erzwungen - Hu

Erzwungene Schwingungen
Wir hatten als Bewegungsgleichung der gedämpften freien
Schwingung:
mx  rk x  Dx  0
Wir nehmen an, dass unser Oszillator (z.B. Feder oder Pendel) der
Eigenfrequenz 0 durch eine harmonische Kraft mit der Frequenz E
angeregt wird:
FE  F0 cos E t
Die Kräftegleichung ändert sich daher zu
mx  rk x  Dx  F0 cos E t
Diese Gleichung hat eine spezielle Lösung der Form
x  x A cosE t  
Durch Einsetzen findet man die Amplitude xA des Oszillators und den
Phasenwinkel :
xA 

F0
m 2 02  2E
  arctan

2
 rk2 2E
rE
m 02  2E


Wir betrachten die Amplitude xA in Abhängigkeit von der
rk
 2 und F0  ma 0 gilt für xA :
Erregerfrequenz E . Mit
m
xA 

a0
2
0

2 2
E

 4 22E
In der folgenden Darstellung ist die Amplitude der Schwingung (nach
dem Einschwingvorgang) in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz an
einem speziellen Beispiel dargestellt:
Resonanzkurve
-1
f0 = 1 Hz, F0 = 1N,  = 0,5 s
18
16
Amplitude / cm
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0,5
1
1,5
2
Erregerfrequenz / Hz
Aus der Grafik geht hervor, dass die Amplitude der Schwingung ein
Maximum hat, wenn die Erregerfrequenz gleich der Frequenz der
freien Schwingung ist. Die oben abgebildete Kurve heißt
Resonanzkurve, die Bedingung
0  E heißt Resonanzbedingung
Im folgenden diskutieren wir noch den Phasenwinkel  in
Abhängigkeit von der Erregerfrequenz. Der Phasenwinkel  entspricht
der Phasenverschiebung zwischen Erreger- und Oszillatoramplitude.
  arctan
2E
02  2E


Für denselben Parametersatz, wie im Falle der Resonanzkurve, erhält
man:
Phasenverschiebung zwischen Erreger und Oszillator
180
160
Phasenwinkel / Grad
140
120
100
80
60
40
20
0
0
0,5
1
1,5
2
Erregerfrequenz / Hz
fE  f0
  0
  90
f E  f 0
  180
f E  f 0
Erreger in Phase mit
Oszillator
Resonanz
Gegenphasige
Schwingung
Gespeicherte Energie im Resonanzfall
Wird ein Oszillator zu erzwungenen Schwingungen angeregt, so wird
Energie vom Erreger auf den Oszillator übertragen. Diese
Übertragung ist besonders effektiv im Resonanzfall. Welche Energie
auf den Oszillator übertragen wird, hängt dabei insbesondere von der
Dämpfung ab. Da die Reibungskraft mit der Geschwindigkeit wächst,
ist die maximale Geschwindigkeit des Oszillators und damit seine
kinetische Energie durch die Dämpfung begrenzt. Ist die
Reibungskraft –rv gleich der angreifenden Kraft F0 = ma0, so erhält
man für v:
v
F0 a 0

r 2
Wir vergleichen dieses Ergebnis mit der maximalen Geschwindigkeit
des Pendels im Resonanzfall. Mit
x  x AE sin E t  
v max  x A E
erhält man
Mit
x A E  0  
a0
2E
ergibt sich schließlich das oben bereits überlegte Ergebnis:
v max 
a0
2
Damit erhält man aus der Beziehung für die kinetische Energie einen
Ausdruck für die im Oszillator im Resonanzfall gespeicherte
mechanische Energie:
m a 02
E
8 2