Benjamin Bekeschus
Referat (BP11 – Geodynamik und Tektonik)
Die Temperaturverteilung in der
Lithosphäre
oder
Die Evolution geothermischer Modelle
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
Inhalt des Referates
1. Thermodynamische Datierung der Erde
1.1 William Thomsons Berechnung des Alters einer isothermalen Erde
1.2 Einbindung in das Konzept einer ursprünglich geschmolzenen Erde
2. Moderne Konzepte
2.1 Stationärer Wärmeausgleich
2.2 Die Mantelkonvektion
2.3 Wärmefluss an der Oberfläche und radioaktive Isotope
3. Die ozeanische Lithosphäre
Graphiken auf Seite 1, von links: (Allwin Samuel Jeba) | (H. Schmeling, Universität Frankfurt) | (Kios / Tilling, Dynamic Earth, 1996)
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde
Der Physiker William Thomson errechnete 1864 das
Alter der Erde mit folgenden Grundannahmen:
#1 : Temperaturmessungen in Minen ergaben einen
geothermischen Gradienten von 20 – 30 K/km.
#2 : Diese Temperaturänderung schrieb man im 19.
Jahrhundert dem Konzept des „secular cooling“ zu:
der ursprünglich heiße Planet kühlt seither nur noch
aus
-Radioaktive Erzeugung thermischer Energie war
noch nicht bekannt
-zunächst wurde die Temperaturentwicklung nur als
konduktiv betrachtet, ein konvektiver Transport
wurde nicht betrachtet
William Thomson a.k.a. Lord Kelvin
(1824 – 1907)
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde
Die benötigte Zeit um den aktuellen geothermischen Gradienten zu erhalten wird mit
der Abkühlung eines quasi-unendlichen Halbraumes bestimmt,
die Temperaturverteilung in flachen Tiefen kann als eindimensionale, zeitabhängige
Wärmeleitung modelliert werden:
(Partielle Differentialgleichung)
ρ = Dichte | c = Spezifische Wärmekapazität | k = thermische Leitfähigkeit
t = Zeit | y = Tiefe
Die folgenden dimensionslose Variablen werden eingeführt:
κ = thermales Diffusionsvermögen
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde
(Anwendung der Kettenregel)
(Substitution)
(gewöhnliche
Differentialgleichung)
(mit folgenden
Grenzbedingungen)
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde
(-ln c1 ist Integrationskonstante)
(nach Integration)
(bestimmtes Integral)
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde
(unter der Annahme, dass die
thermische Grenzschicht yT
dort ist, wo θ = 0,1 beträgt)
(Fehlerfunktion erf und ihre komplementäre erfc)
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde
T1 – T0 = 2000 K
κ = 10-6 m²/s
(∂T/∂y)0= 25 . 10-3 K/m
t0 ≈ 65 000 000 a
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.2 Thomsons Datierung einer ursprünglich geschmolzenen Erde
Thomson modifizierte sein konduktives Abkühlungsmodell um die Hypothese einer
ursprünglich aufgeschmolzenen Erde einzubinden.
Die Schmelze ist bis zur Tiefe y = ym verfestigt. Die gesamte darunter liegende
Schmelze wird mit der Annahme T = Tm betrachtet.
Erneut wird die Wärmeleitungsgleichung (hier im Intervall 0 ≤ y ≤ ym ) betrachtet:
Die Lage der Kristallisationsgrenze ist zunächst eine unbekannte Funktion der Zeit.
Weil auch hier keine Längeneinheit vorhanden ist, werden wiederum die
dimensionslosen Variablen θ und η eingeführt.
Die dimensionslose Koordinate η erhält man durch Normierung der
Tiefe y mit der thermalen Diffusionslänge (κt)0,5. Dementsprechend ist
die Kristallisationstiefe ym durch die Normierung ym/(κt)0,5 konstant.
Die Kristallisationsgrenze entspricht
also einem konstanten Wert ηm, der
als λ definiert wird.
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.2 Thomsons Datierung einer ursprünglich geschmolzenen Erde
θ(η) ist proportional zur Dementsprechend werden folgende
Fehlerfunktion erf(η).
Bedingungen erfüllt:
θ = 0 (für T = T0) bei
η = 0 (für y = 0)
Folgende Bedingungen müssen
außerdem erfüllt sein:
θ = 1 (für T = Tm) bei
η = ηm (für y = ym) = λ
Proportionalitätskonstante
λ erfordert, dass die an der
Kristallisationsgrenze freiwerdende
Wärme aufwärts geleitet wird.
Demnach bewegt sich die Grenze in
einer bestimmten Zeit abwärts.
Dadurch wird eine bestimmte
Masse pro Fläche verfestigt...
Die Gleichung ergibt für
die Temperatur in der
festen Phase (0 ≤ y ≤ ym).
In der geschmolzenen
Zone y ≥ ym beträgt T = Tm.
… und eine
bestimmte
Menge an
Wärme
freigegeben:
…
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
1.2 Thomsons Datierung einer ursprünglich geschmolzenen Erde
Man berechnet λ durch numerische
Werte auf der linken Seite oder durch
graphische Darstellung der rechten
Seite
Tm – T0 = 2000 K
L = 400 kJ/kg
c = 1kJ/(kg K)
λ = 1,06
erf (λ) = 0,865
Tm – T0 = 2000 K
κ = 10-6 m²/s
(∂T/∂y)0= 25 . 10-3 K/m
t0 ≈ 86 000 000 a
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
2.1 Stationärer Wärmeausgleich / steady-state heat balance
Das Konzept des „secular cooling“ wurde durch den stationärem Wärmeausgleich ersetzt.
Man nahm an, dass die Hitzeentweichung des Erdinneren mit der thermischen
Energieemission beim Zerfall radioaktiver Isotope ausgeglichen war.
Ein beliebtes Modell nahm eine Schicht nahe der Oberfläche mit einer gleichmäßige
Wärmeproduktion an, die ein radioaktiv ärmere Inneres überdeckte.
Gleichung für
Wärmeleitung inklusive
weitere Erzeugung
thermischer Energie
H = Wärmeerzeugung pro Masseeinheit
Unter der Voraussetzung, dass die
Mächtigkeit y1 der Schicht ergibt
Temperatur am Grund der Schicht der sich, sofern der Gradient (dT/dy)0
Manteltemperatur entspricht
bekannt ist
T1 – T0 = 1300 K
(dT/dy)0 = 25 K/km
 y1 = 104 km
k = 3,3 W/m
(dT/dy)0 = 25 K/km
T1 – T0 = 1300 K
ρ = 3300 kg/m3
H = 2,4 . 10-10 W/kg
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
2.1 Stationärer Wärmeausgleich / steady-state heat balance
Oberflächennahe
Temperaturverteilung unter
der Annahme, dass sich die
wärmeerzeugenden
instabilen Isotope fast
ausschließlich in einer
dünnen, oberflächennahen
Schicht 0 < y < y1
konzentrierten
Die Hypothese einer sich aufwärts steigernden Konzentration instabiler Isotope mit der
ausgeglichenen Bilanz der Wärmeleitung war überwiegend in der Zeit zwischen den
Zwanzigern und den späten Sechzigern des 20. Jahrhunderts akzeptiert um die
Temperaturverteilung im Erdinneren zu erklären.
Nach dieser Hypothese wäre der oberflächennahe Wärmefluss in der ozeanischer Kruste
geringer ausgefallen.
Messungen zeigten aber, dass er der kontinentalen Kruste gegenüber relativ ähnlich war.
1956 ordneten Bullard et al. diese Ähnlichkeit Mantelkonvektionen zu.
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
2.2 Die Mantelkonvektion
Ab den späten Sechzigern nahm an, das die hohen thermischen Gradienten an der
Erdoberfläche Folgen von thermischen Grenzschichten und Mantelkonvektionen seien.
An den thermischen Grenzschichten wird Wärme vor allem durch Konvektion
transportiert, in der Tiefe ist der Gradient nahezu adiabatisch.
Drei thermale Regime treten im Mantel-Krusten-System auf:
1. Nahezu adiabatische Regionen, advektiver Wärmetransport durch vertikale Bewegung
2. Advektiver Wärmetransport ist etwa gleichwertig mit Konduktion
3. Überwiegend konduktiver Wärmetransport
3.
2.
Ozeanische Lithosphäre
Thermale Grenzschichten
D‘‘-Schicht an Mantelbasis
Kontinentale Kruste
Oberer Mantel
1.
Unterer Mantel
Äußerer Kern
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
2.3 Wärmefluss an der Oberfläche und radioaktive Isotope
Wärmefluss an
der Oberfläche
Mittlerer
kontinentaler
Wärmefluss und
kontinentale Fläche

Mittlerer
ozeanischer
Wärmefluss und
ozeanische Fläche
Q = 4,43 . 1013 W
Wärmeverlust an Oberfläche resultiert aus:
-Wärme aus radioaktiven Zerfall
-Wärme aus dem Erdinneren
Wärme aus radioaktiven Zerfall ist maximal
H=Q/M
(M entspricht der Masse des wärmeerzeugenden Materials der Erde)
(H entspricht der Wärmeproduktion pro Masse)
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
2.3 Wärmefluss an der Oberfläche und radioaktive Isotope
Die Wärmeproduktion durch Zerfall
instabiler Isotope in Mantel und Kruste
entspricht 80% des Wärmeflusses an der
Oberfläche. Diese Isotope sind:
40K
232Th
235U
238U
Quelle: Edward J. Tarbuck,
Frederick K. Ludgens: GEODe 2006.
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
3. Die ozeanische Lithosphäre
Die ozeanische Lithosphäre ist die obere thermale Grenzschicht der Mantelkonvektion.
Die Kruste wird zunehmend dicker, je weiter sie
vom Spreizungszentrum entfernt ist. Sie kühlt
dort durch Konduktion und Wärmeabgabe an
den Ozean ab. Eine größere Meerestiefe mit
zunehmenden Alter der Kruste wird begleitet
von sinkendem Wärmefluss und einer
ansteigenden Geoid-Höhe.
By xscience (@ flickr.com)
Für ein Krustenalter von weniger
als 70 Ma ist ein HalbraumAbkühlungsmodell anwendbar: die
Höhe der Wassersäule wächst in
Relation zur Tiefe des Rückens mit
der Wurzel des Krustenalters.
Bei älteren ozeanischen Krusten
steigt die Tiefe weniger stark an.
Der Wärmefluss ist umgekehrt
proportional zur Wurzel des Alters.
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
3. Die ozeanische Lithosphäre
Die Temperaturverteilung in der ozeanischen
Lithosphäre wird durch die KonvektionKonduktion-Gleichung bestimt:
(half-space cooling model)
Bei großen Péclet-Zahlen ist es angemessen, die GrenzschichtNäherung anzuwenden und eine horizontale Konduktion zu
vernachlässigen.
u0 entspricht der Spreizungsgeschwindigkeit
L ist die Entfernung vom Spreizungszentrum
…
Beispielwert für Wärmefluss an
ozeanischer Oberfläche
Eine mögliche Verteilung der Isotherme in der
ozeanischen Lithosphäre
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
3. Die ozeanische Lithosphäre
Weitere Korrelationen:
•Die Mächtigkeit der ozeanischen Lithosphäre wächst mit der Wurzel des Alters.
Zum Beispiel: yL = 13 . (t)0,5
• Mit der Temperaturverteilung lässt sich die Morphologie eines MOR prognostizieren.
• Die Tiefe des Ozeans wächst mit der Quadratwurzel des Krustenalters
Meerestiefe des Atlantischen, Pazifischen und Indischen Ozeans als Funktion des
Alters. Daten von ODP und DSDP. Sedimentationskorrekturen wurden vorgenommen.
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
3. Die ozeanische Lithosphäre
•Die Geoid-Anomalie ist
eine lineare Funktion des
Krustenalters
(zum Beispiel: ΔN = -18m
für eine 100 Ma alte Kruste)
Geoid-Anomalie relativ zum Mittelozeanischen Rücken als Funktionen des Alters der
drei Ozeane und generelle Modellierungen PM und HSCM.
Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre
Diskussion
Alle Formeln, Graphiken und Fotos, soweit nicht anders angegeben: Schubert, Turcotte, Olson: Mantle Convection in the Earth and Planets, Cambridge UP, 2001