Chinesischer Restsatz

Chinesischer Restsatz
Für teilerfremde Zahlen p1 , . . . , pn besitzen die Kongruenzen
x
=
a1 mod p1
...
x
=
an mod pn
genau eine Lösung x ∈ {0, . . . , P − 1}, P = p1 · · · pn .
Chinesischer Restsatz
1-1
Chinesischer Restsatz
Für teilerfremde Zahlen p1 , . . . , pn besitzen die Kongruenzen
x
=
a1 mod p1
...
x
=
an mod pn
genau eine Lösung x ∈ {0, . . . , P − 1}, P = p1 · · · pn .
Bezeichnet Qk eine zu Pk = P/pk inverse ganze Zahl modulo pk , d.h. ist
Qk Pk = 1 mod pk ,
so gilt
x=
n
X
ak Qk Pk mod P .
k=1
Chinesischer Restsatz
1-2
Beweis:
(i) Existenz:
Chinesischer Restsatz
2-1
Beweis:
(i) Existenz:
Darstellung
x=
n
X
ak Qk Pk mod P
k=1
=⇒
x mod pk = ak Qk Pk mod pk ,
da pk Teiler von P` für ` 6= k
Chinesischer Restsatz
2-2
Beweis:
(i) Existenz:
Darstellung
x=
n
X
ak Qk Pk mod P
k=1
=⇒
x mod pk = ak Qk Pk mod pk ,
da pk Teiler von P` für ` 6= k
Definition einer zu Pk inversen Zahl modulo pk , Qk Pk = 1 mod pk , =⇒
x = ak · 1 mod pk = ak mod pk
Chinesischer Restsatz
2-3
(ii) Eindeutigkeit:
Chinesischer Restsatz
2-4
(ii) Eindeutigkeit:
zu zeigen:
x = x 0 mod pk für k = 1, . . . , n
=⇒
x − x 0 = αP
Chinesischer Restsatz
2-5
(ii) Eindeutigkeit:
zu zeigen:
x = x 0 mod pk für k = 1, . . . , n
=⇒
x − x 0 = αP
sukzessives Betrachten der Kongruenzen
Chinesischer Restsatz
2-6
(ii) Eindeutigkeit:
zu zeigen:
x = x 0 mod pk für k = 1, . . . , n
=⇒
x − x 0 = αP
sukzessives Betrachten der Kongruenzen
x = x 0 mod p1 =⇒
x − x 0 = α1 p1
Chinesischer Restsatz
2-7
(ii) Eindeutigkeit:
zu zeigen:
x = x 0 mod pk für k = 1, . . . , n
=⇒
x − x 0 = αP
sukzessives Betrachten der Kongruenzen
x = x 0 mod p1 =⇒
x − x 0 = α1 p1
x = x 0 mod p2 =⇒
α1 p1 = 0 mod p2
⇔
α1 p1 = βp2
Chinesischer Restsatz
2-8
(ii) Eindeutigkeit:
zu zeigen:
x = x 0 mod pk für k = 1, . . . , n
=⇒
x − x 0 = αP
sukzessives Betrachten der Kongruenzen
x = x 0 mod p1 =⇒
x − x 0 = α1 p1
x = x 0 mod p2 =⇒
α1 p1 = 0 mod p2
⇔
α1 p1 = βp2
p1 , p2 teilerfremd =⇒ p2 teilt α1 , d.h.
α 1 = α 2 p2 ,
x − x 0 = α2 p1 p2
Chinesischer Restsatz
2-9
(ii) Eindeutigkeit:
zu zeigen:
x = x 0 mod pk für k = 1, . . . , n
=⇒
x − x 0 = αP
sukzessives Betrachten der Kongruenzen
x = x 0 mod p1 =⇒
x − x 0 = α1 p1
x = x 0 mod p2 =⇒
⇔
α1 p1 = 0 mod p2
α1 p1 = βp2
p1 , p2 teilerfremd =⇒ p2 teilt α1 , d.h.
α 1 = α 2 p2 ,
x − x 0 = α2 p1 p2
weitere Kongruenzen
x − x 0 = α3 p1 p2 p3 ,
...
, x − x 0 = αn p1 · · · pn
Chinesischer Restsatz
2-10
Beispiel:
(i) Bestimmung von Modulo-Inversen teilerfremder ganzer Zahlen
m1 > m2 :
xm1 + ym2 = 1
Chinesischer Restsatz
3-1
Beispiel:
(i) Bestimmung von Modulo-Inversen teilerfremder ganzer Zahlen
m1 > m2 :
xm1 + ym2 = 1
erweiterter Euklidischer Algorithmus
m1
=
s2 m 2 + m 3
m2
=
s3 m 3 + m 4
...
mk−1
=
sk mk + 1
Chinesischer Restsatz
3-2
Beispiel:
(i) Bestimmung von Modulo-Inversen teilerfremder ganzer Zahlen
m1 > m2 :
xm1 + ym2 = 1
erweiterter Euklidischer Algorithmus
m1
=
s2 m 2 + m 3
m2
=
s3 m 3 + m 4
...
mk−1
=
sk mk + 1
Rückwärtseinsetzen von
mk
=
mk−2 − sk−1 mk−1
mk−1
=
mk−3 − sk−2 mk−2
...
beginnend mit letzter Gleichung mk−1 − sk mk = 1
Modulo-Inverse von
m1 und m2
Chinesischer Restsatz
3-3
(ii) konkrete Kongruenzen:
Chinesischer Restsatz
3-4
(ii) konkrete Kongruenzen:
x
= 6 mod 9
x
= 5 mod 10
x
= 4 mod 13
Chinesischer Restsatz
3-5
(ii) konkrete Kongruenzen:
x
= 6 mod 9
x
= 5 mod 10
x
= 4 mod 13
Chinesischer Restsatz =⇒
x = 6 Q1 P1 + 5 Q2 P2 + 4 Q3 P3 mod P,
P = 9 · 10 · 13 = 1170
mit
P1 = 10 · 13 = 130,
P2 = 9 · 13 = 117,
P3 = 9 · 10 = 90
und Qk zu Pk inversen ganzen Zahlen modulo pk , d.h.
Qk Pk + y pk = 1
Chinesischer Restsatz
3-6
Bestimmung der Modulo-Inversen
Chinesischer Restsatz
3-7
Bestimmung der Modulo-Inversen
Q1 :
130 = 14 · 9 + 4
9 = 2·4+1
Rückwärtseinsetzen
1 = 9−2·4
= 9 − 2 · (130 − 14 · 9) = 29 · 9 + (−2)130
=⇒ Q1 = (−2) mod 9 = 7
Chinesischer Restsatz
3-8
Q2 :
117 = 11 · 10 + 7
10 = 1 · 7 + 3
7 = 2·3+1
Rückwärtseinsetzen
1 = 7−2·3
= 7 − 2 · (10 − 1 · 7) = 3 · 7 − 2 · 10
= 3 · (117 − 11 · 10) − 2 · 10 = 3 · 117 − 35 · 10
=⇒ Q2 = 3
Chinesischer Restsatz
3-9
Q3 :
90 = 6 · 13 + 12
13 = 1 · 12 + 1
Rückwärtseinsetzen
1 = 13 − 1 · 12
= 13 − 1 · (90 − 6 · 13) = 7 · 13 + (−1) · 90
=⇒ Q3 = (−1) mod 13 = 12
Chinesischer Restsatz
3-10
Q3 :
90 = 6 · 13 + 12
13 = 1 · 12 + 1
Rückwärtseinsetzen
1 = 13 − 1 · 12
= 13 − 1 · (90 − 6 · 13) = 7 · 13 + (−1) · 90
=⇒ Q3 = (−1) mod 13 = 12
Einsetzen in die Darstellung der Lösung
x
= 6Q1 P2 + 5Q2 P2 + 4Q3 P3 mod 1170
= 6 · 7 · 130 + 5 · 3 · 117 + 4 · 12 · 90 mod 1170
= 11535 mod 1170 = 1005
Chinesischer Restsatz
3-11