Fibonacci-Zahlen in der Mathematik - T

Fibonacci-Zahlen in der
Mathematik
Christian Hartfeldt
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
eMail: [email protected]
Internetauftritt:
http://home.t-online.de/home/christian.hartfeldt/Vortrag.htm
Fibonacci-Zahlen in der Mathematik
Christian Hartfeldt
1. Fibonacci
• Fibonacci“ ist eine Verkürzung von Filius Bonacci“
”
”
und heißt Sohn des Bonacci“
”
• hieß Leonardo von Pisa, geboren um 1170 in Pisa,
gestorben nach 1240 in Pisa
• gilt als der erste bedeutende Mathematiker in Europa
• Die arabische Mathematik, die er auf Reisen nach
Afrika, Byzanz und Syrien kennengelernt hatte, vermittelte Fibonacci in seinem Rechenbuch Liber Aba”
ci“ (1202, 459 Seiten dick, überarbeitet 1228), in dem
u. a. die Fibonacci-Folge erwähnt wird. Ferner machte
er mit der indischen Rechenkunst bekannt und führte
die heute übliche arabische Schreibweise der Zahlen
ein und beschäftigte sich auch mit der näherungsweisen Lösung von Gleichungen dritten Grades (kubische
Gleichungen), also
x3 + ax2 + bx1 + cx + d = f.
(1)
Für solche Gleichungen (1) gibt es eine Lösungsformel, die Cardanosche Lösungsformel (G. Cardano
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1501-1576). Betrachtet man die Gleichung
x3 + ax2 + bx + c = 0
mit komplexen Koeffizienten a, b, c so erhält man mit
der Substitution y = x + a3 die Normalform
y 3 + 3py + 2q = 0
(2)
mit
2a3 ab
a2
2q =
−
+ c, 3p = b − .
27
3
3
Die Größe D := p3 +q 2 heißt Diskriminante von (2).
Damit ergeben sich die Lösungen
y 1 = u+ + u− ,
(3)
y2 = ρ+u+ + ρ−u−,
y3 = ρ− + u+ + ρ+u−.
(Cardanischen Lösungsformeln)
Dabei gilt
u± =
3
−q ±
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√
√
1
D, ρ± := (−1 ± i 3).
2
2
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• Das Todesjahr von Fibonacci ist nicht bekannt. Die
letzte Nachricht über ihn ist ein Dektret aus dem
Jahre 1240, in welchem die ihm die Republik ein
jährliches Gehalt aussetzte.
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2. Mathematisches zu den
Fibonacci-Zahlen
2.1 Fibonacci-Zahlen
Die Folge (an)n≥0 mit a0 = 0, a1 = 1 und
an+2 = an+1 + an
heißt Fibonaccifolge, benannt nach Fibonacci (11701240, Pisa), die an bezeichnen wir mit Fibonacci Zahlen.
Diese Zahlen sehen so aus:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · ·
an 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 · · ·
Die Frage, die sich stellt, ist, ob man die an direkt
berechnen kann. Diese Frage kann mit ja beantwortet
werden. Lösung der Rekursionsgleichung:
Setze an = q n für q ∈ N\{0}. Dann ist
an+2 = q n+2 = an+1 + an = q n+1 + q n.
Durchdividieren dieser Gleichung mit q n liefert
q2 = q + 1 ⇒ q2 − q − 1 = 0
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√
und somit
q1;2
1± 5
=
.
2
Damit erhält man
s(n) = a1q1n +a2q2n = a1
√ n
√ n
1+ 5
1− 5
+a2
.
2
2
Setzt man die ersten Werte der Rekursion ein, so erhält
man
√a1 + a2
√
1+ 5
1− 5
1 = s(1) = a1
+ a2
2
2
0 = s(0) =
Multiplikation der ersten Gleichung mit
dition der zweiten Gleichung liefert
√
1+ 5
− 2
und Ad-
√ 1+ 5 1− 5
+
1 = a2 −
2
2
√
√ 1 1
5
5
= a2 − + −
−
2 2
2
2
√
√
= −a2 5
1
√
⇒ a2 = − ,
5
1
⇒ a1 = √
5
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Damit erhält man
1
s(n) = √
5
√
5+1
2
n
√
−
5−1
2
n
.
Dies ist eine geschlossene Gleichung.
Beispiel 1 Ausrechnen der zweiten Fibonacci-Zahl, also für n = 2:

√
2
√
2
5+1
5−1 
1 
−
s(2) = √
2
2
5
√ 1 1 5
5
1
√
=
+ +2
+
4
4
2
2
5
√ 1 1 5
5
1
−√
+ +2
−
4
4
2
2
5
√
√
1 3
1 3
√
√
+1+ 5 −
+1− 5
=
2
2
5
5
= 2.
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2.2 Der Begriff Rekursion
Satz 1 Sei S eine Menge und φ : S → S, a ∈ S eine
Abbildung. Dann gibt es genau eine Abbildung g : N →
S mit
g(0) = a und g(n + 1) = φ(g(n)).
Schauen wir uns dieses an einem Beispiel an.
Beispiel 2 (Fibonacci – Zahlen) Sei S : N × N, a =
(1, 1). Dann ist
φ(x, y) = (y, x + y).
Es ergibt sich
=
(1, 1)
=
φ(1, 1)
= (1, 2)
=
g(2) =
φ(1, 2)
= (2, 3)
..
..
..
g(n) = (an, an+1)
g(0)
g(1)
wobei an, an+1 die Fibonacci – Zahlen darstellen.
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3. Der Zusammenhang zwischen den
Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen
Schnitt
Der Goldene Schnitt ist (wie bereits gesehen) das
Längenverhältnis zweier Strecken, bei dem sich die größere (Major) zur kleineren (Minor) Strecke verhält, wie die
Summe der beiden Strecken zum größeren Teil.
Die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
heißt Fibonacci-Folge. Dabei ist jede Zahl größer als 1
die Summe der beiden vorhergehenden.
Aufgabe: Man bilde den Quotienten aus zweier
aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Was stellen Sie
fest?
Lösung siehe nächste Folie.
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n Fn
0
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
5
8
6
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
Fn+1
Fn
−
1, 0000
2, 0000
1, 5000
1, 6667
1, 6000
1, 6250
1, 6154
1, 6190
1, 6176
1, 6182
1, 6180
Feststellung: Die Folge der Quotienten zweier aufeinander folgender Zahlen konvergiert gegen ν:
√
Fn+1
1+ 5
=ν=
≈ 1, 6180.
n→∞ Fn
2
lim
Die Zahl ν ist das Verhältnis des Goldenen Schnittes.
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Zur Fibonacci-Zahl wird man wie folgt geführt über
die stetige Teilung geführt:
m
S M
Eine Strecke AB durch dem Punkt S heißt stetig geteilt,
wenn gilt
M +m M
= .
M
m
Setzt man M
m =: x, erhält man die Gleichung
1+
1
= x ⇔ x + 1 = x2 ⇔ x2 − x − 1.
x
Die positive Lösung ist
x1,2 =
1
±
2
√
1
1+ 5
+1=
=: ν.
4
2
Die Lösung M : m = ν können an vielen Kunstwerken
gefunden werden, z. B. am Tempel in Athen bzw. am
Rathaus zu Leipzig.
Als dreihundert Jahre nach Fibonacci im Jahre 1509
Luca Paciole sein von Leonardo da Vinci illustriertes
Buch von der Göttlichen Proportion schrieb, war der
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Weg auch nicht mehr weit, den Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt
aufzuzeigen: Mit wachsender Zahl verhalten sich zwei
aufeinanderfolgende Glieder immer mehr zueinander so,
wie es der Goldene Schnitt von Minor und Major verlangt.
Bis zum heutigen Tag gehen immer wieder Künstler
davon aus, dass mit Hilfe von Fibonacci-Zahlen hergestellte Kunstwerke einen naturgesetzlich begründeten
ästhetischen Reiz auf die Menschen ausüben.
Bestärkt werden die Künstler darin noch – bewusst
oder unbewusst – durch die inzwischen gefundene Tatsache, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender
Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt annähert,
wenn die Zahlen genügend groß sind. Schon die beiden Zahlen 3 und 5 aus dem Anfang der Folge sind
häufig verwendete Näherungswerte beim Zerlegen einer
Strecke nach dm Goldenen Schnitt. So weicht z. B.
der Quotient der beiden Fibonacci-Zahlen 55 und 89
nur noch um Zehntausendstel vom Goldenen Schnitt ab
(55 : 88 = 0, 6179...). Genau diese beiden Zahlen finden sich übrigens bereits lange vor Leonardo von Pisa
in manchen ägyptischen Pyramiden an zentraler Stelle:
Die Höhe der Pyramide beträgt dort z. B. 55 königliche
Längeneinheiten, während sich für die Höhe der dreieckigen Seitenflächen genau 89 königliche Längeneinheiten
ergeben.
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4. Das Vorkommen der Fibonacci-Zahlen
in der Natur
4.1 Fibonacci’s Rabbits
Das original Fibonacci-Problem aus dem Jahr 1202
ging der Frage nach, wie schnell sich Kaninchen bei
idealen Verhältnissen vermehren können.
Annahme war, dass jedes Paar allmonatlich ein neues Paar zeugt, welches selbst vom 2. Monat an zeugungsfähig wird, während Todesfälle nicht auftreten sollten. Hat man im 1. Monat ein neugeborenes Paar (N ),
so wird im 2. Monat ein zeugungsfähiges Paar (Z), im
3. Monat sind es 2 Paare (P ), nämlich 1N und 1Z, im
4. Monat 3P , nämlich 1N und 2Z. Bezeichnet man die
Zahl der Kaninchenpaare im n-ten Monat mit Fn, so ist
Fn+1 = Fn + Fn−1 für n = 1, 2, . . . , F0 = 0, F1 = 1.
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Ähnliches Verhalten ist auch bei Kühen oder Bienen
zu betrachten.
Weitere Informationen findet man in: The Curves of
Life, Theodore A Cook, Dover books, 1979, IBSN 0486-23701-X (ist ein Reprint des klassischen Buches von
1914)
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4.2 Stammbaum einer Drohne
Der Stammbaum einer Drohne liefert eine Illustration dieser Fibonacci-Folge. Da aus einem unbefruchteten
Bienen-Ei eine Drohne, aus einem befuchteten Ei eine
Königin oder eine Arbeitsbiene entsteht (letzteres hängt
von der Ernährung ab), hat eine Drohne nur ein mütterliches Elterntier, eine Königin dagegen zwei Eltern.
Vorfahren einer Drohne und einer Bienenkönigin:
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Für den Stammbaum einer Drohne ergibt sich daraus
folgende Abbildung:
Dieser Stammbaum ist asymmetrisch, die Anzahl
der Weibchen überwiegt. Für die n-te Elterngeneration
ergeben sich an Weibchen sowie an−1 Drohnen, der
Weibchenanteil stebt also für n → ∞ nach ν1 = ρ.
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4.3 Blütenblätter von Blumen
Bei vielen Pflanzen tauchen die Fibonacci-Zahlen als
Anzahl der Blütenblättern auf.
• Butterblume hat 5 Blütenblätter,
• Lilie und Iris haben 3 Blütenblätter,
• einige Rittersporn haben 8 Blütenblätter,
• Ringelblume hat 13 Blütenblätter,
• einige Astern haben 21 Blütenblätter ,
• Gänseblümchen haben 34, 55 oder 89 Blütenblätter.
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4.4 Fibonacci-Finger
Ein gesunder Mensch hat
• 2 Hände,
• 5 Finger pro Hand,
• 3 getrennte Teile von ...
• 2 Fingerknöchel.
Ist dieses Zufall oder nicht?
Wir betrachten nun die Länge der Finger? Man stellt
dabei fest, dass das Verhältnis vom größten Finger zum
mittleren Finger ν ist. Aber was ist das Verhältnis vom
mittleren zum kleinen Finger?
Weitere Informationen findet man unter:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
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