Workshop

1
Workshop:
Der Goldene Schnitt und das Pascal-Dreieck
T eil 2
!
2!
2.1!
2.2!
2.3!
2.3.1!
2.3.2!
2.3.3!
2.3.4!
2.4!
2.4.1!
2.4.2!
2.5!
2.5.1!
2.6!
Fibonacci ! Zahlen
Herleitung der Fibonacci-Zahlen und
rekursive Definition
Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur
Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen
Summen
Beziehungen zwischen den Folgegliedern
Teilbarkeitsregeln für Fibonacci-Zahlen
Binomialdarstellung der Fibonacci-Zahlen
Zusammenhang zum Goldenen Schnitt
Herleitung über den Quotienten
Herleitung über die Linarisierung
der Goldenen Schnittzahl
Explizite Definition der Fibonacci-Zahlen Formel von Binet
Folgerungen
Goldenes Dreieck, Goldenes Rechteck,
Goldene Spirale
2!
2!
5!
7!
7!
10!
12!
13!
14!
14!
15!
17!
19!
20!
2
2 Fibonacci ! Zahlen
In der Natur und in der Kunst wird das Auftreten des Goldenen
Schnitts häufig an Fibonacci-Zahlen deutlich gemacht, so dass in
diesem Kapitel die Eigenschaften dieser speziellen Zahlen behandelt
werden.
2.1 Herleitung der F ibonacci-Z ahlen und rekursive
Definition
Fibonacci oder mit richtigem Namen Leonardo von Pisa war ein
bedeutender Mathematiker. Er lebte im 12. Jahrhundert (geb. 1190)
und war zu seiner Zeit u.a. bekannt für die Einführung des
Zehnersystems und seiner Rechenregeln, die für den Aufschwung des
Handels wichtige Begleitumstände waren.
Als Sohn von Guido Bonacci (Sohn des Bonacci ); einem Notar am
Handelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie (Küstenstadt
Algeriens/Nordafrika), unternahm er mit seinem Vater diverse Reisen
nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence und
studierte dort die verschiedenen Varianten der Rechenkunst, die er
aber gegenüber der indischen für Irrwege hielt. 1202 kehrt er nach Pisa
"#$%&'( #)*( +,-..,( /0( 1./2-$( 323&&/45( -/)-0( 63,7-03,/'2#&75( *3+( 3..-(
wichtigen damaligen Erkenntnisse enthielt, das dem damals
gebräuchlichen, römischen Zahlensystem überlegene arabische
Zahlensystem vor. Als geachteter Magister und auch Steuerschätzer
lebt er in der Stadt Pisa bis zu seinem Tod ca. im Jahre 1240.
Abb. 2.1
Erinnert man sich heute an Fibonacci, so denkt man eher an eine
spezielle Zahlenfolge, die er als Kaninchen- oder Hasenproblem
behandelt hat, oder an den Goldenen Schnitt.
Im Liber abaci erscheint dazu folgende Übungsaufgabe zur Addition:
Ein neugeborenes Hasenpaar wird in einen umzäunten Garten gesetzt.
Jedes Hasenpaar erzeugt während seines Lebens jeden Monat ein
weiteres Paar. Ein neugeborenes Paar wird nach einem Monat
3
fruchtbar und bekommt somit nach zwei Monaten seine ersten
Nachkommen. Es soll angenommen werden, dass die Hasen nie
sterben. Wie viele Hasenpaare sind nach einem Jahr in diesem
Garten?1
In der Abb. 2.2 wird das Fortpflanzungsverhalten der Hasen
veranschaulicht. Dabei bedeutet N, nicht gebärfähiges Kaninchenpaar
und G gebärfähiges Kaninchenpaar.
Mit f n bezeichnen wir die Anzahl der Kaninchenpaare, die im n-ten
Monat leben (einschließlich derer, die in diesem Monat geboren
werden).
Abb. 2.2
Somit ist
f0 0
f1 1
f2 1
f3 2
f4 3
f5 5
f6 8
f 7 13
und so weiter bis ein Jahr vorbei ist.
Aber wie geht es weiter?
Verfolgt man nun die Zunahme der Hasenpaare über mehrere Monate,
stellt man fest, dass die Anzahl in einem Monat gleich der Summe der
Hasenpaare der beiden vorhergegangenen Monate ist.
1
Markus Kuhn, Die Fibonacci-Zahlen, Seite 2, frei übersetzt liber abaci, Seite 123 -
124
4
fn
2
f
fn
n
(1)
1
Zum Beweis betrachten wir die Situation im n-ten Monat. Nach
Definition gibt es zu diesem Zeitpunkt genau f n 1 Hasenpaare. Von
diesen sind f n im gebärfähigen Alter (Sie sind im (n+2)-ten Monat
mindestens 2 Monate alt.) und gebären zwei Monate später jeweils ein
junges Paar.
Das heißt im Monat (n+2)
fn 2 =
Leben f
+
= fn 1 + fn
n 1
Hasenpaare
Anzahl die im (n+2)-ten Monat geborenen
Hasenpaare f n
!
Der Funktionswert f n 2 ergibt sich durch Verknüpfung bereits vorher
berechneter Werte f n 1 und f n , das heißt er ist rekursiv.
Bei der rekursiven Definition einer Funktion f ruft sich somit die
Funktion so oft selbst auf, bis ein vorgegebenes Argument erreicht ist.
Dieser Satz ermöglicht nun, die Zahlenfolge f1 , f 2 , f 3 , ! f n rekursiv
auszurechnen.
Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch die Zahlen
f1 , f 2 , f 3 , ! f n , für die gilt:
1. f1 1 und f 2 1
fn fn 1 fn
2. f n 2 f n 1 f n
oder
2
Für die Aufgabe aus dem liber abaci war nun f13 gesucht, denn mit
Beginn des 13. Monats ist genau ein Jahr verstrichen. Das heißt es sind
233 Hasenpaare in dem Garten.
n
fn
8
21
9
34
10
55
11
89
12
144
13
233
14
377
.....
......
Der Name für diese Folge stammt von dem französischen
Mathematiker E. Lucas, der die Folge allgemein erfasste und sie zu
Ehren von Fibonacci derartig betitelte.
Eine Lucas-Folge ist eine Zahlenfolge, die gegeben ist durch
1. die beiden Anfangsglieder a1 und a2 und
2. das (rekursive) Bildungsgesetz an = an-1 + an-2
5
Für den Spezialfall, dass a1 = 1 und a2 = 1 ergibt sich die FibonacciFolge.
2.2 Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur
Für das Auftreten oder vermeintliche, zumindest nährungsweise
Auftreten der Fibonacci-Zahlen gibt es innerhalb der Mathematik aber
auch außerhalb in Kunst, Architektur, Musik, Poesie, Rhetorik und
Natur eine erstaunlich große Anzahl von Belegen.
Die bekanntesten Beispiele sind die Sonnenblume oder der
Tannenzapfen, aber auch die Blattstände mancher Pflanzen weisen in
ihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen
gegeben sind.
Abb. 2.3
Die Schuppen des Tannenzapfens gehören wie in der Abb. 2.3
angedeutet, zu einer links- und einer rechtsdrehenden Spirale. Die
Anzahlen der rechts und linksdrehenden Spiralen bei Tannenzapfen
sind benachbarte Fibonacci-Zahlen
Abb. 2.4
Bei dem Romanesco-Kohl ist jeder "Hügel" ein kleineres Abbild des
ganzen, so dass sich Spiralen einfach erkennen lassen. Man entdeckt
Romanesco mit 13 Spiralen oder auch mit 21 Spiralen ! beides
Fibonacci-Zahlen. 2
2
Vgl. zu den Bildbeispielen folgende Internetseite:
http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.casioschulrechner.de/de/teilnehmervektoria2008/erben_des_pyhtagoras/pineconeyellow.gif&imgrefurl=http://w
ww.casioschulrechner.de/de/teilnehmervektoria2008/erben_des_pyhtagoras/seite%25202.html&usg=__xK5Gvzq7
6
Abb. 2.53
Der Samen in der Sonnenblume ist
rechtsdrehend 34, linksdrehend 55 Spiralen.
spiralartig
angeordnet,
Beutelsbacher und Petri führen als mehr oder weniger künstliche
Beispiele für die Fibonacci-Zahlen das Treppensteigen, den
Stammbaum einer Drohne und Energiezustände eines Elektrons auf.4
Für die Illustration soll ein Beispiel genügen, und wir demonstrieren
die Zahlenfolge an dem treppensteigenden Briefträger.
!"#$%&'#()*'+,('%-*(#,*%*+,.#/0%(#$(%.1$,(%2reppe nach folgendem
Muster empor: Die erste Stufe betritt er in jedem F all. Von da an
ni mmt er jeweils nur eine Stufe oder aber zwei Stufen auf einmal.
Auf wie viel verschiedene Arten kann der Briefträger die n-te Stufe
(''(#/0($345
Abb. 2.6
UXCu8a0zT1ukl8c3hG8=&h=279&w=285&sz=59&hl=de&start=135&um=1&tbnid=Vz47z8qLqJMP6M
:&tbnh=113&tbnw=115&prev=/images%3Fq%3DTannenzapfen%26ndsp%3D20%26hl%3Dde%26client
%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:de:official%26sa%3DN%26start%3D120%26um%3D1
3
Siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg
4
Vgl.A. Beutelspacher/B. Petri; Der Goldene Schnitt, Seite 89 ff.
5
A. Beutelsbacher/B. Petrie, Der Goldene Schnitt, Seite 89
7
Der Briefträger hat bei der ersten und zweiten Stufe nach
Voraussetzung lediglich eine Möglichkeit die Treppe hinauf zu
steigen. Wie der Abbildung zu entnehmen ist, ergeben sich ab Stufe
drei mehrere Möglichkeiten und zwar gemäß der folgenden Regel:
Es existieren einmal die Möglichkeiten, die er bei der vorigen Stufe
schon hatte (orange eingefärbt), hier tritt er eine Stufe weiter , und zum
zweiten die Möglichkeiten, die er bei der vorvorletzten Stufe hatte, bei
denen er nun zwei Stufen auf einmal nimmt. Das heißt:
f3
f2
f1
oder allgemein
fn
fn
1
fn
2
Damit erfüllen die Zahlen genau die definierten Eigenschaften der
Fibonacci-Zahlen. Also lässt sich die Anzahl der verschiedenen Arten
auf die n-te Stufe zu gelangen durch die Fibonacci-Folge angeben.
2.3 Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen
Auf den ersten Blick wirkt die Fibonacci-Folge sehr unregelmäßig, es
gibt bei ihr jedoch eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken.
2.3.1 Summen
Um Eigenschaften der Folge zu erschließen, untersuchen wir zunächst
verschiedene Summen der Fibonacci-Folge.
Wie lautet die Summe von n Folgengliedern?
n
i 1
fi
?
Für jedes Glied der Summe lässt sich eine Gleichung schreiben, in der
das Glied durch Nachbarglieder ausgedrückt wird.
Aus der Definition der Folge
f 3 f 2 f1
f1 f 3 f 2
folgt unmittelbar:
f 2 f 4 f3
Also auch:
f3
f4
f5
f6
f4
f5
!!!
fn
fn
1
fn
fn
2
1
fn
fn
1
Nun addieren wir jeweils die rechten und die linken Seiten. Links
ergibt sich die Summe aller Folgenglieder, rechts wird in einer Zeile
8
etwas addiert, was in der nächsten Zeile subtrahiert wird, so dass sich
fast alle Summenglieder aufheben und wir erhalten:
f1
f2
f3 " f n
1
n
oder
i 1
n
mit
f2 1
i 1
fn
f2
fn
2
fi
f2
fn
2
fi
fn
2
1
(2)
Bei der Fibonacci-Folge ist die Summe der Folgenglieder von 1 bis n
gleich dem übernächsten Folgenglied minus 1.
Die Summe der ersten n Zahlen ist um 1 kleiner als die (n+2)-te Zahl.
1
1 = 2-1
2
1+1 = 3-1
3
1+1+2 = 5-1
4
1+1+2+3 = 8-1
Ebenso können wir jetzt die Summe der ungeraden bzw. geraden
Fibonacci-Folgen-Glieder herleiten:
Wir entwickeln analog dem oberen Beispiel die Summe der ungeraden
Folgen-Glieder:
1
2
3
f1
f2
f4
f2
f4
f6
4
f6
f8
f3
f5
f1
f3
f5
f2
f4
f6
f2
f4
f7
f7
f8
f6
! !!
n
f 2n
2
f 2n
n
i 1
f 2n
f 2i
f 2n
1
1
f 2n
1
f 2n
f 2n
2
(3)
Wir addieren die linke Seite als Summe der ungeraden Folgenglieder.
Auf der rechten Seite ergibt sich bei der Addition, dass die meisten
Folgenglieder wieder subtrahiert werden. Die Summe der ersten n
ungeraden Folgenglieder ist gleich dem Wert des Folgenglieds an der
Stelle von 2n.
9
Beispiel: Die Summe der ersten ungeraden Folgenglieder für n 4 ist
dem Wert des Folgengliedes für 2n 8 .
f1 f 3 f 5 f 7 f 8
1 2 5 13 21
Analog lässt sich jetzt auch die Summe der ersten n geraden
Folgenglieder herleiten.
Nr. des
Folgengliedes
1
2
f1
f3
f2
f5
f4
da: f 3
4
f5
f7
n
f 2n
3
f7
f9
1
f6
f8
f 2n
f 2n
1
f2
f4
f2
f4
f6
f8
f 2n
f1
f5 f3
f1 ist
f5 f 2
f7 f5
f9 f7
f 2n
1
f1
f 2n
1
Wir addieren wieder einerseits die rechten, andererseits die linken
Seiten. Da f1 f 2 1 ergibt sich:
n
i 1
f 2i
f 2n
1
1
(4)
Die Summe der alternierenden Folge:
n
1
i 1
i 1
fi
1
i 1
fi
1
1
(5)
Die Summe der Quadrate:
n
i 1
fi 2
fn fn
1
(6)
Die Summe der Quadrate der ersten n Fibonaccizahlen ist gleich dem
8$9*#',(3#+(*-$():,-)(#)*(;)<=>:,-)(?/29)3&&/-Zahl. 6
6
Vgl. dazu Goldenes Rechteck
10
12
11
12 12
1 2
12 12
12 12
22
2 3
22 32
3 5
Anders ausgedrückt: Teilt man die Summe der Quadrate durch die
letzte Zahl, die aufaddiert wurde, so erhält man die nächste Zahl der
Fibonacci-Folge.
Beispiel:
12 12 32 52 82 132 212 342 552 4895
4895
89
552
89 55 34
2.3.2 Beziehungen zwischen den Folgegliedern
Weitere Eigenschaften lassen sich durch die Beziehungen zwischen
den Folgegliedern angeben.
So ist ab dem zweiten Folgenglied, also für alle n 1, das Quadrat
jeder Zahl um 1 kleiner oder größer als das Produkt der
vorhergehenden und der nachfolgenden Zahl:
f 22 12 1 2 1
f 32
22 1 3 1
f 42
32
2 5 1
2
5
38 1
82
5 13 1
f
f
2
5
2
6
!!!
f n2
fn
1
fn
1
1
n
(7)
Dieser Satz wurde bereits 1682 von dem französischen Mathematiker
und Astronom Cassini entdeckt. Er gilt auch als Spezialfall des
Identitätssatzes von Catalan mit k 1 .
Das Folgenglied
m n
lässt sich durch die Summe von zwei
Produkten vier anderer Folgeglieder bestimmen.
fn
m
Beispiel: n 13
fn 1 fm
fn fm
f13
1
233
für alle
m, n 1
m 8
(8)
f8
21
11
f12 144
f9
34
f 21 f12 f 8
f13 f 9
10.946 144 21 233 34
Da die Fibonacci-Zahlen rekursiv definiert sind, bietet sich bei
Beweisen mit ihnen natürlich oft auch ein rekursives Beweisverfahren
an: die vollständige Induktion, die wir für diesen Satz exemplarisch
ausführen.
Für den Induktionsanfang wird gezeigt, dass die Formel für m=1 und
m=2 gilt:
m sei 1:
fn m fn 1 fm fn fm 1
fn
fn
Dies ist die Definition.
m sei 2:
f n 1 f1 f n f 2
fn 1 fn
1
1
fn m
fn 2
fn 1
fn 1
fn 1
fn 1 fm fn fm
f n 1 f 2 f n f3
fn 1 fn 2
fn 1 fn fn
fn 1 fn
fn
fn 1 fk
fn 1 fk
1
Wir nehmen an, dass
fn
k
k 1
1
fn fk 1
fn fk 1 1
Zu zeigen ist, dass:
fn k 2 fn 1 fk 2 fn fk 3
Durch Addition der beiden Annahmen ergibt sich:
fn k fn k 1 fn 1 fk fn fk 1 fn 1 fk 1
fn
fn
k 2
fn
fk
1
fn 1 fk
1
fk
1
fn fk
fn fk
2
fn fk
1
fk
2
2
3
q.e.d.
Das Folgeglied für
m n
lässt sich durch die Differenz zweier
Produkte von vier anderen Folgegliedern bestimmen.
fm
n
fm fn
1
fn fm
1
1
n
(9)
12
Das Folgeglied für 2n lässt sich aus den Folgegliedern von n , n 1
und n 1 bestimmen.
f 2n
Da aus
fn
1
fn
fn
fn
Gilt für Satz 8 auch:
fn
fn
1
1
fn
folgt, dass
1
f 2n
f 2n
fn
f
2
n 1
fn
1
f
1
(10)
fn
1
fn
fn
1
fn
1
1
2
n 1
Das Folgeglied für 3n lässt sich ebenfalls aus den Folgegliedern von
n , n 1 und n 1 bestimmen.
f 3n
f n3 1
f n3
f n3 1
(11)
2.3.3 Teilbarkeitsregeln für Fibonacci-Zahlen
Auch für die Fibonacci-Zahlen lassen sich Teilbarkeitsregeln
festhalten.
ggT f m , f n
f ggT m,n
Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d.h.:
ggT f n , f n 1 1
(12)
m|n
f m | f n , falls m > 2 ist, gilt auch die Umkehrung. Insbesondere
kann fn für n > 4 nur dann eine Primzahl sein, wenn n eine Primzahl
ist.
Der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten
gemeinsamen Teilers lässt sich durch den Einsatz der FibonacciZahlen ermitteln.
13
2.3.4 Binomialdarstellung der Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen lassen sich im Pascal-Dreieck entdecken und als
Summe von Binomialkoeffizienten darstellen.7
n 1
fn
Mit k
und
n k
k
2
1
n
k 0
(13)
k
n k !
k ! n 2k !
Die Summe läuft also über alle k, für die
7
k
n k
k
0 ist.
Vgl. http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node2.html#0002400
14
2.4 Zusammenhang zum Goldenen Schnitt
2.4.1 Herleitung über den Quotienten
Als weitere Eigenschaft untersuchen wir den Quotienten zweier
fn 1
Folgenglieder der Fibonacci-Zahlen q
.
fn
Folgenglied q = Quotient der Folgenwerte
1
1,000000000000
2
2,000000000000
3
1,500000000000
4
1,666666666667
5
1,600000000000
6
1,625000000000
7
1,615384615385
8
1,619047619048
9
1,617647058824
10
1,618181818182
11
1,617977528090
12
1,618055555556
13
1,618025751073
14
1,618037135279
15
1,618032786885
16
1,618034447822
17
1,618033813400
Schon beim 17. Folgenglied weichen die jeweiligen Quotienten bis zur
dritten Nachkommastelle nicht voneinander ab, so dass sich die
Vermutung aufdrängt, dass der Quotient gegen eine Zahl konvergiert
und dass:
fn 1
~ 1,618
lim
fn
n
fn
Nach Definition ist
Division durch f n
1
ergibt:
Nimmt man an, dass
fn
fn
fn
fn
2
fn
1
lim
n
fn
2
fn
fn
2
1
1
1
1
lim
n
fn
fn
1
15
So erhält man die Gleichung:
1
1 bzw. die quadratische Gleichung
2
2
Mit der positiven Lösung
1
2
1
oder
1 0
1
1 5
1
4
2
1, 6180
ist gezeigt, dass ein Grenzwert existiert.
Die Zahl
entspricht genau dem Verhältnis des Goldenen Schnitts,
wie in Kapitel 1 berechnet. Damit gilt:
Unabhängig von Fibonacci beschäftigte sich der Astronom und
Mathematiker Johannes Kepler (1571-1630) mit der Zahlenfolge 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21 . ! . So entdeckte er die Fibonacci-Zahlen bei den
Umlaufzeiten von Planeten, und zwar stehen die Umlaufzeiten von
Venus und Erde im Verhältnis 8 zu 13. Ebenso war auch ihm schon
bekannt, dass sich der der Quotient zweier aufeinander folgender
Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt
nähert.
fn 1
(14)
lim
fn
n
2.4.2 Herleitung über die Linearisierung der Goldenen
Schnittzahl
In Kapitel über den Goldenen Schnitt8 hatten wir die Eigenschaft der
goldenen Schnittzahl dargestellt, dass es möglich ist, alle positiven und
b mit geeigneten
negativen Potenzen in linearer Form a
ganzzahligen a und b zu schreiben.
2
1
1
Hier sieht man, dass das Quadrat von
1
1
Das heißt für
3
2
Durch weiteres Einsetzen von
(15)
linearisierbar ist durch
2
1
2
1 ergibt sich:
3
2
1
usw.
8
@A.B(C9$'+79D(1E-$(F9.*-)-$(G&7)/,,(#)*(*3+(83+&3.- Dreieck, Kapitel 1.4, Seite 9
16
2
1
1
3
2
1
4
3
2
5
5
3
6
8
5
7
13
Folge der linearen Ausdrücke
8
Die lineare Darstellung einer Potenz ergibt sich durch die Addition der
beiden vorherigen Zeilen.
n
Das heißt allgemein:
n 1
(a
a
an
b
b)
2
a
b
a (
1) b
a
a b
( a b)
a
n 1
a b
a
an
an
1
Bei dem linearen Ausdruck von n 1 ist der Koeffizient des Produktes
mit
gleich der Summe aus dem Koeffizienten a (und der
Konstanten b des vorherigen Folgengliedes in der Folge der linearen
Ausdrücke). Die neue Konstante ist der vorherige Koeffizient a.
Kennt man also die linearen Ausdrücke für n und
man den linearen Ausdruck für die nächste Potenz
Addition erzeugen.
Die Potenzen von
lassen sich damit schreiben als
n 1
n
an 1
oder
an
n 1
n 2
, so kann
einfach durch
an
(16)
an
1
Für die ganzen Zahlen a n bzw. a n -1 gilt offensichtlich die Rekursion:
f n 2 f n 1 f n mit den Startwerten f1 f 2 1 .
Die Fibonacci-Zahlen erscheinen in den Potenzen von
.
17
2.5 Explizite Definition der Fibonacci-Zahlen
- Formel von Binet Bisher mussten wir zur Berechnung einer Fibonacci-Zahl alle
vorhergehenden Folgenglieder bestimmen. Das ist ein sehr
aufwendiges Verfahren, so dass wir nun überlegen, wie wir zu einem
expliziten Ausdruck dieser Folge kommen können
Entsprechend der Grenzwert-Berechnung im letzen Kapitel haben wir
gesehen, dass der Quotient der Folgenglieder annähernd einer Zahl ist,
d. h. wir annähernd durch die Multiplikation mit einem konstanten
Faktor von einer Fibonacci-Zahl zur nächsten kommen.
Dies ist eine wichtige Eigenschaft einer Exponentialfunktion
f ( x) x n bzw. einer geometrischen Folge f n a0 q n .
Analogie zu einer geometrischen Folge:
Unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge, bei der zwei
aufeinanderfolgende Glieder stets den gleichen Quotienten q haben
mit:
an 1
q
an
Damit ist eine geometrische Folge festgelegt durch die Folgenglieder:
a1 ,
a 2 a1 q
a3
a2 q a1 q 2
!!!
an
an 1 q a1 q n
Nehmen wir jetzt an, dass die Fibonacci-Folge sich als geometrische
Folge darstellen lässt, dann muss gelten:
a1 f1
a 2 f 2 f1 q
a3
f3
f1 q 2
gleichzeitig gilt:
f3
also f1 q
2
f2
f1 ,
f2
f1
oder
da f 2
f1 q gilt auch
q2
f1 q 2 f1 q
q2 q 1
q 1 0
f1
18
Für diese quadratische Gleichung erhält man die beiden Lösungen q1
und q2 bzw.
und , die bereits als Zahlen des Goldenen Schnitts
bekannt sind.
und
1
für
q1
für
q2
5
1
5
n
(11)
0, 6180
2
Beide Zahlenfolgen Z n
(10)
1, 6180
2
n
und Z n
erfüllen dann annähernd die
Bedingungen der Fibonacci-Folge.
Korrekturfaktoren
Eine geometrische Folge, die eine Fibonacci-Folge ist, muss weiterhin
folgendermaßen darstellbar sein:
Zn Zn 2 Zn 1
Für die beiden berechneten Quotienten heißt das:
Zn
Zn
n
Zn
Zn
2
Zn
Zn
und
1
n
Zn
2
Zn
1
Wir führen Ausgleichfaktoren ein und multiplizieren die beiden
Gleichungen mit c1 bzw. c 2 .
c1 Z n
c1 Z n
2
c1 Z n
c2 Z n
und
1
c2 Z n
2
c2 Z n
1
Die Addition ergibt:
c1 Z n c2 Z n
c1 Z n c2 Z n
Die Zahlenfolge c1 Z n
Zn
c1 Z n
c1 Z n
c1 Z n
2
2
c2 Z n
1
c2 Z n
2
c1 Z n
2
c2 Z n
1
1
c2 Z n
1
c2 Z n erfüllt die Form Z n . Damit ist
c1 Z n c2 Z n
c1
n
c2
n
c1 und c 2 lassen sich jetzt so bestimmen, dass sich Z n f n ergibt, also
die Zahlenfolge Z n der Fibonacci-Folge f entspricht. Dazu lösen wir
das Gleichungssystem:
Z0
Z1
f0 0
f1 1
19
I
c1
II
c2
0
c1 c2 0
Daraus ergibt sich:
I
c2
c1
0
0
und
c1
c2
und
II
eingesetzt
1
c1
c1
1
1
1
1
1
c1
1
1
c1
c1
1
1
5
2
c1
und damit: c2
1
5
2
1
5
1
. Als explizite Darstellung der n-ten Fibonacci5
Zahl erhalten wir:
1 n 1 n
5
5
Diese Formel wurde 1843 von Jacques Philippe Marie Binet
veröffentlicht, gelang unabhängig von ihm auch Abraham de Moives
im Jahr 1730. Setzen wir für
und
die weiter oben berechneten
Terme ein (10) und (11) ein, so erhalten wir:
fn
fn
1 1 5
2
5
fn
1
5
1
5
2
n
1 1 5
2
5
n
1
5
n
n
2
Faszinierend ist bei diesem Term, dass das Zusammenwirken der
irrationalen Zahlen für alle natürliche n immer ganzzahlige Lösungen
ergibt.
2.5.1 Folgerungen
Die Formel von Binet erlaubt uns, Summen der Fibonacci-Folgen wie
f 3 f 6 f 9 " als endliche geometrische Reihen aufzufassen und
auszurechnen.
Beispiele sind wie oben schon angegeben:
n
1
f 3k
f 3n 2 1
2
k 1
20
2.6 Goldenes
Dreieck,
Goldene Spirale
Goldenes
Rechteck,
Beim goldenen Rechteck verhalten sich die Seitenlängen wie phi:
Das goldene Rechteck hat die Eigenschaft, dass nach Wegnahme eines
Quadrates der Seitenlänge phi wieder ein (kleineres) goldenes
Rechteck übrig bleibt usw.
Ein Fibonacci-Rechteck ist ein Rechteck, deren Seitenlängen zwei
aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Folge entsprechen. Dabei
lässt sich die Fläche so eines Fibonacci-Rechtecks als Summe der
Quadrate der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge darstellen:
f 02
f12
f 22 " f n2
n
i 0
fi 2
fn fn
1
Beispiele:
f6 f5
8 13
f 9 f10
f 8 f 9 13 21
21 34
Die Folge der Fibonacci-Rechteckzahlen beginnt: 1, 2, 6, 15, 40, 104,
273, ...
Eine solche Summe aus den Quadraten der Fibonacci-Zahl ist zugleich
ein Ausschnitt der Fibonacci-Spirale:
!