Komplexe Zahlen 2: Polardarstellung

Vorkurs Mathematik für EI
Prof. Dr. J. Dorfmeister
Thorsten Knott
TU München
WS 12/13
Komplexe Zahlen 2: Polardarstellung
1. Jede komplexe Zahl
z = x + iy 6= 0
kann man eindeutig darstellen in der Form:
z = reiϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ)
mit
r = |z| > 0
und
komplexen Zahl
z
ϕ ∈ ]−π, π]. Diese Darstellung
ϕ = arg z .
nennt man
Polardarstellung der
und schreibt
2. Umrechnung von der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung:
z = x + iy 6= 0
Sei
Mit
r = |z|
und
∈ R. x

,y ≥ 0
arccos


r
ϕ=


 − arccos x , y < 0
r
mit
 x, y
gilt
z = reiϕ .
3. Wichtige Funktionen in Exponentialdarstellung :
sin x =
eix − e−ix
2i
eix + e−ix
2
x
e − e−x
sinh x =
2
ex + e−x
cosh x =
2
cos x =
1. Stellen sie in der Form
z = x + iy
dar:
π
(a)
ei 6
(b)
e− 3i
(c)
ei 4
(d)
e−i 4
(e)
ei 4 · e−i 4
5π
π
π
π
π
2. Berechnen Sie für die folgenden komplexen Zahlen
(a)
z =1+i
(b)
z=
(c)
π
π
z = sin 13
+ i cos 13
√1
2
−
z
die Ausdrücke
|z|
√i
2
3. Berechnen Sie explizit die Polarzerlegung folgender komplexer Zahlen:
(a)
z=
(b)
z=
−2
√
1+ 3i
i
−2−2i
4. Zeigen Sie, dass für alle
ϕ∈R
gilt:
iϕ e = 1.
Was bedeutet das geometrisch?
1
und
z
|z| :
5.
z =3−i
(a) Berechnen und skizzieren Sie für
und
und
w = 4ei
6. Zeigen Sie für
z∈R
z = reiϕ
die konjugiert komplexe Zahl
z
verdeutlicht.
mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion:
(a)
(cos z)2 + (sin z)2 = 1
(b)
cosh(iz) = cos(z)
(c)
sinh(iz) = i sin(z)
(Tutorübung Mathematik 4, SS 2010)
Rechnen Sie nach, dass
8.
z
und geben Sie sie in der Eulerschen Darstellung an. Fertigen Sie eine allgemeine Skizze, die
die gegenseitige Lage von z und
7.
die komplex konjugierten Zahlen
w.
(b) Berechnen Sie nun für eine allgemeine komplexe Zahl
z
5π
6
ez = ez .
(Nach Zentralübung elektrische Energietechnik, SS 2010)
𝑗𝑋𝑑
𝐼
~
𝑈𝑝
𝑈=
𝑈𝑁
3
Abbildung 1: Einphasiges Ersatzschaltbild eines Synchrongenerators
In Abbildung 1 ist das einphasige Ersatzschaltbild eines Synchrongenerators dargestellt. Dabei ist
U
√N die Klemmenspannung, UN die Nennspannung, I der Strangstrom, Up die Polradspannung
3
und Xd die synchrone Reaktanz. Bei den unterstrichenen Variablen handelt es sich um komplexe
U=
Gröÿen. Die Klemmenspannung
U
wird zur Vereinfachung als rein reelle Spannung
U
angenommen.
Xd = 2, 2 Ω
UN = 21 kV
◦
I = 11, 0 · e−j36,87 kA
Hinweis: In der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit meist mit
gen mit dem zeitlich variablen Strom, welcher mit
i
j
bezeichnet um Verwechslun-
abgekürzt wird, zu vermeiden.
Beachten Sie zur Umrechnung eines Winkels von Gradmaÿ in Bogenmaÿ die Relation
(a) Berechnen Sie den Wirkstrom
Iw ∈ R
und den Blindstrom
Ib ∈ R
1◦ =
π
180 .
aus der Darstellung
I = Iw − jIb
(b) Berechnen Sie aus der Maschengleichung
Up = U + jXd I
die Gröÿen
Up , |Up |
(c) Zeichnen Sie
I , Iw
und
und
arg(Up ).
Ib
in der komplexen Ebene. (Maÿstab
(d) Zeichnen Sie auch den Spannungszeiger
Up
komplexe Ebene. Zeichnen Sie anschlieÿend den Vektor
Up
U , so dass Sie
(Maÿstab 5 kV=1
ˆ cm)
und
2 kA=1
ˆ cm)
U als Vektoren in die
jXd I = Up − U als Dierenz von
und die relle Spannung
ein Dreieck mit den genannten Spannungszeigern als Seiten erhalten.
(e) Bestimmen Sie aus dem Diagramm den Winkel zwischen dem Spannungszeiger
reellen Achse. Vergleichen Sie diesen Winkel mit dem Winkel zwischen
Erklären Sie Ihre Beobachtung.
2
I
jXd I
und der
und der reellen Achse.
9. Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen:
(b)
(1 − i)100
√
111
3
1
2 + 2i
(c)
(1 + i)2n + (1 − i)2n
(a)
(n ∈ N)
10. Im Folgenden sollen alle Punkte
z∈C
skizziert werden, die
z 6 = −1
erfüllen. Gehen Sie hierzu wie
folgt vor:
(a) Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form
√
√
z2 = −i,
z1 = i,
z3 =
3 1
+ i,
2
2
z = reiϕ :
z4 =
√
3 1
− i,
2
2
z5 = −
3 1
+ i,
2
2
√
z6 = −
3 1
− i
2
2
(b) Zeigen Sie nun, dass die komplexen Zahlen aus (a) die angegebene Gleichung erfüllen.
(c) Zeichnen Sie die sechs Punkte in die Gauÿsche Zahlenebene
C ein. Wo benden sich die Punkte
geometrisch?
(d) Begründen Sie, warum bereits aus der Gleichung
z∈C
ersichtlich ist, dass für eine Lösung
|z| = 1.
gilt:
11. Finden Sie alle
z 6 = −1
z ∈ C,
für die gilt:
|z| = i · z 2
Diese Aufgabe wurde in der ersten Woche schon einmal gestellt. Verwenden Sie diesmal
algebraischen Ansatz der Form
z = a + ib,
geometrisch und verwenden Sie die komplexe
12. Für
z ∈ C \ {0}
keinen
sondern interpretieren Sie die Multiplikation mit
e-Funktion
i
und deren Rechenregeln.
deniert man den komplexen Logarithmus durch die Formel:
ln z = ln |z| + i arg(z),
wenn
ln z
z = eit , −π < t < π ,
gilt. Man setzt dann
t = arg(z).
Beachten Sie: Für
mit dem bereits bekannten natürlichen Logarithmus überein.
ln z für:
√
ˆ z = 2 − 2 3i
ˆ z = −3
√
1
1
ˆ z = − 2e
+ 2e
3i
(a) Berechnen Sie
(b) Für welche
z∈C
gilt:
exp(ln (z)) = z ?
(c) Für welche
z∈C
gilt:
ln (exp(z)) = z ?
13. Beweisen Sie:
(a)
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2πk
für ein
k ∈Z
(b)
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2πk
für ein
k ∈Z
Für welche
z1 , z2
gilt:
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )?
3
z ∈ R, z > 0
stimmt