Beispiel Penrose

Elegante Problemlösung (Beweisführung) mittels Modellierung:
Beispiel aus dem Buch „Schatten des Geistes“ von Roger Penrose (1995, S. 87-90).1
Hierbei soll gezeigt werden, dass die Summe aufeinanderfolgender hexagonaler Zahlen mit
1 beginnend immer eine dritte Potenz einer natürlichen Zahl ergibt.
Hexagonalzahlen sind die Zahlen: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127,...
Man erhält sie, indem man von 1 ausgehend zur vorhergehenden Zahl Vielfache von 6
addiert. Eine geometrische Repräsentation erfahren diese Zahlen durch zu Sechsecken
angeordnete Punkte:
Die dritte Potenz einer natürlichen Zahl lässt sich geometrisch durch eine kubische
Anordnung von Kugeln darstellen.
Mit diesen Repräsentationen auf der geometrischen Ebene (Modellebene) lässt sich nun die
Gültigkeit der Gleichungen:
1 = 13 ,
1 + 7 = 23 ,
1 + 7 + 19 = 33,
1 + 7 + 19 + 37 = 43,
1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 53,
1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 63
u.s.w. beweisen.
1
Penrose, Roger. 1995 [Originalausgabe: 1994]. Schatten des Geistes [Shadows of the mind]. Übersetzt von
Anita Ehlers. Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum Akademischer Verlag GmbH.
Man geht von einer kubischen Anordnung von Kugeln (entsprechend der dritten Potenz
einer natürlichen Zahl) aus:
Auseinandergenommen ergibt der Würfel ineinandergeschachtelte Teile - jeder mit
Rückwand, Seitenwand und Decke:
Aus der Ferne
gesehen
Betrachtet man jede dieser dreiseitigen Anordnungen aus der Ferne und schaut dabei auf
die Ecke, an der alle drei Seiten zusammentreffen, so lässt sich jedes Teil als Sechseck sehen
(entsprechend der einzelnen Hexagonalzahlen):
Anmerkung:
Die Lösung des oben angeführten Problems lässt sich freilich auch durch einen formalen
mathematischen Beweis, basierend auf dem Prinzip der vollständigen Induktion, ersetzen.
Dabei wäre noch nicht einmal ein Modellierungsprozess vonnöten.
Klare Regeln (wie das Prinzip der mathematischen Induktion) sind aber nicht immer
hinreichend, um Sätze zu beweisen, wie aus Gödels Unentscheidbarkeitssatz folgt. Die
Einsichten, die Menschen aufgrund logischen Denkens mit Verständnis und Vorstellungskraft
zugänglich sind, liegen jenseits von allem, was sich in einem Regelsystem formalisieren lässt
(PENROSE, 1995, S.91). Mittels Verfahren mathematischer Beweisführung, die nicht nach
Regelsystemen formalisiert sind, kann man mitunter auf sehr einfache Weise zu
Erkenntnissen gelangen. Nicht selten verlaufen solche Beweisführungen über
Modellierungsprozesse.
Die Kommutativität der Multiplikation ( m ⋅ n = n ⋅ m ) kann man zum Beispiel sehr leicht
beweisen, indem man eine rechteckige Anordnung von Punkten mit m Zeilen und n Spalten
betrachtet, die sowohl eine Repräsentation von m ⋅ n (m Zeilen mit je n Punkten) als auch eine
Repräsentation von n ⋅ m (n Spalten mit je m Punkten) darstellt.
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3⋅ 4 = 4 ⋅ 3