Aufgaben

In einem Informatik-Kurs bestehend aus 100 Studenten, haben 54 Studenten Mathematik, 69
Chemie und 35 beide Fächer belegt. Wenn wir zufällig einen Studenten auswählen, wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass er Mathematik oder Chemie (oder beide) belegt hat?
dass er keins von diesen beiden Fächern belegt hat?
dass er Chemie aber nicht Mathematik belegt hat?
Lösung: Additionssatz
P (M U C) = P (M) + P (C) – P (M
M
C
M
19
C) = 54/100 + 69/100 – 35/100 = 88/100
C
35
34
12
P (M U C) = 1 – P (M U C) = 1 – 88/100 = 12/100
P (C \ M) = P (C) – P (M
C) = 69/100 – 35/100 = 34/100
Für die Elektrotechnik-Studenten einer Universität ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem BachlorAbschluss ein Master-Studium zu beginnen gleich ¼ , für Maschinenbau-Studenten dagegen
gleich . Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an,
dass Studenten beider Fächer nach dem Bachlor-Abschluss ein Master-Studium beginnen.
dass Studenten der Elektrotechnik oder Maschinenbau (oder beider) nach dem BachlorAbschluss ein Master-Studium beginnen.
Lösung: Unabhängige Ereignisse und Additionssatz
P (E
M) = P (E ) · P (M ) = 1/12
P (E U M) = P (E) + P (M) – P (E
M) = 1/2
Bei einer Prüfung sind 25% der Prüflinge in Physik, 15% in Chemie und 10% in beiden Fächern
durchgefallen. Wenn wir zufällig einen Prüfling auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass er in Physik durchfiel, wenn man weiß, dass er Chemie nicht bestanden hat?
dass er in Chemie durchfiel, wenn man weiß, dass er Physik nicht bestanden hat?
dass er in Physik oder Chemie (oder beide) durchfiel?
Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Additionssatz
P (Ph | Ch) = 2/3
P (Ch | Ph) = 2/5
P (Ph U Ch) = P (Ch) + P (Ph) – P (Ph
Ch) = 3/10
Durch Kontrollen größerer Serien wurde festgestellt, dass jeweils 5% der auf einer Maschine
produzierten Erzeugnisse unbrauchbar sind. Von den brauchbaren Artikeln können aber nur
25% als Qualitätserzeugnisse verkauft werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass ein der laufenden Produktion entnommener Artikel Qualitätsniveau aufweist.
Lösung: 0,2375 = 23,75%
1
Die Ergebnisse der Prüfung in einem Informatikkurs von 25 Elektrotechnik- und 15
Maschinenbau-Studenten sind in der folgenden Tabelle angeben.
Zeigen Sie, mit Hilfe dieser Angaben,
dass die Ereignisse E und B unabhängige Ereignisse sind.
dass die Ereignisse E und B ebenfalls unabhängige Ereignisse sind
B : Bestanden
E : Elektrotechnik
20
E
E : Maschinenbau
B
12
E
B
32
B : Nicht Bestanden
5
E
B
3
E
B
8
25
15
40
Lösung:
Siehe die Definition von unabhängigen Ereignissen (oder den speziellen Multiplikationssatz).
Die Ergebnisse der Prüfung in einem Informatikkurs von 30 Master- und 10 Bachelor-Studenten
sind in der folgenden Tabelle angeben.
Zeigen Sie, mit Hilfe dieser Angaben,
dass die Ereignisse M und G abhängige Ereignisse sind.
dass die Ereignisse M und G ebenfalls abhängige Ereignisse sind
G : Gut
M : Master
18
M
M : Bachlor
(Nicht-Master)
G
3
M
G
21
G : Ausreichend
(Nicht-Gut)
12
M G
7
M
G
19
30
10
40
Lösung:
Siehe die Definition von bedingten Wahrscheinlichkeiten (oder den allgemeinen Multiplikationssatz).
Die Noten von 10 Bachlor- 30 Master- und 10 PhD-Studenten (Doktoranden) eines
Informatikkurses waren wie folgt.
Note
Bachlor
Master
PhD
Gut
3
10
5
18
Befriedigend
2
12
5
19
Ausreichend
5
8
0
13
10
30
10
50
Wenn man aus diesem Kurs einen Studenten zufällig auswählt und heraus findet, dass er die
Prüfung mit Gut bestanden hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er ein MasterStudent ist? Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeit: 10/18
2
In einer Packung befinden sich 5 Computerchips. Zwei davon sind defekt. Jemand wählt
nacheinander zufällig ohne Zurücklegen zwei Chips aus. Definieren Sie die jeweiligen
Ereignisse für die beiden Züge und zeichnen Sie den Wahrscheinlichkeitsbaum. Berechnen Sie
dann die Wahrscheinlichkeiten für
das Ereignis E 0 : kein Chip defekt.
das Ereignis E 1 : genau ein Chip defekt.
das Ereignis E 2 : zwei Chips defekt.
Lösung: a) 6/20 = 3/10
b) 12/20 = 6/10
c) 2/20 = 1/10
Eine Packung enthält 5 Computerchips, von denen 2 defekt sind. Zwei Chips werden
nacheinander zufällig ohne Zurücklegen ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite gezogene Chip defekt ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite gezogene Chip defekt ist, wenn wir
bereits wissen, dass der erste gezogene Chip intakt ist?
Lösung: a) 8/20 = 0,4
b) Bedingte Wahrscheinlichkeit: (6/20) : (3/5) = 2/4 = 0,5
!
Eine Packung enthält 500 Stück „400MHz-Prozessoren“ und 500 Stück 600MHz-Prozessoren.
Die Anzahl von intakten sowie von defekten Mikroprozessoren in der Packung ist in der
folgenden Tabelle gegeben.
Prozessor
Intakt
Defekt
400MHz
480
20
500
600MHz
490
10
500
970
30
Gesamtzahl: 1000
Wenn man aus dieser Packung zufällig einen Mikroprozessor auswählt und heraus findet, dass
dieser ein 400MHz-Prozessor ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser
Prozessor defekt ist?
Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeit: (20/1000) : (500/1000) = 20/500 = 0,04
"
Für die Untersuchung zur Planmäßigkeit von Flügen der Fluggesellschaft P&R wurden 1200
Flüge der Gesellschaft in einem bestimmten Zeitraum erforscht. Die Untersuchung ergab, dass
bei 996 der Flüge der Abflug pünktlich war, bei 984 der Flüge die Ankunft pünktlich war und bei
936 der Flüge der Abflug und die Ankunft pünktlich waren. Ein Passagier fliegt mit einem
Flugzeug dieser Gesellschaft. Der Abflug ist pünktlich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er
erwarten, dass auch die Ankunft pünktlich ist?
Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeit: 0,94
(A
B)
936
1200
B
A
3
# #
Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden
anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Im Spiel befinden sich also noch ein
Gewinn und eine Niete.
Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das
andere Tor zu wählen
Wie soll sich der Kandidat entscheiden, um seine Gewinnchance zu erhöhen?
Soll er stehen bleiben oder das Tor wechseln?
1
2
3
Kandidat wählt ein Tor
1
3
2
Moderator macht ein Tor auf, hinter dem sich
eine Ziege befindet
$%
Wir definieren folgende Ereignisse:
A 1 : Das Auto befindet sich hinter Tor 1
A 2 : Das Auto befindet sich hinter Tor 2
A 3 : Das Auto befindet sich hinter Tor 3
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählt der Kandidat Tor 1. Somit öffnet der Moderator
danach entweder Tor 2 oder Tor 3. Also:
T 2 : Moderator öffnet Tor 2
T 3 : Moderator öffnet Tor 3
Kandidat
wählt Tor 1
Auto hinter
Tor
Moderator öffnet
Tor
1/2
A
1/3
T
1/2
1/3
2
1
A
T
T
T
T
T
0
0
1/3
0
1/3
3
2
3
0
1/3
2
2
1
A
Wechsel
3
0
1
1/3
NichtWechsel
3
1/3
2/3
Aus dem Wahrscheinlichkeitsbaum erkennt man, dass ein Wechsel die Gewinnchancen
erhöhen wird.
4
# #
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeiten für das Ziegenproblem
bei einem Wechsel und bei einem Nicht-Wechsel.
Aufgrund von Erfahrungen und statistische Untersuchungen geht die Flug-Sicherheitsbehörde
davon aus, dass im Flughafen N&M 0,1% der Passagiere in ihrem Hand-Gepäck
(unabsichtlich oder absichtlich) verbotene Gegenstände mitführen. Die Firma P&R hat ein
neues Scann-Gerät zur Kontrolle des Handgebäcks entwickelt. Dieses Gerät schlägt in 98%
der Fälle Alarm, wenn sich verbotene Gegenstände im Handgepäck befinden. In 1% der Fälle
schlägt das Gerät ebenfalls Alarm, wenn auch keine verbotene Gegenstände im Handgebäck
In wie viel Prozent der Fälle schlägt in diesem Flughafen dieses Gerät Alarm?
Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,01097
Wenn in diesem Flughafen das Gerät Alarm schlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass im Handgepäck tatsächlich verbotene Gegenstände vorhanden sind?
Lösung: Satz von Bayes: 0,089
Das Scann-Gerät der Firma P&R soll nun auch im Flughafen von Gotham-City eingesetzt
werden, in dem nach statistischen Untersuchungen 20% der Passagiere in ihrem
Handgepäck verbotene Gegenstände mitführen.
In wie viel Prozent der Fälle schlägt in diesem Flughafen dieses Gerät Alarm?
Wenn in diesem Flughafen das Gerät Alarm schlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass im Handgepäck tatsächlich verbotene Gegenstände vorhanden sind?
Eine Produktionsanlage in einem Elektronikkonzern stellt Mikrochips mit einem Ausschuss von
10% her. Zur Aussonderung werden die hergestellten Chips mit einem Prüfgerät geprüft.
Durch das Prüfgerät werden 97% aller defekten Chips aussondiert.
Leider werden durch das Prüfgerät auch 5% aller nicht-defekten Chips aussondiert.
Wie groß ist der Anteil aller aussondierten Chips aus der Gesamtproduktion. (Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip aussondiert wird)
Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,142
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein aussondierter Chip auch tatsächlich
defekt ist?
Lösung: Satz von Bayes: 0,683
Für eine bessere Genauigkeit wird ein neues Prüfgerät eingesetzt, das wie das alte Gerät
auch 97% aller defekten Chips aussondiert. Bei der Überprüfung einer sehr großen Anzahl
der Chips mit diesem neuen Gerät wird festgestellt, dass 12% aller hergestellten Chips
aussondiert werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses neue Gerät
einen nicht-defekten Chip aussondiert.
Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: In diesem Konzern: 0,023 . Weiter mit Bedingten
Wahrscheinlichkeiten für die Eigenschaft des Geräts: 0,025
5