Primzahlen - T

Primzahlen
Christoph & Dieter Küntzel, 2013
1
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ................................................................................................................ 3
1.1 Definition der natürlichen Zahlen, die Peano Axiome ....................................... 3
1.2 Beweistechniken .............................................................................................. 5
1.2.1 Vollständige Induktion ............................................................................... 5
1.2.2 Direkter Beweis ......................................................................................... 7
1.2.3 Beweis durch Widerspruch ........................................................................ 8
2. Definition der Primzahlen und grundlegende Sätze .............................................. 10
2.1 Primzahlzerlegung von natürlichen Zahlen ..................................................... 10
2.2 Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung ............................................................... 11
2.3 Anzahl der Primzahlen .................................................................................... 14
2.4 Lücken in der Folge der Primzahlen................................................................ 15
2.4.1 Existenz beliebig großer Lücken............................................................... 15
2.4.2 Obere Schranke für die Lücken ................................................................ 17
2.4.3 Real auftretenden Lücken ........................................................................ 17
3. Ermitteln / erzeugen von Primzahlen .................................................................... 19
3.1 Sieb des Eratosthenes .................................................................................... 19
3.2 Funktionen die Primzahlen erzeugen .............................................................. 20
4. Verteilung der Primzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen .......................... 22
5. Primzahlzwillinge .................................................................................................. 24
6. Die Goldbachsche Vermutung .............................................................................. 26
7. Primzahlen in arithmetischen Folgen .................................................................... 29
8. Anwendung der Primzahltheorie in der Biologie ................................................... 34
9. Zusammenfassung ............................................................................................... 37
10. Literaturverzeichnis............................................................................................. 38
2
1. Einleitung
Die Grundidee zu dieser Arbeit ist der Maturaarbeit [19] von einem der Autoren
entnommen Es wird hier eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die Primzahlen
untersucht. Vorab aber einige Bemerkungen zur Menge der natürlichen Zahlen.
Vom Zählen kennt jeder die natürlichen Zahlen und nach einem Wort von Leopold
Kronecker (geboren 7. Dezember 1823 in Liegnitz/Schlesien, gestorben 29.
Dezember 1891 in Berlin) „hat sie der liebe Gott geschaffen, alles andere ist
Menschenwerk“. Trotzdem können wir die Menge der natürlichen Zahlen definieren.
Dies werden wir im ersten Kapitel tun. Anschließend werden einige Beweismethoden vorgestellt, die in der Arbeit benutzt werden.
1.1 Definition der natürlichen Zahlen, die Peano Axiome
Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ wird durch 5 Axiome, also festgelegte
Prinzipien, definiert [3]:
1.
2.
3.
4.
5.
1 ist eine natürliche Zahl.
Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
Enthält die Menge M die Zahl 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren
Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von M.
Dieses Axiom heißt Induktionsaxiom.
Das heißt, dass die natürlichen Zahlen durch das natürliche Zählen bestimmt sind.
Zählen heißt, von einem Startwert – hier 1 - ausgehend, nach und nach einen Schritt
weiter zu zählen.
1. Die erste und dritte Eigenschaft legt den Rahmen für den Start fest.
2. Die zweite Eigenschaft sichert, dass man „endlos“ / „unendlich“ weiter zählen
kann. Das „Weiter“-Zählen ist damit Bestandteil der Definition.
3. Die vierte Eigenschaft besagt (negativ formuliert), dass wenn zwei Zahlen
verschieden sind, dann auch die beiden jeweiligen Nachfolger verschieden
sind. Damit gibt es keine Verzweigungen, sondern die natürlichen Zahlen
bilden eine „Kette“.
4. Die fünfte Eigenschaft besagt, dass wenn man bei 1 anfängt und keinen
einzelnen Zählvorgang auslässt, man dann vollständig alle natürlichen Zahlen
abzählt. Darauf basiert die Beweismethode der vollständigen Induktion.
Darüber hinaus wird festgelegt, dass eine Menge die diese Eigenschaft hat,
die natürlichen Zahlen enthält. Die Menge der natürlichen Zahlen ist damit die
„kleinste“ Menge mit diesen Eigenschaften und in diesem Sinne „einmalig“.
Die natürlichen Zahlen einschließlich der 0 wird als ℕ₀ = ℕ ∪ {0} bezeichnet. Auf der
Menge ℕ werden die Operationen Addition und Multiplikation sowie eine Ordnungsrelation ≤ eingeführt. Damit ist 1 die kleinste Zahl in ℕ, d.h für alle n ∈ ℕ gilt 1 ≤ n .
3
Es ergibt sich dann für die jeweiligen Nachfolger von n, m:
n‘ = n + 1,
n + m‘ =(n + m)‘ = (n + m) + 1,
n * m‘ = n * m + n
Die Umkehroperationen zu Addition und Multiplikation führt aus den natürlichen
Zahlen heraus:
1. die Subtraktion führt auf die Menge der ganzen Zahlen, ℤ,
2. die Division führt auf die Menge der rationalen Zahlen (Brüche), ℚ.
Aus den Axiomen folgt das Minimalprinzip, ist also ein beweisbarer Satz:
Satz:
Jede nichtleere Teilmenge von ℕ besitzt ein kleinstes Element (Minimum),
Beweis: s. Kapitel 1.2.1, Beispiel 2
Dieser Satz wird später häufig benutzt, wenn vorausgesetzt wird, dass ein kleinstes
Element in einer vorher definierten Menge existiert. Das ist übrigens nicht so
selbstverständlich. Betrachtet man z. B. das offene Intervall in der Menge der reellen
Zahlen, ( 0 , 1)  , so ist das eine nicht leere Menge die kein kleinstes Element hat.
Schauen wir uns 2 Teilmengen der natürlichen Zahlen an. Dazu definieren wir zuerst
gerade und ungerade Zahlen:


Satz:
eine Zahl g heißt gerade, falls es eine Zahl n 
gibt mit g = 2 n
eine Zahl u heißt ungerade, falls es eine Zahl n  0 gibt mit u = 2 n + 1
Durch
- die Menge der geraden Zahlen und
- die Menge der ungeraden Zahlen
wird die Menge in zwei disjunkte1 Mengen geteilt:
Beweis: s. Kapitel 1.2.3
Die ungeraden Zahlen können auch noch anders dargestellt wenden, z. B.:
4n+1, 4n+3
mit n  0
6n+1, 6n+3, 6n+5
mit n  0
Dass das auch tatsächlich ungerade Zahlen sind ist leicht zu erkennen, z. B.:
4 n + 1 = 2 (2 n) + 1
6 n + 3 = 6 n + 2 + 1 = 2 (3 n + 1) + 1
1
2 Mengen heißen disjunkt, wenn kein Element existiert, das in beiden Mengen enthalten ist.
4
1.2 Beweistechniken
In der Mathematik müssen alle Behauptungen aus Axiomen – die als „wahr“
vorausgesetzt werden - oder anderen daraus bewiesenen Behauptungen hergeleitet
werden. Im Folgenden werden einige Beweismethoden vorgestellt.
1.2.1 Vollständige Induktion
Aus dem oben erklärten Induktionsaxiom folgt die Beweistechnik der vollständigen
Induktion. Um zu beweisen, dass ein Satz für alle natürlichen Zahlen n ≥ m ≥ 1 gilt,
genügt es zu zeigen, dass
1. er für ein spezielles n gilt, hier m genannt, also somit für n = m gilt und
2. aus der Gültigkeit des Satzes für eine gegebene Zahl n ≥ m stets seine
Gültigkeit auch für die folgende Zahl n+1 folgt,
Konkret wird der Beweis dann in den drei folgenden Schritten durchgeführt:
 Induktionsanfang:
Die Behauptung wird für die kleinste natürliche Zahl m ≥ 1, für die die
Behauptung gilt, gezeigt
 Induktionsvoraussetzung
Die Behauptung wird für ein allgemeines n formuliert
 Induktionsschluss
Der Beweis der Behauptung für (n + 1) erfolgt nun unter Benutzung der
Behauptung der Induktionsvoraussetzung, also der Behauptung für n
Beispiel 1
Satz: Für eine beliebige natürliche Zahl n gilt: (n3 – n) ist ein Vielfaches von 3.
Beweis: ( n3  n ) ist ein Vielfaches von 3, also
es existiert ein k 
0
mit ( n3  n )  3 k
Induktionsanfang : n  1
( n3  n )  (13  1 )  0
für k  0 gilt: 3 k  3 0  0
Induktionsvoraussetzung :
für ein n 
existiert ein k 
0
5
mit ( n3  n )  3 k
Induktionsschluss :
(n  1)3  (n  1)  (n3  3 n2  3 n  1)  (n  1)
 n3  3 n2  3 n  1  n  1
 n3  3 n2  3 n  n
umsortieren der Summanden
n n3n 3n
3
2
 (n3  n)  3 n2  3 n
Induktionsvoraussetzung liefert:
( n3  n )  3 k
 3 k  3 n2  3 n
 3 (k  n2  n)
Also ist auch
(n  1)3  (n  1)
ein Vielfaches von 3
+++
Beispiel 2
Satz:
Jede nicht leere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum.
Beweis: Da jede nichtleere Teilmenge von
mindestens eine natürliche Zahl n
besitzt können wir zum Beweis des Satzes auch die Aussage
„Alle Teilmengen von , die die natürliche Zahl n enthalten, besitzen ein
Minimum“ beweisen.
Sei Ak  eine solche Teilmenge, die die natürliche Zahl k enthält
Induktionsanfang:
jede nichtleere Menge A1  , die die 1 enthält, enthält auch ein Minimum.
Das ist aber klar, da die 1 per Definition die kleinste natürliche Zahl, und
mithin das Minimum für alle A1 ist.
Induktionsvoraussetzung:
Für alle k ≤ n gelte, dass alle Ak 
das Minimum k besitzen.
Induktionsschluss:
Sei also nun B 
mit (n+1)  B
Gilt nun k  B mit k < (n+1), so gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein
Minimum
Andernfalls besitzt die Menge B nur Zahlen k für die gelten: k  B ,
k ≥ (n+1)
Damit ist aber (n+1) per Definition das Minimum von B, also ein A n+1 .
+++
6
1.2.2 Direkter Beweis
Bei einem direkten Beweis wird die Behauptung durch logische Schlüsse aus
Axiomen oder bereits abgeleiteten Aussagen bewiesen.
Beispiel
Behauptung: Das Produkt zweier ungerader natürlicher Zahlen ist selbst wieder
ungerade, alle anderen Produkte zweier natürlicher Zahlen sind
gerade.
Beweis:
1. Seien 2 ungerade Zahlen gegeben durch
a=2n +1
b=2m+1
dann folgt: a * b = (2 n + 1) (2 m + 1)
=4nm+2n+2m+1
= 2 (2 n m + n + m) + 1
also ist a * b ungerade
2. Seien 2 Zahlen gegeben, wobei mindestens eine gerade ist
a=2n
b beliebig
dann folgt: a * b = (2 n) b
= 2 (n b)
also ist a * b gerade
+++
Folgerung:
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade
7
1.2.3 Beweis durch Widerspruch
Der Beweis durch Widerspruch beruht auf dem Axiom, dass eine Aussage und ihr
Gegenteil nicht gleichzeitig gelten können Weiter beruht diese Beweismethode auf
dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Dieser Satz ist ebenfalls ein Axiom das
besagt, dass für eine beliebige Aussage mindestens die Aussage selbst oder ihr
Gegenteil gelten muss. Eine dritte Möglichkeit, also etwas Dazwischenliegendes,
(z. B. „nicht entscheidbar“) das weder die Aussage, noch ihr Gegenteil ist, gibt es
nicht.
Konkret wird der Beweis dann in den folgenden Schritten durchgeführt:
1. Beweisanfang: Behauptung
Die Behauptung wird aufgestellt.
2. Annahme: Gegenteil der Behauptung ist wahr
Die Behauptung wird negiert (Gegenteil wird ermittelt).
Hier einige Beispiele für Negationen:
1)
=
ist
≠
2)
<
ist
≥
Anmerkung: Gegenteil ist nicht >
3)
>
ist
≤
Anmerkung: Gegenteil ist nicht <
4)
(für alle … gilt ...)
5)
(A oder B)
ist
ist
(es existiert ein … für das gilt nicht …)
(nicht A und nicht B)
3. Konstruktion eines Widerspruchs
Durch logische Schlüsse aus dem unter 2 aufgestellten Gegenteil der
Behauptung oder einer Folgerung daraus wird ein Widerspruch abgeleitet.
Damit ist die Annahme falsch, dass das Gegenteil der Behauptung richtig sei,
und somit ist die ursprüngliche Behauptung richtig.
Zu dieser Beweistechnik hier ein sehr einfaches Beispiel als Folgerung aus dem im
vorherigen Abschnitts gewählten Beispiel.
Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden Zahl eine natürliche Zahl, so ist
diese gerade.
Beweis: Annahme: Ist die Wurzel aus einer geraden Zahl eine
natürliche Zahl, so ist diese ungerade
 Quadrat der Wurzel ungerade, s. Beh. in 1.2.2
d. i. Widerspruch zur Annahme, dass die Wurzel aus einer
geraden Zahl gezogen wird
 Wurzel ist gerade
8
Nun können wir auch den obigen Satz beweisen nach dem jede natürliche Zahl
entweder gerade oder ungerade, aber nicht beides ist
Satz:
Durch
- die Menge der geraden Zahlen und
- die Menge der ungeraden Zahlen
wird die Menge
in zwei disjunkte Mengen geteilt.
Beweis: 1 ist eine ungerade Zahl, da 1 = 2 * 0 + 1
2 ist eine gerade Zahl, da
2=2*1
3 ist eine ungerade Zahl, da 3 = 2 * 1 + 1
Alle Zahlen sind verschieden, und die Darstellungen sind eindeutig
Annahme: es gibt mindestens eine Zahl v > 3, die sowohl ungerade als
auch gerade ist
wir wählen die kleinste Zahl z, die diese Eigenschaft hat, dann gilt
z = 2 n = 2 m + 1 mit n, m > 1
Betrachten wir nun
dann gilt
und
also ist z > 3
w=z–2<z
w = 2 n – 2 = 2 (n – 1) also ist w gerade
w = (2 m + 1) – 2 = (2 m – 2) + 1 = 2 (m – 1) + 1
also ist w ungerade
das ist aber ein Widerspruch dazu, dass z die kleinste Zahl ist, die sowohl
ungerade als auch gerade ist
+++
9
2. Definition der Primzahlen und grundlegende Sätze
Viele natürlichen Zahlen lassen sich in kleinere Faktoren zerlegen, z.B.
21  3 * 7
768  2* 4 * 8 *12
2.430.101  1223 * 1987
2.426.892 = 12 * 13 * 47 * 331
Diejenigen natürlichen Zahlen, die sich nicht weiter in Faktoren zerlegen lassen
heißen Primzahlen. Präziser wird das folgendermaßen formuliert in der
Definition: Eine natürliche Zahl p größer als 1 ist eine Primzahl, wenn sie
1) keine anderen Faktoren2 enthält als sich selbst und die 1
oder auch
2) wenn sie keinen Teiler 2 d mit 1 < d < p besitzt.
Eine natürliche Zahl die größer als 1 ist und die keine Primzahl ist heißt
zusammengesetzte Zahl.
Beispiele für Primzahlen sind 2, 3, 5, 31, 97, 232582657 – 1 , für zusammengesetzte
Zahlen s. oben. Die Menge aller Primzahlen schreiben wir als ℙ = {p ∣ p Primzahl}
2.1 Primzahlzerlegung von natürlichen Zahlen
Als erstes soll die Frage geklärt werden, ob es natürliche Zahlen > 1 gibt, die nicht
als Produkt von Primzahlen geschrieben werden können. Die Anschauung (s. o.
Beispiele) legt nahe, dass das nicht der Fall ist, aber es ist zu beweisen.
Satz 1: Jede natürliche Zahl > 1 kann als ein Produkt von Primzahlen dargestellt
werden oder ist selbst eine Primzahl [1].
Beweis: Sei nun m eine natürliche Zahl, die selbst keine Primzahl ist. Dann kann sie
in andere natürliche Zahlen m1, m2 > 1 zerlegt werden – sonst wäre sie
selbst eine Primzahl - also etwa
m = m1 * m2 mit 1 < m1 < m, 1 < m2 < m
1.1.1) ist m1 Primzahl brauchen wir nicht mehr weitermachen
1.1.2) ist m1 keine Primzahl, so wird sie in weitere Faktoren zerlegt:
m1 = m11 * m12 mit 1 < m11 < m1, 1 < m12 < m1
1.2.1) entsprechend 1.1.1), 1.1.2) wird mit m11 und m12 verfahren
Da die Faktoren immer kleiner werden, aber größer als 1 sind, muss das
Verfahren nach endlich vielen Schritten abbrechen und wir erhalten k
Faktoren, die allesamt Primzahlen sind:
2
Eine natürliche Zahl a heißt Faktor/Teiler einer natürlichen Zahl b, wenn es eine natürliche Zahl c
gibt, so dass b = a c
10
m1 = p1 * p2 * … * pk
mit pi Primzahlen
2.1.1) ist m2 Primzahl brauchen wir nicht mehr weitermachen
2.1.2) ist m2 keine Primzahl, so wird sie in weitere Faktoren zerlegt:
m2 = m21 * m22 mit 1 < m21 < m2, 1 < m22 < m2
2.2.1) entsprechend 2.1.1), 2.1.2) wird mit m21 und m22 verfahren
analog oben erhalten wir l Faktoren, die allesamt Primzahlen sind:
m2 = q1 * q2 * … * ql
mit qi Primzahlen
also kann jede Zahl m, die selbst keine Primzahl ist als endliches Produkt
von Primzahlen geschrieben werden:
m = p1 * p 2 * … * p k * q 1 * q 2 * … * q l
mit
k + l endlich
+++3
Da manche Primzahlen möglicherweise mehrfach vorkommen, kann man das
Produkt auch in folgender Form schreiben:
m  r1j1 * r2 j2 *  * rn n
j
mit r1 , ... , rn Primzahlen und j 1 , ... , j n , n endlich
Diese Produktdarstellung nennt man Primzahlzerlegung von m.
2.2 Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung
Nun stellt sich aber die Frage, ob die oben angegebene Primzahlzerlegung eindeutig
ist oder nicht. Klar ist, dass jede Primzahlzerlegung nur bis auf Vertauschung der
Primfaktoren eindeutig sein kann, da das Produkt natürlicher Zahlen kommutativ ist,
d.h. a * b = b * a für alle a, b 
gilt. Im Folgenden wird nun gezeigt, dass aber
darüber hinaus die Primzahlzerlegung eindeutig ist
Satz 2: Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie - ZPE-Satz4
Für alle natürlichen Zahlen n > 1 ist die Zerlegung in Primzahlen bis auf die
Anordnung der Primzahlfaktoren eindeutig [1].
Beweis: Der Beweis wird indirekt erbracht, Dazu wird das Gegenteil der Behauptung
angenommen und zu einem Widerspruch geführt. Daraus folgt dann, dass
die ursprüngliche Behauptung richtig ist.
Annahme: Es existiert mindestens eine natürliche Zahl deren Zerlegungen in
Primzahlen wesentlich verschieden sind, d.h. sich nicht nur in der
Reihenfolge der Faktoren unterscheiden
3
4
Mit +++ kennzeichnen wir das Ende eines Beweises
ZPE = Zerlegung in Primzahlen ist Eindeutig
11
Wählt man nun die kleinste dieser Primzahlen p (die es immer gibt) (#), dann
gilt:
p = p1 * p2 * …* pn = q1 * q2 * …* qm mit n, m > 1
Weiter gilt, dass keines der pi ein Vielfaches irgendeines der qj oder gleich
irgendeinem der qj ist. Andernfalls könnte man den Faktor heraus kürzen
und man hätte eine kleinere Primzahl als p gefunden, deren Zerlegung in
Primzahlen wesentlich verschieden ist. Aber p ist nach Voraussetzung die
kleinste dieser Art.
Weiter können die Faktoren so angeordnet werden, das gilt:
p1 ≤ p2 ≤ …≤ pn und q1 ≤ q2 ≤ …≤ qm mit p1 < q1
sollte nun aber p1 > q1 gelten, vertauschen wir die Bezeichnungen von den
pi und qi und damit ist dann die Bedingung p1 < q1 erfüllt.
Wir untersuchen: p' = p - p1 * q2 * …* qm > 0 weil p1 < q1
1) p' = p - p1 * q2 * …* qm
= q1 * q2 * …* qm - p1 * q2 * …* qm
= (q1 - p1) q2 * …* qm
2) p' = p - p1 * q2 * …* qm
= p1 * p2 * …* pn - p1 * q2 * …* qm
= p1 * (p2 * …* pn - q2 * …* qm )
da gilt p1 < q1, folgt aus 1) p' < p und damit p' eindeutig in
Primzahlen zerlegbar – p ist nach Voraussetzung die
kleinste der nicht eindeutig zerlegbaren Zahlen (#)
aus 2) folgt, dass p1 Teiler von p' ist
wegen der eindeutigen Zerlegbarkeit von p' ist damit p 1
Teiler von (q1 - p1) oder von (q2 * …* qm)
A) Nach Voraussetzung kann p1 nicht (q2 * …* qm) teilen,
da keines der pi ein Vielfaches irgendeines der qj ist (s.
oben)
B) teilt nun p1 die Differenz (q1 – p1), so gibt es eine
natürliche Zahl k, so dass gilt:
q1 – p1 = p1 k und damit q1 = p1 (k +1)
das steht aber im Widerspruch dazu, dass q 1 Primzahl
ist und somit teilt p1 auch nicht (q1 – p1)
Also ist p1 weder Teiler von (q1 - p1) noch von (q2 * …* qm)
und dass steht im Widerspruch zur Annahme p1 ist Teiler
von (q1 - p1) oder von (q2 * …* qm).
Damit hat die Annahme auf einen Widerspruch geführt und mithin gilt der
ZPE Satz.
+++
12
Aus diesem zentralen Satz leiten wir eine wichtige Folgerung ab
Satz 3: Wenn eine Primzahl p Teiler eines Produkts a * b ist, so teilt diese Primzahl
auch a oder b [1].
Beweis: Nach Voraussetzung ist p Teiler des Produkt (a * b)
Damit kann man also schreiben a * b = t * p mit t 
t habe folgende eindeutige Primzahlzerlegung
t = t1 * t2 * … * tk
analog haben a und b jeweils folgende eindeutige Primzahlzerlegung
a = a1 * a2 * … * al und b = b1 * b2 * … * bm
Damit kann man auch schreiben
a * b = a 1 * a 2 * … * a l * b 1 * b 2 * … * b m = t 1 * t2 * … * t k * p = t * p
Nach Satz 2 ist die Zerlegung aber eindeutig, und damit p also einem der a s
oder einem der bt gleich sein. Damit ist p auch Teiler entweder von a oder b
(oder beiden).
+++
Bemerkung:
2 ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen sind ungerade
Der ZPE Satz wirkt aber über die natürlichen Zahlen hinaus. Dies zeigt der folgende
Satz:
Satz 4: Die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl
oder eine irrationale Zahl.
Beweis: Annahme: die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist eine rationale Zahl.
Sei n 
gegeben und sei weiter n keine Quadratzahl
p
nun gelte n 
mit p, q  , p, q teilerfremd
q
n, p, q haben die eindeutige Primzahlzerlegung:
p  p1k1 pk22 pk33 ... pnkn , q  q1l1 ql22 ql33 ... qmlm , n  r1i1 r2i2 r3i3 ... ruiu und damit gilt
n 
p1k1 pk22 pk33 ... pkss
mit alle pi , q j paarweise verschieden
q1l1 ql22 ql33 ... qltt
damit gilt n 
p12k1 p22k2 p32k3 ... ps2ks
q12l1 q22l2 q32l3 ... q2lt t
und somit: r1i1 r2i2 r3i3 ... ruiu * q12l1 q22l2 q32l3 ... q2lt t  p12k1 p22k2 p32k3 ... ps2ks
wobei nicht alle ij gerade sein können, da nach Voraussetzung n keine
Quadratzahl ist
13
nun sind alle Exponenten auf der rechten Seite der Gleichung gerade, auf
der linken Seite ist aber mindestens ein Exponent ungerade
nach dem ZPE Satz ist die Primzahlzerlegung einer natürlichen Zahl
eindeutig und somit haben wir einen Widerspruch erhalten. Also ist die
Annahme falsch und es folgt:
die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist keine rationale Zahl und somit
gilt die Behauptung von Satz 4.
+++
2.3 Anzahl der Primzahlen
Schauen wir weiter wie viele Primzahlen es gibt. Betrachten wir Ausschnitte der
Länge 100 aus der Menge der natürlichen Zahlen.
Anzahl der
Primzahlen
Bereich
1 – 100
25
101 – 200
21
1.001 – 1.100
16
10.001 – 10.100
11
100.001 – 100.100
1.000.001 – 1.000.100
10.000.001 – 10.000.100
6
6
2
100.000.001 – 100.000.100
6
1.000.000.001 – 1.000.000.100
7
10.000.000.001 – 10.000.000.100
5
Primzahlen
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,
173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063,
1069, 1087, 1091, 1093, 1097
10007, 10009, 10037, 10039, 10061, 10067, 10069, 10079, 10091,
10093, 10099
100003, 100019, 100043, 100049, 100057, 100069
1000003, 1000033, 1000037, 1000039, 1000081, 1000099
10000019, 10000079
100000007, 100000037, 100000039, 100000049, 100000073, 100000081
1000000007, 1000000009, 1000000021, 1000000033, 1000000087,
1000000093, 1000000097
10000000019, 10000000033, 10000000061, 10000000069, 10000000097
Tabelle 1: Anzahl der Primzahlen in Intervallen der Länge 100
Da in jedem Intervall5 Primzahlen liegen, liegt es nahe zu vermuten, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt. In diesem Kapitel soll dies nun bewiesen werden.
Der erste Beweis wurde von dem Griechen Euklid (geboren ca. 360 v. Chr.
vermutlich in Athen, gestorben ca. 280 v. Chr., lehrte u. a. in Alexandria) erbracht.
Satz 5: Es gibt unendlich viele Primzahlen [1].
Beweis: Wie in Satz 2 wird der Beweis indirekt erbracht,
Annahme: Es gibt nur endlich (n > 1) viele Primzahlen p1, p2, … pn .
Jede andere natürliche Zahl muss also durch mindestens eine der Zahlen p i
mit 1 ≤ i ≤ n teilbar sein.
5
Die Liste wurde mit der Kalkulationstabelle auf der „Mathematik-Seiten von Arndt Brünner“ s.
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/primtab.htm berechnet
14
Betrachten wir nun die Zahl p = p1 * p2 * …* pn + 1
 es gilt nun p > pi für alle i
 damit muss p eine zusammengesetzte Zahl sein
 Division von p durch jedes der pi liefert aber immer den Rest 1
 daraus folgt, dass keines der pi Teiler von p ist
 also ist p selbst eine Primzahl (das wäre die (n+1). Primzahl) oder
p hat eine Primzahlzerlegung, die mindestens eine weitere von p 1, p2, …
pn verschiedene Primzahl q enthält, was auch die (n+1). Primzahl wäre.
 damit hätten wir nun mindestens (n + 1) Primzahlen, aber das steht im
Widerspruch zu Annahme, dass es nur n verschiedene Primzahlen gibt
also ist die Annahme falsch und es ist gezeigt, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt.
+++
2.4 Lücken in der Folge der Primzahlen
2.4.1 Existenz beliebig großer Lücken
In der Tabelle 1 in 2.3 sieht man, dass zwischen 2 aufeinander folgenden Primzahlen
pn , pn+1 verschieden große Lücken (engl. gaps) g(n) = pn+1 – pn 6 auftreten, aber
immer wieder trifft man auch auf Primzahlzwillinge, das sind Primzahlen pn , pn+1 für
die gilt: g(n) = pn+1 – pn = 2 oder äquivalent pn+1 = pn + 2 .
Weiter gilt, dass g(n) = 1 nur für n = 1 (p1 = 2 , p2 = 3) gilt, da alle pn , n > 1 ungerade
(s. Bem. Satz 3) sind. Somit gilt für alle n > 1: g(n) ≥ 2 und g(n) ist, als Differenz
zweier ungerader Zahlen7, eine gerade Zahl.
Für die Größe der Lücken gilt, dass für jedes beliebig k  zwei aufeinanderfolgende Primzahlen existieren, zwischen denen mindestens k aufeinanderfolgende,
zusammengesetzte natürliche Zahlen existieren. Präzisieren wir das im folgenden
Satz 6: Ist k, k ≥ 1, eine beliebige natürliche Zahl, dann gibt es k aufeinander
folgende, zusammengesetzte Zahlen [16]. Anders formuliert: Für jedes
k  existieren n  , pn , pn+1 ∈ ℙ, sodass g(n) = pn+1 – pn ≥ k +1 gilt.
Beweis: Der Beweis ist diesmal direkt. Dazu konstruieren wir eine Folge von k
aufeinander folgenden Zahlen.
(k+1)! +2 , (k+1)! +3 , (k+1)! +4 , …
, (k+1)! +k , (k+1)! +(k+1) │8
Jede dieser Zahlen ist zusammengesetzt, denn jedes m mit 1 < m ≤ k+1
teilt [(k+1)! + m] :
6
In manchen Dokumentationen ist die Lücke definiert durch g*(n) = pn+1 – pn – 1, d. i. die Anzahl der
Zahlen zwischen 2 aufeinander folgenden Primzahlen, z. B.: g*(1) = 0 und bei Primzahlzwillingen
g*(n) = 1. Es gilt also g*(n) = g(n) – 1
7
g(n) = pn+1 – pn = (2 l + 1) – (2 k + 1) = 2 (l – k) mit l > k
8
Definition: n! = 1 * 2 * 3* … * (n-2) * (n-1) * n , gesprochen „n Fakultät“
15
(k+1)! + m = 1 * 2 * …* m * ... * k * (k + 1) + m
= [1 * 2 * …* (m-1) * (m+1) * ... * k * (k + 1) + 1] * m
+++
Wir haben damit eine beliebig große, endliche Lücke zwischen zwei natürlichen
Zahlen konstruiert, die nur aus zusammengesetzten Zahlen besteht. Es sei in
Ergänzung noch darauf hingewiesen, dass dabei aber weder ((k+1)! + 1) noch
((k+1)! + (k+1) + 1) eine Primzahl sein muss9, z. B.:
k = 4:
5! + 1
= 121 = 11 * 11,
5! + 5 + 1 = 126 = 2 * 3 * 3 * 7
Betrachten wir einige Beispiel dazu:
k = 2: 3!+2 , 3!+ 3: 8, 9
die gefundene Folge ist sogar Teil einer
längeren: 8, 9, 10 (Länge 3) zwischen den Primzahlen
7 und 11
k = 3: 4!+2 , 4!+ 3 , 4!+4: 26, 27, 28:
es gibt eine 3er Folge kleinerer Zahlen: 8, 9, 10
und die ermittelte Folge ist Teil einer längeren Folge
zwischen den Primzahlen 23 und 29 (Länge 5)
k = 4: 5!+2 , 5!+ 3 , 5!+4 , 5!+5: 122, 123, 124, 125
es gibt eine 4er Folge kleinerer Zahlen:
24, 25, 26, 27, 28 ;
die gefundene Folge ist sogar Teil einer
längeren zwischen 113 und 127 (Länge 13)
Der Algorithmus sichert also nur, dass es entsprechend lange Folgen
zusammengesetzter Zahlen gibt, sagt aber nichts darüber aus, wo die Folge
mit dem kleinsten Folgenbeginn liegt.
Schauen wir uns die Werte einiger Fakultäten an:
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
10! = 3.628.800
17! = 355.687.428.096.000
20! = 2.432.902.008.176.640.000
30! = 265.252.859.812.191.058.636.308.480.000.000
Man erkennt, dass man unter Umständen (siehe Bemerkung oben) schon sehr große
Zahlen anschauen muss um entsprechend große Lücken zwischen Primzahlen zu
finden.
9
In Satz 6 haben wir nur g(n) = pn+1 – pn ≥ k gefordert und nicht g(n) = pn+1 – pn = k
16
2.4.2 Obere Schranke für die Lücken
Nun ist es allerdings so, dass es für die Lücke zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Primzahlen eine obere Schranke gibt. Über diese gibt das Bertrandsche Postulat
Auskunft (das ist aber kein Postulat, sondern ein beweisbarer Satz) [17]:
Satz:
Zu jedem n > 2 gibt es mindestens eine Primzahl p mit n < p < 2 n.
Bemerkung: Eine spezielle Aussage des Satzes ist, dass die Lücke von einer
Primzahl n = pm bis zur nächsten Primzahl pm+1 nicht größer sein kann
als die erste Primzahl pm selbst, also es gilt:
0 < pm+1 – pm < pm (nach pm < pm+1 < 2 pm).
Der Beweis des Bertrandsche Postulats ist zwar elementar, aber durchaus trickreich
und länglich, da es einiges an Vorbereitungen braucht.
Nach der bis heute unbewiesenen Vermutung von Adrien-Marie Legendre (geboren
18.09.1752 in Paris, gestorben 10. Januar 1833 in Paris) gilt sogar
(http://de.wikipedia.org/wiki/Legendresche_Vermutung ):
Vermutung: Zu jedem n > 2 gibt es mindestens eine Primzahl p mit
n2 < p < (n + 1)2.
Bemerkung: Für n > 2 gilt: 2n +1 < n2 (vollständige Induktion) und damit folgt:
(n + 1)2 = n2 + 2n +1 < n2 + n2 = 2 n2 ,
d. h. die Abschätzung ist stärker als die im Bertrandschen Postulat:
n2 < p < (n + 1)2 < 2 n2 .
Eine noch stärkere Vermutung von Andrica
(http://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Andrica ) lautet:
Vermutung: Sei pn die n-te Primzahl. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen n:
pn1  pn  1 .
2.4.3 Real auftretenden Lücken
Über die real auftretenden Lücken gibt Thomas R. Nicely [4,5] Auskunft. Danach ist
schon bei der Untersuchung des Zahlenbereichs von 10 15 bis 3*1015 eine Lücke von
größer als 1000 aufgetreten:
Primzahl: 1.693.182.318.746.371, Lücke zur nächsten Primzahl: 1132
Auch das zeigt nochmals, dass der Beweisansatz von Satz 6 vermutlich nicht für das
Auffinden der kleinsten Primzahl geeignet ist, nach der dann die Lücke auftritt:
1.)
2.)
Primzahl 1.693.182.318.746.371 ≈ 4,7603 * 17!,
1132! ist eine 2968-stellige Zahl ist, die ausgeschrieben in der hier genutzten
Schriftgröße fast 3/4 dieser Seite füllen würde.
17
In der Tabelle 2 unten ist die Übersicht der erstmals in dem Zahlenbereich von 10 15
bis 5*1016 [13] gefundenen Lücken gegeben.
In den abgebildeten Daten der Tabelle 2 erkennt man, dass für den untersuchten
Bereich die Länge der Lücken nicht kontinuierlich mit der Primzahl am Beginn der
Lücke wächst. So tritt erstmalig die Lücke der Länge 1004 nach einer wesentlich
größeren Primzahl auf (7.584.471.163.197.917), als die Primzahl mit der erstmalig
die größere Lücke der Länge 1132 beginnt (1.693.182.318.746.371).
Tabelle 2: Lücken im Zahlenbereich von 1015 bis 5*1016
In einer anderen Veröffentlichung [10] wird auch erwähnt, dass eine Lücke der Größe
12540 gefunden wurde, die einer 385-stelligen Primzahl folgt. Selbst diese Zahl ist
noch wesentlich kleiner als 1132! .
18
3. Ermitteln / erzeugen von Primzahlen
Lange hat man versucht eine geschlossene Formel zu finden, die alle Primzahlen
liefert. Es hat lange gedauert bis man verstanden hat, dass es eine geschlossene,
einfache Formel nicht gegeben wird.
Aber bereits Eratosthenes von Kyrene (geboren zwischen 276 und 273 v. Chr. in
Kyrene, gestorben um 194 v. Chr. in Alexandria) entwickelte eine Methode wie man
Primzahlen aus den natürlichen Zahlen herausfiltern kann.
3.1 Sieb des Eratosthenes
Dazu schreibt man eine Liste der zu untersuchenden Zahlen in aufsteigender
Reihenfolge beginnend mit 2 auf und führt folgende Prozedur durch
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Wähle 2 (kleinste Primzahl)
Markiere gewählte Zahl
Streiche alle Vielfachen der markierten Zahl in der Liste
Gehe zum Anfang der Liste
Wähle nächste Zahl die weder gestrichen noch markiert ist
Falls das Quadrat der Zahl kleiner als die maximale Zahl n max der Tabelle ist
gehe zu 2. , andernfalls markiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Tabelle
7. Ende
Alle markierten, nicht gestrichenen Zahlen sind die gesuchten Primzahlen in der
gegebenen Liste.
Man braucht nicht weiter als bis k  nmax zu rechnen, da für jede Zahl m > k das
Produkt (k * m) größer als die Obergrenze der Tabelle sind. Produkte mit m ≤ k
wurde schon vorher bei den Vielfachen von m abgehandelt. Ein Beispiel ist in der
nächsten Tabelle unten dargestellt.
Die Bezeichnung Sieb ist auch klar, da schrittweise die natürlichen Zahlen mit
unterschiedlichen „Korngrößen“ durchgesiebt werden:
1. es „fallen“ nur die gerade Zahlen >2 „durch“,
2. aus den im Sieb verbliebenen Zahlen fallen bei dem nächsten
Siebvorgang die Vielfachen von 3 durch,
3. aus den im Sieb verbliebenen Zahlen „fallen“ bei dem nächsten
Siebvorgang die Vielfachen von 5 durch,
4. …
Abstrakt ausgedrückt ist ein Sieb ein Algorithmus zum Auffinden von Primzahlen.
Das Sieb des Eratosthenes ist der älteste Algorithmus dieser Art. Heute gibt es sehr
viel schnellere und damit effektivere Algorithmen, die allerdings auch sehr viel
komplexer sind.
19
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
Tabelle 3: Sieb des Eratosthenes
Primzahlen sind die großen, fett und kursiv gedruckten Zahlen.
3.2 Funktionen die Primzahlen erzeugen
Es gibt einfache Funktionen, die eine ganze Reihe von Primzahlen liefert.
1) f(n) = n2 – n + 41 liefert für n = 1, … , 40 Primzahlen, für n = 41 aber nicht mehr
n 1
2
3
4
5
6
7
8
n*n – n + 41 41
43
47
53
61
71
83
97
113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421
n 21
22
23
24
25
26
27
28
29
9
10
30
11
31
12
32
13
33
14
34
15
35
16
36
17
37
18
38
19
39
20
40
41
n*n – n + 41 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601 1681 = 41 * 41
Tabelle 4: Werte von f(n) = n2 – n + 41 für n = 1, … , 41
f(n) = n2 – n + 41 liefert auch nur 40 der 263 Primzahlen zwischen 1 und 1681.
20
2) g(n) = n2 – 79 n + 1601 liefert für n = 1, … , 79 Primzahlen, für n = 80 aber nicht
mehr
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
n*n–79 n+1601 1523 1447 1373 1301 1231 1163 1097 1033 971 911 853 797 743 691 641 593 547 503 461 421
n 21
22
23
27
28
n*n–79 n+1601 383
347
313 281 251 223 197
173
n 41
42
43
44
45
46
47
48
n*n–79 n+1601 43
47
53
61
71
83
97
113
64
65
66
24
25
26
n 61
62
63
67
68
n*n–79 n+1601 503
547
593 641 691 743 797
853
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
151 131 113
29
30
97
83
71
61
53
47
43
41
41
49
52
53
54
55
56
57
58
59
60
50
51
131 151 173
197 223 251 281 313 347 383 421 461
69
72
70
71
73
74
75
76
77
78
79
80
911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601 1681 = 41 * 41
Tabelle 5: Werte von g(n) = n2 – 79 n + 1601 für n = 1, … , 80
Aus den Tabellen erkennt man, dass die Funktionen die gleichen Primzahlen liefern,
Der Grund dafür ist, dass sich die beiden Funktionen
f(m) = m2 – m + 41 und
g(n) = n2 – 79 n + 1601
ineinander transformieren lassen, also nicht wesentlich verschieden sind:
g(n) = n2 – 79 n + 1601
= n2
–
79 n
+ 1601
= n2
–
79 n
+ 402 + 1
2
2
=n
+
40 – 79 n
+1
= n2 - 2 40 n + 402 – 79 n + 80 n
+1
2
=
(n - 40)
+
n
+1
=
(n - 40)2
+
n
– 40 + 1 + 40
=
(n - 40)2
+
(n – 40)
+ 41
= (n - 40)2
+ (n – 40) + 41
= (-(-n + 40))2 - (-n + 40) + 41
= (40 - n)2
- (40 – n) + 41
= (40 - n)2 - (40 – n) + 41
= f(40-n)
Also ist:
g(n) = f(40-n)
Alle Versuche Polynomfunktionen f(n):  zu finden, die für alle n Primzahlen
liefern waren nicht erfolgreich. Schließlich konnte man folgenden Satz beweisen:
Satz:
Ist f(n) eine Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten vom Grad ≥ 1,
so gibt es zu jedem n  ein m  mit m > n , für das f(m) keine
Primzahlen ist [16].
Es gibt tatsächlich eine Formel, die 26 Variable hat, und die unter bestimmten
Rahmenbedingungen sämtliche Primzahlen liefert [21]. Leider ist die Formel
praktisch nicht anwendbar, da die Handhabung sehr komplex ist.
21
4. Verteilung der Primzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen
Es ist eine der frühen Vermutungen von Carl Friedrich Gauss (geboren 4.5.1777 in
Braunschweig, gest. 23.2.1855 in Göttingen) aus dem Jahr 1792, dass der Quotient
von n und dem natürlichen Logarithmus von n, ln(n), gegen die Anzahl der
Primzahlen im Intervall 1 bis n strebt, wenn n gegen unendlich strebt. Gauss kam zu
dieser Vermutung, indem er Primzahlen in Tausenderblöcken abzählte. Formulieren
wir somit:
Satz:
Primzahlsatz
Bezeichne π(n) die Anzahl der Primzahlen im Intervall 1 bis n. Dann gilt:
n
n :
 (n) , falls n  
ln(n)
Die Funktion π(n) bezeichnet man als Primzahlfunktion
Der Beweis dieses Satzes erfordert Hilfsmittel, die selbst Gauss noch nicht zur
Verfügung standen. Es dauerte mehr als 100 Jahre bis dieser Satz 1896 von
Jacques Hadamard (geboren 8.12.1865 in Versailles, gest. 17.10.1963 in Paris) in
Paris und Charles-Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin (geboren
18.8.1866 in Löwen, gest. 2.3.1962 in Brüssel) in Löwen unabhängig voneinander
bewiesen wurde. Aber trotz aller Bemühungen ist bis heute noch kein Beweis
bekannt, der mit einfachen Mitteln auskommt.
Mit Hilfe des Primzahlsatzes kann man nun Lösungen abschätzen für
Fragestellungen wie etwa:
Wie viele Primzahlen < 2k gibt es?
n
2k
(n) 

ln(n)
ln(2k )

2k
k ln(2)

2k
0,69315 k
Diese Art Fragen kommt etwa aus der Kryptologie (Wissenschaft der Informationssicherheit), da man damit die Anzahl von Primzahlen in vorgegebenen Intervallen
abschätzen kann, z. B. zwischen k1 = 511 und k2 = 512 liegen ungefähr
1,88531*10151 Primzahlen. Angesichts von 1077 Atomen im Weltall also eine riesige
Anzahl von derart großen Primzahlen [20].
22
n
unterschätzt die Primzahlfunktion π(n) . Über die Verbesserung
ln(n)
n
der Qualität der Näherung der Funktion
an π(n) durch Ergänzung eines
ln(n)
„Korrekturfaktors“ gibt es viele theoretische und empirische Ergebnisse, zum Beispiel
eine einfache Formel von Rosser und Schoenfeld [7]:
Die Funktion
n
und n  59 :
n
1
n
3
(1 
)  (n) 
(1 
)
ln(n)
2 ln(n)
ln(n)
2 ln(n)
In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse basierend auf der Funktion n/ln(n)
und, zum Vergleich, der Formel von Rosser und Schoenfeld aufgelistet:
n / ln(n)
n
π(n) [23]
(n / ln(n)) (1 + 1 / (2 ln(n)))
(n / ln(n)) (1 + 3 / (2 ln(n) ))
gerundet
Fehler
zu π(n)
gerundet
Fehler
zu π(n)
gerundet
Fehler
zu π(n)
60
17
15
-13,80%
16
-3,27%
20
16,78%
100
25
22
-13,14%
24
-3,71%
29
15,30%
10.000
1.229
1.086
-11,66%
1.145
-6,86%
1.330
8,24%
1.000.000
78.498
72.382
-7,79%
75.002
-4,45%
86.165
9,77%
100.000.000
5.761.455
5.428.681
-5,78%
5.576.034
-3,22%
6.360.332
10,39%
10.000.000.000
455.052.511
434.294.482
-4,56%
443.725.067
-2,49%
503.524.230
10,65%
1.000.000.000.000
37.607.912.018
36.191.206.825
-3,77%
36.846.108.551
-2,03%
41.643.432.038
10,73%
100.000.000.000.000
3.204.941.750.802
3.102.103.442.166
-3,21%
3.150.218.670.996
-1,71%
3.548.694.754.694
10,73%
10.000.000.000.000.000
279.238.341.033.925
271.434.051.189.532
-2,79%
275.117.873.396.790
-1,48%
309.064.015.439.230
10,68%
1.000.000.000.000.000.000
24.739.954.287.740.860
24.127.471.216.847.300
-2,48%
24.418.538.650.507.200
-1,30%
27.366.576.037.489.400
10,62%
100.000.000.000.000.000.000
2.220.819.602.560.918.840
2.171.472.409.516.260.000
-2,22%
2.195.048.871.642.710.000
-1,16%
2.454.971.863.001.690.000
10,54%
10.000.000.000.000.000.000.000
201.467.286.689.315.906.290
197.406.582.683.296.000.000
-2,02%
199.355.050.627.631.000.000
-1,05%
222.553.438.193.416.000.000
10,47%
1.000.000.000.000.000.000.000.000
18.435.599.767.349.200.867.866
18.095.603.412.635.500.000.000
-1,84%
18.259.328.844.069.200.000.000
-0,96%
20.350.739.789.276.300.000.000
10,39%
Tabelle 6: Abschätzung der Anzahl der Primzahlen
Aus der Tabelle 3 Sieb des Eratosthenes kann man ablesen:
für n = 60 sind es 17 Primzahlen, also ( 60)  17 ,
für n = 100 sind es 25 Primzahlen, also (100)  25 .
Die von Gauß vermutete und von Hadamard und de la Vallée Poussin (s. o.)
bewiesene deutlich bessere Näherung der Verteilung der Primzahlen ist durch den
x
1
Integrallogarithmus gegeben: Li(x)  
d , und es gilt:
ln 
2
n  : Li(n)  (n) , falls n   .
Dabei ist die Näherung durch Li(x) sehr viel besser, als die der im obigen Satz
gegebenen Funktion n . Eine quantitative Aussage über die Güte der
ln(n)
Abschätzungen findet man z. B. in der Diplomarbeit von Mohamed Naji, Juli 1999
[http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/frontdoor/index/index/docId/3271]:
x
1018
π(x)
Li(x) (gerundet)
x/ln(x) (gerundet)
Li(x) - π(x)
x/ln(x) - π(x)
24.739.954.287.740.860 24.739.954.309.690.400 24.127.471.216.847.300
21.949.555
-612.483.070.893.476
Abweichung: 0,00000008872%
-2,47568%
23
5. Primzahlzwillinge
Abschließend soll noch eine Klasse von Primzahlen betrachtet werden über die
bisher wenig bekannt ist.
Primzahlen > 2 haben als ungerade Zahlen einen „Mindestabstand“ von 2. Nun folgt
zwar aus dem Primzahlsatz, dass die Dichte der Primzahlen „nach oben hin“
abnimmt, aber trotzdem findet man immer wieder Primzahlen die genau den Abstand
2 haben. Diese Paare nennt man Primzahlzwillinge.
Definition: Unter Primzahlzwillingen versteht man Paare (p, p+2) von Primzahlen.
Bereich
Anzahl der
Primzahl Zwillinge
1 – 99
8
(3 , 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
101 – 200
7
(101, 103)
(107, 109)
(137, 139)
(149, 151)
(179, 181)
(191, 193)
(197, 199)
201 – 300
4
(227, 229)
(239, 241)
(269, 271)
(281, 283)
301 – 400
2
(311, 313)
(347, 349)
401 – 500
3
(419,421)
(431, 433)
(461, 463)
501 – 600
3
(521,523)
(569, 571)
(599, 601)
601 – 700
3
(617, 619)
(641, 643)
(659, 661)
701 – 800
0
801 – 900
5
(809, 811)
(821, 823)
(827, 829)
901 – 1000
0
1001 – 1100
5
Primzahlzwillinge
(857, 859)
(71, 73)
(881, 883)
(1019,1021) (1031,1033) (1049,1051) (1061,1063) (1091,1093)
Tabelle 7: Die ersten 40 Primzahlzwilling
Über Primzahlzwillinge weiß man nicht sehr viel. Einige elementare Eigenschaften
sind leicht zu erkennen [18].
Mindestens kann man leicht beweisen, dass es nur genau ein Primzahltripel (3, 5, 7)
gibt.
Satz 7: 3 aufeinander folgende ungerade Zahlen ≥ 5: (2 k + 1, 2 k + 3, 2 k + 5),
k ≥ 2 können nicht alle Primzahlen sein
Beweis: a) k = 2: für das Tripel (5, 7, 9) gilt die Behauptung, denn 9 ist keine
Primzahl
b) k > 2: Alle ungeraden Zahlen ≥ 7 lassen sich darstellen als:
2 * l + 1 oder 4 * m + 1, 4 m + 3 oder 6 * n + 1, 6 * n + 3, 6 * n + 5
mit l, k, n 
24
wählen wir nun für die Darstellung für 3 aufeinander folgende ungerade
Zahlen: 6 * n + 1, 6 * n + 3, 6 * n + 5
Es gilt, dass 6 * n + 3 = 3 * (2 * n + 1) zerlegbar ist und somit keine
Primzahl sein kann.
Damit folgt für n > 0, m= n + 1
… 6 * (m – 1) + 1, 6 * (m – 1) + 3, 6 * (m – 1) + 5,
6 * m + 1,
6 * m + 3, 6 *
m + 5, 6 * (m + 1) + 1,
6 * (m + 1) + 3, 6 * (m + 1) + 5, 6 * (m + 2) + 1, …
wobei die farbig markierten Zahlen potentielle Primzahlzwillinge sind.
Also kann es außer (3 , 5 , 7) keine Primzahltripel geben, da mindestens
jede dritte ungerade Zahl zerlegbar ist.
+++
Hinweis: Die meisten Paare der Form (6 * m + 5, 6 * (m + 1) + 1) sind keine
Primzahlzwillinge z. B. m = 5: (35, 37), m = 7: (47, 49)
Satz 8: Die Zahl zwischen den Primzahlen jedes Primzahlzwillings außer (3, 5) ist
durch 6 teilbar
Beweis: Aufbauend auf Satz 7 gilt, dass die Primzahlzwillinge als Paare der Form
(6 * n + 5, 6 * (n + 1) + 1) mit n ≥ 0, bzw. (3, 5) geschrieben werden können.
(3, 5) hatten wir aber ausgeschlossen.
Die Zahl zwischen den anderen Paaren ist:
(6 * n + 5) + 1 = (6 * (n + 1) + 1) – 1
und damit
6 * n + 6 = 6 * (n + 1)
also ein Vielfaches von 6 und damit durch 6 teilbar
+++
Tatsächlich weiß man nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Es gibt
immer wieder Beweisversuche allerdings wurden bisher immer Fehler gefunden und
zwar derart schwere, dass sie bisher nicht „repariert“ werden konnten.
Immerhin weiß man jedoch, dass Primzahlzwillinge wesentlich seltener vorkommen
als Primzahlen. Schaut man auf „kleine Zahlen“ - wie etwa in Tabelle 7 – so ist das
offensichtlich, aber tatsächlich ist das bewiesen für die Menge der natürlichen
Zahlen.
Bei der Suche nach großen Primzahlzwillingen hat man gewaltige Höhen erreicht.
1.
2.
[24]: 3.756.801.695.685 2666669 ± 1 sind Primzahlzwillinge.
[11] : bis 2 * 1016 gibt es 19.831.847.025.792 Primzahlzwillinge
25
6. Die Goldbachsche Vermutung
Eine der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik wurde von Christian
Goldbach (geboren 18. März 1690 in Königsberg, gestorben 20 November 1764 in
Moskau) in einem Brief an Leonhard Euler (geboren 15. April 1707 in Basel,
gestorben 7. September 1783 in St. Petersburg) erstmals erwähnt.
1742 schrieb Goldbach in einem Brief an Euler, ihm sei aufgefallen, dass gerade
Zahlen ungleich 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden könnten. Er
fragte dann Euler ob er dies beweisen, oder ein Gegenbeispiel nennen könne. Euler
hat darauf geantwortet: „Dass ... ein jeder numerus par eine summa duorum
primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe
necht demonstriren kann “ [6].
Schauen wir uns einige Beispiele an:
n
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
Zerlegung 1 Zerlegung 2 Zerlegung 3 Zerlegung 4 Zerlegung 5
p
q
p q
p q
p q
p q
2 + 2
+
+
+
+
3 + 3
+
+
+
+
3 + 5
+
+
+
+
3 + 7
5 + 5
+
+
+
5 + 7
+
+
+
+
3 + 11
7 + 7
+
+
+
3 + 13
5 + 11
+
+
+
5 + 13
7 + 11
+
+
+
3 + 17
7 + 13
+
+
+
3 + 19
5 + 17
11 + 11
+
+
5 + 19
7 + 17
11 + 13
+
+
3 + 23
7 + 19
13 + 13
+
+
5 + 23
11 + 17
+
+
+
7 + 23
11 + 19
13 + 17
+
+
3 + 29
13 + 19
+
+
+
3 + 31
5 + 29
11 + 23
17 + 17
5 + 31
7 + 29
13 + 23
17 + 19
7 + 31
19 + 19
+
+
3 + 37
11 + 29
17 + 23
+
5 + 37
11 + 31
13 + 29
19 + 23
3 + 41
7 + 37
13 + 31
+
3 + 43
5 + 41
17 + 29
23 + 23
5 + 43
7 + 41
11 + 37
17 + 31
19 + 29
3 + 47
7 + 43
13 + 37
19 + 31
Tabelle 8: Gerade Zahlen ≤ 50 als Summe von Primzahlen
Dieser kleine Ausschnitt legt schon die Goldbachsche Vermutung nahe,
insbesondere da es sogar so aussieht, als wenn die Anzahl der unterschiedlichen
Zerlegungen pro gerader Zahl tendenziell zunimmt.
26
Das zeigt auch beispielsweise die folgende Grafik aus [6], die das Ergebnis für alle
geraden Zahlen aus den Bereich 4 ≤ n ≤ 1.000.000 darstellt
Anzahl der additiven Zerlegungen gerader Zahlen n in 2 Primzahlen mit (4 ≤ n ≤ 1.000.000)
Auf den aktuellen Stand der statistischen Untersuchungen kommen wir etwas später
wieder zurück. Zuvor aber noch eine kurze Übersicht über die erreichten Fortschritte
in Richtung des Beweises der Vermutung.
Bis heute ist das weiterhin eine unbewiesene Vermutung. Ein Grund für die
Schwierigkeit einen Beweis zu finden, liegt darin, dass Primzahlen über eine
Multiplikation definiert werden, während hier ein Problem in der Addition von
natürlichen Zahlen vorliegt.
Fast 200 Jahre gab es keinen Ansatz diese Hypothese zu beweisen oder zu
widerlegen. Dann veröffentlichte 1931 der russische Mathematiker Lew G.
Schnirelman (geboren 02.01.1905 in Gomel – gestorben 24.09.1938 in Moskau) eine
Arbeit in der er bewies, dass jede gerade natürliche Zahl als Summe von nicht mehr
als 300.000 Primzahlen dargestellt werden kann. Zwar eine grobe Annäherung an
das ursprüngliche Problem, aber es zeigt wenigstens, dass eine Summe nur von
Primzahlen alle geraden Zahlen liefert und dass die Anzahl der Summanden
beschränkt ist. Ihm gelang es die Zahl auf 20 zu reduzieren. Seinem Landsmann
Iwan M. Winogradow (geboren 02.09.1891 - gestorben 20.03.1983 in Moskau)
gelang es wenig später, 1937, die Zahl der Summanden auf 4 zu reduzieren, wenn
die gerade Zahl nur hinreichend groß ist. Das heißt es könnte durchaus gerade
Zahlen geben, die als Summe von mehr als 4 Primzahlen – also beispielsweise 20 –
dargestellt werden müssen, aber es gibt eine Grenze ab der für alle größeren
natürliche Zahlen man mit einer Summe bestehend aus maximal 4 Primzahlen
auskommt [1].
27
Die aktuellen Ergebnisse von Olivier Ramare (Dozent an der Université de Lille,
Frankreich) aus dem Jahre 1995 zeigen aber, dass 6 Primzahlen für alle geraden
Zahlen ≥ 4 ausreichen [6] .
Terence Tao bewies 2012, dass jede ungerade Zahl größer als 1 als Summe von
fünf oder weniger Primzahlen dargestellt werden kann [6, dt.].
Chen Jingrun (geboren 22.03.1933 in Fuzhou, China, gestorben 19.03 1996) zeigte
1973 wiederum für hinreichend große gerade Zahlen, dass diese entweder als
Summe zweier Primzahlen oder als Summe einer Primzahl und einer Semiprimzahl –
d. i. das Produkt zweier Primzahlen – geschrieben werden kann, also beispielsweise
100 = 23 + 7 * 11 [6] , 20 = 11 + 3 * 3 .
Kommen wir nochmals auf den aktuellen Stand der statistischen Untersuchungen
zurück:
Tomás Oliveira e Silva vom „Departamento de Electrónica, Telecomunicações e
Informática“ an der „Universidade de Aveiro“ in Portugal hat ein Programm
entwickelt, dass die minimale Goldbachsche Zerlegung der Zahlen größer als 4
errechnet. Die minimale Zerlegung einer geraden Zahl wird dadurch ermittelt, dass
die beiden Summanden der Zerlegungen so geordnet werden, dass der kleinere
Summand als erster geschrieben wird. Diese Darstellung entspricht der Spalte
„Zerlegung 1“ in der Tabelle 8: Gerade Zahlen ≤ 50 als Summe von Primzahlen.
Der aktuelle Stand der Kalkulation ist nach [14]:
13. September 2011: 2,6·1018 erreicht.
30. November 2011: Entdeckung der minimalen Goldbach’schen Zerlegung von
2.795.935.116.574.469.638.
16. Januar 2012:
Entdeckung der minimalen Goldbach’schen Zerlegung von
3.325.581.707.333.960.528.
04. April 2012:
Gesetzte, vordefinierte Grenze der Überprüfung von 1018
erreicht.
07. September 2012 Doppelte Überprüfung bis 3 1017 durchgeführt.
26. Mai 2013
Doppelte Überprüfung bis 4 1017 durchgeführt. Die doppelte
Überprüfung wurde damit bis auf weiteres eingestellt.
Es wurde kein Gegenbeispiel zur Goldbachschen Vermutung gefunden.
28
7. Primzahlen in arithmetischen Folgen
Wir können nun auch für Teilmengen der natürlichen Zahlen untersuchen ob und ggf.
wie viele Primzahlen diese Teilmengen enthalten.
Einfach ist das für die Teilmengen der geraden / ungeraden Zahlen zu bestimmen:
1. Gerade natürliche Zahlen: enthält nur die 2.
2. Ungerade natürliche Zahlen: enthält nur die 2 nicht, aber alle anderen Primzahlen.
Viel schwieriger ist folgender Satz zu beweisen:
Satz:
Alle arithmetischen Folgen fa,d(n) = a n + d mit
a,d  , a,d haben keinen gemeinsamen Teiler  1 , enthalten unendlich viele
Primzahlen.
Anmerkung: die ungeraden Zahlen > 1 entsprechen der Folge f 2,1(n) = 2 n + 1
Zum Beweis dieses allgemeinen Satzes sind Mittel der höheren Mathematik
erforderlich.
Die Tabellen unten zeigen einen kleinen Ausschnitt für einige Beispielfolgen bei
verschiedenen Bereichen mit n   1, ... ,10 , 1001, ... ,1010,1.000.001,...,1.000.010 .
Dabei sind die Zahlen in den grün eingefärbten Zellen Primzahlen, ermittelt mit Hilfe
von [22]
2n+1
3n+1
3n+2
4n+1
4n+3
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
6n+1
6n+5
7n+1
7n+2
7n+3
7n+4
7n+5
7n+6
8n+1
8n+3
8n+5
8n+7
9n+1
9n+2
9n+4
9n+5
9n+7
9n+8
1
3
4
5
5
7
6
7
8
9
7
11
8
9
10
11
12
13
9
11
13
15
10
11
13
14
16
17
2
5
7
8
9
11
11
12
13
14
13
17
15
16
17
18
19
20
17
19
21
23
19
20
22
23
25
26
3
7
10
11
13
15
16
17
18
19
19
23
22
23
24
25
26
27
25
27
29
31
28
29
31
32
34
35
4
9
13
14
17
19
21
22
23
24
25
29
29
30
31
32
33
34
33
35
37
39
37
38
40
41
43
44
5
11
16
17
21
23
26
27
28
29
31
35
36
37
38
39
40
41
41
43
45
47
46
47
49
50
52
53
6
13
19
20
25
27
31
32
33
34
37
41
43
44
45
46
47
48
49
51
53
55
55
56
58
59
61
62
7
15
22
23
29
31
36
37
38
39
43
47
50
51
52
53
54
55
57
59
61
63
64
65
67
68
70
71
Summe
8
17
25
26
33
35
41
42
43
44
49
53
57
58
59
60
61
62
65
67
69
71
73
74
76
77
79
80
9
19
28
29
37
39
46
47
48
49
55
59
64
65
66
67
68
69
73
75
77
79
82
83
85
86
88
89
10
21
31
32
41
43
51
52
53
54
61
65
71
72
73
74
75
76
81
83
85
87
91
92
94
95
97
98
Anzahl
'1 - 10
7
4
5
6
6
3
4
4
2
7
7
0
3
4
3
3
2
3
6
5
5
2
4
3
3
4
4
109
n = 1 – 10: 109 Primzahlen
Tabelle 9.1: Primzahlen in Segmenten einiger arithmetischen Folgen.
29
1001
2003
3004
3005
4005
4007
5006
5007
5008
5009
6007
6011
7008
7009
7010
7011
7012
7013
8009
8011
8013
8015
9010
9011
9013
9014
9016
9017
2n+1
3n+1
3n+2
4n+1
4n+3
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
6n+1
6n+5
7n+1
7n+2
7n+3
7n+4
7n+5
7n+6
8n+1
8n+3
8n+5
8n+7
9n+1
9n+2
9n+4
9n+5
9n+7
9n+8
1002
2005
3007
3008
4009
4011
5011
5012
5013
5014
6013
6017
7015
7016
7017
7018
7019
7020
8017
8019
8021
8023
9019
9020
9022
9023
9025
9026
1003
2007
3010
3011
4013
4015
5016
5017
5018
5019
6019
6023
7022
7023
7024
7025
7026
7027
8025
8027
8029
8031
9028
9029
9031
9032
9034
9035
1004
2009
3013
3014
4017
4019
5021
5022
5023
5024
6025
6029
7029
7030
7031
7032
7033
7034
8033
8035
8037
8039
9037
9038
9040
9041
9043
9044
1005
2011
3016
3017
4021
4023
5026
5027
5028
5029
6031
6035
7036
7037
7038
7039
7040
7041
8041
8043
8045
8047
9046
9047
9049
9050
9052
9053
1006
2013
3019
3020
4025
4027
5031
5032
5033
5034
6037
6041
7043
7044
7045
7046
7047
7048
8049
8051
8053
8055
9055
9056
9058
9059
9061
9062
1007
2015
3022
3023
4029
4031
5036
5037
5038
5039
6043
6047
7050
7051
7052
7053
7054
7055
8057
8059
8061
8063
9064
9065
9067
9068
9070
9071
1008
2017
3025
3026
4033
4035
5041
5042
5043
5044
6049
6053
7057
7058
7059
7060
7061
7062
8065
8067
8069
8071
9073
9074
9076
9077
9079
9080
1009
2019
3028
3029
4037
4039
5046
5047
5048
5049
6055
6059
7064
7065
7066
7067
7068
7069
8073
8075
8077
8079
9082
9083
9085
9086
9088
9089
1010
2021
3031
3032
4041
4043
5051
5052
5053
5054
6061
6065
7071
7072
7073
7074
7075
7076
8081
8083
8085
8087
9091
9092
9094
9095
9097
9098
Anzahl
1001 - 1010
1
1
2
2
3
3
0
1
2
3
4
2
0
0
1
1
3
3
2
2
2
1
2
3
2
1
0
Summe
47
n = 1.001 – 1.010: 47 Primzahlen
2n+1
3n+1
3n+2
4n+1
4n+3
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
6n+1
6n+5
7n+1
7n+2
7n+3
7n+4
7n+5
7n+6
8n+1
8n+3
8n+5
8n+7
9n+1
9n+2
9n+4
9n+5
9n+7
9n+8
1.000.001
2.000.003
3.000.004
3.000.005
4.000.005
4.000.007
5.000.006
5.000.007
5.000.008
5.000.009
6.000.007
6.000.011
7.000.008
7.000.009
7.000.010
7.000.011
7.000.012
7.000.013
8.000.009
8.000.011
8.000.013
8.000.015
9.000.010
9.000.011
9.000.013
9.000.014
9.000.016
9.000.017
1.000.002
2.000.005
3.000.007
3.000.008
4.000.009
4.000.011
5.000.011
5.000.012
5.000.013
5.000.014
6.000.013
6.000.017
7.000.015
7.000.016
7.000.017
7.000.018
7.000.019
7.000.020
8.000.017
8.000.019
8.000.021
8.000.023
9.000.019
9.000.020
9.000.022
9.000.023
9.000.025
9.000.026
1.000.003
2.000.007
3.000.010
3.000.011
4.000.013
4.000.015
5.000.016
5.000.017
5.000.018
5.000.019
6.000.019
6.000.023
7.000.022
7.000.023
7.000.024
7.000.025
7.000.026
7.000.027
8.000.025
8.000.027
8.000.029
8.000.031
9.000.028
9.000.029
9.000.031
9.000.032
9.000.034
9.000.035
1.000.004
2.000.009
3.000.013
3.000.014
4.000.017
4.000.019
5.000.021
5.000.022
5.000.023
5.000.024
6.000.025
6.000.029
7.000.029
7.000.030
7.000.031
7.000.032
7.000.033
7.000.034
8.000.033
8.000.035
8.000.037
8.000.039
9.000.037
9.000.038
9.000.040
9.000.041
9.000.043
9.000.044
1.000.005
2.000.011
3.000.016
3.000.017
4.000.021
4.000.023
5.000.026
5.000.027
5.000.028
5.000.029
6.000.031
6.000.035
7.000.036
7.000.037
7.000.038
7.000.039
7.000.040
7.000.041
8.000.041
8.000.043
8.000.045
8.000.047
9.000.046
9.000.047
9.000.049
9.000.050
9.000.052
9.000.053
1.000.006
2.000.013
3.000.019
3.000.020
4.000.025
4.000.027
5.000.031
5.000.032
5.000.033
5.000.034
6.000.037
6.000.041
7.000.043
7.000.044
7.000.045
7.000.046
7.000.047
7.000.048
8.000.049
8.000.051
8.000.053
8.000.055
9.000.055
9.000.056
9.000.058
9.000.059
9.000.061
9.000.062
1.000.007
2.000.015
3.000.022
3.000.023
4.000.029
4.000.031
5.000.036
5.000.037
5.000.038
5.000.039
6.000.043
6.000.047
7.000.050
7.000.051
7.000.052
7.000.053
7.000.054
7.000.055
8.000.057
8.000.059
8.000.061
8.000.063
9.000.064
9.000.065
9.000.067
9.000.068
9.000.070
9.000.071
1.000.008
2.000.017
3.000.025
3.000.026
4.000.033
4.000.035
5.000.041
5.000.042
5.000.043
5.000.044
6.000.049
6.000.053
7.000.057
7.000.058
7.000.059
7.000.060
7.000.061
7.000.062
8.000.065
8.000.067
8.000.069
8.000.071
9.000.073
9.000.074
9.000.076
9.000.077
9.000.079
9.000.080
1.000.009
2.000.019
3.000.028
3.000.029
4.000.037
4.000.039
5.000.046
5.000.047
5.000.048
5.000.049
6.000.055
6.000.059
7.000.064
7.000.065
7.000.066
7.000.067
7.000.068
7.000.069
8.000.073
8.000.075
8.000.077
8.000.079
9.000.082
9.000.083
9.000.085
9.000.086
9.000.088
9.000.089
1.000.010
2.000.021
3.000.031
3.000.032
4.000.041
4.000.043
5.000.051
5.000.052
5.000.053
5.000.054
6.000.061
6.000.065
7.000.071
7.000.072
7.000.073
7.000.074
7.000.075
7.000.076
8.000.081
8.000.083
8.000.085
8.000.087
9.000.091
9.000.092
9.000.094
9.000.095
9.000.097
9.000.098
Anzahl
1.000.001-1.000.010
1
0
2
1
2
1
0
0
0
1
5
1
1
0
0
2
1
3
1
1
4
0
1
2
1
0
0
Summe
31
n = 1.000.001 – 1.000.010: 31 Primzahlen
Tabellen 9.2: Primzahlen in Segmenten einiger arithmetischen Folgen.
30
2n+1
3n+1
3n+2
4n+1
4n+3
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
6n+1
6n+5
7n+1
7n+2
7n+3
7n+4
7n+5
7n+6
8n+1
8n+3
8n+5
8n+7
9n+1
9n+2
9n+4
9n+5
9n+7
9n+8
1.000.000.001
2.000.000.003
3.000.000.004
3.000.000.005
4.000.000.005
4.000.000.007
5.000.000.006
5.000.000.007
5.000.000.008
5.000.000.009
6.000.000.007
6.000.000.011
7.000.000.008
7.000.000.009
7.000.000.010
7.000.000.011
7.000.000.012
7.000.000.013
8.000.000.009
8.000.000.011
8.000.000.013
8.000.000.015
9.000.000.010
9.000.000.011
9.000.000.013
9.000.000.014
9.000.000.016
9.000.000.017
1.000.000.002
2.000.000.005
3.000.000.007
3.000.000.008
4.000.000.009
4.000.000.011
5.000.000.011
5.000.000.012
5.000.000.013
5.000.000.014
6.000.000.013
6.000.000.017
7.000.000.015
7.000.000.016
7.000.000.017
7.000.000.018
7.000.000.019
7.000.000.020
8.000.000.017
8.000.000.019
8.000.000.021
8.000.000.023
9.000.000.019
9.000.000.020
9.000.000.022
9.000.000.023
9.000.000.025
9.000.000.026
1.000.000.003
2.000.000.007
3.000.000.010
3.000.000.011
4.000.000.013
4.000.000.015
5.000.000.016
5.000.000.017
5.000.000.018
5.000.000.019
6.000.000.019
6.000.000.023
7.000.000.022
7.000.000.023
7.000.000.024
7.000.000.025
7.000.000.026
7.000.000.027
8.000.000.025
8.000.000.027
8.000.000.029
8.000.000.031
9.000.000.028
9.000.000.029
9.000.000.031
9.000.000.032
9.000.000.034
9.000.000.035
1.000.000.004
2.000.000.009
3.000.000.013
3.000.000.014
4.000.000.017
4.000.000.019
5.000.000.021
5.000.000.022
5.000.000.023
5.000.000.024
6.000.000.025
6.000.000.029
7.000.000.029
7.000.000.030
7.000.000.031
7.000.000.032
7.000.000.033
7.000.000.034
8.000.000.033
8.000.000.035
8.000.000.037
8.000.000.039
9.000.000.037
9.000.000.038
9.000.000.040
9.000.000.041
9.000.000.043
9.000.000.044
1.000.000.005
2.000.000.011
3.000.000.016
3.000.000.017
4.000.000.021
4.000.000.023
5.000.000.026
5.000.000.027
5.000.000.028
5.000.000.029
6.000.000.031
6.000.000.035
7.000.000.036
7.000.000.037
7.000.000.038
7.000.000.039
7.000.000.040
7.000.000.041
8.000.000.041
8.000.000.043
8.000.000.045
8.000.000.047
9.000.000.046
9.000.000.047
9.000.000.049
9.000.000.050
9.000.000.052
9.000.000.053
1.000.000.006
2.000.000.013
3.000.000.019
3.000.000.020
4.000.000.025
4.000.000.027
5.000.000.031
5.000.000.032
5.000.000.033
5.000.000.034
6.000.000.037
6.000.000.041
7.000.000.043
7.000.000.044
7.000.000.045
7.000.000.046
7.000.000.047
7.000.000.048
8.000.000.049
8.000.000.051
8.000.000.053
8.000.000.055
9.000.000.055
9.000.000.056
9.000.000.058
9.000.000.059
9.000.000.061
9.000.000.062
1.000.000.007
2.000.000.015
3.000.000.022
3.000.000.023
4.000.000.029
4.000.000.031
5.000.000.036
5.000.000.037
5.000.000.038
5.000.000.039
6.000.000.043
6.000.000.047
7.000.000.050
7.000.000.051
7.000.000.052
7.000.000.053
7.000.000.054
7.000.000.055
8.000.000.057
8.000.000.059
8.000.000.061
8.000.000.063
9.000.000.064
9.000.000.065
9.000.000.067
9.000.000.068
9.000.000.070
9.000.000.071
1.000.000.008
2.000.000.017
3.000.000.025
3.000.000.026
4.000.000.033
4.000.000.035
5.000.000.041
5.000.000.042
5.000.000.043
5.000.000.044
6.000.000.049
6.000.000.053
7.000.000.057
7.000.000.058
7.000.000.059
7.000.000.060
7.000.000.061
7.000.000.062
8.000.000.065
8.000.000.067
8.000.000.069
8.000.000.071
9.000.000.073
9.000.000.074
9.000.000.076
9.000.000.077
9.000.000.079
9.000.000.080
1.000.000.009
2.000.000.019
3.000.000.028
3.000.000.029
4.000.000.037
4.000.000.039
5.000.000.046
5.000.000.047
5.000.000.048
5.000.000.049
6.000.000.055
6.000.000.059
7.000.000.064
7.000.000.065
7.000.000.066
7.000.000.067
7.000.000.068
7.000.000.069
8.000.000.073
8.000.000.075
8.000.000.077
8.000.000.079
9.000.000.082
9.000.000.083
9.000.000.085
9.000.000.086
9.000.000.088
9.000.000.089
1.000.000.010
2.000.000.021
3.000.000.031
3.000.000.032
4.000.000.041
4.000.000.043
5.000.000.051
5.000.000.052
5.000.000.053
5.000.000.054
6.000.000.061
6.000.000.065
7.000.000.071
7.000.000.072
7.000.000.073
7.000.000.074
7.000.000.075
7.000.000.076
8.000.000.081
8.000.000.083
8.000.000.085
8.000.000.087
9.000.000.091
9.000.000.092
9.000.000.094
9.000.000.095
9.000.000.097
9.000.000.098
Anzahl
1.000.000.001-1.000.000.010
1
1
0
1
1
0
0
0
2
2
1
0
0
0
0
1
1
1
2
0
1
0
0
0
0
1
2
Summe
18
n = 1.000.000.001 – 1.000.000.010: 18 Primzahlen
Tabelle 9.3: Primzahlen in Segmenten einiger arithmetischen Folgen.
2n+1
3n+1
3n+2
4n+1
4n+3
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
6n+1
6n+5
7n+1
7n+2
7n+3
7n+4
7n+5
7n+6
8n+1
8n+3
8n+5
8n+7
9n+1
9n+2
9n+4
9n+5
9n+7
9n+8
1 - 10
7
4
5
6
6
3
4
4
2
7
7
0
3
4
3
3
2
3
6
5
5
2
4
3
3
4
4
Summe
109
Zählbereich für n
1001 - 1010 1.000.001-1.000.010
1.000.000.001-1.000.000.010
1
1
1
1
0
1
2
2
0
2
1
1
3
2
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
2
0
2
3
1
2
4
5
1
2
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
2
1
3
1
1
3
3
1
2
1
2
2
1
0
2
4
1
1
0
0
2
1
0
3
2
0
2
1
0
1
0
1
0
0
2
47
31
18
Tabelle 9.4: Anzahl der Primzahlen in Segmenten (Zählbereichen) einiger
arithmetischen Folgen
Aus den Tabellen lässt sich vermuten, dass sich die Primzahlen für größere n
„ausdünnen“, aber nach dem obigen Satz gibt es unendlich viele Priemzahlen in den
Folgen.
31
Wie bereits oben erwähnt sind zum Beweis dieses allgemeinen Satzes über die
Anzahl der Primzahlen in arithmetischen Folgen Mittel der höheren Mathematik
erforderlich. Allerdings lässt sich der Satz für Spezialfälle mit einfachen Mitteln
beweisen, indem die Verfahrensweise vom Beweis des Satzes 5 erweitert wird.
Satz 9: Die arithmetischen Folgen f4,3(n) = 4 n + 3 und f6,5(n) = 6 n + 5 enthalten
unendlich viele Primzahlen.
Beweis: 1. f4,3(n) = 4 n + 3
a) Die ungeraden Zahlen > 2 haben die Formen
4 n + 1 oder 4 n + 3, n ≥ 0
b) (4 n + 1) (4 m + 1) = 16 n m + 4 n + 4 m + 1
= 4 (4 n m + n +m) + 1
d.h. Multiplikation zweier Zahlen der Form (4 n + 1) liefert eine Zahl,
die wieder in dieser Form dargestellt werden kann
Betrachten wir nun die Zahl p, die wie folgt definiert ist:
p = 4 (p1 * p2 * …* pn) – 1
dann gilt:
c) Division von p durch jedes der pi liefert immer den Rest (pi – 1) ≥ 1
p = 4 (p1 * p2 * …* pn) – pi + pi – 1 für ein beliebiges i mit 1 ≤ i ≤ n
= pi * (4 * p1 * p2 * …* pi-1 * pi+1 * …* pn - 1) + (pi – 1)
und daraus folgt, dass keines der p i Teiler von p ist.
d) p kann nun auch noch anders dargestellt werden:
p = 4 (p1 * p2 * …* pn) – 4 + 4 – 1
= 4 (p1 * p2 * …* pn – 1) + 3
Annahme: Es gibt nur endlich (n > 1) viele Primzahlen p 1, p2, … pn der
Form 4 m + 3
Nun gilt:
- wegen a) haben alle Teiler von p die Form (4 n + 1) oder (4 n + 3),
- wegen b) können nicht alle Teiler von p die Form (4 n + 1) haben, da p
selbst nicht diese Form hat,
- also muss mindestens ein Faktor die Form p* = 4 n + 3 haben,
- dieser Faktor kann aber keiner der Primfaktoren p1 , … , pn sein, da bei
Division von p durch einen der pi wegen c) den Rest (pi – 1) ≥ 1 bleibt ,
- wir haben also einen weiteren Primfaktor p* = 4 n + 3 , der verschieden
ist von p1 , p2 , … , pn ,
- das kann aber nicht sein, da die oben angegebenen p i alle
Primfaktoren Form (4 n i + 3) sind, aber kein Teiler von p sind,
also ist die Annahme falsch und es ist gezeigt, dass es unendlich viele
Primzahlen in der Folge f4,3(n) = 4 n + 3 gibt
+++
32
2. f6,5(n) = 6 n + 5
wie bei 1. mit
a) Die ungeraden Zahlen > 2 haben die Formen
6 n + 1, 6 n + 3 oder 6 n + 5, n ≥ 0
Primzahlen haben die Form 6 n + 1, 6 n + 5, da 6 n + 3 = 3 (2 n +1)
eine zusammengesetzte Zahl ist
b) (6 n + 1) (6 m + 1) = 6 (6 n m + n + m) + 1
und dann völlig analog weiter wie bei 1. liefert die 2. Behauptung
+++
Leider lässt sich die Beweismethode nicht auf alle Folgen f a,d(n) = a n + d mit
a,d  , ggT(a, d) = 1 erweitert werden. Der zuerst von Johann Peter Gustav
Lejeune Dirichlet (geboren 13.02.1805 in Düren, gestorben 05.05 1859 in Göttingen)
im Jahre 1837 erbrachte Beweis des allgemeinen Satzes gilt auch unter
Mathematikern als schwierig.
33
8. Anwendung der Primzahltheorie in der Biologie
Tatsächlich gibt es sogar Anwendungen der Ergebnisse der Primzahltheorie, die
doch eher nach einer rein mathematischen Disziplin aussieht, außerhalb der
Mathematik. Am 29. April 2002 veröffentliche die Max-Planck-Gesellschaft folgende
Presse-Information [8]:
Im Zikadenleben zählen Zahlen
Max-Planck-Forscher kommen dem Paarungszyklus der Insekten auf die Spur /
Neue Ausgabe der Max Planck Forschung erschienen
Foto: Lee Jenkins / Leon Higley,
Department of Entomology,
University of Missouri /
Department of Entomology,
University of Nebraska
In weiten Teilen Nordamerikas treten Zikaden auf,
die sich alle 13 oder 17 Jahre über der Erde
massenhaft vermehren, danach leben sie als Larven
wieder 13)10 oder 17 Jahre unter der Erde.
Wissenschaftler des Max-Planck-Instituts für
molekulare Physiologie in Dortmund und der
Universidad de Chile haben jetzt vermutlich das
Rätsel gelöst, warum der Lebenszyklus dieser
Insekten so ungewöhnlich ist: Die Forscher um Prof.
Mario Markus haben ein Jäger-Beute-Modell
entwickelt, in dem nur Lebenszyklen, deren Länge
eine Primzahl von Jahren ist, stabil sind. Die
Forscher nutzen das Modell auch, um beliebig hohe
Primzahlen zu erzeugen. Damit wurde erstmals eine
Brücke zwischen zwei sonst weit auseinander
liegenden Disziplinen, der Zahlentheorie und der
Biologie, geschlagen.
Etwas ausführlicher verläuft der Lebenszyklus also in folgender weise: Eine
Zikadennymphe entwickelt sich mehrere Jahre im Boden des Waldes aus der Larve.
Im 13. bzw. 17. Jahr kommt sie dann auf die Oberfläche, lebt einen Sommer, zeugt
Nachwuchs, legt die Eier ab (aus denen sich die Larven entwickeln) und stirbt noch
im selben Jahr. Die Larven durchlaufen wieder den gleich Zyklus.
Für viele Vögel, Reptilien und kleine Säugetiere ist dieses Insekt Nahrung. Ihre
Feinde leben in der Regel in 2-, 4- oder 6-Jahres-Rhythmen.
Die Frage ist, wann treffen Zikade und ihre Fressfeinde zusammen, nachdem sie alle
in einem Jahr aufeinander getroffen sind. Die Antwort - für den 17 jährigen Zyklus,
der 13 jährige wird analog behandelt - ergibt sich aus dem ZPE Satz (Satz 2):
10
Gemeint ist hier, dass die Zikaden im 13. bzw. 17. Jahr ihren Lebensraum unter der Erde verlassen,
da sonst die vorherige Aussage „alle 13 oder 17 Jahre“ und die weiteren Ableitungen mit Hinweis auf
Primzahlen nicht passen
34
2 =2
4 =2*2
6 =2*3
17 = 17
Gesucht ist also die kleinste Zahl, die 2, 4, 6 und 17 als Teiler hat:
Nach Satz 2 ergibt sich: 2 * 2 * 3 * 17 = 204 als kleinste Zahl, die die oben
angegebenen Zahlen als Teiler hat.
Frühestens nach 34 = 2 * 17 Jahren trifft die Zikade auf den Fressfeind 1, frühestens
nach 68 = 2 * 2 * 17 Jahren gleichzeitig auf 2 Fressfeinde und frühestens nach 204
Jahren gleichzeitig auf alle 3 Fressfeinde. Jede 2te Generation hat mit einem, jede
4te und 6te zwei und jede 12te drei Fressfeinde und somit hat jede 1., 3., 5., 7., 9., …
Nachfolgegeneration – also jede 2., „ungerade“ Generation - keine Fressfeinde.
Der „Trick“ der Evolution für die Zirkade liegt darin, einen Lebenszyklus der Länge
einer Primzahl zu wählen, so dass die Länge nicht ein Vielfaches der Länge der
Lebenszyklen der Fressfeinde ist. So vermeiden die Zikaden, bei jedem Zyklus auf
alle ihre Fressfeinde gleichzeitig zu treffen.
Aus dem oben erwähnten Bericht geht hervor, dass Mario Markus und Oliver Schulz
vom Max-Planck-Institut für molekulare Physiologie und Eric Goles (Universidad de
Chile) ein Evolutionsmodell entwickelten, das durch Mutation und Selektion von
Räubern und Beuten „Primzyklen“ der Beuten erzeugt. Dabei erhielten sie
bevorzugte Zyklen in denen auch 13 und 17 Jahre vorkommen.
Betrachten wir abschließend die folgende Tabelle zur Darstellung der Überlagerung
der Zyklen (s. nächste Seite). In den grau hinterlegten Feldern ist dargestellt in
welchen Jahren die Zikaden auf welche der Fressfeinde treffen.
Auf den 3. Fressfeind – zusammen mit dem 1. - trifft die Zirkade erst nach
6 * 17 = 102 Jahren – wenn er denn bis dahin noch nicht wegen Unterernährung
ausgestorben ist oder sich alternative Nahrungsquellen erschlossen hat – also unter
Umständen eine kleinere Bedrohung für die Zikade darstellt.
35
Zikade
Fressfeind 1
Fressfeind 2
Fressfeind 3
Lebenszyklus
in Jahren
17
2
4
6
Zikade
Fressfeind 1
Fressfeind 2
Fressfeind 3
Lebenszyklus
21
in Jahren
17
2
4
6
1
Lebenszyklus
41
in Jahren
Zikade
17
Fressfeind 1
2
Fressfeind 2
4
Fressfeind 3
6
Lebenszyklus
61
in Jahren
Zikade
17
Fressfeind 1
2
Fressfeind 2
4
Fressfeind 3
6
Lebenszyklus
81
in Jahren
Zikade
Fressfeind 1
Fressfeind 2
Fressfeind 3
17
2
4
6
Lebenszyklus
101
in Jahren
Zikade
17
Fressfeind 1
Fressfeind 2
2
4
Fressfeind 3
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13
14 15
17
Fressfeind 1
2
Fressfeind 2
Fressfeind 3
4
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
22
23
x
42
43
24
25 26
x
x
x
x
44
45 46
27
28 29
x
x
30
31 32
x
x
17
2
4
6
33
34 35
x
x
x
47
48 49
17
Fressfeind 1
Fressfeind 2
Fressfeind 3
2
4
6
x
x
x
x
x
50
x
62
x
x
51 52
53
63
x
64
65 66
x
67
x
x
17
2
4
6
83
17
Fressfeind 1
2
Fressfeind 2
4
Fressfeind 3
6
x
x
x
36
x
x
x
56
x
x
37 38
39
x
57 58
40
x
x
59
60
84
85 86
x
x
x
68 69
70
x
x
x
x
71 72
73
x
x
74 75
76
x
x
x
88 89
90
x
x
x
91 92
77 78
79
x
80
x
x
x
87
x
x
x
x
93
94 95
96
x
x
x
x
97 98
99
100
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
136 137 138 139 140
x
x
x
x
x
x
x
153 154 155 156 157 158 159 160
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Lebenszyklus
201 202 203
in Jahren
Zikade
x
x
54 55
x
x
82
x
x
Lebenszyklus
181 182 183 184 185 186
in Jahren
Zikade
Fressfeind 1
Fressfeind 2
Fressfeind 3
20
x
Lebenszyklus
161 162 163 164 165 166 167 168 169
in Jahren
Zikade
19
x
x
x
Lebenszyklus
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
in Jahren
Zikade
Fressfeind 1
Fressfeind 2
Fressfeind 3
17 18
x
Lebenszyklus
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
in Jahren
Zikade
16
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tabelle 10: Zusammentreffen der Zikaden mit ihren Fressfeinden in Jahresscheiben
36
9. Zusammenfassung
Über die Primzahlen kennt man im Wesentlichen die grundlegenden Tatsachen, aber
selbst einfach zu formulierende Eigenschaften lassen sich nur mit schwersten
mathematischen „Geschützen“ angreifen und beweisen oder entziehen sich bis jetzt
eines Beweises.
Vielleicht liegt es daran, dass die Folge der Primzahlen zufällig und „unvorhersagbar“
zu verlaufen scheint. Einstein hat einmal gesagt, „I cannot believe that God plays
dice with the cosmos“ um zu betonen, dass die Anwendung der
Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Physik im allgemeinen und der Quantentheorie
im speziellen nicht zulässig ist . Der Mathematiker Paul Erdös (geboren 26. März
1913 in Budapest, gestorben 20. September 1996 in Warschau) nahm diesen Ball
auf und meinte: „God may not play dice with the universe, but something strange is
going on with the prime numbers“ [15].
Es bleibt spannend zu verfolgen, wie der Fortschritt bei der Erforschung der
Primzahleigenschaften sein wird.
37
10. Literaturverzeichnis
1.
2.
3.
4.
R. Courant und H. Robbins, Was ist Mathematik
Niven / H.S. Zuckerman, Einführung in die Zahlentheorie I
Wikipedia: Peano-Axiome: http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
First occurrence prime gaps, Thomas R. Nicely
http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html#MainTable
5. First occurrence of a prime gap of 1000 or greater, Thomas R. Nicely / Dr.
Bertil Nyman: http://www.trnicely.net/gaps/gaps2.html
6. Wikipedia – Goldbach's conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's_conjecture
http://de.wikipedia.org/wiki/Goldbachsche_Vermutung
7. Kryptologie, Klaus Pommerening, 21. Mai 2000, Johannes Guttenberg
Universität Mainz,
http://www.staff.unimainz.de/pommeren/Kryptologie/Asymmetrisch/2_RSAanalyse/primz.pdf
8. Max-Planck-Gesellschaft, München,
Forschung aktuell: BIOMATHEMATIK, Im Zikadenleben zählen Zahlen
http://www.mpg.de/1032639/S001_Forschung-aktuell_004_015.pdf
9. Arbeitsgruppe Zahlentheorie (AG Indlekofer), Forschung – Zahlentheorie Primzahlzwillinge, Universität Paderborn
http://math-www.uni-paderborn.de/~k-heinz/de/body.zahlen.html
10. The Dictionary of Prime Number Trivia - "Prime Curios!", Chris Caldwell and
G. L. Honaker, Jr.
http://primes.utm.edu/curios/home.php
11. First occurrence prime gaps, Thomas R. Nicely
http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html#MainTable
12. First occurrence of a prime gap of 1000 or greater, Thomas R. Nicely / Dr.
Bertil Nyman
http://www.trnicely.net/gaps/gaps2.html
13. New prime gaps between 1e15 and 5e16, Dr. Bertil Nyman / Thomas R.
Nicely, http://www.trnicely.net/gaps/gaps3.html
14. Goldbach conjecture verification, http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html
15. Structure and randomness in the prime number theory, Terence Tao,
http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Slides/primes.pdf
16. Karl-Bernhard Gundlach, Einführung in die Zahlentheorie
17. Wikipedia: Bertrandsches Postulat,
http://de.wikipedia.org/wiki/Bertrandsches_Postulat
18. Wikipedia: Primzahlzwillinge, http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlzwillinge
19. Christoph Küntzel, Maturaarbeit Mathematik, 2012, Ingeborg Bachmann
Gymnasium, Ferdinand-Jergitsch-Straße 21, 9020 Klagenfurt, Österreich
20. Prof. Dr. C. Bessenrodt, Universität Hannover: Verblüffendes
http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~bessen/krypto/krypto8.htm
21. Formula for primes, http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
22. Primzahlen.zeta24.com: http://primzahlen.zeta24.com/de/primzahltabelle.php
23. How Many Primes Are There? http://primes.utm.edu/howmany.shtml
24. The Largest Known Primes--A Summary
http://primes.utm.edu/largest.html#twin
Dokument erstellt mit MS Word, MS Excel, MS Powerpoint und
MathType (http://www.dessci.com/en/products/mathtype/)
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Weitere Links mit interessanten Inhalten
Arithmetische Folgen, die nur Primzahlen liefern:
http://fsmat.htu.tuwien.ac.at/~ggutenbr/Arbeiten/Diplom/node44.html
Arithmetische Progressionen von Primzahlen, Universität Duisburg-Essen
http://www.uni-due.de/~hx0050/pdf/av.pdf
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http://www.maths.bris.ac.uk/~mazsb/papers/diplom.pdf
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http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Slides/primes.pdf
uni-protokolle.de, Martin Bauer
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Primzahlzwillinge.html
Mathematik und ihre Didaktik, Zikaden und Primzahlen,
http://www.mathezentrale.de/beitrag%2010/primzahl.htm
First occurrence of a prime gap of 1000 or greater, Thomas R. Nicely / Dr. Bertil
Nyman
http://www.trnicely.net/gaps/gaps2.html
Mathematik und ihre Didaktik, Zikaden und Primzahlen,
http://www.mathezentrale.de/beitrag%2010/primzahl.htm
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