Bilder von Zahlen - Arithmetik und Algebra geometrisch darstellen

Bilder von Zahlen - Arithmetik und
Algebra geometrisch darstellen
Rauter Bianca (1010328)
Graz, am 10. Dezember 2014
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster
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2 Die Quadratzahlen
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3 Die Dreieckszahlen
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4 Die Polygonalzahlen
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5 Die Hex Zahlen
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6 Die zentrierten Quadratzahlen
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7 Hexpyramiden oder Würfel
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8 Die Tetraederzahlen
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9 Die quadratischen Pyramidalzahlen
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10 Die Oktaederzahlen
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1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster
Diese Seminararbeit ist angelehnt an das Kapitel FIGURES FROM FIGURES: DOING
ARITHMETIC AND ALGEBRA BY GEOMETRY aus dem Buch THE BOOK OF
NUMBERS von John Horton Conway und Richard K. Guy. Die Bilder, außer dem ersten Bild auf Seite 9, stammen ebenfalls aus diesem Buch.
1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster
Wenn wir eine Tabelle mit zwei Spalten erstellen und sie mit den natürlichen Zahlen,
beginnend bei 0 von links nach rechts beziehungsweise von oben nach unten, befüllen,
erhalten wir in der linken Spalte die geraden Zahlen und in der rechten Spalte die ungeraden Zahlen. Wir können natürlich Tabellen mit beliebig vielen Spalten erstellen, dabei
bekommt man dann in der linken Spalte die Vielfachen der Zahl, die die Anzahl der
Spalten bestimmt.
Außerdem können wir in dieser Grafik die verschiedenen Restklassen ablesen. Wir wissen, dass zwei Zahlen dann kongruent modulo n sind, wenn ihre Differenz ein Vielfaches
von n ist. Unser n ist hier die Anzahl der Spalten und alle Zahlen, die in der selben
Spalte stehen, liegen auch in der selben Restklasse, sind also kongruent modulo n.
Die Neunerprobe
Bei modulo 9 liegen 1, 10, 100, 1000,... in der selben Kongruenzklasse. Aus diesem
Grund gibt es eine Probe, die man anwenden kann, um zu überprüfen, ob man sich
bei Rechenoperationen mit großen Operationen verrechnet hat. Diese Probe nennt man
die Neunerprobe. Addiert man zum Beispiel die Zahlen 222111 und 654321, so erhält
man 876432. Das wollen wir jetzt überprüfen. Dazu bestimmt man die Ziffernsumme
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2 Die Quadratzahlen
von den ersten beiden Zahlen und den Rest bei Division durch 9. Das wäre dann also
9 ≡ 0 und 21 ≡ 3. Dann addieren wir die erhaltenen Zahlen und bilden wieder den
Rest bei Division durch 9. In unserem Fall ist das also 3. Jetzt müssen wir das Ergebnis
der Rechnung überprüfen. Die Ziffernsumme von 876432 ist 30 ≡ 3. Also stimmt es.
Die Probe funktioniert analog mit Multiplikation und Subtraktion, sie erkennt aber
den Fehler nicht, wenn zwei Ziffern vertauscht wurden, da dies die Ziffernsumme nicht
beeinflusst, oder wenn eine 9 durch eine 0 ersetzt wurde und umgekehrt.
2 Die Quadratzahlen
Die Quadratzahlen sind jene Zahlen, die auf der Hauptdiagonale der Multiplikationstafel stehen. Schreibt man sich nun die Zahlen von 0 bis 103, wie im Bild, in 8 Spalten
auf, erkennt man schnell, dass die ungeraden Quadratzahlen alle kongruent 1 modulo
8 sind. Das Bild liefert uns den, im wahrsten Sinne des Wortes, äußerst anschaulichen
Beweis zu dieser Behauptung.
An dieser Stelle möchte ich den Begriff Gnomon einführen. Ein Gnomon ist ein Stück,
das man zu einer ebenen Figur hinzufügen kann, um sie zu vergrößern, ohne ihre Form
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3 Die Dreieckszahlen
zu verändern.
In diesem Bild hat jedes Gnomon eine andere Farbe. Interessant ist dabei die Tatsache, dass jedes Gnomon der Quadratzahlen eine ungerade Zahl darstellt. Das Bild beweist die Behauptung, dass die Summe der ersten n
ungeraden Zahlen gleich n2 ist.
Das kann man auch für die Addition eines weiteren Gnomons sehr schön aufschreiben:
n2 + (2n + 1) = (n + 1)2
3 Die Dreieckszahlen
Bei den Dreieckszahlen sind die Gnomone die natürlichen Zahlen. Also ist die n-te
Dreieckszahl die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, was, wie unser kleiner Carl
Friedrich Gauß schon in frühen Jahren entdeckte, durch die Formel 12 n(n + 1) berechnet
werden kann. Diese Formel Σni=1 i = 21 n(n + 1) (Induktionsvoraussetzung = IV) kann nun
durch vollständige Induktion wie folgt bewiesen werden:
Induktionsbeginn:
n=1
linke Seite: Σ1i=1 i = 1
rechte Seite:
1
2
∗ 1 ∗ (1 + 1) = 1
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3 Die Dreieckszahlen
Induktionsschritt:
(n+1)
zu zeigen: Σi=1 i = 12 (n + 1)(n + 2)
(n+1)
(n)
Σi=1 i = Σi=1 i + (n + 1) = (IV) 21 n(n + 1) + (n + 1) =
( 12 n + 1) ∗ (n + 1) =
1
2
∗ (n + 1) ∗ (n + 2)
oder eben auch durch Figuren. Hier kommen wir nun zu den Pronischen Zahlen.
Wenn wir ein Rechteck aus zweimal der n-ten Dreieckszahl bilden,
so hat es die Länge n und die Breite n+1. Wenn wir also den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechen, so erhalten wir n ∗ (n + 1). Dies ist also auch der doppelte Flächeninhalt
der n-ten Dreieckszahl. Also ist die Formel für die n-te Dreieckszahl 21 n(n + 1).
Man findet aber auch noch weitere Zusammenhänge zwischen Dreieckszahlen und anderen Zahlen. Zum Beispiel ergeben zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen eine Quadratzahl.
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4 Die Polygonalzahlen
4 Die Polygonalzahlen
In der Graphik sehen wir verschiedene Polygonalzahlen, wobei wir die Quadratzahlen
und die Dreieckszahlen schon kennengelernt haben. Betrachtet man die Graphik näher,
fällt dabei auf, dass die Differenz des Wachtums der Zahlen jeweils in Schritten wächst,
die um 2 kleiner sind, als die Anzahl der Seiten des Polygons. Bei den Dreieckszahlen,
die wir ja schon kennengelernt haben, ist die Differenz der jeweils zu addierenden Zahlen
also 1. Wir starten mit einem Punkt, brauchen dann 2 zusätzliche Kleckse, dann 3, dann
4 etc.
Außerdem ist die dritte Zahl einer Kategorie immer ein Vielfaches von 3. Dasselbe
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4 Die Polygonalzahlen
gilt auch für die fünfte und die siebte Zahl, die dann durch 5 beziehungsweise durch 7
teilbar sind. Die Polygonzahlen sind zurückzuführen auf eine bestimmte Anordnung von
Punkten, die schon seit mindestens 540 v.Chr. bekannt sind.
Zwischen den Polygonalzahlen gibt es auch ein paar interessante Zusammenhänge.
Um diese Zusammenhänge zu erkennen, reicht es wieder, die Graphik zu betrachten.
Wir können außerdem die Polygonalzahlen mit Hilfe der Dreieckszahl berechnen.
Jede Hexagonalzahl ist eine Dreieckszahl. Dabei ist jede ungeradseitige Dreieckszahl
auch eine Hexagonalzahl. Dies zeigt das Bild unterhalb sehr schön. Außerdem zeigt die
dritte Abbildung in diesem Bild auch die Gültigkeit der Formel für die n-te Hexagonalzahl = n ∗ (2n − 1).
Jede Pentagonalzahl ist ein Drittel einer Dreieckszahl. Graphisch ist das beweisbar
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5 Die Hex Zahlen
durch eindrücken des Daches beim Fünfeck und das Zusammenbauen dreier so erhaltener
Trapeze zu einem Dreieck, wie man in der Graphik unterhalb gut erkennen kann.
5 Die Hex Zahlen
Die Hex Zahlen sollte man nicht mit den Hexagonalzahlen verwechseln. Die n-te Hexzahl
wird mit der Formel
hexn = 1 + 6∗ ∆
n−1
= 1 − 3n + 3n2 berechnet.
Einerseits sehen wir an der Zeichnung sehr gut, dass die einzelnen Gnomone immer
ein Vielfaches von 6 sind. Da wir mit einem einzelnem Klecks starten und immer ein
Vielfaches von 6 dazuzählen, heißt das also, dass jede Hex Zahl immer
hexn ≡ 1 modulo 6 entspricht.
Weiters lässt sich der Zusammenhang zwischen den Hex Zahlen und den Dreieckszahlen, der schon in der Formel aufgezeigt wird, durch das Bild sehr gut veranschaulichen.
Wir sehen, dass sich um den Klecks in der Mitte 6 Dreiecke sammeln, die bei der n-ten
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6 Die zentrierten Quadratzahlen
Hex Zahl, der (n − 1)-ten Dreieckszahl entsprechen. Dies unterstreicht noch einmal, dass
die Hex Zahlen 1 modulo 6 entsprechen, da wir ja immer 6 Dreieckszahlen und einen
zentralen Punkt haben.
6 Die zentrierten Quadratzahlen
Nun kommen wir zu den letzten Zahlen in der zweiten Dimension, nämlich zu den
zentrierten Quadratzahlen. Ähnlich wie bei den Hex Zahlen, sind nun die zentrierten
Quadratzahlen immer 1 modulo 4.
Bei der vierten zentrierten Quadratzahl sieht man, dass die einzelnen Gnomone immer
ein Vielfaches von vier bilden und bei der fünften zentrierten Quadratzahl sieht man
wiederum, dass sich um einen zentralen Punkt vier Dreieckszahlen sammeln. Somit kann
man die Aussage, dass die zentrierten Quadratzahlen immer 1 modulo 4 entsprechen,
durch einfache Zeichnungen beweisen.
Aus der Zeichnung kann man auch die allgemeine Formel zur Berechnung der n-ten
zentrierten Quadratzahl leicht erkennen.
zQn = 1 + 4∗ ∆
n−1
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7 Hexpyramiden oder Würfel
Die dritte Dimension
7 Hexpyramiden oder Würfel
Wir kommen nun zu Hex Pyramiden und Würfeln. Das sind aber die selben Zahlen,
da die Hex Pyramiden, im Grunde genommen, nichts anderes als die Projektionen von
Würfeln sind. Im Bild sieht man oberhalb die Hex Pyramiden und unterhalb die Würfel.
Die Gnomone von den Hex Pyramiden werden dabei von den Hex Zahlen gebildet.
Diese sind einfach Schatten oder Projektionen von Würfeln. Die allgemeine Formel zur
Berechnung der n-ten Zahl lautet also ganz einfach n3 .
8 Die Tetraederzahlen
So wie gerade Hex Zahlen zu Hex Pyramiden gestapelt wurden, kann man auch Dreieckszahlen zu Pyramiden stapeln. Diese ergeben dann die Tetraederzahlen. Man kann
die n-te Tetraederzahl 6 mal in eine Box mit den Maßen n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2) stapeln.
Daraus ergibt sich zur Berechnung der n-ten Tetraederzahl die allgemeneine Formel
Tn = 61 ∗ n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2)
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9 Die quadratischen Pyramidalzahlen
9 Die quadratischen Pyramidalzahlen
Wenn wir nun Quadratzahlen so stapeln, wie wir es schon mit Dreieckszahlen und Hex
Zahlen gemacht haben, erhalten wir die quadratischen Pyramidalzahlen.
Von diesen können wir 6 in eine Box mit den Maßen n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1) packen.
Also ergibt sich die allgemeine Formel qP yrn = 16 ∗ n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1)
10 Die Oktaederzahlen
So ähnlich, wie wir vorher in der zweiten Dimension zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu Quadratzahlen zusammengefügt haben, kann man nun auch zwei aufeinanderfolgende quadratische Pyramidalzahlen zusammenfügen und erhält die Oktaederzahlen.
Für die n-te Oktaederzahl ergibt sich also die Formel
Octn = qP yrn−1 + qP yrn =
1
3
∗ n ∗ (2n2 + 1)
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10 Die Oktaederzahlen
Quelle:
CONWAY, John Horton; GUY, Richard K.: The book of numbers. New York: SpringerVerlag 1996.
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