. Abgesehen davon ist es ein
mathematisch einfaches Musterbeispiel fr gebundene Zust
nde und fr ihre
Haupteigenschaft, die Quantelung der Energie W. Gebundene Zust
nde haben nicht alle mglichen Energien W < V0, sondern nur diskrete Energiewerte
W = W1 : : : WN . Dies folgt nach ein paar Zeilen Rechnung von der zeitunab-
126
Gebundene Zust
nde im Rechteckpotential
h
ngigen Schrdingergleichung 5.23 ausgehend zun
chst in einer Dimension:
h2 00(x) = W V (x)](x) (5.62)
82m x
a
>
x
<A e + B e;x
2
(x) = >C cos kx + D sin kx a2 x a2
(5.63)
:E ex + F e;x
a
x 2
p
h = 2m(V0 W) hk = 2mW :
(5.64)
Fr die sechs zun
chst freien Parameter A : : :F gelten sieben Bedingungen:
;
;
;
;
p
;
f2(x)
f1(x)
2
cos k1x
e-b x
x
-a/2
1
-a/2
a/2
sin k2x
e-b x
(a) Grundzustand im eindimensionalen Kastenpotential
a/2
x
(b) Erster angeregter Zustand im
eindimensionalen Kastenpotential
f3(x)
-a/2
a/2
x
(c) Zweiter angeregter Zustand im
eindimensionalen Kastenpotential
Abbildung 5.11: Die drei niedrigsenergetsichen Zust
nde im eindimensionalen
Kastenpotential mit mV0 a2=h2 = 32.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2 endlich fr x
, d. h. B = 0 ,
stetig in x = a2 ,
0 stetig in x = a2 ,
stetig in x = a2 ,
0 stetig in x = a2 ,
2 endlich fr x
, d. h. E = 0 ,
j
j
! ;1
;
;
j
j
! 1
Das unendlich hohe Rechteckpotential
127
R 1 2dx = 1.
7. ;1
j
j
Die letzte Bedingung bedeutet Normierung, d. h. das Teilchen bendet sich mit
der Wahrscheinlichkeit 1 irgendwo im Intervall ( + ). Sieben Gleichungen
fr sechs Unbekannte sind nicht fr jeden Wert von W zu erfllen. Nur fr eine
bestimmte Auswahl weniger Werte Wn gibt es je eine Lsung n (x). In der
Mathematik heit die Lsung einer Dierentialgleichung wie Glg. (5.62) unter
vorgegebenen Randbedingungen ein Eigenwertproblem. Wn heien Eigenwerte
und die dazugehrigen Lsungen Eigenfunktionen.
;1
1
In unserem Beispiel folgt die Existenz von Eigenwerten und Eigenfunktionen
leicht anschaulich aus den obigen sieben Bedingungen, wie in Abb. 5.11(a) bis
Abb. 5.11(c) gezeigt. Zum kleinsten Eigenwert W1 gehrt in x a2 ein Cosinus
oder Sinus mit kleinstmglicher Wellenzahl, also grtmglicher Wellenl
nge.
Wegen der Symmetrie V (x) = V ( x) mu (x) 2 = ( x) 2 sein, insbesondere A = F oder A = F . Deshalb sind die n innerhalb des Kastens reine
Sinus- oder Cosinunsfunktionen. Die l
ngste Wellenl
nge ergibt sich fr den
Cosinus in Abb. 5.11(a). Die zweitgrte Wellenl
nge, die in den Kasten hineinpat, gehrt zu dem Sinus in Abb. 5.11(b), die drittgrte wieder einem Cosinus.
j j ;
j
j
j
;
j
;
Die Rechnung fhrt auf transzendente Gleichungen. Sie ist z. B. im Anhang G des Lehrbuches !Quantum Physics von Eisberg/Resnick durchgefhrt.
Abh
ngig von der Energie des Teilchens gibt es eine bestimmte Anzahl an
gebundenen Zust
nden, aber immer nur eine endliche Anzahl! Fr den Fall
mV0 a2=h2 = 32 gibt es nur drei gebundene Zust
nde ihre Eigenwerte heissen
W1 = 0 0977 V0 , W2 = 0 375 V0 und W3 = 0 810 V0 . Die drei Eigenfunktionen
sind in Abb. 5.11(a) gezeigt. Weiterhin gibt es eine unendliche Anzahl von
Zust
nden mit W > V0 , diese bilden !oberhalb des Kastens ein kontinuierliches
Energiespektrum. Das Wesentliche ber gebundene Zust
nde, ihre Wellenfunktionen und ihr Energiespektrum lernen wir mit sehr einfacher Mathematik an
einem Spezialfall des Kastenpotentials kennen, am Grenzfall V0
, dem unendlich hohen Potentialkasten.
! 1
5.11 Das unendlich hohe Rechteckpotential
Es gilt Abb. 5.10(a) mit V0
. Der Grenzbergang drckt sich in den Lsungen des Eigenwertproblems in den Abbildungen 5.11(a)-5.11(c) durch immer
geringere Eindringwahrscheinlichkeiten in die Bereiche x > a2 aus, d. h. .
Und die Lsungen
! 1
j j
8
>
x
<0
(x) >A sin kx + B cos kx x
:0
x
! 1
a
2
a
;
!
j j p
hk = 2mW
a
2
2
(5.65)
(5.66)
bleiben berall stetig. 0 (x) wird unstetig in x = a=2 und x = +a=2. Das ist
hier erlaubt, da 00 (x) durch V0 an diesen Stellen unendlich werden kann. Die
;
128
Das unendlich hohe Rechteckpotential
Stetigkeitsbedingungen fr (x) lauten:
+ B cos ka
=0
a2 = A sin ka
2
2
(5.67)
ka = 0 :
a2 = A sin ka
+
B
cos
2
2
Durch Addition und Subtraktion folgt A sin(ka=2) = 0 und B cos(ka=2) = 0.
Die Lsung A = B = 0 ist uninteressant, sie beschreibt null Teilchen im Kasten.
Die Lsungen fr ein Teilchen zerfallen in zwei Klassen:
;
;
1. A = 0 und cos(ka=2) = 0
)
ka = 3 5 : : :
2. B = 0 und sin(ka=2) = 0
)
ka = 2 4 : : :
Daraus folgen die Energieeigenwerte Wn :
kn =
n a = n n = 1 2 3 : : :
rk2mW
h2 2
h 2
und die Eigenfunktionen n (x):
n
= n a Wn = 2ma2 n2 (5.68)
80
a
>
<q 2 nx x a2
n(x) = >q a cos a x 2 n = 1 3 5 : : :
(5.69)
: a2 sin nx
x a2 n = 2 4 6 : : :
a
p2=a folgen einfach aus der NormierungsbedinDie Normierungskonstanten
R
1
gung
2dx = 1, die zum Ausdruck bringt, da sich genau ein Teilchen
j j j j j j ;1 j
j
im Kasten bendet. Das Energiespektrum und die Wellenfunktionen sind
in Abb. 5.12 gezeigt. Die Energieeigenwerte steigen quadratisch mit n. Das
Spektrum der Eigenfunktionen besteht aus allen Funktionen cos kx und sin kx,
deren Vielfaches einer halben Wellenl
nge gleich a ist. Die Zahl der Knoten von
n innerhalb des Kastens (R
nder mitgerechnet) ist n + 1. Ebenso sieht das
Spektrum der Eigenschwingungen einer schwingenden Saite aus, die an beiden
Enden fest eingespannt ist.
Was ist das Impulsspektrum eines der Zust
nde n? Die stehende Welle
p2=a
cos(nx=a)
p laufenden
p kann als koh
rente berlagerung einer nach rechts
Welle r = 1=2a einx=a und einer nach links laufenden r = 1=2a e;inx=a
n
n
angesehen werden. Diese Wellen haben Wellenzahlen kr = +n=a und
kl = n=a, also Impulse pr = +hn=a und pl = hn=a.
;
;
Aber das Impulsspektrum von n besteht nicht nur aus diesen beiden
scharfen Impulsen, weil die Funktion cos(nx=a) nicht von x =
bis
x = + ausgedehnt ist. Auerhalb des Potentialtopfes ist n(x) 0. Das
exakte Impulsspektrum folgt wie gehabt aus der Fouriertransformation der
Wellenfunktion. Fr n = 1 3 5 : : : gilt:
;1
1
Das unendlich hohe Rechteckpotential
129
f6
W
n=6
x
f5
n=5
x
f4
n=4
x
f3
n=3
f1
n=2
n=1
f2
x
x
x
Abbildung 5.12: Energiespektrum und Eigenfunktionen im unendlichen Kastenpotential. Wer die Knoten z
hlt, sieht dass die als 5 gezeichnete Eigenfunktion
die Funktion 6 sein soll und umgekehrt.
r Z1
1
r Z a=2 r
1
2
;ikx
g^n(k) = 2
cos nx
2
a
a e dx
;1
;a=2
r Z a=2
r Z a=2
1
nx
1
cos a cos kx dx = 2 a
cos nx
= a
a cos kx dx
0
r Z;a=a=22h n i
1
cos n
+
k
x
+
cos
k x dx
= a
a
a
0
r h
1 sin(n=2 + ak=2) + sin(n=2 ak=2) i :
= a
n=a + k
n=a k
Fr die geraden n l
uft die Rechnung hnlich. Fr n = 1 3 5 : : : ist cos(n=2) =
0 und sin(n=2) = 1 daraus folgt:
r h
1
1 + 1 i cos ka
g^n (k) =
a n=a + k n=a k
2
n=a cos ka = 2n a cos(ka=2) = 2a (n=a)
2 k2
2
n22 k2a2
n (x)e;ikx dx =
;
;
;
;
p
;
p
;
und fr das gesuchte Spektrum gilt
dN = g^ (k) 2 = 4 n2a cos2(ka=2) :
n
dk
(n22 k2 a2)2
j
j
;
(5.70)
130
Der Potentialkasten in drei Dimensionen
dN/dk
n=1
k
dN/dk
n=3
k
dN/dk
n=5
k
dN/dk
n=7
k
Abbildung 5.13: Impulsspektrum des unendlich hohen Kastenpotentials fr
n=1,3,5,7
Die Spektren sind in Abb. 5.13 mastabsgetreu aufgetragen. Ab n = 3 erkennt
man zwei Hauptimpulsb
nder um die klassischen Erwartungswerte k = n=a
herum. Mit steigendem n bleibt die absolute Breite (k) dieser B
nder konstant.
Die relative Breite (k)=k nimmt aber wie 1=n ab, die B
nder werden relativ
gesehen immer schmaler.
5.12 Der Potentialkasten in drei Dimensionen
Lsungen der zeitunabh
ngigen Schrdingergleichung mit dreidimensional variierenden Potentialen V = V (x y z) sind schwieriger als in einer Dimension. Eine
entscheidende Gre ist dabei der Drehimpuls der Teilchenbewegung, L~ = ~r ~p.
Da in keinem wellenmechanischem Zustand ~r und ~p gleichzeitig scharf deniert
sein knnen, ist die Denition von L~ zun
chst nicht klar. Die Gren ~r und p~
sind aber nicht auf beliebige Weise unscharf, sie sind durch die Unsch
rferelation
miteinander verknpft. In der theoretischen Quantenmechanik kann man eine
noch pr
zisere Verknpfung als (x) (px ) h=2 aufstellen, die sogenannte
Der Potentialkasten in drei Dimensionen
131
Vertauschungsrelation zwischen dem ~r-Operator und dem ~p-Operator. Daraus
folgt dann zwangsl
ug eine wellenmechanische Denition des Drehimpulses
und die wichtige Eigenschaft,
da der Drehimpuls gequantelt ist, genauer
p
Lz = m h und L~ = l(l + 1)h mit ganzen Zahlen l 0 und ganzen Zahlen
m mit l m l. In Systemen, auf die kein ueres Drehmoment wirkt, ist
der Drehimpuls konstant. Dies gilt auch in der Wellenmechanik, d. h. Lsungen
(x y z) der Schrdingergleichung mit V (x y z) mssen Lsungen mit festem l
und festem m sein. Aus diesem Grund gehrt vor ein Studium der Schrdingergleichung ein ausgiebiges Studium des Drehimpulses. Dies wird in die Vorlesung
Physik IV verschoben und dort zuerst an Hand des Wasserstoatoms diskutiert.
j
;
j
In einer Dimension gibt es keinen Drehimpuls, deshalb war alles, was wir bisher n
herungsweise oder exakt mit der Schrdingergleichung berechnet haben,
unabh
ngig von einem Studium des Drehimpulses. Es gibt ein dreidimensionales Beispiel, dessen Lsungen wir hier angeben knen ohne den Drehimpuls zu
besprechen:
(
V (x y z) = 0
1
(x y z) K
(x y z) K
2
62
(5.71)
mit einem quader- oder wrfelfrmigen Kasten wie in Abb. 5.14 dargestellt.
z
y
c
b
a
x
Abbildung 5.14: Kastenpotential in drei Dimensionen
Stehende Wellen in diesem Kasten mssen die Randbedingung (x y z) = 0
an den sechs Rand
chen erfllen. Daraus folgt die Form der Wellenfunktionen
und das Energiespektrum genau wie in Glg. (5.68) und Glg. (5.69). In einer
Dimension, mit einem unendlichen Potentialkasten der von 0 bis a statt von
a=2 bis +a=2 reicht, gilt :
;
n(x) =
(q 2
0
nx
a sin a
0 x a
sonst
(5.72)
132
Die Nullpunktsenergie
mit pn = hn=a, Wn = n2 h2 2 =2ma2, n = 1 2 3 : : : In drei Dimensionen ist2:
(5.73)
px = hanx py = hbny pz = hcnz 2 2 2 n2
2
p2 + p2 + p2
(5.74)
W(nx ny nz ) = x 2my z = 2mh na2x + b2y + nc2z r
8 sin nxx sin ny y sin nz z :
(5.75)
(x y z) = abc
a
b
c
Falls der Kasten ein Wrfel ist, gilt a = b = c:
2 h2
W (nx ny nz ) = (n2x + n2y + n2z ) 2ma
2
mit nx ny nz = 1 2 3 : : :. Die minimale Energie betr
gt
(5.76)
2h2
Wmin = 3
2ma2 :
(5.77)
W=W0 = 3 6 9 11 1214 : ::
(5.78)
Durch Einsetzen kleiner Quantenzahlen ndet man das Energiespektrum. Mit
W0 = 2 h2=2ma2 ergibt sich:
Im Gegensatz zum eindimensionalen Kasten, wo nach oben die Energieniveaux
immer weiter auseinanderliegen, liegen sie im dreidimensionalen Kasten nach
oben immer dichter. Zur gleichen Energie knnen verschiedene Zust
nde gehren, z. B. gehren zu W = 6 W0 die drei Zust
nde in Glg. (5.75) mit
(nx ny nz ) = (2 1 1) (1 2 1) und (1 1 2). Man bezeichnet dieses Ph
nomen
als Entartung. Energieniveaux der Energie W heissen entartet, wenn mehr als
ein Zustand die gleiche Energie W besitzen.
5.13 Die Nullpunktsenergie
Ist ein Teilchen in einem endlichen Raumbereich durch Kr
fte eingesperrt, besitzt es ein diskretes Energiespektrum. Fr den Fall eindimensionaler Bewegung und des unendlichen Rechteckpotentiales ist das Energiespektrum durch
Glg. (5.60) gegeben:
2 2
h n = 1 2 3 : : :
Wn = n2 2ma
2
In zwei oder drei Dimensionen und mit anderen Potentialformen sieht das Spektrum anders aus, aber immer ist es gequantelt und immer ist W1 = 0. D. h. das
Einsperren in einen Raumbereich von endlicher Gre bedeutet notwendigerweise Bewegung. Es gibt keine absolute Ruhe. Auch bei der Temperatur T = 0 K
sind alle Teilchen in einem Festkrper oder einer Flssigkeit in st
ndiger Bewegung, der sogenannten Nullpunktsbewegung. Die dazugehrige kinetische Energie heit Nullpunktsenergie. Ihr Wert folgt direkt aus der Heisenbergschen
6
2
natrlich mit den in der Abb. 5.13 klargemachten Einschrnkungen, was hier unter
zu verstehen ist.
px py pz
Die Nullpunktsenergie
133
V
a
r
Hyperbel
Parabel
Abbildung 5.15: Potential einer homogen geladenen Kugel
Unsch
rferelation zwischen Ort und Impuls. Am eindimensionalen Kasten vorgerechnet:
h
(x) (px ) h2 (x) a4 (px ) 2
(5.79)
a :
Da der Mittelwert von px gleich Null ist, wie man in Abb. 5.13 mit n = 1 sieht,
ist der Mittelwert von p2x gleich (px )]2. Also ist die Nullpunktsenergie
4h2
(5.80)
2ma2
in guter bereinstimmung mit dem strengen Ergebnis 2 h2=2ma2 . Bei festem
Neon (T<24 K) betr
gt die Nullpunktsenergie z. B. 6,8 meV je Atom. Ne-Atome
bewegen sich am Temperaturnullpunkt mit Mv2 =2 = 6 8 10;3 eV, v = 2 5 105
m/s.
p2x
W1 = 2m
Elektronen, die auf ein Volumen von typischer Atomgre a = 10;10 m eingeschr
nkt sind, haben darin eine Nullpunktsenergie W1 , die wir unter den
vereinfachenden Annahmen absch
tzen wollen, da das Volumen ein Wrfel
mit V = a3 sei und das Potential ein unendliche hohes Kastenpotential. Nach
Glg. (5.76) ist W1 einfach ausrechenbar und liegt in der Grenordnung von 100
eV. D. h. die kinetischen Energien von Elektronen in den Grundzust
nden von
Atomen sind von dieser Grenordnung. Welche Nullpunktsenergie h
tten Elektronen, die auf ein Volumen von Kerngre a = 10;14 m eingesperrt sind? Vor
der Entdeckung des Neutrons durch Chadwick 1932 stellte man sich den Atomkern aus A Protonen und (A-Z) Elektronen aufgebaut vor. Die Gre der Kerne
war durch Rutherfords Experimente ungef
hr bekannt. Aus Glg. (5.80) folgt
eine Nullpunktsenergie der Elektronen im Kern von etwa 104 MeV. Das bedeutet aber W1 mc2 , d. h. die Vorraussetzung nichtrelativistischer N
hrung in
der Schrdingergleichung ist grob verletzt und wir mssen relativistisch rechnen.
Die Ergebnisse p = hk und 1 = langwelligste stehende Welle, die in die L
nge
a hineinpat, sind Prinzipien, die auch in der relativistischen Wellenmechanik
gelten. Daraus folgt:
px = py = pz h=a 60 MeV/c :
p
(5.81)
p
Dies ist viel grer als mc und damit ist W1 = m2 c4 + c2p2 cpx 3 100
MeV. Die Nullpunktsenergie eines Elektrons im Kern wrde etwa in dieser
134
Die Parit
t
Grenordnung liegen. Da auf Elektronen keine Kernkr
fte wirken, k
me nur
die Coulomb-Anziehung der A Protonen fr eine Bindung auf Kerndimensionen in Frage. Das Potential einer mit A e0 homogen positiv geladenen Kugel
vom Radius a ist in Abb. 5.15 skizziert. Fr r > a ist V = A e20 =4 "0 r.
Dann ist V (a) = A e20 =4 "0 a, und ein altes Resultat der Elektrostatik liefert
V (0) = V (a) 3=2. Mit A = 100 ist V (0)=20 MeV. Ergebnis: Das Coulombpotential von 20 MeV ist nicht in der Lage, Elektronen mit kinetischen Energien
von 100 MeV zu binden. Die Vorstellung, Elektronen im Kern durch elektrische
Kraft zu binden, ist unhaltbar. Die Entdeckung des Neutrons kl
rte alles auf,
seitdem besteht ein Kern (A,Z) aus Z Protonen und (A-Z) Neutronen.
;
;
Eine letzte Zahlenwertabsch
tzung: Festes Neon hat experimentell W1 =
6 8 10;3 eV pro Atom. Welchen Raumbereich bedeutet das in drei Dimensionen?
2h2
2hc = 6 10;11 m :
p
W1 = 3
a
=
2
2Ma
8mc2W1 =3
(5.82)
Der Gitterabstand zweier Neon-Kerne im festen Neon ist 3 1 10;10 m, d. h.
die Nullpunktsbewegung erfolgt ber etwa 1=5 des Gitterabstandes. Das l
t
sich bei einem Festkrper noch einsehen. Anders sind die Verh
ltnisse beim
Helium in der N
he von 0 K. Dort ist die Nullpunktsenergie grer als die
Kristallbindungsenergie. Infolge dessen wird Helium nicht fest, es bleibt (unter
normalem Druck) selbst bei T = 0 K eine Flssigkeit.
5.14 Die Paritt
Die bisher verwendeten Gren in der Wellenmechanik, Ortskoordinaten, Impulse, kinetische und potentielle Energien kommen auch in der klassischen
Mechanik vor und bedeuten dort das gleiche. Der einzige Unterschied ist die
prinzipielle Unsch
rfe in der Wellenmechanik. Neu in der Wellenmechanik ist
eine Gre, die es in der klassischen Mechanik nicht gibt, die Parit
t eines
Zustandes.
Im eindimensionalen unendlich tiefen Kasten gab es zwei Sorten von Zust
nden. Ihre Wellenfunktionen lauten:
r
n = a2 cos nx
(5.83)
a n = 1 3 5 : : :
r
n = a2 sin nx
(5.84)
a n = 2 4 6 : : :
Beide Sorten haben Symmetrieeigenschaften:
n( x) = n(x) n = 1 3 5 : : :
n( x) = n(x) n = 2 4 6 : : :
;
;
;
(5.85)
(5.86)
Unabh
ngig vom Kastenpotential denieren wir in der Wellenmechanik: Ein
Zustand hat die Parit
t +1, wenn:
( x t) = (x t)
;
Der lineare harmonische Oszillator
135
und hat die Parit
t -1 wenn:
( x t) = (x t):
;
;
Zusammengefat:
( x t) = P (x t) P = +1 oder 1:
(5.87)
Nicht jede beliebige Wellenfunktion hat die Symmetrieeigenschaft der
Glg. (5.87), die meisten Funktionen sind weder gerade noch ungerade. Gebundene Zust
nde (x t) = (x) e;iWt=h haben immer dann eine feste
Parit
t, wenn das bindende Potential eine symmetrische Funktion ist, d. h.
V (x) = V ( x). Denn aus einem symmetrischen Potential folgt eine symmetrische Aufenthaltswahrscheinlichkeit des gebundenen Teilchens:
( x) 2 = (x) 2:
(5.88)
Und daraus folgt:
( x) = (x) ei (5.89)
i
2
i
(x) = ( x) e = (x) e (5.90)
2i
i
e =1 e = 1:
(5.91)
In eindimensionalen Problemen ist das Ergebnis, da aus einem symmetrischen
Potential Zust
nde fester Parit
t folgen, oft eine Rechenerleichterung. In dreidimensionalen Problemen kommt der Parit
t noch weitergehende Bedeutung zu,
z. B. bei der Behandlung von Strahlungsberg
ngen Atom Atom + . Die
Parit
t P ist in der Atomphysik und in jedem Prozess der elektromagnetischen
Wechselwirkung eine Erhaltungsgrsse wie Energie, Impuls, Drehimpuls und
elektrische Ladung. Eine Wellenfunktion im Dreidimensionalen hat eine feste
Parit
t, wenn gilt:
( ~r t) = P (~r t) :
(5.92)
Auch hier kann P nur die Werte +1 und 1 annehmen.
;
;
;
j
;
j
j
j
;
;
!
;
;
5.15 Der lineare harmonische Oszillator
Es gibt nur wenige Potentialfunktionen V (x y z), die eine Lsung der zeitunabh
ngigen Schrdingergleichung mit analytischen Methoden erlauben. Numerisch
ndet man immer Lsungen, ganz gleich wie das Potential im Detail aussieht.
Auer den bisher behandelten Stufenfunktionen sind auch V (r) = k=r, also
das Coulombpotential, und V (x) = kx2 analytisch lsbar. In der klassischen
Mechanik gehrt eindimensional zu
(5.93)
V (x) = C2 x2 x ( )
ein harmonisch schwingendes Teilchen, denn aus diesem Potential folgt
2
;1 1
r
2
C
m ddt2x = Cx x = x0 cos(!t ) ! = m
;
;
(5.94)
136
Der lineare harmonische Oszillator
mit Parametern x0 und , die aus den Anfangsbedingungen folgen. Beispiel
ist der Massenpunkt an einer Feder im Bereich kleiner Auslenkungen, wo das
Hooksche Gesetz gilt. Die Energie, die in der Schwingung steckt, betr
gt
(5.95)
W = 12 mx_ 2 + V = Vmax = C2 x20 :
In der klassischen Physik ist jedes x0 erlaubt und damit jede Energie W. Wir
werden das Problem jetzt wellenmechanisch angehen und nden, da nur diskrete Energiewerte
Wn = n + 12 h! n = 0 1 2 : : :
(5.96)
im Energiespektrum des linearen, d. h. eindimensionalen, harmonischen Oszillators vorkommen.
Eine historische Zwischenbemerkung: Das Ergebnis in Glg. (5.96) wurde bereits 1925 von Heisenberg gefunden, ein Jahr vor Schrdingers Anwendung
seiner Dierentialgleichung auf Materiewellen. Heisenberg bentzte einen vllig anderen Ausgangspunkt, seine sogenannte Matrizenmechanik. Aus der Linearen Algebra ist bekannt, da die Lsung der Matrixgleichung:
0M11 M12 1 0 1 0 1
BBM . . .
CC Bxx12C = W Bxx12C (5.97)
@ .21
A @ .. A @ .. A
.
..
..
.
.
ebenfalls ein Eigenwertproblem darstellt, das nur diskrete Eigenwerte Wn und
dazugehrende Eigenvektoren (x1 x2 : : :)n als Lsung hat. !Quantisierung als
Eigenwertproblem 3 heit Lsung durch Dierentialgleichungen oder durch Matrizen. Unabh
ngig voneinander haben Heisenberg und Schrdinger zwei
verschiedene Wege zur Quantentheorie gefunden. Ein paar Jahre sp
ter wurde
gezeigt, da beide Wege quivalente Darstellungen der gleichen Theorie sind, die
wir heute Quantenmechanik nennen. Die Mathematik der Quantenmechanik ist
die Funktionalanalysis, auch !Hilbertraum genannt. Die Schrdingergleichung
heit umgeschrieben:
h h2 d2
i
+
V
(x)
= W :
(5.98)
2m dx2
Man sieht die formale )hnlichkeit mit Glg. (5.97). Zurck zum harmonischen
Oszillator:
h2 00 = C x2 + W
2m
2
h mC
i
00
= 2 x2 2mW
fr x ( ):
(5.99)
h
h2
Diese Dierentialgleichung ist linear, d. h. mit n ist auch N n eine Lsung.
Als ersten Ansatz zur Lsung versuchen wir
2
(x) = e;x =2
(5.100)
2
0 = xe;x =2 00 = (2x2 ) :
(5.101)
;
;
;
;
;
2
;1 1
;
So der Titel von Schr dingers Arbeit 1926, worin er seine Gleichung und Anwendungen
verentlichte.
3
Der lineare harmonische Oszillator
137
Dieser Ansatz lst Glg. (5.99), wenn 2 = mC=h2 und = 2mW=h2. Aus der
ersten Bedingung folgt = mC=h und mit
p
! = C=m
(5.102)
wie im klassischen Analogon haben wir so die erste Lsung des Problems gefunden:
1
;x2 =2 :
= m!
(5.103)
h W = W0 = 2 h! 0(x) = N0 e
Darin folgt die Normierungskonstante N0 aus der bekannten Normierungsbedingung fr die Wellenfunktion.
Weitere Lsungen ergeben sich durch Polynome
n-ter Ordnung vor e;x2 =2:
2
n = Pn e;x =2
(5.104)
Pn = xn + A1 xn;1 + + An x0
0n = (Pn0 xPn) e;x2 =2
00n = (Pn00 xPn0 + 2x2 Pn Pn xPn0 ) e;x2 =2
(5.105)
Pn00
0n
P
= P 2x P + 2 x2 n :
p
;
;
n
;
;
n
;
;
Eingesetzt in die Dierentialgleichung 5.99 fr ergibt sich die folgende Dierentialgleichung fr die Polynome Pn(x):
Pn00 2x Pn0 + 2x2 = mC x2 2mWn :
(5.106)
Pn
Pn
h2
h2
Da diese Gleichung fr jeden Wert von x gilt, mssen die Vorfaktoren in den
x2 -Termen gleich sein und hat fr jedes n den gleichen Wert wie fr n = 0 in
Glg. (5.103). Daraus folgt
n Pn00 2xPn0 + 2mW
Pn = 0 :
(5.107)
h2
Fr P1 versuchen wir den Ansatz P1 = x:
1 x x = 0 2x + 2mW
(5.108)
2
h
;
;
;
;
;
;
;
= 3 h! W1 = 23 h2 m
2
(5.109)
1(x) = N1 x e;x2 =2 :
Die Lsung 0 hat die Parit
t +1, ( x) = (x), denn die Gaufunktion ist
gerade. Die Lsung 1 hat die Parit
t -1. Alle Zust
nde mssen feste Parit
t
haben, da im Ansatz Glg. (5.93) das Potential Cx2=2 symmetrisch ist. Deshalb
muss man im Ansatz fr P2 den linearen Teil weglassen, A1 = 0 wrde die
Symmetrie zerstren.
P2 = x2 + A2 P20 = 2x P200 = 2: In Glg. (5.107):
2 2
2 4x2 + 2mW
(x + A2 ) = 0 :
(5.110)
h2
;
6
;
;
138
Der lineare harmonische Oszillator
Dies gilt fr alle x, und der Koezientenvergleich liefert:
= 5 h!
2
=0
W2 = 25 h2 m
4 + 2mW
2
2
h
2mW
1
2 A =0
2+
A2 =
2
h2
2 1 ;x2=2 2
2 (x) = N2 x 2 e
:
;
;
(5.111)
)
;
)
;
(5.112)
;
fn
V
fn
2
7
hw
2
3
x
5
hw
2
2
x
3
hw
2
1
x
x
1
hw
2
x
0
x
x
x
x
Abbildung 5.16: Energiespektrum, Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des schwingenden Teilchens im harmonischen Oszillatorpotential
Damit sind Eigenwert und Eigenfunktion fr den Zustand mit n = 2 gefunden. Die allgemeine Lsung lautet:
Pn = xn + A2xn;2 + A4 xn;4 + : : :
Pn0 = nxn;1 + A2 (n 2)xn;3 + : : :
Pn00 = n(n 1)xn;2 + : : :
;
;
(5.113)
(5.114)
(5.115)
Terme bis xn;2 in die Dierentialgleichung 5.107:
n(n 1)xn;2 2x(nxn;1 + A2 (n 2)xn;3) +
2mWn n
(x + A2xn;2) = 0 :
h2
Der Koezientenvergleich vor xn liefert:
n = 0 W = h(n + 1 )! 2n + 2mW
n
2
h2
2 =2
n
;
x
n (x) = Nn (x + : : :) e
:
;
;
;
;
;
;
(5.116)
(5.117)
(5.118)
Die Polynome P0 = 1, P1 = x, P2 = x2 1=2 : : : heien Hermitesche Polynome. Sie sind durch die Dierentialgleichung 5.107 deniert, haben die Parit
t
( 1)n und ihre Koezienten lassen sich alle nach dem Schema wie bei P2 berechnen. Die Funktionalanalysis liefert elegantere Methoden zur Berechnung.
;
;
Der lineare harmonische Oszillator
139
Die Hermiteschen Polynome Hn(v) sind fr dimensionslose Argumente v deniert, x ist dimensionslos. Die allgemeine Lsung des linearen harmonischen
Oszillators lautet :
Wn = n + 21 h!
(5.119)
p
p
wie schon in Glg. (5.96) behauptet, mit ! = C=m, n = 0 1 2 : : : und
2
n = Nn Hn(x ) e;x =2
p
(5.120)
p
mit , das nicht von n abh
ngt, = mC=
h, wie in Glg. (5.103). Die
R 1 h2=dxm!=
Normierungskonstanten Nn folgen aus ;1
=
1.
Die Hermiteschen Pon
lynome Hn (v) haben genau n Nullstellen. Die stehenden Wellen n, die sich im
Oszillatorpotential ausbilden, haben deshalb genau n Knoten. Abb. 5.16 zeigt
das Energiespektrum, die Wellenfunktionen und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des oszillierenden Teilchens. n heit die Quantenzahl des Zustandes. Die
Energieniveaux liegen quidistant, ihr Abstand betr
gt h!, wobei ! die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung ist und genau den gleichen Wert hat
wie in der klassischen Mechanik. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten haben
n Knoten und n + 1 Maxima. Mit steigendem n dehnt sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ber einen immer greren x-Bereich aus, genau wie in der
klassischen Mechanik, wo mit steigender Energie W = Cx20=2 die Amplitude x0
immer grer wird. Was ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit klassisch?
x = x0 sin !t :
(5.121)
Die Dauer t, die das schwingende Teilchen im vorgegebenen Intervall x irgendwo zwischen x0 und x0 verbringt, ist
t x = 1 x:
t = x
(5.122)
x
_
q
p
(5.123)
x_ = !x0 cos !t = !x0 1 sin2 !t = ! x20 x2
t = p 1
P
=
const
(5.124)
2
2
x ! x0 x
x
;
;
;
;
Diese Dauer t ist der Aufenthaltswahrscheinlichkeit P proportional. In
Abb. 5.17 ist dP=dx als Funktion von x gezeichnet. In x = 0 ist die Wahrscheinlichkeit am kleinsten, weil dort die Bewegung am schnellsten erfolgt. An
den Umkehrpunkten ist sie am grten, weil dort die Bewegung einmal pro
Schwingung kurz aufhrt. Beim Zustand 0(x) ist P=x = 20 in x = 0
maximal statt minimal. Aber 0 entspricht ja auch gerade der Ruhe. Die
notwendige Nullpunktsbewegung (x t) = (x) e;i!t=2 n
hert die klassische
Ruhe so gut an, wie es in einem quantenmechanischen System mglich ist. Und
mit steigendem n n
hert sich 2n der klassischen Kurve in Abb. 5.17, wie in
Abb. 5.18 fr n = 16 gezeigt.
Ann
hern heit hier Oszillieren um die klassische Kurve. Im bergang n
werden die Oszillationen so schnell, da sie unmebar werden. In noch so
!
1
140
Der lineare harmonische Oszillator
dp
dx
-x0
x0
x
Abbildung 5.17: Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Ortsintervall
P=x als Funktion von x
dp
dx
-x0
x0
x
Abbildung 5.18: bergang vom quantenmechanischem Ergebnis mit n = 16 fr
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum klassischen.
kleinem Meintervall x nimmt
P =
Z x+x
x
2n dx
(5.125)
den klassischen Wert der gestrichelten Kurve an. Dies ist ein Beispiel fr das
sogenannte Korrespondenzprinzip der Quantenmechanik. Im Grenzwert groer
Quantenzahlen sind die Ergebnisse der Quantenmechanik den Ergebnissen der
klassischen Mechanik gleich. Eine Masse von m = 1 g schwinge harmonisch mit
= 1 Hz und X0 = 1 cm. Die Quantenzahl dieses Zustandes errechnet sich zu
n = 3 1027. Diese Quantenzahl ist so gro, dass das diskrete Energiespektrum
dann aussieht wie das kontinuierliche mit W = Cx20=2 und dass P=x ber
eine L
nge von 2 cm insgesamt 3 1027 Knoten und Maxima hat. Das ist ein
Knotenabstand von 10;29 m.
Schwingungen zweiatomiger Molekle
141
5.16 Schwingungen zweiatomiger Molekle
V
r0
r
V0+W0
V0=V(r0)
W1
Abbildung 5.19: Potential bei der chemischen Bindung
Das Potential des harmonischen Oszillators entspricht n
herungsweise dem
Potential vieler Anwendungen in der Molekl- und Festkrperphysik. Als eine
Anwendung betrachten wir die Schwingungen von Moleklen mit zwei Atomen
wie H2 zum Beispiel. Diese Molekle werden durch elektromagnetische Kr
fte
zusammengehalten, ber deren Details wir hier gar nichts brauchen. Fr sehr
kleine Abst
nde gibt es eine abstoende Coulomb-Kraft, die von den positiv
geladenen Kernen herrhrt. Fr groe Abst
nde gibt es eine Anziehungskraft,
experimentell durch die in der Reaktion H + H H2 + Q freiwerdende Energie
von Q = 460 kJ/mol bewiesen und vorstellbar als Coulombkraft zwischen H+
und H; oder als Dipol-Dipol-Kraft zweier polarisierbarer neutraler Atome. Die
glatte Interpolation zwischem einem fr kleine r stark abstoenden und einem
fr groe r schwach anziehendem Potential ergibt eine Form wie in Abb. 5.19.
r ist der Abstand der Kerne, und bei r0 ist das Potential minimal. Um diesen
Abstand r0 herum wird sich die Nullpunktsbewegung des Grundzustandes mit
der Nullpunktsenergie W0 ausbilden. Fr V0 = V (r0) gilt: V0 + W0 + Q = 0.
Zahlenwerte sind: r0 = 0 75 10;10 m und Q = 4 8 eV. Daraus wollen wir W0
und W1 berechnen. Um r0 herum kann man das Potential parabolisch ann
hern:
V (r) = C(r r0)2 =2, und die Bewegung zwischen nur zwei Massen (me mp )
ist eindimensional. Deshalb knnen wir den linearen harmonischen Oszillator
hernehmen. Da sich W0 V0 herausstellen wird, ist
C r0 2 = Q
(5.126)
2 2
eine passable Absch
tzung fr die Konstante C C 6 8 1021 eV=m2. Die
Kreisfrequenz
! der Schwingung zwischen den beiden H-Atomen ergibt sich aus
p
! = C=m, wobei fr m die reduzierte Masse der Relativbewegung einzusetzen
ist, mrel = mH =2. Damit ist ! = 1 1 1015 Hz. Als Nullpunktsenergie ergibt sich
W0 = 21 h! 0 37 eV. Damit ist die Anregungsenergie W1 W0 = h ! = 0 74
eV bei Zimmertemperatur wesentlich grsser als die mittlere thermische Energie
pro Freiheitsgrad. Daraus folgt, da die W
rmebewegung bei Zimmertemperatur
keine Schwingungen anregt. Es gibt dann nur drei Freiheitsgerade der Translation und zwei der Rotation, keinen der Schwingung. Bei Zimmertemperatur
haben H2, N2 und O2 deshalb einen Adiabatenkoezienten = 1 4.
!
;
;