4 Komplexe Zahlen

4 Komplexe Zahlen
In diesem Kapitel wollen wir uns erneut mit dem R2 beschäftigen, diesmal aber mit einer
anderen algebraischen Struktur. Dies erlaubt uns
• weitere Anwendungen in der Geometrie
• die Lösung von Polynomgleichungen in diesem neuen Zahlenbereich der dann so
genannten komplexen Zahlen
• viele weitere Anwendungen wie zum Beispiel Schwingungsvorgänge.
4.1 Die algebraische Struktur der komplexen Zahlen
Wir wollen R2 so mit Addition und Multiplikation ausstatten, daß ein Zahlenkörper entsteht.
Die für den R2 schon eingeführte Addition
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(4.1.1)
hat zufrieden stellende Eigenschaften.
4.1.1 Die komplexe Multiplikation
Benötigt wird noch eine „richtige“ Multiplikation, d.h., wir haben
(a, b) · (c, d)
so zu definieren, daß wieder ein Element des R2 entsteht, und so, daß das Produkt vernüftige
Eigenschaften hat (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Existenz von
neutralen Element und von inversen Elementen).
Insbesondere wollen wir ein Paar (x, 0) ∈ R2 mit der reellen Zahl x ∈ R identifizieren:
(x, 0) = x
für x ∈ R .
Außerdem soll die Multiplikation mit einer reellen Zahl die schon vom R2 bekannten Eigenschaften haben.
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4 Komplexe Zahlen
Damit sind schon festgelegt:
• 0 = (0, 0) als Null und 1 = (1, 0) als Eins,
• (a, 0) · (c, d) = (ac, ad) und somit
(a, b) · (c, d) = (a, 0) · (c, d) + (0, b) · (c, d)
= (a, 0) · (c, 0) + (a, 0) · (0, d) + (0, b) · (c, 0) + (0, b) · (0, d)
= ac(1, 0)2 + ad(1, 0)(0, 1) + bc(1, 0)(0, 1) + bd(0, 1)2
= ac(1, 0) + (bc + ad)(0, 1) + bd(0, 1)2
= (ac, ad + bc) + bd(0, 1)2 .
Wir benötigen damit nur noch die geeignete Definition von
(0, 1)2 .
Potentielle (einfachste) Elemente wären
(0, 0) ,
(1, 0) ,
(0, 1) ,
(−1, 0) ,
(0, −1) ,
(1, 1) ,
(−1, −1) ,
wovon aber nur (−1, 0) die gewünschten Eigenschaften hat:
Setzen wir
(0, 1)2 := (−1, 0) = −1 ,
so haben wir
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) .
(4.1.2)
Die so definierte Multiplikation hat die von den reellen Zahlen her bekannten Eigenschaften, insbesondere gilt
a
−b
(a, b) · 2
= (1, 0) = 1 ,
wenn (a, b) 6= 0 .
,
a + b2 a2 + b2
Definition 4.1.1. Die Menge R2 zusammen mit der Addition + und der Multiplikation ·
entsprechend (4.1.1) und (4.1.2) heißt Menge der komplexen Zahlen C.
♦
4.1.2 Algebraische Darstellung
Wir haben schon (1, 0) = 1. Wir setzen i := (0, 1). Damit haben wir
(a, b) = a + bi .
Für eine komplexe Zahl z = x + yi nennen wir x := ℜ(z) den Realteil und y := ℑ(z) den
Imaginärteil von z. Die komplexen Zahlen z = x + iy und z̄ := x − iy, die gleichen Realteil
und zueinander negativen Imaginärteil haben, heißen komplex konjugiert.
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4.1 Die algebraische Struktur der komplexen Zahlen
Bemerkung 4.1.2. C ist ein zweidimensionaler Vektorraum über R mit der Basis
(e1 , e2 ) = ((1, 0), (0, 1)) .
Der Realteil ist die Koordinate in Richtung e1 = (1, 0) = 1, der Imaginärteil ist die Koordinate in Richtung e2 = (0, 1) = i.
♦
Wir können daher C mit VO2 identifizieren. Weiter können wir uns die Elemente von C auch
als Punkte in der Ebene E 2 vorstellen, nachdem wir einen Nullpunkt O und zwei aufeinander senkrecht stehende Koordiantenachsen ausgewählt haben: Die waagerechte Achse
gehört zum Basisvektor 1 = (1, 0), d.h., zu den reellen Zahlen, die vertikale Achse gehört
zum Basisvektor i = (0, 1), d.h., zu den rein imaginären Zahlen.
z = a + ib
iy
|z|
b
z + z̄
x
a
−b
|z̄|
z̄ = a − ib
Komplexe Zahlen können daher als Zeiger (Ortsvektoren) im VO2 , Gaußsche Zahlenebene
genannt, interpretiert werden. Für Elemente des R2 hatten wir den Betrag schon definiert.
Für eine komplexe Zahl z = x + iy ergibt dies
p
√
|z| := |x + iy| = x2 + y2 = zz .
Für die Multiplikation gilt nun
(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i .
Inbesondere haben wir
i2 = i · i = −1 .
Damit hat die Gleichung x2 = −1 in C eine Lösung!
Mit komplexen Zahlen kann man nun im Sinne von Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division genau so rechnen wie mit reellen Zahlen. Beachtet man i2 = −1, so wird
einfach ausmultipliziert.
Bemerkung 4.1.3. Das Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen ist eine
reelle Zahl:
z · z̄ = (x + iy) · (x − iy) = x2 + ixy − ixy − i2 y2 = x2 + y2 .
♦
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Beispiel 4.1.4. (Man beachte die übliche Schreibweise)
1. (3 + 4i)(2 − i) = 6−3i+8i−4i2 = 10 + 5i.
2. Bei der Division komplexer Zahlen benutzt man den „Trick“, den Bruch mit der zum
Nenner konjugiert komplexen Zahl zu erweitern:
3 + 4i 3 + 4i 2 + i 6 + 3i + 8i + 4i2 2 + 11i 2 11
=
=
·
=
= + i.
2−i
2−i 2+i
4 + 2i − 2i − i2
4+1
5
5
♦
Im Unterschied zu den reellen Zahlen haben wir aber keine Ordnungsrelation mit den vom
Reellen bekannten Eigenschaften.
Wir notieren die folgenden Rechenregeln:
z1 · z2 = z1 · z2 ,
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z = z,
z · z = |z|2 ,
z−1 :=
1
z
=
z
z·z
=
1
z,
|z|2
|z| = |z| , |z1 z2 | = |z1 | · |z2 | , |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ,
ℜ(z) = 12 (z + z) , ℑ(z) = 2i1 (z − z) .
Beachte: Die letzten beiden Formeln lassen sich in der Gausßschen Zahlenebene gut verstehen. Zu einer komplexen Zahl z erhält man die komplex Konjugierte nämlich (nach
Definition) einfach durch Spiegelung an der reellen Achse.
4.2 Polar- und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
4.2.1 Polardarstellung
Betrachtet man eine komplexe Zahl z 6= 0 als Zeiger in der komplexen Zahlenebene, so kann
z offenbar auch in folgender Form dargestellt werden:
z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ,
wobei ϕ = arg(z) ein Winkel sei, den der Zeiger mit der reellen Achse bildet. Dieser Winkel
wird Argument von z genannt. Üblicherweise wird für eine eindeutige Darstellung der
Hauptwert des Winkels im Intervall ] − π, π] gesucht, d.h.,
Arg(z) ∈ ] − π, π] .
Für z = x + iy haben wir
Arg z = ϕ
x
mit ϕ aus cos ϕ =
|z|
und
0 ≤ ϕ ≤ π, falls b ≥ 0
−π < ϕ < 0, falls b < 0
.
wenn z 6= 0. Verbleibt noch Arg(0). Wir setzen der Vollständigkeit halber Arg(0) := 0.
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4.2 Polar- und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
Zusammengefaßt haben wir die eindeutige trigonometrische Form oder Polardarstellung
einer komplexen Zahl z mit
z = |z| (cos Arg(z) + i sin Arg(z)) ,
wobei sich ein beliebiges Argument ϕ von z von Arg(z) nur durch Vielfache von 2π unterscheidet.
4.2.2 Komplexe Funktionen
Ein Vorteil der komplexen Zahlen besteht darin, daß man bestimmte reelle Funktionen unter
Erhaltung ihrer wichtigsten Eigenschaften auf C erweitern kann. Außer den (natürlichen)
Potenzfunktionen und damit den Polynomen sind dies die Exponential- und Hyperbelfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen:
exp : C → C ,
sin : C → C ,
sinh : C → C ,
exp z := ez := eℜ(z) (cos ℑ(z) + i sin ℑ(z)) ,
1 iz
1 iz
sin z :=
e − e−iz , cos : C → C , cos z :=
e + e−iz ,
2i
2
1 z
1
sinh z := e − e−z , cosh : C → C , cosh z := ez + e−z .
2
2
Diese Funktionen erfüllen die aus dem Reellen bekannten Additionstheoreme, insbesondere
gilt
1
ez1 +z2 = ez1 ez2 , e−z = z , enz = (ez )n .
e
Für z = iy mit y ∈ R erhalten wir die Euler-Formel bzw. Moivre-Formel
eiy = cos y + i sin y ,
einy = (cos y + i sin y)n = cos ny + i sin ny .
Die Moivre-Formel ermöglicht zum Beispiel die Berechnung von cos 3ϕ:
cos 3ϕ = ℜ (cos ϕ + i sin ϕ)3 = ℜ cos3 ϕ + 3 · cos2 ϕ · i sin ϕ + 3 · cos ϕ · i2 sin2 ϕ + i3 sin3 ϕ
= cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ .
4.2.3 Exponential-Darstellung
Aus der Polardarstellung
z = |z| (cos Arg(z) + i sin Arg(z))
und der Euler-Formel erhalten wir nun die Exponentialdarstellung
z = |z|eiArg(z) .
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Während die algebraische Darstellung sehr gut geeignet ist für die Addition und Subtraktion, ist die Exponentialdarstellung besser geeignet für Multiplikation, Division und Potenzierung:
• Die komplexen Zahlen z und w werden multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und
ihre Argumente addiert werden:
z · w = |z|eiArg(z) · |w|eiArg(w) = |z||w|ei(Arg(z)+Arg(w)) .
• Zwei komplexe Zahlen z und w 6= 0 werden dividiert, indem ihre Beträge dividiert und
ihre Argumente subtrahiert werden:
|z|eiArg(z)
z
|z| i(Arg(z)−Arg(w))
=
=
e
.
iArg(w)
w |w|e
|w|
• Eine komplexe Zahl z wird potenziert, indem ihr Betrag potenziert und ihr Argument
vervielfacht wird:
n
zn = |z|eiArg(z) = |z|n einArg(z) .
√ π
√ 3π
Beispiel 4.2.1. Wegen 1 + i = 2ei 4 und i − 1 = 2ei 4 gilt
√ π 5 √ 3 7 √ 12
π
3
5
7
2ei 4 ·
2ei 4 π =
2
· ei(5· 4 +7· 4 π )
(1 + i) · (i − 1) =
26
1
= 26 · ei 4 π = 64 · ei(6π+ 2 π ) = 64ei 2 = 64i .
π
♦
4.3 Anwendungen
4.3.1 Komplexe Faktorisierung eines Polynoms
Wir betrachten eine quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0
im Fall D =
Seien
p2
4
− q < 0, d.h., in dem Fall, indem keine reelle Lösung existiert.
p √
x1 := − − i −D ,
2
p √
x2 := − + i −D .
2
Dann gilt
√ √ p
p
(x − x1 )(x − x2 ) = [x + ] − i −D [x + ] + i −D
2
2
p
p2 p2
= (x + )2 − i2 (−D) = x2 + px + − + q
2
4
4
2
= x + px + q .
60
(4.3.1)
4.3 Anwendungen
Damit sind obige x1 und x2 komplexe Lösungen der Gleichung (4.3.1) im Falle
p2
4
− q < 0.
Insbesondere hat also jede quadratische Gleichung (4.3.1) mit reellen Koeffizienten genau
zwei Lösungen.
Man kann zeigen:
Satz 4.3.1 (Fundamentalsatz der Algebra). Läßt man auch komplexe Nullstellen zu, so
besitzt jedes Polynom eine Faktorisierung nur in Linearfaktoren. Insbesondere hat jedes
Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, genau n komplexe Nullstellen.
Beispiel 4.3.2. x2 + 1 = (x + i)(x − i) .
♦
4.3.2 n-te Wurzeln in C
Wir suchen die (rellen und) komplexen Nullstellen des Polynoms f (x) = xn − 1, also die
Wurzeln der Gleichung xn = 1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, daß
f genau n komplexe Nullstellen besitzt (Vielfachheiten mitgezählt). Über die Exponentialdarstellung können wir unmittelbar n Lösungen der Gleichung angeben. Wegen eik·2π = 1
für beliebiges k ∈ Z sind (die voneinander verschiedenen komplexen Zahlen)
k
xk := ei n ·2π ,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
genau n Lösungen der Gleichung, mithin die n komplexen Nullstellen von f (x) = xn − 1.
Wir erweitern die Überlegung auf die Gleichung
zn = a ,
mit a ∈ C vorgegeben.
Sei etwa a = |a| · eiArg(a) . Dann sind die Zahlen
p
n
|a| · ei
Arg(a)+2kπ
n
,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
genau die n Wurzeln (Lösungen) der Gleichung zn = a.
4.3.3 Geometrische Anwendungen
Da C mit R2 bzw. VO2 und E 2 (Gaußsche Zahlenebene!) identifiziert werden kann, können
wir die geometrischen Anwendungen der Vektoranalysis wie Projektion, Schnitt von Geraden, Lot auf eine Gerade und Winkel zwischen Geraden auch mit Hilfe der komplexen
Zahlen durchführen.
Wir müssen hierzu nur noch
hz, wi = ℜz · ℜw + ℑz · ℑw = ℜ(zw)
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4 Komplexe Zahlen
für das Skalarprodukt der Vektoren z, w bemerken.
Hinzu kommen aber zusätzliche Anwendungen, die sich aus der Anwendung der Multiplikation und des komplex Konjugiertem ergeben.
Eine Kreislinie K mit Radius R und Mittelpunkt z0 ist gegeben durch
K = {z ∈ C : |z − z0 | = R} .
Mit z = x + iy, z0 = x0 + iy0 entspricht dies
{(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 } .
Der Schnitt eines Kreises mit einer Geraden führt zu einer quadratischen Gleichung für eine
reelle Unbekannte.
Multiplizieren wir eine komplexe Zahl z mit eiϕ , ϕ ∈ R, so wird ϕ zum Argument von z
addiert, der Betrag ändert sich aber nicht:
|zeiϕ | = |zeiArg(z) eiϕ | = |z||ei(Arg(z)+ϕ |
= |z|| cos(Arg(z) + ϕ) + i sin(Arg(z) + ϕ)|
q
= |z| cos2 (Arg(z) + ϕ) + sin2 (Arg(z) + ϕ)
= |z| .
Die Multiplikation mit eiϕ bewirkt also eine Drehung um 0 mit dem Winkel ϕ.
Betrachten wir nun die Spiegelung an der reellen Achse. Diese ist durch
z = ℜz + iℑz 7→ ℜz − iℑz = z
gegeben.
Als dritte elementare Kongruenztransformation fehlt uns nur noch die Verschiebung um
|a| in Richtung eiArg(a) :
z 7→ z + a .
Eine beliebige Kongruenztransformation in der Ebene setzt sich stets aus Drehung um 0,
Spiegelung an der reellen Achse und Verschiebung zusammen.
Beispiel 4.3.3. Eine Spiegelung an einer Geraden
g = {a + teiα : t ∈ R} , α ∈ R
durch den Punkt a erhält man in folgender Weise:
Zuerst verschieben wir die Gerade g so, daß ihr Bild durch den Nullpunkt verläuft,
z 7→ z − a ,
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4.3 Anwendungen
dann drehen wir um den Winkel −α, so daß das Bild der Gerade nun mit der reellen Achse
zusammenfällt,
z 7→ ze−iα ,
dann wird an der reellen Achse gespiegelt,
z 7→ z ,
und schließlich wieder zurück gedreht und zurück verschoben:
z 7→ zeiα ,
z 7→ z + a .
Insgesamt erhalten wir durch Verkettung dieser fünf Abbildungen die Spiegelung an g durch
z 7→ (z − a)e−iα eiα + a = (z − a)e−iα eiα + a = (z − a)e2iα + a .
♦
4.3.4 Harmonische Schwingung
Eine Funktion s : R → R der Form s(t) = A cos(ωt + α), t ∈ R, heißt harmonische Schwingung (A, ω, α ∈ R fest vorgegeben). α heißt die Nullphase, ω die Kreisfrequenz, ωt + α
die Phase und A die Amplitude.
Um das Rechnen mit harmonischen Schwingungen zu vereinfachen, betrachtet man häufig
eine Komplexifizierung der Schwingungen: Man faßt die Schwingung s(t) als Realteil
(ggf. als Imaginärteil) einer komplexen Funktion z : C → C auf:
z(t) = A cos (ωt + α) + iA sin (ωt + α)
= Aei(ωt+α) = Aeiα eiωt
| {z }
:=a
und
s(t) = ℜz(t) .
Zu beachten ist, daß a · eiωt bei laufendem t ∈ R eine Drehung des komplexen Zeigers um
den Koordinatenursprung beschreibt, da eiωt immer den Betrag 1 hat. Bei t = 0 beginnt
diese Drehung beim Zeiger a.
Die Überlagerung zweier Schwingungen t 7→ s1 (t) und t 7→ s2 (t) wird durch die Superposition
t 7→ s1 (t) + s2 (t)
beschrieben. Im Komplexen entspricht dies ebenfalls der Addition der Funktionswerte.
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