seienden wahrheit

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Kandidaten für logische Gesetze (nicht unbedingt erfolgreich)
1 Leibniz‘ Substitutionssatz
Der Träger des Namens „A“ und der Träger des Namens „B“ sind
identisch, wenn man an beliebiger Stelle einer Aussage den Namen
„A“ gegen den Namen „B“ austauschen kann, ohne dass sich der
Wahrheitswert der Aussage ändert.
(vgl. Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis, Def. 1, Gerhardt-Ausg. Bd.VII,
S.228)
2a Leibniz‘ Gesetz der Ununterscheidbarkeit von Identischem
(indiscernibility of identicals)
Wenn der Träger des Namens „A“ mit dem Träger des Namens „B“
identisch ist, dann hat der Träger des Namens „A“ genau alle die
Eigenschaften, die der Träger des Namens „B“ hat.
2b Leibniz‘ Gesetz von der Identität von Ununterscheidbarem
(identity of indiscernibles)
Wenn der Träger des Namens „A“ genau alle die Eigenschaften hat,
die der Träger des Namens „B“ hat, dann sind der Träger des Namens
„A“ und der Träger des Namens „B“ identisch.
(für beide Aussagen vgl. Couturat-Fragment Nr. 8 - 10, 2. Brief an Clarke §4, und schon
Thomas von Aquin, De veritate, qu. 1, art. 1, Punkt 6 des videtur quod)
3 Satz vom zureichenden Grunde
Für alles, was geschieht, gibt es einen zureichenden Grund, warum es
geschieht und nicht einfach ausbleibt.
(vgl. Leibniz, z.B. Monadologie §32, Platon, Timaios 28A, Spinoza, Ethik I 8, Schopenhauer,
Über die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde u.v.m.)
Aristoteles (384 - 322! v. Chr.) - Die „Metaphysik“
14 (antike) Bücher
Thema (=> Met. IV (Γ), Kap. 1):
„eine Wissenschaft vom Seienden, insofern es ist“
enthält, z.B.:
... den Versuch eines Gottesbeweises
(„Erster Beweger“, Met. XII (Λ))
... den Satz vom Nichtwiderspruch
( Met. IV (Γ), Kap. 3, 1005 b 19 - 23)
... den Satz vom ausgeschlossenen Dritten
( Met. IV (Γ), Kap. 7, 1011 b 23 - 25)
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Der Satz vom Nichtwiderspruch
Methodische Vorüberlegung in Met. IV (Γ), Kap. 3
Für die ersten Prinzipien des Argumentierens kann man für sie nicht in
Form eines Schlusses aus Prämissen argumentieren. Denn dann wären ja
zwei Dinge noch fundamentaler als die vermeintlichen ersten Prinzipien,
nämlich
1. die Prämissen, aus denen man auf sie schließt
2. die Schlussregeln, nach denen man das tut.
Wer verlangt, dass man erste Prinzipien des Argumentierens direkt
beweist, offenbart apaideusia, d.h. Unbildung bzw. Ungezogenheit
(1005 b 3, 1006 a 6).
to gar auto
hama hyparchein te kai mê hyparchein
adynaton
tôi autôi
kai kata to auto
(kai hosa alla prosdiorisaimeth‘ an
estô prosdiorisaimena
pros tas logikas dyschereias)
(1005 b 19 - 23)
Desselben nämlich
Zugleich-Zukommenund-auch-Nicht-Zukommen
ist unmöglich
demselben
auf dasselbe hin
(und was sonst noch
einzuschränken,
das sei eingeschränkt
gegen bloß verbale Einwände)
bzw.
„Es kann nämlich dasselbe demselben und in derselben Beziehung
(und dazu mögen noch die anderen näheren Bestimmungen
hinzugefügt sein, mit denen wir logischen Einwürfen ausweichen)
unmöglich zugleich zukommen und nicht zukommen“
(Übersetzung nach Bonitz / Seidl)
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1. Transformation
„notwendig“ -> „wirklich“
„unmöglich“ = „notwendig nicht“
„unmöglich“ -> „nicht“
Folgendes ist nicht der Fall:
Es kommt
dasselbe
demselben
und in derselben Beziehung (und dazu mögen noch die anderen
näheren Bestimmungen hinzugefügt sein, mit denen wir logischen
Einwürfen ausweichen) zugleich
zu und nicht zu.
Das Schema des Widerspruchs
Es kommt
dasselbe
demselben
und in derselben Beziehung (und dazu mögen noch die anderen näheren
Bestimmungen hinzugefügt sein, mit denen wir logischen Einwürfen
ausweichen) zugleich
zu und nicht zu.
Das Schema des Widerspruchs (Hinsichtenklausel ausgeblendet)
Es kommt
dasselbe [Prädikat]
demselben [Subjekt] ...
...zu und nicht zu.
Formulierung beruht auf der These:
In jeder Aussage wird etwas, ein Prädikat, über etwas, ein Subjekt,
ausgesagt.
Transformation :
„Es kommt Subjekt S ... zu, P zu sein,
und es kommt dem Subjekt S ... nicht zu, P zu sein“.
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Die Hinsichtenklausel
Gibt’s Widersprüche doch?
„...und in derselben Beziehung (und dazu mögen noch die anderen
näheren Bestimmungen hinzugefügt sein, mit denen wir logischen
Einwürfen ausweichen) zugleich...“
Das Schema des Widerspruchs ohne Hinsichtenklausel
„Es kommt Subjekt S zu, P zu sein,
und es kommt dem Subjekt S nicht zu, P zu sein“.
Hinsichten
„Es kommt dem Zebra Ziggy zu, weiß zu sein,
und es kommt dem Zebra Ziggy zu, nicht weiß zu sein“.
„Es kommt dem Zebra Ziggy zu, überall weiß zu sein,
und es kommt dem Zebra Ziggy zu, überall nicht weiß zu sein“.
„Es kommt dem Zebra Ziggy zu, zu t‘ überall weiß zu sein,
und es kommt dem Zebra Ziggy zu, zu t‘ überall nicht weiß zu sein“.
usw.
1. Einerseits ist Y-Land reich: Es gibt dort einige extrem reiche
Menschen.
2. Andererseits ist Y-Land wiederum nicht reich: Es gibt dort extrem
viele arme Menschen.
3. Das ist ein Widerspruch.
4. Eine Gesellschaft geht an ihren Widersprüchen zu Grunde.
5. Also wird Y-Land demnächst zu einer neuen Gesellschaftsform
finden, in der der Widerspruch zwischen arm und reich aufgehoben ist.
Hegel (1770 - 1831): Bewegung ist der daseiende Widerspruch selbst
(Wissenschaft der Logik, I.2.1, Kap.2, Anmerkung 3 zu C).
parakonsistente Logik: Graham Priest (1970er Jahre), M. Bremer
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Ein Argument für den NWS (Met. IV (Γ), Kap. 4?)
Satzlogische Fassungen des Nichtwiderspruchssatzes
Angenommen, X bringe einen Satz der Form „a ist F“ und „a ist nicht F“
vor.
So mag man ihn fragen, ob er mit „F“ und mit „nicht F“ dasselbe meint.
X kann dies bejahen oder verneinen:
1. In extremen Fällen mag X das bejahen. Es könnte z.B. eine
angemessene Beschreibung desselben Gefühls sein, zu sagen „Ich liebe
sie und ich liebe sie nicht“. In diesem Fall habe ich keinen Grund, nicht
weiterhin an den NWS zu glauben.
2. Wahrscheinlicher ist, dass X verneint und darauf besteht, er habe mit
„F“ und „nicht F“ durchaus etwas verschiedenes gemeint. In diesem Fall
ist es angebracht, zurückzufragen:
„Inwiefern hast Du mit „F“ und „nicht F“ etwas verschiedenes gemeint?
X kann nun entweder antworten oder nichts mehr sagen.
a) Gibt er eine Antwort, so wird er erklären, inwiefern er mit „F“ etwas
anderes gemeint hat als mit „nicht F“; wenn er aber erklärt, inwiefern er
mit „F“ etwas anderes meint als mit „nicht F“, dann kann ich das immer
als Angabe einer Hinsicht deuten, in der sich sein Gebrauch von „F“ von
seinem Gebrauch von „nicht F“ unterscheidet. Eklärt er also, inwiefern
er mit „F“ etwas anderes meint als mit „nicht F“ und habe keinen Grund,
nicht weiter an den NWS zu glauben.
b) Weigert er sich zu antworten, muss ich ihn als Gesprächspartner nicht
mehr ernst nehmen, und habe auch keinen Grund, nicht weiter an den
NWS zu glauben.
In keinem Fall habe ich damit einen Grund, nicht weiter an den NWS zu
glauben.
Es ist unmöglich der Fall, dass etwas der Fall ist (wie auch immer ein
Satz intern strukturiert sein mag, mit dem ich dies behaupte, und in
welcher Hinsicht auch immer ich ihn äußere), und dass dasselbe
obendrein nicht der Fall ist.
Folgendes ist nicht der Fall: etwas ist der Fall, und dasselbe ist nicht der
Fall.
nicht: (A und [nicht: A] )
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Konsistenzprinzip und Negationsregel erfordern den NWS
Prinzip K
Keine wahrheitswertfähige Zeichenkette wird sowohl wahr als auch
falsch.
Jede wahrheitswertfähige Zeichenkette kann höchstens einen
Wahrheitswert auf einmal haben.
Prinzip NEG
1 Genau dann, wenn α wahr ist, ist „nicht: α“ nicht wahr
2 Genau dann, wenn α nicht wahr ist, ist „nicht: α“ wahr
3 Genau dann, wenn α nicht wahr ist, ist α falsch
Argument
1. „A und (nicht: A)“ ist wahr Annahme
2. „nicht: A“ ist wahr
3. „A“ ist nicht wahr
4. „A“ ist falsch
5. „A“ ist wahr
6. „A“ ist zugleich wahr und falsch
7. „A“ ist nicht zugleich wahr und falsch
8. „Nicht: (A und [nicht: A])“ ist wahr
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Ebensowenig aber kann zwischen den beiden Gliedern eines Paares von
kontradiktorisch entgegengesetzten Aussagen (antiphasis) etwas mitten
inne (metaxy) liegen,
sondern man muß notwendig jedes von jedem (hen kath' henos)
entweder bejahen oder verneinen (phanai ê apophanei).
(Met. IV (Γ), Kap. 7, 1011 b 23 - 25)
Entweder A oder [nicht: A]
A oder [nicht: A].
aus 1. („α und β“ => α und β)
aus 2. mit NEG 2 (v.r.n.l.!)
aus 3. mit NEG 3
aus 1.
aus 4. / 5.
Prinzip K
Neg. der Annahme wg.
Wdspr. 6. / 7., QED
bzw.
- das inklusive „oder“ (Alternation): Die Oder-Verbindung ist wahr,
wenn mindestens einer der beiden damit verbundenen Sätze wahr ist,
evtl. aber auch beide; gesprochen „oder“.
- das exklusive „oder“ (Disjunktion): Die Oder-Verbindung ist wahr,
wenn einer der beiden Sätze damit verbundenen wahr ist, aber nicht,
wenn beide es sind; gesprochen: „entweder ... oder“.
(in diesem Fall ausnahmsweise egal!)
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Pro SAD
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Das Bivalenzprinzip
Jede Aussage hat einen der Wahrheitswerte „wahr“ bzw. „falsch“;
keine Aussage bleibt wahrheitswertlos.
1. Plausibel:
Entweder ist Ziggy schwarzweiß-gestreift
oder Ziggy ist nicht schwarzweiß-gestreift.
Das BP erfordert (mit NEG) den SAD:
1. „(A oder [nicht: A] )“ ist falsch
2. NWS und NEG erfordern den SAD
Annahme
2. „A“ ist nicht wahr
1. Nicht: (A oder [nicht: A] )
Annahme
2. (nicht: A) und (nicht: [nicht: A] )
aus 1. mit „nicht: (α oder β)“
= „weder α noch β“
3. (nicht: A) und A
aus 2. mit NEG
„doppeltes `nicht´ löscht sich“
4. A und (nicht: A)
aus 3. mit Kommutativität
von „und“
5. Nicht: (A und [nicht: A] )
NWS
6. Entweder A oder [nicht: A]
Kontrad. Gegenteil der
Annahme wg. Wdspr. 4./5.,
QED
... sonst wäre „(A oder [nicht: A] )“
wahr
3. „nicht: A“ ist nicht wahr
... sonst wäre „(A oder [nicht: A] )“
auch wahr
4. „A“ ist nicht falsch
... sonst wäre, gegen 3., mit NEG 3,
„nicht: A“ wahr
5. „A“ ist weder wahr noch falsch aus 2., 4.
6. „A“ hat einen Wahrheitswert
Bivalenzprinzip
7. „(A oder [nicht: A] )“ ist wahr Neg. der Annahme
wg. Wdspr. 5. / 6., QED
Trotzdem:
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und das Bivalenzprinzip sind
nicht dasselbe. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist eine
einfache Aussage über die Welt. Das Bivalenzprinzip ist eine Aussage
über die Wahrheit und Falschheit von Aussagen.
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Wahrheit
Aristoteles‘ Definition von „Wahrheit“
Zu sagen nämlich, das Seiende sei nicht
oder das Nicht-Seiende sei,
ist falsch;
dagegen zu sagen, das Seiende sei
und das Nicht-Seiende sei nicht,
ist wahr.
(Met IV (Γ), Kap. 7, 1011 b 26 - 28)
Die Korrespondenztheorie der Wahrheit
veritas est adaequatio rei et intellectûs
Wahrheit ist Übereinstimmung von Sache und Verstand
(Isaak ben Salomon, ca. 900, als Zitat überliefert bei Thomas von Aquin, De veritate qu. I
art. 1, corpus articuli)
Oder, moderner:
Wahrheit ist Übereinstimmung der Wirklichkeit mit dem - in einer
Aussage geäußerten - Gedanken.
Contra SAD
„Es wird morgen zu einer Seeschlacht kommen“ „Es wird morgen nicht zu einer Seeschlacht kommen“.
„Die Anzahl der Sterne ist gerade“
„Die Anzahl der Sterne ist ungerade“.
Intuitionistischer Wahrheitsbegriff
Eine Aussage kann nur dann als wahr gelten, wenn es einen Beweis für
sie gibt.
L.E.J. Brouwer (Anfang 20. Jhdt.)
Michael Dummett (1960er und 70er Jahre)