Die Budgetbeschränkung, die Nutzenmaximierung

Die Budgetbeschränkung, die Nutzenmaximierung
17. März 2017
Die Budgetbeschränkung, die Nutzenmaximierung
Budgetbeschränkung:
p · x = p1 x1 + · · · + pn xn ≤ y
y > 0 ... nominales Einkommen (Einkommen in Währungseinheiten);
Vektor der Marktpreise:


p1


p =  ...  ∈ Rn
pn
p 0, i.e. pi > 0 für i = 1, . . . , n.
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Marktformen:
Qualitative Beschaffenheit
A) Vollkommener vs. Unvollkommener Markt
B) Märkte mit unbeschränktem vs. beschränktem Zugang
Ad A) VOLLKOMMENER MARKT:
Nichtvorhandensein sachlicher, persönlicher, räumlicher und zeitlicher
Differenzierungen und das Vorhandensein vollständiger Markttransparenz
Ad B) BESCHRÄNKTER ZUGANG:
Zugangsbeschränkungen können rechtlicher, institutioneller oder auch
wirtschaftlicher Natur sein.
Quantitative Besetzung der einzelnen Marktseiten (Angebot- und
NFseite)
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Zahl der Marktteilnehmer und Marktform (Ott, Tabelle 4, S. 39)
Monopol ... Alleinverkauf
Oligopol ... Verkauf durch wenige
Polypol ... Verkauf durch viele
Monopson ... Alleinkauf
Oligopson ... Kauf durch wenige
Polypson ... Kauf durch viele
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intertemporale Budgetbeschränkung (z.B. 2 Perioden):
ct1 + st
2
ct+1
ct1 +
= yt1
=
2
(1 + r )st + yt+1
2
ct+1
y2
= yt1 + t+1
1+r
1+r
Gegenwartswert der Ausgaben = Gegenwartswert des Einkommen
(Lebenseinkommen)
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Budgetmenge (set of feasible consumption bundles, Walrasian budget
set, competitive budget set)
Bp,y = {x ∈ X : p · x ≤ y }
Mas-Colell et al. (Figure 2.D.1)
Budgetgerade: {x ∈ R2 : p · x = y }
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Aus p1 x1 + p2 x2 = y folgt:
x2 =
y
p1
− x1
p2
p2
relativer Preis des Gutes x1 : p1 /p2 gibt an umwieviel der Konsum von x2
reduziert werden muss, wenn man eine Einheit mehr von x1 konsumieren
möchte, d.h. der relative Preis misst die Opportunitätskosten des ersten
Gutes.
reales Einkommen in Einheiten von x1 : y /p1 , gibt die Menge an x1 an,
welche gekauft werden kann, wenn kein x2 gekauft wird.
Der Anstieg der Budgetgerade gibt das vom Markt festgelegte
Tauschverhältnis an!
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ceteris paribus Preisänderung: Mas-Colell et al. (Figure 2.D.2)
Eine Änderung des Nominaleinkommen y ceteris paribus führt zu
einer Parallelverschiebung der Budgetgerade.
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Werden die Preise und das Einkommen mit demselben Faktor λ > 0
multipliziert, so bleibt die Budgetgerade unverändert.
y
λy
= ,
λp1
p1
λy
y
=
λp2
p2
Wenn X eine konvexe Menge ist, dann ist die Budgetmenge
Bp,y = {x ∈ X : p · x ≤ y } eine konvexe Menge.
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Annahmen:
X = Rn+
% ist rational und stetig und erfüllt die Eigenschaft der lokalen
Nichtsättigung.
u(x) ist eine stetige Nutzenfunktion, welche diese
Präferenzrelation repräsentiert.
Eine rationale Konsumentin wird ein Konsumgüterbündel x ∗ ∈ Bp,y
wählen, welches die Eigenschaft aufweist, dass x ∗ % x für alle x ∈ Bp,y .
Bei streng konvexen Präferenzen gibt es ein eindeutiges bestes Bündel,
das allen anderen strikt vorgezogen wird: ∃ x ∗ ∈ Bp,y mit der
Eigenschaft, dass x ∗ x für alle x ∈ Bp,y .
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Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen:
max u (x)
x≥0
s.t.
p · x ≤ y.
Satz (ohne Beweis): Wenn u(·) stetig ist und p 0 gilt, dann hat das
Nutzenmaximierungsproblem (NMP) eine Lösung.
optimales Konsumgüterbündel x(p, y ): Gewöhnliche bzw. Marshall’sche
Nachfragekorrespondenz, Marktnachfragekorrespondenz.
indirekte Nutzenfunkion: maximierte Nutzenfunktion
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Mas-Colell et al. (Figure 3.D.1)
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Satz (ohne Beweis): u(x) sei eine stetige Nutzenfunktion, die eine
Präferenzrelation % auf X = Rn+ repräsentiert, welche die Eigenschaft
der lokalen Nichtsättigung aufweist. Dann hat die gewöhnliche
Nachfragekorrespondenz x(p, y ) die folgenden Eigenschaften:
(i) Homogenität vom Grad Null in (p, y ): x(αp, αy ) = x(p, y ) für alle
p 0, y > 0 und α > 0.
(ii) p · x = y für alle x ∈ x(p, y ).
(iii) Konvexität/Eindeutigkeit:
1
2
Wenn % konvex ist (sodass u(x) quasikonkav ist), dann ist
x(p, y ) eine konvexe Menge.
Wenn % streng konvex ist (sodass u(x) strikt quasikonkav ist),
dann besteht x(p, y ) aus einem einzigen Element.
Wenn die Nutzenfunktion u(x) stetig differenzierbar ist, dann kann ein
optimales Konsumgüterbündel x ∗ ∈ x(p, y ) durch die Bedingungen erster
Ordnung charakterisiert werden.
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Kuhn-Tucker Bedingungen:
wenn x ∗ ∈ x(p, y ) eine Lösung des NMP ist, dann existiert ein Lagrange
Multiplikator λ∗ ≥ 0, sodass für alle i = 1, . . . , n die folgenden
(Un)gleichungen gelten:
∂u (x ∗ )
≤ λ∗ pi ,
∂xi
mit Gleichheit, wenn xi∗ > 0.
∂u/∂xi ... Grenznutzen des i-ten Gutes
inneres Optimum (x ∗ 0):
∇u (x ∗ ) = λ∗ p.
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Herleitung der KT-Bedingung:
max u (x)
s.t.
x≥0
p · x ≤ y.
mit p 0 und y > 0.
Lagrange-Funktion:

L (x1 , . . . , xn , λ) = u (x1 , . . . , xn ) + λ y −
n
X

pi xi 
i=1
Wenn x ∗ ein nutzenmaximierendes Konsumgüterbündel ist, dann existiert ein λ∗ , sodass die folgenden
Bedingungen erfüllt sind:
∂L x ∗ , λ∗
∂u x ∗
∗
=
− λ pi ≤ 0,
i = 1, . . . , n,
∂xi
∂xi
∗
xi
∂L x ∗ , λ∗
∂xi
∗
"
= xi
∂u x ∗
∂xi
∗
xi ≥ 0,
∗
∂L x , λ
∗
∂L x ∗ , λ∗
∂λ
#
∗
− λ pi
= 0,
i = 1, . . . , n,
i = 1, . . . , n,
∗
=y−
∂λ
λ
n
X
∗
pi xi ≥ 0,
i=1

∗
= λ y −
n
X

∗
pi xi  = 0,
i=1
∗
λ
≥ 0.
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notwendige Bedingungen sind hinreichend wenn u (x) quasikonkav und
monoton ist und ∇u (x) 6= 0 für alle x ∈ Rn+ gilt.
für ein inneres Optimum gilt: ∇u (x ∗ ) = λ∗ p, d.h. wenn ∇u (x ∗ ) 0,
dann ist dies äquivalent dazu, dass
∂u (x ∗ )
p1
∂x1
= .
∂u (x ∗ )
p2
∂x2
das Verhältnis der Grenznutzen für x = x ∗ ist gleich dem Verhältnis der
Güterpreise!
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Mas-Colell et al. (Figure 3.D.4)
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an der Stelle x = x ∗ ist das Verhältnis der Grenznutzen =
Absolutbetrag des Anstiegs der durch den Punkt x ∗ verlaufenden
Indifferenzkurve:
∇u (x) 0:
u (x1 , x2 ) = u x
∗
implizite Form der durch den Punkt x ∗ verlaufende Indifferenzkurve:
x2 = x2 x1 , u x
Totales differenzieren nach x1 von
u x1 , x2 x1 , u x
ergibt:
∂u x1 , x2 x1 , u x ∗
∂x1
Einsetzen von x1 = x1∗ :
+
∗ ∗ =u x
∂u x1 , x2 x1 , u x ∗
∗
∂x2 x1 , u x ∗
∂x2
∂u x ∗
∂x x ∗ , u x ∗ ∂x
2
1
1 .
=
∂u x ∗
∂x1
∂x2
∂x1
=0
18 / 1
Absolutbetrag des Anstiegs der durch den Punkt x ∗ verlaufenden
Indifferenzkurve an der Stelle x = x ∗ entspricht der Grenzrate der
Substitution (marginal rate of substitution) des Gutes 1 für Gut 2
(MRS12 (x ∗ )):
totale Differential der Nutzenfunktion:
du =
∂u x ∗
∂x1
dx1 +
∂u x ∗
∂x2
dx2
du = 0:
∂u x ∗
dx2 |du=0 = −
∂x1
dx1
∂u x ∗
∂x2
∂u x ∗
MRS12 x
∗
=
∂x1
∂u x ∗
∂x2
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Gilt:
∂u (x ∗ )
p1
∂x1
>
∂u (x ∗ )
p2
∂x2
so kann durch eine Erhöhung des Konsums des Gutes 1 im Ausmaß
dx1 > 0, und eine Reduktion des Konsums des Gutes 2 gemäß
dx2 = − (p1 /p2 ) dx1 < 0,
eine Nutzenerhöhung erzielt werden:
∂u x ∗
∂x1
dx1 +
∂u x ∗
∂x2
dx2
=
=
∂u x ∗
∂x1
dx1 +
∂u x ∗
∂x2
[− (p1 /p2 ) dx1 ]


∂u x ∗


p
1
 ∂x1
−

 dx1 > 0
 ∂u x ∗
∂x2
p2 
∂x2
∂u x ∗
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Bedingungen erster Ordnung für n = 2, für eine Randlösung (x2∗ = 0)
(Mas Colell et al. Abbildung 3.D.4b):
Gradientenvektor ist nicht proportional zum Preisvektor
es gilt:
∂u (x ∗ ) /∂xi ≤ λ∗ pi für alle i mit xi∗ = 0
∂u (x ∗ ) /∂xi = λ∗ pi für alle i mit xi∗ > 0
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Nachtrag: Nutzengebirge
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