KKoommpplleexxee ZZaahhlleenn

K
Koom
mpplleexxee ZZaahhlleenn
W
Wiiee kkoom
mm
mtt m
maann zzuu ddeenn kkoom
mpplleexxeenn ZZaahhlleenn??
ZZaahhllbbeerreeiicchhss-eerrw
weeiitteerruunngg::
ggaannzzee ZZaahhlleenn
rraattiioonnaallee ZZaahhlleenn
IIrrrraattiioonnaallee
ZZaahhlleenn
ZZaahhlleennggeerraaddee
In der Grundschule rechnet man nur mit natürlichen Zahlen.
Schon bei schlichten Fragen stößt man an Grenzen:
Es hat 5° Celsius, dann wird es um 10° Celsius kälter. Welche
Temperatur haben wir dann?
– 5° C
Unter 12 Kindern sollen 3 Tafeln Schokolade verteilt werden. Wie viel
erhält jedes Kind?
1
Tafel.
4
Daher erweitert man den Zahlbereich zunächst auf ggaannzzee ZZaahhlleenn
/Z = {0; ±1: ±2; ±3; … }. Damit hat auch eine Gleichung der Form
x+5=3
eine Lösung, nämlich x = − 2.
Später erweitert man auf rraattiioonnaallee ZZaahhlleenn IQ, Zahlen die als Brüche
geschrieben werden. Damit hat auch eine Gleichung der Form
12 x = 3
1
eine Lösung, nämlich x = .
4
Das nächste Problem sind Gleichungen wie x2 = 2.
Eine Zahlbereichserweiterung auf iirrrraattiioonnaallee ZZaahhlleenn, also z.B.
Wurzeln, führt dazu, dass auch die Gleichung x2 = 2 Lösungen besitzt,
nämlich
x 1,2 = ± 2 .
Irrationale und rationale Zahlen zusammen bilden die rreeeellllee ZZaahhlleenn.
Zahlengerade
I
I
I
I I I I I I I I I
- 3 -2 -1 0 1 2 3 3
I
I
Jedem Punkt entspricht eine reelle Zahl und umgekehrt jeder reellen
Zahl entspricht ein Punkte.
Damit haben wir uns bisher zufrieden gegeben und hin-genommen,
dass eine Gleichung wie x2 = − 1 keine Lösung hat.
iim
maaggiinnäärree
ZZaahhlleenn
x2 = − 1. Die Lösungsformel führt zu x = ± − 1 .
Bisher haben wir gesagt, dass − 1 nicht definiert ist und dass die
Gleichung keine Lösung hat.
Aber warum soll man es nicht so machen wie bei 2 .
Wir führen neue Zahlen ein.
Euler war nicht der erste, der dies getan hat, aber von ihm stammt die
Abkürzung i für die Wurzel − 1 .
x2 = − 1 hat also die Lösungen x1,2 = ±i.
Entsprechend hat
x2 = − 4 die Lösungen x 1,2 = ± − 4 = ± − 1 4 = ± 2i.
Aufgabe 1
Kontrollfragen
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 1 (25.05.2004)
Aufgabe 2
Löse die Gleichungen und verwende i als Abkürzung für − 1 .
a) x2 + 9 = 0
b) x2 = − 8
d) x2 + x + 1 = 0
c) x2 − 2 x + 5 = 0
K
Koom
mpplleexxee ZZaahhlleenn.. G
Gaauußßsscchhee ZZaahhlleenneebbeennee
Die Lösungen der quadratischen Gleichungen haben die Form
z = 1 + 2 i oder allgemein zz == aa ++ bb ii.
ZZuussaam
mm
meenn-ffaassssuunngg uunndd
B
Beezzeeiicchhnnuunngg
Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form
z = a + b i, a ∈ IR und b ∈ IR.
a heißt Realteil von z:
b heißt Imaginärteil von z:
G
Gaauußßsscchhee
ZZaahhlleenneebbeennee
Real
Im
Von Gauß stammt die Idee, die Zahlen in einer Ebene darzustellen, die
G
Gaauußßsscchhee ZZaahhlleenneebbeennee:
i Imaginäre Achse
• 3i
3 + 2i
1
1
Reelle Achse
−2−2i
2−3i
In der komplexen Zahlenebene sind komplexe Zahlen nichts anderes
als Punkte in einem Koordinatensystem, man kann daher schreiben
zz == ((aa;; bb)).
D
Deeffiinniittiioonn
K
Koom
mpplleexxee ZZaahhlleenn ssiinndd PPaaaarree rreeeelllleerr ZZaahhlleenn
zz == ((aa;; bb)),, aa ∈
∈ IIR
∈ IIR
R uunndd bb ∈
R..
Bemerkung:
Reelle Zahlen gehören auch zu den komplexen Zahlen, sie sehen so
aus: ( 3 ; 0 ); (−2,6 ; 0 ); ( π ; 0 ); ( a ; 0 ), d.h. der Imaginärteil ist gleich
Null.
Bei imaginären Zahlen ist der Realteil gleich Null: ( 0 ; b )
ZZeeiiggeerrddaarrsstteelllluunngg vvoonn kkoom
mpplleexxeenn ZZaahhlleenn
Die Paardarstellung der komplexen Zahlen erinnert an die
Vektorrechnung. Man kann die komplexen Zahlen auch als VVeekkttoorreenn
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 2 (25.05.2004)
oder ZZeeiiggeerr darstellen.
Nützlich sind sie zum Beispiel zum Verständnis der Multiplikation
komplexer Zahlen, aber vor allem bei Anwendungen wie z.B. beim
Wechselstrom.
i Imaginäre Achse
• 3i
3 + 2i
1
1
Reelle Achse
−2−2i
2−3i
B
Beettrraagg
D
Deeffiinniittiioonn
B
Beettrraagg
Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand des
zugehörigen Punktes in der Zahlenebene vom Ursprung.
Man kann aber auch sagen, genau: wie bei Vektoren. Letztlich
steckt natürlich Pythagoras dahinter.
D
Diiee kkoom
mpplleexxee ZZaahhll zz == ((aa;; bb)) == aa ++ bbii hhaatt ddeenn B
Beettrraagg
IzI = a 2 + b 2 ..
Beispiel
z1 = 3 + 2i hat den Betrag Iz1I =
3 2 + 2 2 = 13
z2 = 2 − 3i hat ebenfalls den Betrag Iz2I =
Aufgabe 3
Zahlen darstellen
auch reelle
Wiederholungsfragen
Betrag ausrechen
Aufgabe 4
Vorbereitung auf Polarkoordinatendarstellung
Winkel ausrechen
2 2 + (− 3 ) = 13
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 3 (25.05.2004)
2
P
Poollaarrkkoooorrddiinnaatteennddaarrsstteelllluunngg
Man kann eine komplexe Zahl statt durch ihren Real- und ihren
Beettrraagg IzI und durch den W
Wiinnkkeell ϕ
Imaginärteil auch durch ihren B
zwischen Zeiger und reeller Achse beschreiben.
Ist eine komplexe Zahl
durch Real- und Imaginärteil
gegeben, dann lassen sich
Betrag und Winkel ϕ leicht
berechnen:
z=(4;3)=4+3i
IzI = 16 + 9 = 5
tan ϕ =
D
Deeffiinniittiioonn
b 3
= ; ϕ = 36,9°
a 4
i
4 + 3i
IzI
b
ϕ
a
Real
Die Darstellung eines Punktes durch die Länge des Zeigers und
den Winkel zwischen Zeiger und waagrechter Achse heißt
P
Poollaarrkkoooorrddiinnaatteennddaarrsstteelllluunngg.
Der Winkel hört gerne auf den Namen Argument.
Länge des Zeigers:
IzI
Winkel zwischen Zeiger und Achse: ϕ = arg(z)
U
Um
mw
waannddlluunngg vvoonn kkaarrtteessiisscchheenn K
Koooorrddiinnaatteenn iinn
P
o
l
a
r
k
o
o
r
d
i
n
a
t
e
n
:
Polarkoordinaten:
IzI = a 2 + b 2

(a;b)
→
(IzI;ϕ) mit 
b
 ϕ = arctan a
Bemerkung zum arctan findet man auf dem GTR mit Shift tan, also tan-1.
Aber es geht auch einfacher:
GTR
Unter R
Ruunn, O
OP
PTTN
N, C
CP
PLLX
X findet man komplexe Rechenoperationen für den GTR.
Den Winkel ϕ erhält man mit:
Arg (4 + 3i) → 36,9°
für Arg (F3), i (F1) und den Betrag (F2)gibt es jeweils eine Taste.
K
Kaarrtteessiisscchh
iinn
P
o
Pollaarr
P
Poollaarr
iinn
K
a
r
t
e
Kartessiisscchh
U
Um
mw
waannddlluunngg vvoonn P
Poollaarrkkoooorrddiinnaatteenn iinn kkaarrtteessiisscchhee
K
Koooorrddiinnaatteenn::
a = IzI cos ϕ
(IzI ; ϕ )
→
(a;b) mit 
 b = IzI sin ϕ
Aufgabe 5
a = IzI cos ϕ
Erkläre die Formeln 
an Hand der obigen Abbildung.
 b = IzI sin ϕ
Aufgabe 6
Stelle als Zeiger in der Gaußschen-Zahlenebene dar und rechne
in Polarkoordinaten um:
a) z = 1 + i;
b) z = 2 − 3 i;
c) z = i
d) z = − 3
e) z = − i
f) z = − 2 + 3 i
Mit den Polarkoordinaten kann man die Summendarstellung
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 4 (25.05.2004)
z = a + bi anders schreiben:
Summendarstellung mit Betrag und Argumentwinkel
zz == IIzzII ccooss ϕϕ ++ IIzzII ii ssiinn ϕϕ == IIzzII ((ccooss ϕϕ ++ ii ssiinn ϕϕ))
Beispiel:
1. Beispiel: z = 1 + i
IzI = 2 und arg(z) = 45°
Also:
z = 2 (cos 45° + i sin 45°)
i
1
90°
45°
2. Beispiel: z = i
IzI = 1 und arg(z) = 90°
Also:
z = 1. (cos 90° + i sin 90°) = 1 . (0 + i . 1) = i
1
Real
K
Koonnjjuuggiieerrtt kkoom
mpplleexx
Beim Lösen von quadratischen Gleichungen, wie in Aufgabe 1
traten Ausdrücke auf wie x1,2 = 2 ± 3 i, nämlich Paare von
komplexen Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen des
Imaginärteils unterscheiden: x1 = 2 + 3i und x2 = 2 - 3i.
K
Koonnjjuuggiieerrtt
kkoom
mpplleexx
Man nennt solche
Zahlenpaare kkoonnjjuuggiieerrtt
kkoom
mpplleexx:
Ist
z = a + bi,
dann ist
i
z
z = a − bi
konjugiert zu z.
Im Diagramm sind die
beiden Zeiger
symmetrisch zur
x-Achse.
Aufgabe 7
Real
z
Gib die komplexe Zahl z an, die konjugiert komplex Zahl zu z ist:
a) z = 3 + 5 i
b) z = 1 − i
c) z = 3 i
d) z = 5
A
Addddiittiioonn//S
Suubbttrraakkttiioonn vvoonn kkoom
mpplleexxeenn ZZaahhlleenn
Die komplexen Zahlen werden wie Vektoren addiert und
subtrahiert.
Für die A
Addddiittiioonn gilt also:
R
Reecchhnneerriisscchh:: K
Koom
mppoonneenntteennw
weeiissee
ZZeeiicchhnneerriisscchh:: H
i
n
t
e
r
e
i
n
a
n
d
e
r
Hintereinanderhhäännggeenn ddeerr ZZeeiiggeerr..
S
u
b
t
r
a
h
i
e
r
t
Subtrahiert wird, indem man die Gegenzahl –z addiert.
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 5 (25.05.2004)
Beispiel
z1 = ( 3 ; 2 ) = 3 + 2 i
z2 = ( 2 ; − 3) = 2 − 3 i
i
z1 + z2 = 3 + 2 i + 2 − 3 i
=5−i
Allgemein
3 + 2i
z1 = ( a1 ; b1 ) = a1 + b1i
z2 = ( a2 ; b2 ) = a2 + b2i
z1
z2
Real
z1 + z2 = ( a1+a2;b1+b2 )
= (a1 + a2) + (b1 + b2) i
z2
2 − 3i
Aufgabe 8
Addiere die Zahlen zeichnerisch:
a) z1 = ( 3 ; −1); z2 = (1 ; −1)
b) z1 = ( −2 ; 1); z2 = ( 2 ; 2 )
c) z1 = ( 1 ; 1); z2 = (1 ; 1 )
M
Muullttiipplliikkaattiioonn
In der Vektorrechung haben wir drei Produkte im Angebot (SMultiplikation, Skalarprodukt, Kreuzprodukt).
Die Multiplikation komplexer Zahlen nutzt keine davon.
Schreibt man die komplexen Zahlen als Summen, dann liegt es
nahe, die Klammern einfach auszumultiplizieren.
Beispiel
z1 = (1; 2) = 1 + 2 i und z2 = (−2; 3) = − 2 + 3 i
z1 . z2 = (1 + 2 i) (−2 + 3 i) = −2 −4 i + 3 i + 6 i2
= −2 − i − 6 = − 8 − i
Im Menü R
RU
UN
N, O
OP
PTTN
N, C
CP
PLLX
X gibt man das Produkt wie oben ein:
(1 + 2 i) (−2 + 3 i)
i erhält man mit F1.
Allgemeine
Rechnung
z1 = (a1; b1) und z2 = (a2; b2)
z1 ⋅ z 2 = (a1 + b1i) ⋅ (a 2 + b 2 i)
= a1a 2 + a 2b1i + a1b 2i + b1b 2i2
= a1a 2 + a 2b1i + a1b 2i − b1b 2
= a1a 2 − b1b 2 + (a 2b1 + a1b 2 ) i
= (a1a 2 − b1b 2 ; a 2b1 + a1b 2 )
M
Muullttiipplliikkaattiioonn
aallllggeem
meeiinn uunndd
ffoorrm
a
mall
Das Produkt von z1 = (a1; b1) und z2 = (a2; b2) erhält man durch
z1 ⋅ z 2 = (a1a 2 − b1b 2 ; a 2b1 + a1b 2 )
Für die komplexe Multiplikation gelten aallllee Rechenregeln wie
auch für die reelle Multiplikation.
Das war bei der Vektormultiplikation nicht so:
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 6 (25.05.2004)
Beim Skalarprodukt gilt z. B. das Assoziativgesetz nicht.
Beispiel
z1 = ( 2 ; 2 ) = 2 + 2 i und
z2 = ( 0;1,5) = 1,5 i
z1 . z2 = ( 0−3; 3) = (- 3 ; 3 )
= −3 + 3i
oder
.
z1 z2 = (2 + 2i) . 1,5i = −3 + 3i
z1 = 8 und arg(z1) = 45°
i
z1.z2
z 2 = 1,5 und arg(z2) = 90°
1
z2
z1z 2 = 3 2 u. arg(z1 z2) = 135°
G
Geeoom
meettrriisscchhee
D
Deeuuttuunngg
Aufgabe 9
(unbeliebt)
z1
1 Real
Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen bedeutet im
Zeigerdiagramm
eine D
Drreehhuunngg und eine S
Sttrreecckkuunngg.
Erkläre an einem geeigneten Beispiel, weshalb das
Assoziativgesetz beim Skalarprodukt nicht gilt.
Aufgabe 10
Multipliziere die folgenden Zahlen miteinander, mit oder ohne
GTR:
a) z1 = ( 1 ; 1 ); z2 = ( 0 ; 1 ). z1.z2 = ?
b) z1 = ( 2 ; 3) ; z2 = ( 2; 1 ). z1.z2 = ?
c) z1 = ( 2 ; −1) ; z2 = ( 2; 1 ). z1.z2 = ?
d) z = ( 0 ; 1 ). z2 = ?; z3 = ?; z4 = ?
e) z = ( 1 ; 1 ); z2 = ?; z3 = ?; z4 = ?; z5 = ?; z6 = ?; z7 = ?
Achtung!
Die ^-Taste funktioniert bei komplexen Zahlen nicht.
Aufgabe 11
Stelle z = ( 1 ; 1 ), z2, z3, z4, z5, z6, z7 und z8 grafisch dar.
Aufgabe 12
Wähle zwei beliebige konjugiert komplexe Zahlen und
multiplizieren sie miteinander.
Was fällt auf?
a) Versuche eine allgemeine Regel für das Produkt z ⋅ z
anzugeben.
b) Was gilt für die Beträge von zwei konjugiert komplexen
Zahlen?
Aufgabe 13
Nochmals zu den Produkten von Aufgabe 7
a) z1 = ( 1 ; 1 ); z2 = ( 0 ; 1 ). z1.z2 = ?
b) z1 = ( 2 ; 3) ; z2 = ( 2; 1 ). z1.z2 = ?
c) z1 = ( 2 ; −1) ; z2 = ( 2; 1 ). z1.z2 = ?
Berechne nun zu z1, z2 und dem Produkt z1.z2 den Betrag und das
Argument (Winkel) und vergleiche.
Gesucht ist eine Formel,
mit der man I z1.z2I aus Iz1I und Iz2I berechnen kann,
und eine Formel,
mit der man arg(z1.z2) aus arg(z1) und arg(z2) berechnen kann
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 7 (25.05.2004)
Aufgabe 14
Divison
Aufgabe 15
Wurzel
Berechne mit dem GTR z =
z1 1 − i
und stelle alle drei Zahlen
=
z2 1+ i
grafisch dar.
Wie kann man also die Division geometrisch deuten?
1 1
+ i 3 . Rechne mit dem GTR nach: z3 = 1.
2 2
Überlege am Zeigerdiagramm, für welche weitere komplexe
Zahlen ebenfalls z3 = 1 gilt.
Hinweis: Es gibt also 3 Lösungen.
In der komplexen Zahlenebene hat 4 1 vier Lösungen.
Welche? Stelle sie grafisch dar.
Wie kann man also das Wurzelziehen geometrisch deuten?
z= −
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 8 (25.05.2004)
ZZuussaam
mm
meennffaassssuunngg
Die komplexe Zahl in Komponentendarstellung
i
zz == ((aa;; bb)) == aa ++ bbii
4+3i
z
b=3
und mit Polarkoordinaten
== IIzzII ccooss ϕϕ ++ IIzzII ii ssiinn ϕϕ == IIzzII ((ccooss ϕϕ ++ ii ssiinn ϕϕ))
Dabei gilt für den Betrag
IzI = a 2 + b 2 = z ⋅ z
ϕ
a=4
Real
und für das Argument
arg(z) = artan
b
.
a
Beispiel: z = ( 4 ; 3 ) = 4 + 3i
IzI =
A
Addddiittiioonn
4 2 + 3 2 = 5 und ϕ = arg (z) = arctan
3
4
= tan − 1
3
4
= 36,9°
i
z1 = ( a1 ; b1 ) = a1 + b1 i
z2 = ( a2 ; b2 ) = a2 + b2 i
Rechnerisch wird komponentenweise addiert
z1 + z2 = ( a1+a2;b1+b2 ) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i
z2
z1 + z2
Geometrisch wird durch Hintereinanderhängen
der Zeiger addiert.
z2
z1
Real
M
Muullttiipplliikkaattiioonn
i
Das Produkt von z1 = (a1; b1) und z2 = (a2; b2) erhält
man durch
z1 ⋅ z 2 = (a1a 2 − b1b 2 ; a 2b1 + a1b 2 ) .
2 + 4i
Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt
der Beträge
I z1.z2I = Iz1I . Iz2I.
ϕ1 +ϕ2
1
1+i
ϕ1
ϕ2
3+i
Das Argument des Produktes ist gleich der Summe
der Argumente
arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2).
Real
Beispiel: z1 = ( 1, 1) = 1 + i und z2 = (3 ; 1) = 3 + i
z1 . z2 = ( 3 − 1; 3 + 1) = (2 ; 4 ) = 2 + 4i
oder
z1 . z2 = (1 + i) (3 + i) = 3 + 3i + i + i2 = 2 + 4i
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 9 (25.05.2004)
z1 = 2 und arg(z1) = 45°
z1z 2 = 20 und arg(z1 z2) = 63,4°
z 2 = 10 und arg(z2) = 18,4°
G
Geeoom
meettrriisscchhee D
Deeuuttuunngg
Die M
Muullttiipplliikkaattiioonn von zwei komplexen Zahlen
bedeutet im Zeigerdiagramm
eine D
Drreehhuunngg und eine S
Sttrreecckkuunngg.
M
Muullttiipplliikkaattiioonn vvoonn kkoonnjjuuggiieerrtt
kkoom
mpplleexxeenn ZZaahhlleenn
Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist
immer positiv reell, denn
z ⋅ z = (a + bi) (a − bi)
= a2 − b2 i2 = a2 −b2.(−1) = a2 + b2 = IzI2
D
Diivviissiioonn
Eine komplexe Zahl z1 wird durch z2 dividiert, indem
man die Beträge dividiert und die Argumente
subtrahiert.
Geometrisch bedeutet die Division
S
Sttaauucchhuunngg und D
Drreehhuunngg iim
mU
Uhhrrzzeeiiggeerrssiinnnn.
P
Pootteennzziieerreenn
Die n-te Potenz einer komplexen Zahl erhält man,
indem man vom Betrag die n-te Potenz nimmt und
das Argument von z mit n multipliziert.
arg(z) = ϕ
n
z n = z (cos nϕ + i sin nϕ )
E
Eiinnhheeiittssw
wuurrzzeell
Die n-ten Wurzeln aus 1 erhält man, indem man
den Einheitskreis in n-Sektoren einteilt.
i
1
z3
z4
z5
z6
Z.B. 3 1
Man teilt den Vollwinkel durch 3 und erhält 120°
z1
1 1
3 i =−0,5+0,866 i
z1 = cos 120°+i sin 120°= − +
2 2
1
Real z = cos 240°+i sin 240°= − 1 − 1 3 i =−0,5−0,866 i
2
2 2
z3 = cos 360°+i sin 360° = 1
z7
Die Abbildung zeigt die 8-ten Wurzeln von 1.
Maurer: Komplexe Zahlen. 2004/ Seite 10 (25.05.2004)