ANWEN_1 - Strahlensatz

Sowa
Analytische Geometrie (Anwendungen_1) Längen, Winkel, Orthogonalität
S
D
A
Aufgabe:
C
B
Die quadratische Grundfläche der Pyramide beträgt 36 m². Die Pyramide ließe
sich in einen Würfel stellen.
a) Bestimme die Vektoren AB, BC , AD und DC !
b) Bestimme die Länge der Vektoren aus Aufgabe a !
c) Führe den Nachweis, dass der Vektor AB, orthogonal zum Vektor BC ist.
d) Berechne die Fläche ABCD !
e) Berechne die Größe der Seitenfläche ABS!
f) Bestimme die Diagonalen AC und BD !
g) Bestimme den Mittelpunkt M der Fläche ABCD .
h) Führe den Nachweis, dass der Vektor MS , orthogonal auf der Grundfläche steht.
i) Berechne das Volumen der Pyramide!
j) Berechne den Winkel zwischen den Diagonalen AS und BS .
Sowa
Analytische Geometrie (Anwendungen_1) Längen, Winkel, Orthogonalität
Lösung
a)
Bestimme die Vektoren AB, BC, AD und DC !
Punkte (durch Ablesen bestimmt):
A( 6 / 0 / 0 ) B( 6 / 6 / 0 ) C( 0 / 6 / 0 )
 0  6   6
     
BC =  6  –  6  =  0 
0 0  0 
     
6
6 0
 
   
AB =  6  –  0  =  6 
0
0 0
 
   
0
 
AD =  0  –
0
 
b)
c)
6
 
0 =
0
 
D( 0 / 0 / 0 ) S( 3 / 3 / 6 )
  6
 
 0 
 0 
 
0
 
DC =  6  –
0
 
0
 
0 =
0
 
0
 
6
0
 
Bestimme die Länge der Vektoren!
AB =
 0  0
   
 6 *  6
 0  0
   
AD =
  6   6
   
 0 * 0  =
 0   0 
   
0  36  0 = 6
=
BC =
36  0  0 = 6
  6   6
   
 0 * 0  =
 0   0 
   
DC =
 0  0
   
 6 *  6 =
 0  0
   
36  0  0 = 6
0  36  0 = 6
Führe den Nachweis, dass der Vektor AB orthogonal zum Vektor BC ist.
AB  BC
 0   6
   
a *b = 6 *  0  = 0 + 0 + 0 = 0
0  0 
   
Da das Skalarprodukt 0 ergibt, sind AB und BC orthogonal zueinander.
d)
Berechne die Fläche ABCD !
A ABCD = DA * DC = 6 *6 = 36
e)
Berechne die Größe der Seitenfläche ABS!
Es gilt
1
2
g  h  ABS
1
2
 6  45  20,12 m 2
Sowa
Analytische Geometrie (Anwendungen_1) Längen, Winkel, Orthogonalität
f)
g)
Bestimme die Diagonalen AC und BD !
  6
 
AC =  6  AC =
 0 
 
  6   6
   
 6 * 6  =
 0   0 
   
36  36  0 = 8,49m
  6
 
BD =   6  BD =
 0 
 
  6   6
   
  6 *   6 =
 0   0 
   
36  36  0 = 8,49m
Bestimme den Mittelpunkt M der Fläche ABCD .
Der Punkt M ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD .
6
  6
 
 
0 +   6 
0
 0 
 
 
 0 
  6
 
 
  6 +   6 
 0 
 0 
 
 
x
y.
z.
| -6 
| 6 - 6
|0
-6
0,5
=
=
=
=
=
=
=
6
  6
  6
 
 
 
| -   6
 6 +    6
0
 0 
 0 
 
 
 
  6
 
   6
| in Gleichung umwandeln
 0 
 
-6 
-6 
0
-12 

|
|
|
|  durch Additionsverfahren eliminieren
| : (-12)
 in die Grundgleichung einsetzen
6
 
 0  + 0,5
0
 
h)
  6
 
 6 
 0 
 
 3
 
=  3
0
 
M (3 / 3 / 0)
Führe den Nachweis, dass der Vektor MS , orthogonal auf der Grundfläche steht.
Um die Grundfläche zu repräsentieren, verwende ich (wenigstens) eine Diagonale
BD, .
Den Nachweis erbringe ich, indem ich das Skalarprodukt von BD, und MS ,
berechne.
Sowa
Analytische Geometrie (Anwendungen_1) Längen, Winkel, Orthogonalität
  6
 
  6 *
 0 
 
BD  MS
i)
j)
0
 
0 = 0
6
 
 Nachweis erbracht
Berechne das Volumen der Pyramide!
1
1
Formel: v = * a² * h
v = * 6² * 6
3
3
v = 72m³
Berechne den Winkel zwischen den Diagonalen BS und AS .
  3
 
BS =   3 
 6 
 
  3
 
AS =  3 
 6 
 
a =
  3   3
   
  3 *   3 =
 6   6 
   
b =
  3   3
   
 3 * 3  =
 6   6 
   
cos(  ) =
a *b
a*b
=
  3
  3
 
 
a * b   3  = *  3  = 9 -9 + 36 = 36
 6 
 6 
 
 
9  9  36 =
9  9  36 =
36
(7,35 * 7,35)
54 = 7,35
54 = 7,35
= 0,66638
 = 48,21°