Analysis I/II 1 Grundlagen

Prof. Dr. Friedrich Juhnke, Fakultät für Mathematik, Universität Magdeburg
Analysis I/II
Vorlesung für Physiker und Lehramt, Gliederung/Inhaltsabriss, 2007/2008
1
Grundlagen
1.1
Mengen und Abbildungen
Menge, Teilmenge, leere Menge ∅,
Verknüpfungen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung, Komplement, Mengendifferenz,
Disjunktheit, Produktmenge, Potenzmenge P (M )
N := {1, 2, 3, . . .} natürliche Zahlen
N0 := {0, 1, 2, 3, . . . , }
Z := {.
. . ,−2, −1, 0, 1, 2,3, . . .} ganze Zahlen
Q := pq p ∈ Z, q ∈ N rationale Zahlen
R ∼ reelle Zahlen
C ∼ komplexe Zahlen
Abbildung f : X → Y (von X in Y )
b = f (a) ∼ b = das Bild von a, a = ein Urbild von b
f (A) := {f (a) | a ∈ A ⊆ X} ∼ Bild der Menge A
f −1 (B) := {a ∈ X | f (a) ∈ B ⊆ Y } ∼ vollständiges Urbild der Menge B
f ist surjektiv, wenn f (X) = Y
f ist injektiv, wenn für ∀b ∈ Y gilt: f −1 (b) einelementig oder leer
f ist bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist
Komposition (= ”Zusammensetzung”, = ”Verkettung”, = ”Multiplikation”):
h = f ◦ g ∼ h(x) = (f ◦ g)(x) := f (g(x)) Hintereinanderausführung
Mächtigkeit |M | (oder ]M ) der Menge M
gleichmächtig, größere Mächtigkeit, abzählbar
Satz 1: |Q| = |N| (Cantorsches Diagonalverfahren)
Satz 2: |R| > |N|
Satz 3: |P (M )| > |M |
1.2
Natürliche Zahlen, Vollständige Induktion
Induktionsprinzip:
Aussage A(n) ist wahr für alle n ∈ N, wenn
(I) A(1) ist wahr
(II) A(m) ist wahr =⇒ A(m + 1) ist wahr
Anwendungsbeispiele:
•
n
P
k=1
•
n
P
k=1
•
n
P
k=0
k=
n(n+1)
2
k2 =
1
6
n (n + 1)(2n + 1)
qk = 1 + q + q2 + . . . + qn =
1−q n+1
1−q
• Bernoullische Ungleichung: (1 + h)n > 1 + nh für n ≥ 2, h 6= 0, 1 + h > 0.
bzw.: (1 + h)n ≥ 1 + nh für n ≥ 1, 1 + h ≥ 0
1
Permutationen,
Binomialkoeffizienten,
n
=
Anzahl
der
k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge
k
n
P
n n−k k
Binomischer Satz: (a + b)n =
b
k a
k=0
1.3
Reelle Zahlen
√
/ Q.
Unvollständigkeit von Q: Inkommensurabilität, 2 ∈
Historisches: Pythagoräer, Hippasos von Metapont [5. Jh. v. Chr.]: Seitenlänge und Diagonale im regelmäßigen Fünfeck sind inkommensurabel.
Axiomatik: Körperaxiome, Anordnungsaxiome, Vollständigkeitsaxiom,
obere/untere Schranke, obere/untere Grenze, Supremum/Infimum,
Wurzelexistenzsatz.
1.4
Ungleichungen und Beträge
Lösen von Ungleichungen
∼ Fallunterscheidung:
Testintervall,
Lösungsmenge
a, wenn a ≥ 0
1, wenn a > 0
Definition: |a| :=
, sign a :=
−a, wenn a < 0
−1, wenn a < 0
Eigenschaften: Für alle a, b ∈ R gelten
1. |a| ≥ 0
2. |a| ≥ a und |a| ≥ −a
3. | − a| = |a|, also |a − b| = |b − a|
4. |ab| = |a||b|
5. ab = |a|
|b| (b 6= 0)
6. |x| = |a| √
⇔ x = a oder x = −a ⇔ x2 = a2
Beachte: a2 = |a|
7. |a| = a · sign a
und
a = |a| · sign a
8. |a| < ε ⇔ −ε < a < ε
|x − a| < ε ⇔ a − ε < x < a + ε
9. |a ± b| ≤ |a| + |b|
10. |a ± b| ≥ ||a| − |b||
1.5
Komplexe Zahlen
Historisches: Cardano, Bombelli, Descartes, Leibniz, Euler, Gauss, Hamilton
Körper C := (x, y) ∈ R2 , +, · , z = x + iy ∈ C, i2 = −1, Realteil Re z = x,
Imaginärteil Im z = y, konjugiert komplexe Zahl z := x − iy, komplexe
p Zahlenebene,
Polarkoordinaten z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ), Betrag r := |z| := x2 + y 2 ,
Argument arg z = ϕ = arctan xy , Multiplikation/Division in C ∼ Drehstreckung
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ, n ∈ N - de Moivre (1667 - 1754)
Eigenschaften:
|z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0
z + u = z + u, zu = z u
z + z = 2Re z, z − z = 2i Im z
z = z ⇔ z ist reell
|z| = |z|
|Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|
2
|z|
|zu| = |z||u|, uz = |u|
arg (zu) = arg z + arg u,
arg uz = arg z − arg u
|z + u| ≤ |z| + |u|,
|z + u| ≥ ||z| − |u||

1, n ≡ 0 (4) d.h. n = 4k



i, n ≡ 1 (4)
n = 4k + 1
Potenzen von i:
in =
−1,
n
≡
2
(4)
n = 4k + 2



−i, n ≡ 3 (4)
n = 4k + 3
n-te Wurzeln w1 , . . . , wn aus der komplexen Zahl z = r(cos α + i sin α):
√
α
2π
α
2π
wk = n r cos
+ (k − 1)
+ i sin
+ (k − 1)
, k = 1, . . . , n.
n
n
n
n
Im Körper C lässt sich keine Anordnung definieren, die den Anordnungsaxiomen von R
genügt.
3