Batterien - STARK Verlag

Anwendungsaufgaben:
Logarithmusfunktionen
R. 4. 5
Batterien
Chemiekonzerne betreiben in dem Bereich der Energieversorgung seit mehreren
Jahren verstärkt Forschung und Entwicklung. Das vorläufige Ergebnis der Arbeiten sind umweltschonende Batterien, die mit dem Hausmüll entsorgt werden
können. Die Preisvorstellung der Konzerne lässt sich durch die Funktion pA mit
pA(x) = 18 x ln(x + 1)
kumulieren. Es wird vermutet, dass sich die Nachfrager nach einer exponentiellen
Preisabsatzfunktion pN orientieren. Aufgrund mehrerer Unsicherheiten plant man
mit einem Parameter t > 0, sodass die Schar der Nachfragefunktionen gegeben ist
durch:
pN, t(x) = 5 – t ⋅ e0,1x
1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t den ökonomischen Definitionsbereich.
Begründen Sie, warum t ≤ 5 sein muss. Zeigen Sie, dass die Graphen der
Funktionsscharen pN, t allesamt streng monoton fallend und rechtsgekrümmt
sind. Bestimmen Sie eine Schar der Stammfunktionen zu pN, t .
2. Bestimmen Sie die Schar der Preiselastizitätsfunktionen der Nachfrage. Zeigen
Sie, dass für eine elastische Nachfrage die Ungleichung (0,1x + 1)t ⋅ e0,1x < 5
gilt. Bestimmen Sie für t = 1 die Herstellmengen, deren Nachfrage elastisch
ist, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis ökonomisch.
Im Folgenden sei t = 1.
3. Der Staat überlegt, den Absatz umweltschonender Batterien mit einer Subvention von 20 % auf den ursprünglichen Angebotspreis zu unterstützen.
Bestimmen Sie die neue Angebotsfunktion und bestimmen Sie jeweils das
Marktgleichgewicht vor und nach der Subventionspolitik. Erläutern Sie, ob
die Nachfrage im neuen Marktgleichgewicht elastisch ist.
4. Berechnen Sie die prozentuale Veränderung der Gleichgewichtsmenge sowie
die Veränderung des Gleichgewichtspreises. Erläutern Sie, ob die Nachfrage
auf die Veränderung des Marktgleichgewichtes elastisch reagiert hat. Berechnen Sie die Konsumentenrente im alten und neuen Marktgleichgewicht und
beschreiben Sie die Auswirkung für die Konsumenten.
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Übersicht über die verwendeten wirtschaftswissenschaftlichen Begriffe
Ökonomischer Definitionsbereich
Der ökonomische Definitionsbereich ist eine Teilmenge des mathematisch möglichen Definitionsbereichs. Eingeschränkt wird Dök beispielsweise durch ökonomische Unmöglichkeiten wie negative Mengeneinheiten, negative Preisvorstellungen oder das Überschreiten von Kapazitätsgrenzen.
Angebotsfunktion pA, Preisabsatz- oder Nachfragefunktion pN
Die Angebotsfunktion pA spiegelt den Preis eines festgelegten Produktes auf
einem bestimmten Markt in Abhängigkeit zum kumulierten Marktangebot (aller
Anbieter) wider. Analog zeigt die Funktion pN, wie sich der Preis in Abhängigkeit zur kumulierten Marktnachfrage (aller Konsumenten) verändert.
Elastizität
Der Elastizitätskoeffizient εx; p beschreibt das Verhältnis einer relativen (hinreichend kleinen) Mengenänderung zu einer relativen (hinreichend kleinen) Preisänderung eines bestimmten Produktes. Dabei nennt man die Nachfrage elastisch,
wenn der Elastizitätskoeffizient kleiner als –1 ist, d. h., bei einer einprozentigen
Preiserhöhung geht die nachgefragte Menge nach dem Gut um mehr als 1 %
zurück.
Marktgleichgewicht
Das Marktgleichgewicht ist die Situation, bei der der Markt geräumt wird. Die
Angebotsmenge und die Menge der Nachfrage zu einem bestimmten Preis stimmen überein. Die Abszisse des Marktgleichgewichtes wird als Gleichgewichtsmenge und die Ordinate als Gleichgewichtspreis bezeichnet.
Konsumentenrente
Auf einem Markt haben alle Akteure unterschiedliche Preisvorstellungen zu
einem bestimmten Gut. Die Einigung im Marktgleichgewicht stellt für einige
Konsumenten einen Vorteil dar, da sie bereit gewesen wären, einen höheren
Preis als den Gleichgewichtspreis zu zahlen. Die Konsumentenrente ist die
Summe (bzw. das „Integral“) aller Differenzen zwischen dem Gleichgewichtspreis und den jeweiligen Preisen, die einzelne Konsumenten bereit gewesen
wären, zu zahlen.
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Logarithmusfunktionen
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Kompetenzprofil
I
I
I
I
I
I
I
I
Niveau: weiterführend
Fachlicher Bezug: Wirtschaft
Kommunikation: argumentieren, vergleichen
Problemlösen: Lösungen berechnen, Ergebnisse reflektieren
Modellierung: Modelle vergleichen
Medien: Computer (GTR)
Methode: Einzel- oder Gruppenarbeit
Inhalt in Stichworten: Logarithmusfunktionen; Exponentialfunktionen; Definitionsbereich;
Monotonie; Krümmung; Stammfunktion; Ungleichung; Integration
Autor: Jens Peters
Lösung
1. Ökonomischer Definitionsbereich
Es muss x ≥ 0 und pN, t(x) ≥ 0 gelten:
5 − te 0,1x ≥ 0
5 ≥ te 0,1x
ln
10 ln
5
t
5
t
5
t
≥
e 0,1x
≥ 0,1x
⏐+ te 0,1x
⏐: t > 0
⏐ln
⏐⋅10
≥x
Wegen ln 5t < 0 für t > 5 muss t ≤ 5 sein (t > 0 gilt laut Aufgabenstellung):
Dök = ⎤⎦ 0; 10 ln 5t ⎤⎦
Schar der Nachfragefunktionen
p N, t (x) = 5 – te0,1x
Die 1. und 2. Ableitung werden mittels Kettenregel berechnet:
p 'N, t (x) = – 0,1te0,1x, p ''N, t (x) = – 0,01te0,1x
Monotonie
Da die natürliche Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt und t > 0
gilt, ist p 'N, t (x) < 0 für alle x ∈ Dök. Die Graphen sind daher streng monoton
fallend.
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Krümmung
Mit derselben Begründung gilt p ''N, t (x) < 0 für alle x ∈ Dök, die Graphen
sind also rechtsgekrümmt.
Stammfunktionen
Durch summandenweises Integrieren erhält man:
PN, t (x) = ∫ p N, t (x) dx = ∫ 5 − te 0,1x dx
1 ⋅ te 0,1x + C = 5x − 10te 0,1x + C, C ∈ 0
= 5x − 0,1
2. Elastizitätsfunktion
Für die relative (hinreichend kleine) Mengenänderung ergibt sich mit (x)' = 1:
(x) '
x
=
1
x
Die relative (hinreichend kleine) Preisänderung beträgt:
p 'N (x)
p N (x)
Damit erhält man für den Elastizitätskoeffizienten:
εx; p(x) =
1
x
p 'N (x)
p N (x)
=
p N (x)
x ⋅ p 'N (x)
Einsetzen der gegebenen Funktionenschar liefert:
εx; p(x) =
5 − te 0,1x
x ⋅ ( − 0,1te 0,1x )
=
5 − te 0,1x
− 0,1xte 0,1x
Für eine elastische Nachfrage muss εx; p(x) < –1 gelten. Wegen x > 0 und
p 'N, t (x) < 0 (vgl. Monotonie) ist – 0,1xte0,1x < 0 und es folgt:
5 − te 0,1x > 0,1xte 0,1x
5 > 0,1xte 0,1x + te 0,1x
5 > (0,1x + 1)te 0,1x
Für t = 1 ergibt sich mit dem GTR (oder
CAS) speziell:
x < 9,4446 ⇒ I = [0; 9,4446]
Interpretation
Würde der Preis bei einer elastischen Angebotsmenge (x ∈ I) um 1 % steigen, so würde
die Menge um mehr als 1 % zurückgehen.
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3. Neue Preisangebotsfunktion
Bei einer Subvention von 20 % müssen nur noch 80 % des alten Preises
bezahlt werden:
1 x ln(x + 1)
pA, neu(x) = 0,8 ⋅ pA(x) = 0,8 ⋅ 18 x ln(x + 1) = 10
Marktgleichgewicht
Mit der alten Angebotsfunktion ergibt sich:
p N, 1 (x) = p A (x)
5 − e 0,1x = 18 x ln(x + 1)
x G ≈ 8,9224; p G = 2,5594
Vor der Subventionspolitik betrug das
Marktgleichgewicht MG(8,9224 | 2,5594).
Mit der neuen Angebotsfunktion ergibt sich:
p N, 1 (x) = p A, neu (x)
1 x ln(x + 1)
5 − e 0,1x = 10
x G ≈ 9,806; p G = 2,3339
Nach der Subventionspolitik beträgt das
Marktgleichgewicht MG(9,806 | 2,3339).
Da die Preiselastizität der Nachfrage nicht verändert wurde und die neue
Marktgleichgewichtsmenge nicht in I = [0; 9,4446] (vgl. Teilaufgabe 2) ist, ist
die neue Marktgleichgewichtsmenge unelastisch.
4. Prozentuale Veränderung
Die Gleichgewichtsmenge wächst von 8,9224 ME um 0,8836 ME auf
9,806 ME. Die prozentuale Veränderung beträgt also 9,9 %.
Für den Preis ergibt sich eine Änderung von 2,5594 GE um – 0,2255 GE auf
2,3339 GE. Das ist eine prozentuale Veränderung von –8,81 %.
Für die Elastizität gilt laut Definition:
proz. Mengenänderung
9,9 %
εx; p = proz. Preisänderung = −8,81% = −1,1237
Die Nachfrage hat daher elastisch auf die Preisänderung reagiert.
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Konsumentenrente
Im alten Marktgleichgewicht gilt:
8,9224
KR alt =
∫
p N, 1 (x) − 2,5594 dx
0
= ⎡⎣5x − 10e 0,1x − 2,5594x ⎤⎦
8,9224
0
= −2, 6299 − ( −10) = 7,3701
Im neuen Marktgleichgewicht gilt:
9,806
KR neu =
∫
p N, 1 (x) − 2,3339 dx
0
= ⎡⎣5x − 10e 0,1x − 2,3339x ⎤⎦
9,806
0
= − 0,5168 − ( −10) = 9, 4832
Die Wohlfahrt steigt für die Konsumenten, da der Markt zu einem günstigeren Preis geräumt wird.
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